高考文科数学真题及答案全国卷

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则

A ∩

B ＝( )．

A ．{1,4}

B ．{2,3}

C ．{9,16}

D ．{1,2} 【答案】A

【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．

2．(2013课标全国Ⅰ，文2)

2

12i

1i +(-)＝( )． A. ?1?1

2i B ．1

1+i 2

- C ．1+1

2i D ．1?1

2i 【答案】B

【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】

212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1

1+i 2

-. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．

A ．12

B ．13

C ．14

D ．16

【答案】B

【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为1

3

.

4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：22

22=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为

2

C 的渐近线方程为( )． A ． y =±14

x B ．y =±1

3

x C ．12

y x =± D ．y =±x

【答案】C

【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵e =c a =2254c a =.

∵c 2＝a 2＋b 2

，∴2214b a =.∴12

b a =.

∵双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±，

∴渐近线方程为1

2

y x =±.故选C.

5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．

A ．p ∧q

B ．?p ∧q

C ．p ∧?q

D ．?p ∧?q 【答案】B

【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。 【解析】由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．

∴?x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有?p ∧q 为真命题．故选B.

6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23

的等比数列{a n }

的前n 项和为S n ，则( )．

A ． S n =2a n ?1

B ．S n =3a n ?2

C ．S n =4?3a n

D ．S n =3?2a n 【答案】D

【考点】本题主要考查等比数列前n 项和公式。

【解析】11211321113

n

n

n n a a a q a q S q q --(-)===

---＝3－2a n ，故选D. 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]， 则输出的s 属于( )．

A ．[－3,4]

B ．[－5,2]

C ．[－4,3]

D ．[－2,5] 【答案】A

【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。 【解析】当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)． 当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2. ∵该函数的对称轴为t ＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．

综上知s ∈[－3,4]．故选A.

8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2

＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |

＝POF 的面积为( )． A ．2 B

．

．．4 【答案】C

【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。 【解析】利用|PF |

＝P x =x P

＝∴y P

＝±∴S △POF ＝12

|OF |·|y P |

＝故选C.

9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 【答案】C

【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。

【解析】由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2?

?

???

时，

f (x )＞0，排除A.

当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3

x =.

故极值点为2π3

x =，可排除D ，故选C.

10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，

b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，

c ＝6，则b ＝( )．

A ．10

B ．9

C ．8

D ．5 【答案】D

【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。

【解析】由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝

125.∵A ∈π0,2??

???

，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-?，∴b ＝5或13

5

b =-(舍)．

故选D.

11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π 【答案】A

【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。 【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V 半圆柱＝12

π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A.

12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.

x x x x x ?-+≤?+>?若|f (x )|≥ax ，

则a 的取值范围是( )．

A ．(－∞，0]

B ．(－∞，1]

C ．[－2,1]

D ．[－2,0] 【答案】D

【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。

【解析】可画出|f (x )|的图象如图所示．

当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立． 若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限， 由2

,2,

y ax y x x =??

=-?得x 2

－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D.

第Ⅱ卷（选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______. 【答案】2

【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。

【解析】∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝11112

2

??=. ∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0， 即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0. ∴1

2

t ＋1－t ＝0.

∴t ＝2.

14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x ，y 满足约束条件

13,

10,x x y ≤≤??

-≤-≤?

则z ＝2x －y 的最大值为______． 【答案】3

【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。 【解析】画出可行域如图所示．

画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.

15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，

AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．

【答案】9π2

【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。

【解析】如图， 设球O 的半径为R ， 则AH ＝

23R ， OH ＝

3

R . 又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.

∵在Rt△OEH 中，R 2

＝2

2

+13R ?? ???

，∴R 2＝98. ∴S 球＝4πR 2＝9π

2

.

16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.

【答案】 【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。

【解析】∵f (x )＝sin x －2cos x x －φ)，

其中sin φ＝

5，cos φ＝5. 当x －φ＝2k π＋π

2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．

即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π

2

＋φ(k ∈Z )．

∴cos θ＝πcos 2???

+ ???

＝－sin φ＝5-.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；

(2)求数列21211

n n a a -+??????

的前n 项和．

【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。 【解析】(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)

2

n n na d -+. 由已知可得{

3a1+3d =0

5a1+10d =?5

解得a 1＝1，d ＝－1. 故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ??

=- ?(-)(-)--??

， 从而数列21211

n n a a -+?

?????

的前n 项和为

＝

12n

n

-. 18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好 (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好 【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。

【解析】(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得

x ＝

1

20

＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝，

y＝1

20

＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋

＝.

由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有7

10

的叶集中在茎2,3上，而B

药疗效的试验结果有7

10

的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、

逻辑思维能力、运算能力及转化能力。

【解析】

(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.

因为CA＝CB，所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC＝OA1.

又A1C，则A1C2＝OC2＋2

1

OA，故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3. 20．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。 【解析】(1)f ′(x )＝e x

(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，

f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x

??- ??

?

.

令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.

从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.

故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．

当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.

【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。

【解析】由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长

为(左顶点除外)，其方程为22

=143

x y +(x ≠－2)．

(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2， 所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |

＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则

1

||||QP R

QM r =，可求得 Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．

由l 与圆M

＝1，解得k

＝±

当k

时，

将y x =+22=143

x y +，并整理得7x 2

＋8x －8＝0，解得x 1,2

＝47

-±，

所以|AB |

＝x 2－x 1|＝18

7

.

当k

＝4-时，由图形的对称性可知|AB |＝18

7

.

综上，|AB |

＝|AB |＝18

7

.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．(2013课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D . (Ⅰ)证明：DB=DC;

(Ⅱ)设圆的半径为1，BC=√3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。 【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。

【解析】 (1)连结DE ，交BC 于点G .

由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .

而∠ABE＝∠CBE，

故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°，

由勾股定理可得DB＝DC.

(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，

故DG是BC的中垂线，

所以BG

设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.

从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于

2

.

23．(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方

程已知曲线C1的参数方程为

45cos,

55sin

x t

y t

=+

?

?

=+

?

(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。

【解析】(1)将

45cos,

55sin

x t

y t

=+

?

?

=+

?

消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，

即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将

cos,

sin

x

y

ρθ

ρθ

=

?

?

=

?

代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋

16＝0.

所以C1的极坐标方程为

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由2222810160,20x y x y x y y ?+--+=?+-=?

解得1,1

x y =??=?或0,2.x y =??=?

所以C 1与C 2

交点的极坐标分别为π4

?

??

，π2,2??

??

?

.

24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；

(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22

a ??-????

时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．

【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。

【解析】(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.

设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，

则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ?

-

?

--≤≤??

->???

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，

y ＜0.

所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈1,22a ??

-????

时，f (x )＝1＋a .

不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.

所以x ≥a －2对x ∈1,22

a ??-????

都成立．

故2a -≥a －2，即a ≤43

.

从而a 的取值范围是41,3?

?- ??

?

.