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2013年高考真题——理科数学(天津卷)解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.

2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.

参考公式:

·如果事件A , B 互斥, 那么

)()()(B P A P A P B ?=+

·棱柱的体积公式V =Sh ，

其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱

柱的高.

·如果事件A , B 相互独立, 那么

)()(()B P A A P P B =

·球的体积公式34.3

V R π= 其中R 表示球的半径.

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?=

(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]

(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-?-≤????

则目标函数z =

y －2x 的最小值为

(A) －7

(B) －4 (C) 1 (D) 2

(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值

为1, 则输出S 的值为

(A) 64 (B) 73

(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=

相切. 其中真命题的序号是:

(A) ①②③

(B) ①② (C) ②③ (D) ②③

(5) 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =

(A) 1 (B) 32

=则sin BAC ∠ = (A) 1010 (B) 105 (C) 31010 (D) 55

(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ??-?????

, 则实数a 的取值范围是 (A) 15,02??- ? ??

(B) 13,02??- ? ??

(D) 52,

-- ? ?∞?

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

理科数学

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2. 本卷共12小题, 共110分.

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.

(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .

(10) 6

1x x ?- ??? 的二项展开式中的常数项为 .

(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π??

???, 则|CP | = .

(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若

·1AD BE =u u u r u u u r , 则AB 的长为 .

(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点

A 做圆的切线与D

B 的延长线交于点E , AD 与B

C 交于点F . 若AB = AC ,

AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .

(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1

2||a a b +取得最小值.

三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

(15) (本小题满分13分)

已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π??

=-++- ?+??∈R .

(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;

(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π??

????上的最大值和最小值.

(16) (本小题满分13分)

一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.

(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.

(17) (本小题满分13分)

如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面

ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱

AA 1的中点.

(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;

(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.

(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1

所成角的正弦值为

, 求线段AM 的长.

(18) (本小题满分13分) 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , 离心率为33

, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

433

. (Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.

(19) (本小题满分14分)

已知首项为32

的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ) 设*()1n n n

T S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.

(20) (本小题满分14分)

已知函数2l ()n f x x x =.

(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;

(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有

2ln ()15ln 2

g t t <<.