历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+ 2

4S R π=

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3

34

V R π=

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

()(1)

(0,1,2,)k

k

n k

n n P k C p p k n -=-=…

2012年普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

1、 复数

131i i

-++=

A 2+I

B 2-I

C 1+2i

D 1- 2i

2、已知集合A ＝{1.3.

}，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=

A 0

B 0或3

C 1

D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2

16x

+

2

12y

=1 B

2

12x

+

2

8y

=1

C

2

8

x

+

2

4

y

=1 D

212

x

+

2

4

y

=1

4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为

A 2 B

C

D 1

（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为

(A)

100101

(B)

99101

(C)

99100

(D)

101100

（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若

a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A) （B ） (C) (D)

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α=

(A) 3（B）9(C) 9(D)3

（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=

(A)1

4（B）

3

5(C)

3

4(D)

4

5

（9）已知x=lnπ，y=log52，

1

2

z=e，则

(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x

(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1

（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7

3。动点

P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16（B）14（C）12(D)10

二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

（注意：在试题卷上作答无效）

（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。

（14）当函数取得最大值时，x=___________。

（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50°

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。

三.解答题：

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面

ABCD，AC=2PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角

的大小。

19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。

（20）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围。

21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(

1

2

y-

)2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两

曲线的切线为同一直线l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效

．．．．．．．．）

函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标。

（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；

（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式。

2011年高考数学(全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

2. 函数)0y x =≥的反函数为 (A)()2

4

x

y x R =

∈ (B)

()2

04

x

y x =

≥

(C)()2

4y x

x R =∈ (D)

()2

40y x

x =≥

3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >

4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3

π个单位长度后，所得的图

像与原图像重合，则ω的最小值等于

(A) 1

3

(B) 3 (C) 6 (D) 9

6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若

2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于

(A) 2

(B) 3

(C) 3

(D) 1

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21x

y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为

(A)

13

(B)

12

(C)

23

(D) 1

9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ??-= ??

?

(A) 12

-

(B) 14

-

(C)

14

(D)

12

10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠= (A)

45

(B)

35

(C) 35

-

(D) 45

-

11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，脱该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π

12. 设向量,,a b c 满足11,,,602

a b a b a c b c ===---=

，则c 的最大值对于

(A) 2 (B) (C) (D) 1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

13. (

20

1-

的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .

14. 已知,2π

απ??

∈

???

，sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线2

2

:

19

27

x

y

C -

=的左、

右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .

16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABC D A B C D - 的棱11BB C C 、上，且12B E E B =,

12C F FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

A B C ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,A C a c -=+=

，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足11

110,

111n n

a a a +=-

=--

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设n b =1

n

n k

k S b

==

∑，证明：1n S <。

21.（本小题满分12分）

已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y

C x +

=在y 轴正半轴上的焦点，

过F

且斜率为的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设函数()()2ln 12

x f x x x =+-

+，证明：当0x >时，()0f x >

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p ，证明：19

2

9110p e

??

<<

?

??

2010年普通高等学校招生全国统一考试

一．选择题 (1)复数

3223i i

+=-

(A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k -?=,那么tan 100?=

A.k

B.

-

k

C.

D.

(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??

+≥??--≤?

则2z x y =-的最大值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则a a a

= (A)

5

2

(B) 7 (C) 6 (D) 4

2

(5)3

5

(1(1+-

的展开式中x 的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A

3

B

3

C 23

D

3

（8）设a=3log 2,b=In2,c=12

5

-,则

A a

(9)已知1F 、2F 为双曲线C:22

1x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则

P 到x 轴的距离为

(A)

2

(B)

2

(C) (D)

（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞

（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?

的

最小值为 (A) 42-+

(B)32-+

(C) 422-+ (D)322-+

（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)

233

(B)

433

(C) 23 (D)

833

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)1x ≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角，3cos 25

α=-

,则tan(

2)4

π

α+= .

(15)直线1y =与曲线2

y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =uu r uur

，则C 的离心率为 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)已知A B C V 的内角A ，B 及其对边a ，b 满cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．

(18) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．

效．

） 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.

（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；

（Ⅱ）设8

9

F A F B = ，求B D K ?的内切圆M 的方程 .

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 中，1111,n n

a a c a +==-

.

（Ⅰ）设51,2

2

n n c b a =

=

-，求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .

2009年普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[u （A B ）中的元素共有

（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 （2）已知

1i

Z ＋=2+I,则复数z=

（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式

11

X X +-＜1的解集为

（A ）｛x }{}011x x x ??? (B){}01x x ?? （C ）{}10x x -?? (D){}0x x ?

(4)设双曲线222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2

+1相切，则该双曲线的离心

率等于

（A （B ）2 （C （D

(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种

（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -?-的最小值为

（A ）2-（B ）

2 （C ）1- (D)1-

（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为B C 的中点，则异面直线AB 与1C C 所成的角的余弦值为

（A ）4

（B ）4

（C 4

(D) 34

（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π

??

???

，0中心对称，那么π的最小值为 （A ）

6

π

（B ）

4

π

（C ）

3

π

(D)

2

π

(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

（10）已知二面角α-l-β为600

，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β，Q

到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为

(B)2 (C) (D)4

（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数

（12）已知椭圆C:

2

2

12

x

y +=的又焦点为F ，

右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。若3FA FB = ,则A F =

(B)2 (C) (D)3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） (13) 10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于 .

(14)设等差数列{}n a 的前n 项和为n s .若9s =72,则249a a a ++= .

(15)直三棱柱ABC -111A B C 各顶点都在同一球面上.若12,AB AC AA ===∠BAC =120

，

则此球的表面积等于 . (16)若4

2

ππ＜X ＜,则函数3

tan 2tan y x x =的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 在?ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知

2a c b -=，且

s i n c o s 3c o s s i n A C A C =，求b.

18．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 如图，四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，S D ⊥底面

ABCD ，DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上，∠ABM=600. (Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点； （Ⅱ）求二面角S —AM —B 的大小。

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设

在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设ε 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ε 的分布列及数学期望。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 在数列{}n

a 中，

1111112n n n a a a n ?

? ??

?’＋’＋＝＝＋＋.

()I 设n n a b n

＝

，求数列}{n

b 的通项公式；

()II 求数列{}n a 的前n 项和n s .

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）

如图，已知抛物线2

:E y x =与圆2

2

2

:(4)M x y r -+=(r ＞0）相交于A B C D 、、、四个点。

（I ）求r 的取值范围： (II)当四边形A B C D 的面积最大时，求对角线

A B C D 、、、的交点p 的坐标。

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 设函数32()33f x x bx cx =++有两个极值点[][]12211,2.x x x ∈-∈，，0，且 （Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ，c ）和区域；

(Ⅱ)证明：1102

-2≤f(x )≤-

2008年普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题 1

．函数y =

的定义域为（ ）

A ．{}|0x x ≥

B ．{}|1x x ≥

C ．{}{}|10x x ≥

D ．{}|01x x ≤≤

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）

3．在A B C △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =

（ ）

A ．

213

3

+

b c B ．

523

3

-

c b C ．

213

3

-

b c D ．123

3

+

b c

4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138

B ．135

C ．95

D ．23

6．若函数(1)y f x =-

的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =

（ ） A ．21

x e

- B ．2x

e

C ．21

x e

+ D ．22

x e

+

7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2

B ．12

C ．12

-

D ．2-

8．为得到函数πcos 23y x ??

=+ ??

?

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移

5π12

个长度单位

C ．向左平移

5π6

个长度单位

D ．向右平移5π6

个长度单位

A ．

B ．

C ．

D ．

9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()

0f x f x x

--<的解

集为（ ）

A ．(10)(1)-+∞ ，，

B ．(1)(01)-∞- ，，

C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，

D ．(10)(01)- ，，

10．若直线

1x y a b

+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ）

A ．221a b +≤

B ．221a b +≥

C ．

2

2

111a

b

+

≤ D ．

2

2

111a

b

+

≥

11．已知三棱柱111

A B C A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A B C △的中心，则1A B 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）

A ．13

B

．

3

C

3

D ．

23

12．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ?+?

-+??

?，，，

≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．

14．已知抛物线2

1y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

15．在A B C △中，A B B C =，7cos 18

B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该

椭圆的离心率e = ．

16．等边三角形ABC 与正方形A B D E 有一公共边A B ，二面角C A B D --

3

，

M N ，分别是A C B C ，的中点，则E M A N ，所成角的余弦值等于 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

设A B C △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c -=

．

D E

A

B （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）

四棱锥A B C D E -中，底面B C D E 为矩形，侧面A B C ⊥底面B C D E ，2B C

=，CD =A B A C =．

（Ⅰ）证明：AD C E ⊥；

（Ⅱ）设C E 与平面A B E 所成的角为45 ，求二面角C A D E --的大小．

19．（本小题满分12分）

已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设函数()f x 在区间213

3??

-

-

??

?

，内是减函数，求a 的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．

21．（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1

l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知O A AB O B 、、

成等差数列，且BF

与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设A B 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

22．（本小题满分12分）

设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b

-≥．证明：1k a b +>．

2007年全国普通高考全国卷一（理）

一、选择题

1．α是第四象限角，5tan 12α=-

，则sin α=

A ．

15

B ．15

-

C ．513

D ．513

-

2．设a 是实数，且

112

a i i

+++是实数，则a =

A ．

12

B ．1

C ．32

D ．2

3．已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =

，则a 与b

A ．垂直

B ．不垂直也不平行

C ．平行且同向

D ．平行且反向 4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为

A ．

2

2

14

12

x

y

-

= B ．

2

2

112

4

x

y

-

= C ．

2

2

110

6

x

y

-

= D ．

2

2

16

10

x

y

-

=

5．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a

+=，则b a -=

A ．1

B ．1-

C ．2

D ．2-

6．下面给出的四个点中，到直线10x y -+=

的距离为2，且位于10

10x y x y +-?

表示的

平面区域内的点是

A ．(1,1)

B ．(1,1)-

C ．(1,1)--

D ．(1,1)- 7．如图，正棱柱1111ABC D A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为

A ．15

B ．25

C ．

35

D ．

45

8．设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为

12

，则a =

A

．

B ．2 C

． D ．4

9．()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函

D 1

C 1

B 1

D

B

C

A

A 1

数”是“()h x 为偶函数”的

A ．充要条件

B ．充分而不必要的条件

C ．必要而不充分的条件

D ．既不充分也不必要的条件 10．21()n

x x

-

的展开式中，常数项为15，则n =

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

11．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，A K l ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是

A ．4

B ．

C ．

D ．8 12．函数2

2

()cos 2cos

2

x f x x =-的一个单调增区间是

A ．2(

,)33

π

π B ．(

,

)6

2

ππ

C ．(0,

)3

π

D ．(,)66

ππ

-

二、填空题 13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答） 14．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =

____________。

15．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______。

16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________。 三、解答题

17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =

（Ⅰ）求B 的大小；

（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围。

18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润。

（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η。