数论基础-问题
【数论十讲】
数论基础问题（陶平生）
内容与方法：整除性、唯一分解定理、质数与合数，公约数与公倍数、高斯函数、勾股数、不定方程、同余、剩余类、欧拉定理与费尔马定理、平方和问题、p -进制
1、在电脑屏幕上给出一个正2011边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执
行这样的操作：每次可选中多边形连续的a 个顶点（其中a 是小于2011的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这a 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；
(1)、证明：如果a 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色， 也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；
0(2)、当a 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？
证明你的结论．
2、试求2
2
72011x y +=的所有正整数(,)x y ．
3、如果正整数a 可表为：235(,,)m n k
a m n k N =??∈，就称a 为好数．证明：
存在2012个互异好数122012,,,a a a ，满足：
3
3
3
3
1
2
2011
2012
1111a a a a +
++
=
．
4、设4n ≥，若n 元正整数集合M 满足：对任何整数k ，都存在,a b M ∈，a b ≠，
使得a k +与b k +是不互质的数，就称M 为“好集”．
证明：若M 为“好集”，且M 中所有元素之和为2011，则存在c M ∈，使得从M 中删去元素c 后，所得到的集{}\M M c '=仍为“好集”．
5、设数n 为正奇数，满足2012
1
n
k n
k
=∑，证明：2
2013
1
n
k n
k
=∑．
6、设()T n 为正整数n
的正因数的个数，证明：()T n ≤
7、设{}2
2
2
1,2,3,P = 为全体正整数的平方所构成的集合，如果正整数n 能表成集
合P 中的若干个（至少一个）互异元素之和，就称“数n 具有P -结构”，记为n P ∈；证明：不具有P -结构的正整数只有有限多个．
8、对于给定的有限项的正整数数列12,,,n a a a ,进行如下操作：如果j k <，并且j
a 不整除k a ，那么将,j k a a 分别换成(,)j k a a 和[,]j k a a ；
证明：这个过程是有限的，并且最终的结果是唯一的．
9、若正整数,,m n k 满足：2
1mn k =+，证明：存在1212,,,x x y y N ∈，使以下三式：
2
2
2
2
11221212, , m x y n x y k x x y y =+=+=+ 同时成立.
10、若41p n =+为质数，则122
1
1
4p r r p p -=??-=????∑
，（即 221n
k k n p =??
=????
∑）
． 11、设p 为奇质数，,a b 是小于p 的正整数，证明：a b p +=的必要充分条件是：对
任何小于p 的正整数n ，均有22an bn p p ????
+=????????
正奇数. （其中方括号[] 表示取整.）
12、设正整数a 的各位数字全由1和2组成，由其中任意() 2k k ≥个连续数位上的数
字所组成的k 位数，称为数a 的一个“k 段”；若数a 的任两个“k 段”都不相同．
证明：对于具有这种性质的最大正整数a ，其开初的一个“1k -段”和最后的一个“1k -段”必定相同.
13、设正整数,2m n ≥，对于任一个n 元整数集{}12,,,n A a a a = ，取其中每一对不
同的数,i j a a ，()j i >，作差 j i a a -（其中有些差可能是相等的），由这2
n C 个差按递增顺
序所排成的一个整数数列，称为集合A 的“衍生数列”，记为A ，衍生数列A 中能被m 整除的数的个数记为()A m ．
证明：对于任一正整数2m ≥，n 元整数集{}12,,,n A a a a = 及其下标（即前n 个正整数）构成的集{}1,2,,B n = 所对应的“衍生数列”,A B ，满足不等式：()()A m B m ≥．
14、若三角形的三条边长皆为有理数，且有一个内角的角度数也是有理数，试求该内
角度数的所有可能的值．并给出所有这种三角形边长的一般表达式．
15、证明：如果正整数N 可以表示为都是3的倍数的三个整数的平方和，那么N 也可以表示为都不是3的倍数的三个整数的平方和．
16、对于互质的正整数,m n ，求最大公约数(57,57)m
m
n
n
++所有可能的值． 17、试求所有的质数3p ≥，具有如下性质：对任何质数q p <，数p p q q ??
-?????
不能被
任何质数的平方整除．
18、数列012,,,a a a 满足：2
012,21,k k a a a k N +==-∈；
证明：若有奇质数p 及某项n a ，使得n p a ，则3
2
2
1n p +-．
19、
试求不小于9的最小正整数n ，满足：对任给的n 个整数12,,,n a a a （可以相同），总存在9个数1
2
9
129,,,,(1)i i i a a a i i i n ≤<<<≤ 以及{}4,7,(1,2,,9)i b i ∈= ，使得
129129i i i b a b a b a +++ 为9的倍数．
20、设集合{}257,,M α
β
γ
αβγ=??∈N ，如果数a 能表成集M 中的若干个元素之
和，并且这些元素之间没有倍数关系，则称数a 具有属于集M 的单纯分拆D ，记为M a D ∈ ．
()0
1、试确定，当250a ≤，且{}3,6,31a ?时，必有M
a D
∈ ；
()0
2、证明：对异于3,6,31的任何正整数a ，都有M
a D
∈ .