立体角计算公式

立体角计算公式

初醒悟

摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0引言

光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为：

I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。

式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr 。

但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。

1立体角的定义

将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω=

2r

A

图

1平面角（单位：弧度rad ） 图2立体角（单位：球面度sr ）

2立体角的计算

设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。设0<2α<π，0<2β<π

不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。

图3 计算示意图

曲面面积计算公式为： A=

??

??+??+D

y

z x z 2

2)()(

1dxdy （1） 上半球球面方程为：

Z=2

21y x -- （2）

由

x z ??=221y

x x --- （3）

221y

x y

y z ---=

?? （4） 得 222211)()(

1y

x y z x z --=??+??+ （5）

代入（1）式得： A=

??

--D

y

x dxdy 2

2

1 (6)

利用极坐标，得： A=

??

-D

r

rdrd 2

1θ (7)

易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：

α

2

2sin x +y 2

=1 (8) x 2

+β

22sin y =1 (9)

交点坐标（

βαβα22sin sin 1cos sin -,

β

αα

β22sin sin 1cos sin -)

φ1=arctg αβ

tg tg (10)

φ2=arctg β

α

tg tg (11)

将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α

22

2sin cos sin 11Φ+

Φ=

r (12)

β

22

2sin sin cos 12Φ+

Φ=

r (13)

图4 xy 面投影

根据对称性，有：

A=4(A1+A2) (14) A1=?

?-ΦΦ1

02

1

1r r rdr d A2=

?

?

Φ-Φ2

2

2

1r r

rdr

d

于是， A1=10

1

021(r r d ?Φ--Φ

=

?

ΦΦ+

Φ-

-1

22

2sin cos sin 111(α

）d Φ

=Φ1-?

ΦΦ+Φ-1

222

2cos sin sin sin 1αα

d Φ =Φ1-

?

ΦΦ

+Φ-Φ

Φ1

2

2

2

sin sin sin 1cos cos ααd

设t=sin Φ，则cos Φd Φ=dt A1=Φ1-?

Φ-1

sin 0

2

2

cos 1cos t dt αα

=Φ1-

?

Φ-1

sin 0

2

2cos /1t

dt

α =Φ1-arcsin(cos α·t)

1sin 0

Φ

=Φ1-arcsin(cos αsin Φ1) (15)

同理，

A2=Φ2-arcsin(cos βsin Φ2) (16)

带入（14）式,得出最终结果：

A=4(arctg

αβtg tg -arcsin(cos αsin(arctg αβ

tg tg )) +arctg βαtg tg -arcsin(cos βsin(arctg β

α

tg tg ))) (17)

特别地，当α=β时，Φ1=Φ2=π/4， A1=A2=π/4-arcsin(cos α/2)

3数值结果

参考文献

⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11

⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12

⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海

解析完全平方公式

解析完全平方公式 完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解 (如对公式中积的一次项系数的理解)．我在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。现我结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析： 一、理解公式左右边特征 （一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性； （二）学会用文字概述公式的含义： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍． 与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． （三）这两个公式的结构特征是：

1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）； 3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．（四）两个公式的统一： 因为 所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。 二、把握运用公式四步曲： 1、“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算． 2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式． 3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的

灯光的计算方式

灯光设计的计算方式 勒克司（lux,法定符号lx）照度单位，为距离一个光强为lcd的光源，在1米处接受的照明强度，习称：烛光.米。亦即距离该光源1米处，1平方米面积接受1lm光通量时的照度。焦耳（joule,法定符号j）能或功的基本物理单位，等于1个牛顿(N)的力作用1米距离所作的功，或消耗的能。 1焦耳=107尔格=1瓦特.秒 牛顿（Newton,法定符号N）：力的单位，使1千克的质量每秒加速1米／秒的力。 1N=105dyne(达因) 瓦（特）（watt,法定符号W）：功率的单位，单位时间（1秒）所作的功等于1焦耳时的功率1W=1J/S; 1j=1W.s 国际单位制(SIE单位制)的光度单位 光度量几何学 名称符号单位英文名 光强度I坎德拉Candela(cd) 光照度E勒克斯Lux(lx) 光亮度L尼特Nit 光通量φ流明Lumen(lm) 与心理学关系密切的单色光单位有: 1.光强度光强度(luminous intensity)是光源在单位立体角内辐射 的光通量,以I表示,单位为坎德拉(candela,简称cd).1坎德拉表示在 单位立体角内辐射出1流明的光通量. 2.光通量光通量(luminous flus)是由光源向各个方向射出的光功 率,也即每一单位时间射出的光能量,以φ表示,单位为流明(lumen,简称 lm).3.光照度光照度(illuminance)是从光源照射到单位面积上的光通 量,以E表示,照度的单位为勒克斯(Lux,简称lx). 4.反射系数人们观看物体时,总是要借助于反射光,所以要经常用到 "反射系数"的概念.反射系数(reflectance factor)是某物体表面的流 明数与入射到此表面的流明数之比,以R表示. 5.光亮度光亮度(luminance)是指一个表面的明亮程度,以L表示, 即从一个表面反射出来的光通量.不同物体对光有不同的反射系数或吸收系 数.光的强度可用照在平面上的光的总量来度量,这叫入射光(inci-dent light)或照度(illuminance).若用从平面反射到眼球中的光量来度量光 的强度,这种光称为反射光(reflection light)或亮度(brightness). 例如,一般白纸大约吸收入射光量的20%,反射光量为80%;黑纸只反射入 射光量的3%.所以,白纸和黑纸在亮度上差异很大. 亮度和照度的关系如图6-2(a)所示,最常用的照度单位是呎烛光 (footcandle).1呎烛光是在距离标准烛光一英尺远的一平方英尺平面上

立体角计算公式

立体角计算公式 初醒悟 摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0引言 光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。 式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr 。 但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。 1立体角的定义 将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω= 2 r A 图1平面角（单位：弧度rad ） 图2立体角（单位：球面度sr ） 2立体角的计算 设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应 的立体角的大小。设0<2α<π，0<2β<π 不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。 图3 计算示意图 曲面面积计算公式为： A= ?? ??+??+D y z x z 2 2)()( 1dxdy （1） 上半球球面方程为： Z=2 21y x -- （2） 由 x z ??=221y x x --- （3） 221y x y y z ---= ?? （4）

得 222211)()( 1y x y z x z --=??+??+ （5） 代入（1）式得： A= ?? --D y x dxdy 2 2 1 (6) 利用极坐标，得： A= ?? -D r rdrd 2 1θ (7) 易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为： α 2 2sin x +y 2 =1 (8) x 2 +β 22sin y =1 (9) 交点坐标（ βαβα2 2 sin sin 1cos sin -, β αα β2 2sin sin 1cos sin -) φ1=arctg αβ tg tg (10) φ2=arctg β α tg tg (11) 将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α 22 2sin cos sin 11Φ+ Φ= r (12) β 22 2sin sin cos 12Φ+ Φ= r (13) 图4 xy 面投影 根据对称性，有： A=4(A1+A2) (14) A1= ? ? -ΦΦ1 2 1 1r r rdr d

因式分解——完全平方公式

14.3.2公式法（完全平方公式） 一、内容及内容解析 1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。 2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14. 3.2公式法的内容。主要是利用完全 平方公式进行因式分解。因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其 是多项式的乘法关系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因 式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。 二、目标及目标解析 1.目标： （1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式； （2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 2.目标解析： 达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式 的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。 达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并 且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。从而培养学生的观察和联想能力。 再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。 三、教学问题诊断分析 在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因 式分解。这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式， 再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。 在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生 尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。另外，平 方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 四、教学过程设计： ●教学基本流程：课前回顾——揭示（学习）目标——指导自学——巡视自学——检查（自学）效果——讨论（学生），点拨（教师）——当堂训练——课后小结 ●教学情景： （一）课前回顾： 1.因式分解的定义: 把一个（）化成几个（）的积的形式。 练一练: 2a-2= ；a2-1= ；2a2-2= ； 因式分解要注意：有公因式先提公因式;分解因式要彻底

关于光的单位很重要概念解释

光度学与光相关的常用量有4个：发光强度、光通量、照度、亮度。这4个量尽管是相关的，但为不同的，不能相混。正像压力、重力、压强、质量是不同的物理量一样。 1、发光强度（I、Intensity），单位坎德拉，即cd。（是点光源的固有属性，表征光线的汇聚能力） 定义：光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量定义为光源在该方向的(发)光强(度)，解释：发光强度是针对点光源而言的，或者发光体的大小与照射距离相比比较小的场合。这个量是表明发光体在空间发射的会聚能力的。可以说，发光强度就是描述了光源到底有多“亮”，因为它是光功率与会聚能力的一个共同的描述。发光强度越大，光源看起来就越亮，同时在相同条件下被该光源照射后的物体也就越亮，因此，早些时候描述手电都用这个参数。现在LED也用这个单位来描述，比如某LED是15000的，单位是mcd，1000mcd=1cd，因此15000mcd就是15cd。 之所以LED用毫cd（mcd）而不直接用cd来表示，是因为以前最早LED比较暗，比如1984年标准5mm的LED其发光强度才0.005cd，因此才用mcd表示，现在LED都很厉害了，但还是沿用原来的说法。 用发光强度来表示“亮度”的缺点是，如果管芯完全一样的两个LED，会聚程度好的发光强度就高。因此，购买LED的时候不要一味追求高I值，还要看照射角度。很多高I值的LED 并非提高自身的发射效率来达到，而是把镜头加长照射角度变窄来实现的，这尽管对LED 手电有用，但可观察角度也受限。另外，同样的管芯LED，直径5mm的I值就比3mm的大一倍多，但只有直径10mm的1/4，因为透镜越大会聚特性就越好。 之所以用发光强度来表示手电或LED，是因为在相同距离下对被照射地的照度是与这个成正比的。特别的说，距离1m的lx就是cd值。但是，很多场合下我们需要照射面积大一些，所以只用发光强度这一特性还不能全面反应手电的能力。比如，同样的筒身，换个大头（大反光杯）则I值马上增大许多。因此，很多情况下我们用光通量（单位流明，见下）来表示手电了。 以上我们说“亮”和“亮度”时带了引号，是因为这是我们常规说的亮度，并非光度学严格意义上的亮度，这一单位后面会展开。 常见光源发光强度（cd）： 太阳，2.8E27 高亮手电，10000 5mm超高亮LED，15 2、光通量（F，Flux），单位流明，即lm。（是光源的固有属性，是单位时间内光源辐射的总能量,即光功率） 定义：光源在单位时间内发射出的光量称为光源的发光通量 解释：同样，这个量是对光源而言，是描述光源发光总量的大小的，与光功率等价。光源的光通量越大，则发出的光线越多 对于各向同性的光（即光源的光线向四面八方以相同的密度发射），则F = 4πI。也就是说，若光源的I为1cd，则总光通量为4π =12.56 lm。与力学的单位比较，光通量相当于压力，而发光强度相当于压强。要想被照射点看起来更亮，我们不仅要提高光通量，而且要增大会聚的手段，实际上就是减少面积，这样才能得到更大的强度。 要知道，光通量也是人为量，对于其它动物可能就不一样的，更不是完全自然的东西，因为这种定义完全是根据人眼对光的响应而来的。 3、光效，单位，流明/瓦，即1W的能量能够转换成多少LM的光通量。

完全平方公式

年级八年级课题完全平方公式课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1．经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一 步发展符号感和推理能力． 2．会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．过程 方法 进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力． 情感 态度 了解数学的历史，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化，有意 识地培养学生的创新能力． 教学重点(a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用． 教学难点完全平方公式的推导和公式结构特点及其应用． 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习旧知 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________； （2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________； （3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________； （4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________． 答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4． 二、探究新知 1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． （a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab －ab+b2=a2－2ab+b2． 2.归纳完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即学生利用多项式与 多项式相乘的法则 进行计算，观察计算 结果，寻找一般性的 结论，并进行归纳 教师让学生利用多 项式的乘法法则进 行推理. 教师让学生用自己 的语言叙述所发现 的规律，允许学生之 间互相补充，教师不 急于概括． 这里是对前边 进行的运算的 复习，目的是 让学生通过观 察、归纳，鼓 励他们发现这 个公式的一些 特点，如公式 左右边的特 征，便于进一 步应用公式计 算 公式的推导既 是对上述特例 的概括，更是 从特殊到一般 的归纳证明， 在此应注意向 学生渗透数学

完全平方公式(含答案)

第2课时 完全平方公式 知识点 1 完全平方公式 1．填空：(1)(x ＋2)2＝x 2＋2·________·________＋________2 ＝__________； (2)(2a －3b )2 ＝________2 ＋________＋________2 ＝__________． 2．下列计算正确的有( ) ①(a ＋b )2 ＝a 2 ＋b 2 ； ②(a －b )2 ＝a 2 －b 2 ； ③(a ＋2b )2 ＝a 2 ＋2ab ＋2b 2 ； ④(－2m －3n )2 ＝(2m ＋3n )2 . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．若x 2 ＋16x ＋m 是完全平方式，则m 的值是( ) A ．4 B ．16 C ．32 D ．64 4．计算：(1)(2x ＋y )2 ＝______________； (2)? ?? ??12x －2y 2 ＝______________； (3)(－2x ＋3y )2＝______________； (4)(－2m －5n )2 ＝______________． 5．计算：(1)(x ＋y )2－x (2y －x )； (2)计算：(a ＋1)(a －1)－(a －2)2 ； (3)(x ＋y －3)2 . 知识点 2 完全平方公式的几何意义 6．利用如图8－5－3①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图8－5－3②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为( ) 图8－5－3 A ．(a －b )2＋4ab ＝(a ＋b )2 B ．(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2 C ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 D ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 知识点 3 利用完全平方公式进行简便计算 7．计算：3012 ＝________． 8．用简便方法计算：20182－4036×2019＋20192 . 知识点 4 与完全平方公式有关的化简求值问题 9．(1)[2018·宁波]先化简，再求值：(x －1)2 ＋x (3－x )，其中x ＝－12. (2)已知代数式(x －2y )2 －(x －y )(x ＋y )－2y 2 . ①当x ＝1，y ＝3时，求代数式的值； ②当4x ＝3y 时求代数式的值．

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解 第一部分概念导入 1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______； （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______； 2．学生计算 3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4 4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。 推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】 得到公式，分析公式 （1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （2）公式特征 左边：二项式的平方 右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和． 注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”． （3）公式中字母可代表的含义 公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式． （4）几何解释 图1－5 图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性． 【学习方法指导】 ［例1］计算 （1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2 点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．

球冠计算公式

球冠体积计算 一、球冠体积计算公式：1/3)π(3R-h)*h^2 二、H=球缺高R=球半径A=球缺底半径 １ V=－－兀×Ｈ×（３×Ａ２+Ｈ２） ６ １ V=－－兀×Ｈ２×（３Ｒ-Ｈ） ３ Ａ２＝Ｈ×（２×Ｒ-Ｈ） 三、球缺 F-面积，S-表面积，V-体积 S=л（2rh+a2） =л(h2+2a2) S曲=2лrh=л(a2+h2) a2=h(2r-h) V=(3a2+h2)лh/6 =(3r-h)лh2/3 四、球缺体积计算公式： V =1/6 π h（3r^2+h^2) = π h^2 (R-h/3) 五、几何公式推导 圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝S底×h 长方体的体积公式：体积=长×宽×高 如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则 长方体体积公式为：V长=abc 正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长． 如果用a表示正方体的棱长，则 正方体的体积公式为V正＝a·a·a＝a³ 锥体的体积=底面面积×高÷3 V 圆锥＝S底×h÷3 台体体积公式:V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3 圆台体积公式:V=(R²+Rr+r²)hπ÷3 球缺体积公式＝πh²(3R-h)÷3 球体积公式：V＝4πR³/3 棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×ｌ（ｌ为侧棱长,h为高) 棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。 ------ 几何体的表面积计算公式

圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 圆锥体: 表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝ a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝(a+b)h/2＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd ＝2πr S＝πr2＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋ 2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形 l－弧长 S＝r2/2·(πα/180-sinα) b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 h－矢高＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 r－半径＝r(l-b)/2 + bh/2 α－圆心角的度数≈2bh/3 圆环 R－外圆半径 S＝π(R2-r2) r－内圆半径＝π(D2-d2)/4 D－外圆直径 d－内圆直径椭圆 D－长轴 S＝πDd/4 d－短轴

完全平方公式典型例题

典型例题 例1利用完全平方公式计算： （1）；（2）；（3）． 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算． 解：（1）； （2）； （3）． 说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在 进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现的错误． 例2计算： （1）；（2）；（3）． 分析：（2）题可看成，也可看成；（3）题可看成，也可以看成，变形后都符合完全平方公式． 解：（1） （2）原式 或原式 （3）原式 或原式

说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用． 例3用完全平方公式计算： （1）；（2）；（3）． 分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式为公式中a，为公式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把化为再利用和的平方计算；第（3）小题，可 把任意两项看作公式中a，如把作为公式中的a，作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算． 解：（1） = （2） = （3） = 说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：， ． 例4运用乘法公式计算： （1）；（2）； （3）． 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项，和互为相反数的项b，所以先利用平方 差公式计算与的积，再利用完全平方公式计算；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为，再利用乘法公式计算．解：（1）原式= （2）原式= = （3）原式= =．

说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的． 例5 计算： （1）；（2）；（3）． 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式． 解：（1）； （2） ； （3） ． 说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．

立体角、空间角及发光角计算公式

立体角、空间角及发光角计算公式 摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0引言 光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。 式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr 。 但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。 1立体角的定义 将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω= 2r A 图1平面角（单位：弧度rad ） 图2立体角（单位：球面度sr ） 2立体角的计算 设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。设0<2α<π，0<2β<π 不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。 图3 计算示意图 曲面面积计算公式为： A= ?? ??+??+D y z x z 2 2)()( 1dxdy （1） 上半球球面方程为： Z=2 21y x -- （2）

由 x z ??=221y x x --- （3） 221y x y y z ---= ?? （4） 得 222211)()( 1y x y z x z --=??+??+ （5） 代入（1）式得： A= ?? --D y x dxdy 2 2 1 (6) 利用极坐标，得： A= ?? -D r rdrd 2 1θ (7) 易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为： α 2 2sin x +y 2 =1 (8) x 2 +β 22sin y =1 (9) 交点坐标（ βαβα22sin sin 1cos sin -, β αα β22sin sin 1cos sin -) φ1=arctg αβ tg tg (10) φ2=arctg β α tg tg (11) 将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α 22 2sin cos sin 11Φ+ Φ= r (12) β 22 2sin sin cos 12Φ+ Φ= r (13) 图4 xy 面投影

完全平方公式与平方差公式

第1课时完全平方公式 1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点) 2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点) 一、情境导入 计算： (1)(x＋1)2; (2)(x－1)2； (3)(a＋b)2; (4)(a－b)2. 由上述计算，你发现了什么结论？ 二、合作探究 探究点：完全平方公式 【类型一】直接运用完全平方公式进行计算 利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2. 解析：直接运用完全平方公式进行计算即可． 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.

方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题 【类型二】构造完全平方式 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值． 解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m 的值． 解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy ＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】运用完全平方公式进行简便计算 利用完全平方公式计算： (1)992; (2)1022. 解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801； (2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404. 方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第13题

眩光值计算

在建筑室内照明中眩光的出现是令人烦恼的问题。眩光乃是一种视觉条件，产生眩光的原因是由于视野内亮度分布不适当或由于亮度的变化幅度太大，或由于空间或时间上存在着极端的对比，以致引起不舒适或降低观察物体的能力，或同时产生这两种现象。 根据眩光对视觉功能的影响，可以分为失能眩光或不舒适眩光。前者引起对于视看物的视觉障碍，在生理上使视觉器官受到影响，因此，有人称它为生理眩光。后者是长期在它的作用下会感觉到不舒适，在心理上产生不良感觉，因此，有人称它为心理眩光。显示器的眩光危害既包括失能眩光，又包括不舒适眩光。 根据眩光形成的方式，还可分为直接眩光、间接眩光、反射眩光等。直接眩光是正在观察物体的方向或接近于这一方向存在发光体时所引起的眩光。间接眩光是不在观察物体方向存在发光体时所引起的眩光。这些眩光时常出现于室内照明中。显示器屏幕光线属于直接眩光、外部光线属于间接眩光或反射眩光（反射在屏幕上后）。 眩光对于生理和心理有严重的危害性，而且对于劳动生产率也有明显的影响。眼睛在视野内遇到非常强烈的光或光不太强而背景很暗，这时会引起可见度降低，以致于难以看到物体；还会引起眼睛流泪、痛疼，甚至眼脸痉挛等，前一效应称为眩目，后一效应称为羞明。此外，眩光还可引起视觉疲劳。（显示器收看内外光线反差危害的主要依据） 眩光对于心理有着明显的作用，影响着人们的情绪，给人不舒适的感觉。眩光的心理作用要受到个人差别的影响，而且与性别、年龄、环境、职业、习惯等因素有关。 此外，根据国外照明专家的研究结果证明，眩光对劳动生产率也有明显的影响，使劳动生产率下降。 本文着重对国际照明委员会制定的“室内照明的不舒适眩光”——CIE统一眩光值(UGR)予以介绍。 1 CIE关于室内照明的不舒适眩光 1979年以前，国际上尚无统一的眩光计算式，但是照明技术的飞速发展，要求眩光计算和评价有统一的方法，并可用计算机编排程序。在各国的眩光计算式尚未统一之前，CIE在1975～1979年间，曾探讨在各国的眩光限制系统中可取得一致的计算公式，进而发现北美的计算公式与英国的计算公式有很好的一致性。于1978年南非的艾因霍恩(Ein-horh)在综合各国眩光计算公式的基础上，提出了一个可行的数学折衷的公式，在1979年的19届CIE大会上得到与会者的赞同，并要求在其后的实践中加以验证，其公式为： 该公式作为CIE TC3.4的工作成果，并在CIE55号(1983年)出版物中发表。但此公式只是一个过渡性公式，由此公式开发一个实用的眩光评价系统有一定的难度，因此需对公式做一些简化。后来的CIE TC3．13认为如下的统一眩光值(UGR)函数式是方便的。

遥感10复习资料全

1.可见光遥感，热红外遥感，微波遥感各自的优缺点是什么？ 可见光遥感优点：1，空间分辨率高2，所获取的信息记录在影像上比较直观，分析翻译也比较容易。 缺点：不具有全天时【只能白天工作】，全天候【不能透过云雾】工作能力 热红外遥感优点：1、空间分辨率较高2、具有全天时工作能力，夜间能工作 缺点：不能透过云、雾、雨、雪等天气 微波遥感优点：1，具有全天候，全天时工作能力2，较易于实现主动式遥感3具有穿云透雾的能力缺点：1，空间分辨率较低【合成孔捷雷达除外】一般为数十几至数百公里2，所获取的资料分析解释比较复杂 2.何谓遥感？何谓遥感平台和遥感器（传感器）？ 遥感的定义：利用可见光，红外，微波等电磁辐射探测仪器，不与探测目标相接触，从远处把海洋，陆地和大气的信息(物体、表面或现象)的电磁波特性记录下来。通过分析，揭示其特征性质及变化的综合性探测技 术。 遥感平台：装载传感器的平台称遥感平台。根据运载工具的类型，可分为航天平台，航空平台和地面平台。根据服务内容，航天遥感平台分为：气象卫星系列，陆地卫星系列，海洋卫星系列。 传感器（遥感器）：接收、记录目标物电磁波特征的仪器。 3.何谓雷达和侧视雷达？ 雷达：无线电测距和定位。其工作波段大都在微波范围，少数也利用其他波段。按工作方式可分为成像雷达和非成像雷达。成像雷达又可分为真实孔径侧视雷达和合成孔径侧视雷达。雷达是由发射机通过天线在很短的时间内，向目标地物发射一束很窄的大功率电磁波脉冲，然后用同一天线接收目标地物反射的回波信号而进行显示的的一种传感器。 侧视雷达：它的天线不是安装在遥感平台的正下方，而是与遥感平台的运动方向形成角度，朝向一侧或两侧倾斜安装，向侧下方发射微波，接收回波信号（包括振幅，位相，极化等）的。这样，侧向发射范围可以设计的宽一些。有的机载侧视雷达两侧各可探测100km,同时，波束向侧下方发射可使不同地形显示出更大的差别，使雷达图像更具有立体感。 4.大气窗口？ 通常把电磁波通过大气层时较少被反射、吸收或散射的，透过率较高的波段称为大气窗口。 5.地球同步轨道？ 又称[高轨卫星]，轨道高度36000km左右，绕地球一周需24小时，卫星公转角速度和地球自转角速度相等，相对于地球似乎固定于高空某一点，故称作地球同步卫星或静止气象卫星。 6.太阳同步轨道？ 又称[极轨卫星]，轨道高度为800-1600km,南北向绕地球运转，对东西宽约2800km的带状地域进行观测。由于与太阳同步，使卫星每天在固定的时间（地方时）经过每个地点的上空，使资料获得时具有相同的照明条件。一日两次（对某一点而言），在极地地球观测濒繁。 7.何谓数字摄影成像技术，扫描成像技术，成像光谱技术？ 数字摄影成像技术：通过放置在焦平面的光敏元件，经过光/电转换，以数字信号来记录物体的影像。依据探测波长的不同又可分为近紫外摄影、可见光摄影、红外摄影、多光谱摄影等。 扫描成像技术：是依靠探测元件和扫描镜对目标地物以瞬时视场为单位进行的逐点、逐行取样，以得到目标地物电磁辐射特性信息，形成一定谱段的图像。其探测波段可包括紫外、红外、可见光和微波波段，成像方式有三种：光学/机械式扫描、固定自扫描成像、高光谱成像光谱扫描。 成像光谱技术：通常的多波段扫描仪将可见光和红外波段分割成几个到十几个波段。对遥感而言，在一定波长范围内，被分割的波段数愈多，即波谱取样点愈多，愈接近于连续波谱曲线，因此可以使得扫描仪在取得目标地物的同时也能获得该地物的光谱组成。这种既能成像又能获取目标光谱曲线的“谱像合一”技术，称为成像光谱技术。 8.漫反射：是指不论入射方向如何，虽然反射率ρ与镜面反射一样，但反射方向却是“四面八方”。也就是说把反射出来的能量分散到各个方向，因此从某一方面看反射面，其亮度一定小于镜面反射的亮度。 9.辐射通量密度：辐射通量密度指单位时间内，单位面积上所接受的辐射能量。又称辐照通量密度。符号为E。通常用瓦·米表示。为辐射气候学和辐射测量学中的一个基本量。在气象学文献中又常被称为辐射强度（radiant intensity），但辐射强度严格地说应为辐射源单位立体角上在单位时间内所发射出的辐射通量 10.3s技术及作用？

完全平方公式(提高)知识讲解

完全平方公式（提高） 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，22 2a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 1、分解因式： （1）22363ax axy ay -+-； （2）42242a a b b -+； （3）22222 16(4)x y x y -+； （4）4224816a a b b -+． 【答案与解析】 解：（1）22222 3633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--． （2）42242222222()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-． （3）2222216(4)x y x y -+

立体角确定形状

三河市第七届青少年科技创新大赛科学论文评选 立体角决定形状——论棱柱 姓名：王泽远 单位：燕郊中学九年级九班 日期：11月15日

立体角决定形状——论棱柱 内容摘要： 平面封闭图形有自己的内角和，不同图形的内角和也不同。对于立体图形来说，它也有自己的“角度”，称之为立体角。不同立体图形立体角之和不同。本文从生活之中引入立体角概念，即一个锥面所围成的空间部分称为立体角。关于立体图形的形状，应敏感意识到是立体角之和决定的，本文便证明了这句话的正确性。立体角本是抽象概念，本文却另辟蹊径、别出心裁地将立体角和球面结合，使其形象化。于是以棱柱为敲门砖，推导出（n-2）/2这个公式，打开了立体角世界的大门，窥见立体图形的实质。 在我们生活中，随处可见各种各样的图形。尖尖的三角形，圆圆的球体，方方的立方体，扁扁的长方体。我们接触最多的应属立体的东西了吧？是的，我们生活在一个具有长度、高度、宽度的三维空间里，立体图形可谓是比比皆是。那么，到底是什么决定我们的外在形状呢？ 对于由线段组成的封闭平面图形来说，如果知道了它的内角和，我们便可以知道它的形状。如：内角和180度的图形是三角形，内角和360度的图形是四边形。而立体图形的形状也应是由它的“角度”决定的。 立体图形的“角度”必定和平面角度有所不同。也许你有这样的经历:我们在洗澡或玩吹泡泡游戏时，泡泡正好落在角落里，想想看，这时它已不再是一个球体，倒像是被切了几刀的西瓜。这就是所谓的立体图形的“角度”吗？由于不是初中范围内的知识，先抛开名称的对错，暂且称之为“立体角”。从此事中可以窥见立体角的概念：“一个锥面所围成的空间部分称为立体角。”立体角是以锥的顶点为球心，半径为单位“1”的球面被锥面所截得部分的面积来度量的。如此来说，把这个立体角单拿出来，就可以和球面做一些比较了。 形象的来讲，把泡泡吹在规整的墙角，它就像被切了三刀的球体。如图：每一条棱之间的平面角是90度，就像被横着切1/2，然后竖着切1/2，最后纵着切1/2。如文末图1。相对于一个完整的球面来说，它的立体角是：1/2×1/2×1/2=1/8个球面。我们再来看看一个长方体。它有8个像这样的角，那么就是1/8×8=1个球面。也就是说，在每个角吹一个泡泡，把它拿出来再拼在一起，正好拼成一个球！

光度的定义 Definition of luminous intensity

光度的定义 Definition of luminous intensity Luminous intensity 光度-表示符号I ，单位烛光candela (cd) 光度的定义 Definition of luminous intensity 光度是指某一特定方向角内每秒所放射光的量，表示符号是I，而单位是烛光(cd)。光度可定义成：某一特定方向角内放射出的量(光通量)。 由此，将带给我们有关立体角和它的"球面度steradian"单位的概念；这个立体角是可由一个顶点与圆锥体的曲面所环绕空间大小所度量出来。 一般而言，光源的光束并不是平均地向四面八方放射，而是向某一特定方向投射；假设，我们想象某一狭窄角度的圆锥体的顶点是一光源所在，再让光束平均地投射出来，而光束是经由一个小孔延着立体角投射并形成一个圆锥体，该光源的强度就称作光度 (I)，其单位是烛光(cd)，该圆锥体的中心线就是此光源的方向。 球面度可度量出立体角 A Steradian is a measure for a solid angle 立体角的尺寸大小如同平面角的角度或弧度；想象一个随意半径 (r) 的球面且含有以顶点为中心的圆锥体，这小半个球体表面是由圆锥体所环绕的并对应该圆锥体的立体角(w)所形成；假若此小半个球体表面积等于半径的平方(r2)，而对应于该立体角的就被叫作 "球面度 steradian"，所以，假设该小半个球体表面

积不等于半径的平方(r2) 时，该面积将等于A ，而这立体角球面度。 整个球体就包含了4p球面度A whole sphere contains 4p steradians 最大的立体角将会含盖了一整个球体，而一个半径 r的球体的表面积是4pr2 ，这立体角将等于是球面度；因此半个球体将包含2p steradians球面度。 有关光度的概念在照明科技非常重要，就如一般照明设备是无法平均地向四面八方投射。这部份要非常谨慎小心处理；当以观赏者而言某些角度投射是比较重要的，其它多余的光源就必需避免〈眩光问题！〉。所以，针对光源或灯具的光度投射规划，安排恰当的投射方向与投射范围将可提升光源效率。