高观点下的中学数学《期末考核》--高等数学背景下的导数问题
高等数学背景下的导数问题
J13207 王鹏程
随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。导数部分内容就丰富了很多。如指数函数、对数函数及分是函数的求导就使得我们的研究范围不仅仅局限在多项式函数主要是三次函数的系列问题。我们还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调性、极值点，作出函数的示意图，通过直观化解决超越函数的有关问题。另外，随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件……虽然高考考试没有要求学生掌握但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。
一、函数的拐点问题
例1（2007湖南文21）已知函数3211()32
f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）略；
（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．
解析：（II ）思路一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32
y a b x a =++--， 因为切线l 在点(1())A f x ，处过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．
而()g x 321121(1)3232
x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．
若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．
所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3
f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322
a x x x a =-++-+．
因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．
当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；
或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ????=++-+ ? ??
???
，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．
由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =?++
=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3
f x x x x =-- 点评 本题中“l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象”实际上是指点A 处是函数的拐点。 有关拐点的问题，在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数3x y =。在0=x 处虽然导函数值为0，但不是极值点，左右两边的单调性相同。从数来看，0=x 使导函数所对应方程的偶次重根。所以本例中可知1=x 是0)('=x
g 重根。
二、函数的凸凹性
例2.)1ln()1()(++=x x x f 若对所有的x 都有ax x f ≥)(成立，则实数a 的取值范围是_____. 解析：,
设.)1ln()1()()(ax x x ax x f x F -++=-=则a
x x F -++=1)1ln()(' , 由,0)('=x F 得1-=a e x 。注意到F(0)=0，若在定义域有极值则比在区间(0,+∞)外.即
另解：
f(x)的示意图如图，由图可知直线y=ax 在区间(0,+∞)上恒在
y=f(x)图像下方，所以a ≤1.
点评：本题注意)(x f 的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带来一个问题：虽然可以证明函数是单调递增函数，但是递增的形式是类似3x y =还是类似x y ln =即函数的凸凹性。我们也可以通过再求导，探讨切线斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。
三、拉格朗日中值定理
例3.(南通2008第二次调研考试.19) 已知函数).1,0(log )(,22
1)(2≠>=-=a a x x g x x x f a 如果)()()(x g x f x h +=是增函数，且)('x h 存在零点（)('x h 为)(x h 的导函数。
（1）求a 的值； （2）设))(,(),,(212211x x y x B y x A <是函数)(x g y =的图像上两点，1
2120)('x x y y x g --=的导函数。证明：.201x x x << 解析：（1）略。a=e 。 （2）由（1）得1212121200ln ln 1)(',1)(',ln )(x x x x x x y y x x g x x g x x g --=--==∴=
= 即1
2120ln ln x x x x x --=. 1212122212121221212202ln ln ln ln ln ln )()ln (ln ln ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--=----=---=-将2x 换成x 构造函数11ln ln )(x x x x x x x H +--=，定义域为),(21x x x ∈
则1ln ln )('x x x H -=， ),(21x x x ∈0)('>∴x H 即)(x H 在定义域),(21x x 上单调增， 0)()(1=>∴x H x H 。即.02x x >同理可证.01x x <
点评：本道题目背景是拉格朗日中值定理中值定理：若函数)(x f 是在闭区间[a,b]上连续
不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则(a,b)至少存在一点0x ，使得a
b a f b f x f --=)()()('0。而我们解决这一问题的手段是通过构造函数，利用导数证明单调性，从而求证不等式。我们学过的指数、对数函数，正弦、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理。仿照例3，请尝试证明下面题目。
1、 证明:当0 a b a b b a b -<<- 2、 已知函数0,,,)(23≠∈+=m R n m nx mx x f 的图像（2，)2(f ）处的切线与a 轴平 行。 （1） 求m,n 的关系式并求f(x)单调递减区间； （2） 证明对于任意实数,1021<< 212)()()(x x x f x f x f ---在),(21x x 恒有实数解。 例4.函数.,2)(3R x x x x f ∈++=a=0时，曲线)(x f 的切线斜率范围记为集合A ，曲线)(x f 上不同两点),(),,(2211y x Q y x P ，连线斜取值率范围记为集合B ，你认为集合A 、B 之间有怎样的关系，并证明你的结论。 解析：A B ? 2)(3++=x x x f 有113)('2≥+=x x f 故),1[+∞∈A 设PQ 斜率为k ，则2 12132312121)()()()(x x x x x x x x x f x f k --+-=--= =1222121+++x x x x =14 3)2(22221+++x x x 21x x ≠ 故若,02=x 有.02121≠=+ x x x 若,0221=+x x 有,0221≠-=x x 得02≠x ∴14 3)2(22221+++ x x x 1>，即k>1.),1(+∞=∴B . A B ?∴ 点评：注意到割线k 的表示形式)(')()(02 121x f x x x f x f k =--=， ?∈),(210x x x 定义域D ，联系拉格朗日定理，易证若A k B k ∈?∈.可将本题推广到任意曲线割线斜率的范围组成的集合B 是切线范围组成集合A 的子集这一结论。 下面一题就很容易了。 已知函数b ax x x f ++-=23)(，求证：若)(x f y =图像上任意不同两点连线的斜率都不大于1，则.33≤≤-a 一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 (高等数学)第四章导 数的应用 第四章导数的应用 第一节中值定理 一.费马定理 1.定义1.极值设函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内对一切?Skip Record If...?有 ?Skip Record If...?或（?Skip Record If...?）， 则称?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处取得极大值（或极小值）；并称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点）. 注意：极大值、极小值在今后统称为极值； 极大值点、极小值点在今后统称为极值点； 2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内有定义，且在?Skip Record If...?处可导,若 ?Skip Record If...?为极值，则必有：?Skip Record If...?. 证明：不妨设?Skip Record If...?为极大值。按极大值的定义，则?Skip Record If...?的某个邻域，使对一切此邻域内的?Skip Record If...?有?Skip Record If...?--------------（1） 所以，?Skip Record If...? ?Skip Record If...?--------（2） 又因为?Skip Record If...?存在，所以应有?Skip Record If...?---------（3） 故，由（2）式及（3）式，必有?Skip Record If...?. 1．注意：使?Skip Record If...?的点?Skip Record If...?可能为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：?Skip Record If...? 专题十 基础知识 关于高阶导数，有： （1）几个常见的高阶导数公式 )2sin()(sin )(π?+=n x x n ，)2 cos()(cos )(π ?+=n x x n 1)(!)1()1(+-=n n n x n x ，1)1(!)1()(ln ++-=n n n x n x )1()!(!)()(n k x k n n x k n k n ≤≤-=-，)(0)()(n k x k n >= （2）分段函数在分段点处的二阶导数 （3）莱布尼兹公式：设函数u ，v 皆n 阶可导，则 )()1(1)()()1(1)()()(n n n n k k n k n n n n n uv v u C v u C v u C v u uv +'++++'+=----ΛΛ )()(0k k n n k k n v u C -=∑= （实际上就是二项式定理） （4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及） 例题 1. 设?????=≠=0 ,10,sin )(x x x x x f ，求)0(f ''。 解：x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ x x x x 1sin lim 0-=→ 20sin lim x x x x -=→ x x x 21cos lim 0-=→ x x x 221lim 20-=→ 0= 故 ?????=≠-='0 ,00,sin cos )(2x x x x x x x f 于是 x f x f f x )0()(lim )0(0'-'=''→ x x x x x x 0sin cos lim 20--=→ 30sin cos lim x x x x x -=→ 203cos sin cos lim x x x x x x --=→ 203sin lim x x x x -=→ 3 1-= 2. 已知x x f 2cos )(=，求)0()2(n f 。 解：由)22cos(2)()(π ?+=n x x f n n 知 n n n n n f 4)1()2 20cos(2)0(2)2(?-=?+=π 3. 已知2 31)(2+-=x x x f ，求)3()(n f 。 解：1121)2)(1()2()1(2 31)(2---=-----=+-=x x x x x x x x x f 由公式1)(!)1()1(+-=n n n x n x 知 )()()1 121()(n n x x x f ---= )()()11()21(n n x x ---= 1 1)1(!)1()2(!)1(++-----=n n n n x n x n ])1(1)2(1[ !)1(11++----=n n n x x n 故 高等数学中导数的求解及应用 摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导 数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着 承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求 解方法和在实际中的应用。 关键词：高等数学导数求解应用 导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习 导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如 何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子 说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。 一、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量 为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）- f（x0）。 若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记 为f`(x0)。 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处 的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数 为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线 y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义 并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。 二、导数的应用 1.实际应用 假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的 可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的 函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时 的产量。 解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和： 总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量） 总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用 如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无 穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商” 1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ）． ]1,1[,)()](2 ,23[,sin )()](4,2[,)4()()](0,2[,1)()(2-=-=--=-= x x f D x x f C x x f B x x f A π π 2、函数f(x)=sinx 在[0，π]上满足罗尔定理结论的ξ=（ ）． （A ） 0（B ） 2 π（C ）π （D ）23π 3、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理条件的是（ ）． （A ）)ln(ln x （B ） x ln （C ）)2ln(x - （D ） x ln 1 4、函数f(x)=2x 2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日定理的ξ等于（ ）． (A) 4 3- (B)0 (C) 43 (D) 1 5、函数x x y 4 + =的单调减区间为（ ）． (A)(,2),(2,)-∞-+∞ (B) )2,2(- (C) (,0),(0,)-∞+∞ (D) (2,0),(0,2)- 6、若x 0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是（ ）． (A) 0)(0='x f (B) 0)(0≠'x f (C) )(0x f '不存在 (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 7、若在（a ，b ）内，0)(,0)(<''<'x f x f ，则f(x)在（a ，b ）内为（ ）． (A)单调上升而且是凸的(B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的 8、曲线29623++-=x x x y 的拐点是（ ）． （A ）（1，6）（B ） （2，3）（C ） （2，4）（D ） （3，2） 9、()y f x =在(a,b)内可导，且12a x x b <<<，则下列式子正确的是（ ）． （A ）在12(,)x x 内只有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立； （B ）在12(,)x x 内任一点ξ处均有2121()()()f x f x f x x ξ-'=-成立；（C ）在1(,)a x 内至少有一点ξ，使 11()() ()f x f a f x a ξ-'=-成立； （D ）在12(,)x x 内至少有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立． 10、求下列极限时，（ ）可用罗必达法则得出结果． （A ）sin lim sin x x x x x →∞- +；（B ）22sin lim x x x →∞； （C ）lim x →+∞； （D ）lim (arctan )2x x x π→+∞-． 11、下列命题中正确的是（ ）． （A ）若0x 为()f x 的极值点，则必有0()0f x '=；（B ）若0()0f x '=，则0x 必为()f x 的极值点； （C ）若()f x 在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值； 第9次课2学时 第二章导数与微分 导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。 §2、1导数的概念 一、 引例 1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。 设曲线方程为 )(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线 在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求 得PQ 的斜率为： 0) ()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→。 若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。 2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时， 位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？ 为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度 为 00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用0 0) ()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当 0t t →时， 0) ()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时， 二、导数的定义 综合上两个问题，它们均归纳为这一极限0 0) ()(lim x x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的 增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。 定义：设函数 )(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ?（x x ?+0仍 在该邻域中）时，函数相应地有增量y ?，若增量比极限：x y x ??→?0lim 即0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→存在，就称函数 y f x =（）在x 0处可导，并称这个极限值为)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '， 0x x y ='， x x dx dy =或 x x dx df =。 即0 00) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='→等等，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，导数存在。 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ． 第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函 数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性； 4、洛必达法则。 教学难点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法； 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )至少在一点 , 使得f '()=0. 简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点∈(a , b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →- ξξξξξx f x f f f x , 0) ()(lim )()(≤--='='+ →+ ξ ξξξξx f x f f f x , 第四章 中值定理与导数的应用 习题4-1 1、验证下列各题,确定ξ的值： (1)对函数x y sin =在区间]65,6[ π π上验证罗尔定理； 解：显然]6 5, 6[ sin )(π πC x x f y ∈==,)65,6()(π πD x f ∈， 且2 1 )65( )6(==ππ f f ,可见罗尔定理条件成立； 而x x f cos )(=',取)65,6(632ππππξ∈= =,有02 cos )(=='π ξf , 所以罗尔定理结论成立. (2)对函数2642 3 --=x x y 在区间]1,0[上验证拉格朗日中值定理； 解：显然]1,0[264)(2 3 C x x x f y ∈--==,)1,0()( D x f ∈， 可见拉格朗日中值定理条件成立；而 2)2(40 1) 0()1(-=---=--f f , x x x f 1212)(2-=',令 212122-=-x x ,得 6 3 312243662,1±=-±= x , 取)1,0(6 3 3∈+=ξ,有01)0()1()(--= 'f f f ξ, 所以拉格朗日中值定理结论成立. (3)对函数3 )(x x f =及1)(2 +=x x g 在区间]1,0[上验证柯西中值定理. 解：显然]1,0[)(),(C x g x f ∈,)1,0()(),(D x g x f ∈, 且02)(≠='x x g ,)1,0(∈x ,可见柯西中值定理条件成立； 令x x x x g x f g g f f 2 3 23)()(11201)0()1()0()1(2==''==--=--,得32=x , 高等数学中导数的求解及应用 导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。 一、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）-f（x0）。 若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim =lim 存在，就称此极限为该函数y=f （x）在点x0的导数，且有函数y=f（x）在点x=x0处可导，记为f`（x0）。 2.导数的几何意义 函数y=f（x）在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f（x）在点〔x0，f（x0）〕处的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f（x）在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y=f（x）的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f（x）在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f（x）在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。 二、导数的应用 1.实际应用 假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时的产量。 解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和： 总成本的函数c（x）=0.01x2+10x+1000 总收入的函数r（x）=px=30x（常数p是产品数量） 总利润的函数i（x）=r（x）-c（x）=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入r（x）γ=30 边际成本c（x）=0.02x+20 边际利润i（x）=-0.02x+20 令i（x）=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用 如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与f（x）都趋于零或都趋于无穷大，那么极限lim 可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用商的极限等于极限的商这一重要法则。下面我们会得出这一类极限的一种简便并且很重要、很实用的方法。 定理1，设： （1）当x→a时函数f（x）及f（x）都趋于零； （2）在点a的某去心领域内，两个函数f（x）与f（x）的导数都存在且f（x）的导数不等于零； （3）当x→a时函数f（x）的导数与函数f（x）的导数比的极限存在（或为无穷大）； 那么lim 的极限存在就等于函数f（x）的导数与函数f（x）的导数比值在x→a时的导数。这种在一定的条件下通过运用分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法就称为洛必达法则。 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。 （ ） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。 （ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。 （ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。 （ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。 （ ） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。 （ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （ ） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。 （ ） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。 （ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。 （ ） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。 （ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。 （ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。 （ ） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。 （ ） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。 （ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。 （ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。 （ ）高数导数的应用习题及答案
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