(浙江专版)201X年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学案 新人
3．1.2 复数的几何意义
预习课本P104～105，思考并完成下列问题 (1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？
(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？
[新知初探]
1．复平面
2．复数的几何意义
.
3．复数的模
(1)定义：向量OZ ―→
的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2
＋b 2
(r ≥0，r ∈R)． [点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是
z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知复数z ＝i ，复平面内对应点Z 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(1,1)
答案：A
3．向量a ＝(1，－2)所对应的复数是( ) A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2i D ．z ＝－2＋i
答案：B
4．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝________. 答案： 5
复数与点的对应关系
[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a ＋3
＋(a 2
－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z
满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．
[解] (1)点Z 在复平面的第二象限内，
则?????
a 2
－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，
解得a ＜－3.
(2)点Z 在x 轴上方，
则?
??
??
a 2
－2a －15＞0，a ＋3≠0，
即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3. [一题多变]
1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z 表示的点在x 轴上时，实数a 的值． 解：点Z 在x 轴上，所以a 2
－2a －15＝0且a ＋3≠0， 所以a ＝5.
故a ＝5时，点Z 在x 轴上．
2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，求实数a 的值． 解：因为点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，
所以a 2－a －6a ＋3
＋a 2
－2a －15＋7＝0，
即a 3
＋2a 2
－15a －30＝0，
所以(a ＋2)(a 2
－15)＝0，故a ＝－2或a ＝±15. 所以a ＝－2或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上．
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)可以用复平面内的点Z (a ，
b )来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
复数的模
[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2i
D ．1＋2i 或－1－2i
(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得 a 2
＋4a 2
＝5，
解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2
＋4＜5，即a 2
＋4＜5，所以a 2
＜1， 即－1＜a ＜1.
[答案] (1)D (2)B
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． [活学活用]
1．如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |＜2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)
D ．(－3，3)
解析：选D 因为|z |＜2，所以1＋a 2
＜2，则1＋a 2
＜4，a 2
＜3，解得－3＜a ＜ 3. 2．求复数z 1＝6＋8i 与z 2＝－1
2－2i 的模，并比较它们的模的大小．
解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82
＝10，
|z 2|＝ ? ??
??－122＋－22
＝32.∵10>3
2
，∴|z 1|>|z 2|.
复数与复平面内向量的关系
[典例] 向量OZ 1对应的复数是5－4i ，向量OZ 2对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1―→＋OZ 2
―→
对应的复数是( )
A ．－10＋8i
B ．10－8i
C ．0
D ．10＋8i
[解析] 因为向量OZ 1―→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2―→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1―→
＝(5, －4)，所以OZ 2―→＝(－5， 4) ，所以OZ 1―→＋OZ 2―→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1―→＋OZ 2―→
对应的复数是0.
[答案] C
(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z －z 1|表示点Z 到点Z 1之间的距离．如|z －i|＝1表示点Z 到点(0,1)之间的距离为1.
[活学活用]
在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．
z 1＝1－i ；z 2＝－12＋
3
2
i ；z 3＝－2；z 4＝2＋2i. 解：在复平面内分别画出点Z 1(1，－1)，Z 2－12，3
2
，
Z 3(－2,0)，Z 4(2,2)，则向量OZ ――→1，OZ 2，OZ ――→3，OZ
4分别为复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量，
如图所示．
各复数的模分别为：|z 1|＝12
＋－12
＝2；
|z 2|＝ ? ????－122＋? ??
??322＝1；
|z 3|＝
－2
2
＝2；|z 4|＝22＋22
＝2 2.
层级一 学业水平达标
1．与x 轴同方向的单位向量e 1与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是( )
A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数i
B ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数i
C ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－i
D ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－i 解析：选A e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．
2．当2
3＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D ∵2
3＜m ＜1，∴3m －2＞0，m －1＜0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．
3．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)
D ．(1,5)
解析：选B |z |＝a 2
＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2
＋1＜5，∴|z |∈(1，5)． 4．在复平面内，向量AB ―→对应的复数是2＋i ，向量CB ―→
对应的复数是－1－3i ，则向量CA ―→
对应的复数为
A.1－2i
B.－1＋2i
C.3＋4i
D.－3－4i
解析：选D 由题意知AB ―→＝(2,1)，CB ―→ (－1，－3)CA ―→＝CB ―→＋BA ―→
＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，
∴CA 对应的复数为－3－4i.
5．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2
B ．－2cos α2
C ．2sin α
2
D ．－2sin α
2
解析：选B |z |＝
1＋cos α
2
＋sin 2
α＝2＋2cos α＝
4cos
2
α
2＝2|cos α
2
|.∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，cos α2＜0，于是|z |＝－2cos α
2
.
6．在复平面内，O 为坐标原点，向量OA ―→对应的复数为－2－i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB ―→对应的复数为________．
解析：复数－2－i 对应点A (－2，－1)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (1,2)， ∴OB ―→
―→对应的复数为1＋2i. 答案：1＋2i
7．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是________． 解析：∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)， ∴tan α＝－1－03－0
＝－33(0≤α＜π)，∴α＝5π6.
答案：5π6
8．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z ＝________.
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z i ＝1－i ，得(a ＋b i)i ＝1－i ，即－b ＋a i ＝1－i.
由复数相等的充要条件得???
?
?
－b ＝1，a ＝－1，
即???
?
?
a ＝－1，
b ＝－1.
∴z ＝－1－i. 答案：－1－i
9．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z . 解：∵z 为纯虚数，∴设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)， 又|－1＋i|＝2，由|z －1|＝|－1＋i|， 得 a 2
＋1＝2，解得a ＝±1，∴z ＝±i. 10．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2
＋2m －3)i(m ∈R)． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；
(3)若在复平面内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 解：(1)∵z 为实数，∴m 2
＋2m －3＝0， 解得m ＝－3或m ＝1. (2)∵z 为纯虚数，
∴????? m m －1＝0，
m 2
＋2m －3≠0.
解得m ＝0.
(3)∵z 所对应的点在第四象限，
∴?
????
m m －1＞0，m 2
＋2m －3＜0. 解得－3＜m ＜0.
故m 的取值范围为(－3,0)．
层级二 应试能力达标
1．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R)对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应点的点在第二象限，故选B.
2．复数z ＝(a 2
－2a )＋(a 2
－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1
B ．a ≠2且a ≠1
C ．a ＝0
D ．a ＝2或a ＝0
解析：选D ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2
－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.
3．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选A ∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴???
??
x ＋y ＝3，
x －y ＝－1，
解得???
??
x ＝1，y ＝2，
∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限．
4．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )
A ．4＋5i
B ．5＋4i
C ．3＋4i
D ．5＋4i 或15＋325
i
解析：选D 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由条件得，?????
x －12
＋
y －2
2
＝20，
x 2＋y 2
＝41.
∴
????
?
x ＝5，y ＝4
或?????
x ＝1
5，y ＝32
5.
故选D.
5．若z ＝a －i(a ∈R ，且a ＞0)的模为2，则a ＝________，复数z 的共轭复数z ＝________.
解析：∵a 2
＋－12
＝2，且a ＞0，∴a ＝1，则z ＝1－i ，∴z ＝1＋i.
答案：1 1＋i
6．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 解析：由模的计算公式得 x －2
2
＋y 2
＝22，
∴(x －2)2
＋y 2＝8. 答案：(x －2)2
＋y 2
＝8
7．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．
解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知???
??
x ＝a ＋3，
y ＝b －2，
∴?
??
??
a ＝x －3，
b ＝y ＋2. ①
∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2
＋b 2
＝4. 将①代入得(x －3)2
＋(y ＋2)2
＝4.
∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．
8．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋3
2i.
(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；
(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 解：(1)|z 1|＝ 3
2
＋12
＝2，
|z 2|＝
? ??
??－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.
因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
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