数列不等式综合题示例
数列不等式综合题示例
数列不等式综合题，是高考数学的常见试题. 这类试题，对数列方面的考查多属基础知识和基本技能的层级，而对不等式的考查，其中口径往往比较宽，难度的调控幅度比较大，有时达到很高的层级. 试题排序，靠后者居多，常以难题的面貌出现，对综合能力的考查深刻.
这类试题，时常以递推关系或间接的形式设定数列. 对数列的提问，多涉及通项、前n 项和或数列中的某些指定的参数，有时也会涉及多个数列. 至于有关不等工的提问，可以是含变量n 或其他参变量的不等式的证明或求解，抑或求某些量的取值范围，或者是不同量间的大小比较，等等. 试题的综合程度有时不大，有时很大，既有中低档次的题目，又有中高档次的题目，而且多数年份属于后者.
对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧. 下面借助若干实例，谈谈解答这类试题的个人点滴体验，希望有助考生理解.
例1 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n
（Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设122
3++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 分析 设定的数列}{n a 是满足0>n S 的一类等比数列，而不是确定的一个具体数列， 而不是确定的一个具体数列. 提出的两个问题都属于不等式问题. （Ⅰ）的求解可按等价关系建立关于q 的不等式，解之可得；也可对q 作分类讨论，再归纳出答案. （Ⅱ）的求解，可用差值法，也可用比值法.
（Ⅰ）的解：
方法一
因为q 是等比数列}{n a 的公比，S n 是数列的前n 项和，所以0≠q ，且
??
???≠--==.1,1)1(,1,11?q ?????q q a ?q ?????????na S n n 当当 因此，),2,1(0 ????
n S n =>等价于：01>a 且下列条件之一成立： ①q =1； ②??????n q ?q ?q n ?????=<-<-≠;),2,1(01,01,0 ③??
???=>->-≠.),2,1(01,01,0????n q ?q ?q n
解不等式组②得：1>q ；解不等式组③得：01<<-q 或10< 综合得q 的取值范围为),0()0,1(∞+?-????. 方法二 根据等比数列性质，在题设下，必有 ?S a 011>=，公比0≠q . 当1-≤q 时，0)1(12≤+=q a S ； 当1||0< ),2,1(01)1(1 ????n ???????????q q a S n n =>--=； 当q =1时，),2,1(01 ????n ? ??????na S n =>=. 综合得q 的取值范围为),0()0,1(∞+?-????（Ⅱ）的解： 方法一 ∵)2 3(23221q q a a an bn n n -=- +=+， ∴)23(2q q S T n n -=， .),2,1(,)2 1)(2()123(2?????n ??????q q S ???????q q S S T n n n n =+-=--=- 因为1,0->>?q ? S n 且0≠q ，所以得： 对任意正整数n ，有： 若211- <<-q 或2>q ，则0>-n n S T ，即n n S T >； 若02 1<<-q 或20< 1-=q 或q =2，则0=-n n S T ，即n n S T =. 方法二 ∵11-=n n q a a ，)2 3(231111-=-=+q q a q a q a b n n n n ，∴)23(-=q q S T n n ， ∵1232=-q q 的两根为2 1-和2， ∴?????????-<<-<>-<>=-==-.2211,2211, 2211232?a ?????????????q q ????????????q q ?? ?????????q q 当或当或当 依题设),2,1(0 ???? n S n =>，且由（Ⅰ）知01<<-q 或0>q ，所以得：对任意正整数n ，有： 当;,221??S ?T q q n n ==-=时或 当;,2211??S ?T q q n n >>-<<-时或 当02 1<<-q 或20< （1）求取值范围，务必勿忘其充要性. 只顾必要性，忘了充分性，易使范围扩大；只顾充分性，忘了必要性，易使范围缩小. 上述（Ⅰ）的解法一，采用等价性陈述方式；解法二，采用了从必要性入手，再讨论充分性，然后综合得解. （2）对等比数列，前n 项的和S n 依赖于a 1和q 的两上参量. 由前述讨论可见：使),2,1(0 ????n S n =>的充要条件为a 1>0且}01|{≠->∈q q q q 且. 因此，严格地说，第（Ⅰ）问的完整答案似乎应为：在等比数列)(n a 中，01≠a ，而当01a 时，q 的取值范围为),0()0,1(∞+?-????. 不过，对该题也可作这样的理解：在题设下，不可能出现01≤a 的情况，而第（Ⅰ）问要求的只是q 的取值范围. 所以前述的解答也算完整. （3）上述（Ⅱ）的两个解法，差值法与比值法. 由于Tn 与S n 仅相差一个因子（q 的二次式），所以两法几乎没有本质差别，只是陈述表达形式有所不同. 在前述的解法中，都应用了等比数列和二次函数式（方程）的基本知识，但具体的知识点有所差别，有的是最基础的入门知识，有的是经过派生的常用性质. 学会灵活运用基本知识解题，减少记忆量，提高活用技能，是解题训练的一项重要任务. （4）本题虽属中低档题，但也具备相当的综合性，展现了高考试题的常见特点. 例2 设数列{}n a 的前n 项的和14122333 n n n S a += -?+， ?????n ,3,2,1= （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ； （Ⅱ）设2n n n T S =， ??????n ,3,2,1=，证明：132n i i T =<∑ 分析 取n =1，由已知等式即可求得a 1. 为求通项a n ，可先将已知条件化为关于a n +1与a n 的递推关系求解，也可先求S n ，再得a n . 至于不等式的证明，可将公式化简，进行论证. （Ⅰ）的解： 方法一 依设，得3 234111-= =a S a ，∴a 1=2. 当2≥n 时，n n n n n n a a S S a 231)(3411?--=-=--， 整理得)2(4211--+=+n n n n a a ，∴n n n n a a 4)2(4211=+=+-， 得通项.,3,2,1,24?????????n ? a n n n =-= 方法二 依设，得.,3,2,1,22431????????n ? a S n n n =--=+ 因为11a S =，所以24311-=a a ，得a 1=2. 当2≥n 时，n n n a S S =--1，∴)22()(4311n n n n n a a a ---=+-， 整理得.,4,3,2,241??????????n ?a a n n n ==-- ∴12 2211=?---n n n n a a 即有,2)12(2)12 (2121111??a a a n n n n n n =+=+=+--- 得通项.,3,2,1,24?????????n ? a n n n =-= 方法三 同上法得a 1=2， ??????????????n ?a a n n n ,4,3,2,241==-- ① ∴124412=+=a a ，)4(24211----=-n n n n a a a a ， 整理得 )2(4)2(42122211a a a a a a n n n n n -==-=----- 即有 ??????????n ? a a n n n ,3,2,42211=?=--- ② 由2×②－①得 ???????????n ?a n n n ,3,2,24=-= 当n =1时，该式也成立，所以，通项为 ??????n ?????????? ?a n n n ,3,2,1,24=-= . 方法四 因为11S a =，当2≥n 时1--=n n n S S a ，所以由题设得24311--S S ， 当2≥n 时，22)(4311+--=+-n n n n S S S . ∴14,221==?S ?S ， ??????????n ?S S n n n ,3,2,2241==+-- ① 从而，)24(224211+-=+----n n n n S S S S ， 即得 ,43 24332)322(4)322(43222122211?????????????S S S S S S n n n n n n n ?=?=+-==+-=+ ------ ∴ ?????n ??????????S S n n n ,3,2422631=?=+-- ② 由2×②－3×①，整理得 ?????????????n ?S n n n ,3,2,3 2243111=+-?=+- 该式对n =1也成立，从而得通项 )223(4 11-+=+n n n S a 即.,3,2,1,24?????????n ???????????a n n n =-= （Ⅱ）的证明： 方法一 ∵3 2231341+?-=+n n n a S ,)12)(12(3 2)2234(31111??n n n n --=+?-=+++ ∴,1211212321??S T n n n n n ?? ? ??---==+ .23121123121121231111??T n i n i n i i i ∑∑==++ ?---= 方法二 ∵n n n a 24-=， ∴2 12241441 1-----=++n n n S ,)12)(12(32)123122(321?n n n n --=+?-+= + 得 ????????????n ?S T n n n n n n ,3,2,1,) 12)(12(22321=--?==+ ∴,)3 11(23312231?T -=??= .)1511(23)1578711(23,)711(23)734311(2332121??T T T ?T T -=?+-=++-=?+-= + 猜测.)1 211(2311??T n i n i ∑=+--= （i ）当n =1时，上面已证明猜测成立； （ii ）假设当1≥=k n 时，猜测成立，即 ∑=+--=k i k i T 11)1 211(23， 则∑+=++++???? ??--+--=1 1211 1)12)(12(2121123k i k k k k i T ,)1211(23)12)(12(21212322112??k k k k k --=??? ? ??-----=+++++ 即当n=k +1时猜测也成立. 综合（i ）（ii ）得对任意正整数n ，猜测都成立. 所以，.,3,2,1,231??????????i ???????????T n i i =<∑= 体验 （1）已知数列前n 项的和S n 与通项a n 的关系式，为求通项的解析式，通常要将条件转化为数列}{n a 的递推关系式或数列}{n S 的递推关系式，然后，再作进一步推演，这时要用 到公式???≥=-=-.)2(,111?n ? a S S ?a S n n n 许多时候，容易忽略11a S =，这个式子，同时，对于另一式子中n 的取值范围，也容易忽视，以致出现差错. 对此，必须警觉. （2）根据递推关系)(1n f pa a n n +=+求通项a n ，是常见的数列试题. 近几年的高考数学考试中，这类试题较多出现. 其中，)(n f 可以是常数、等比数列、等比数列与常数之和、等比数列与等差数列之和，等等形式. 本题（Ⅰ）的四种解法，反映了解答这类问题的基本思路和常用方法，其核心思想是：转化为等比数列的问题进行解答，或借助解方程的方法求解. 能否成功，关键在于代数变换与换元是否有效. 具体的运用非常灵活，就本题（Ⅰ）的解法而言，尚有多种解答方案可供选择，远非只是上述的4种. （3）关于不等式∑=< n i i T 12 3的证明，上述两种证法有典型意义. 证法一采用裂项的技术，将不等式化简，达到证明目的，十分精练. 用好这一技术，须具有良好的观察能力和裂项的经验. 因此，平时要注意经验的积累和一定的操作训练，当存在数列}{n R 满足1+-=n n n R R T 时，则有∑=+-=n i n i R R T 111，从而达到将和式化简的目的. 这里的关键是数 列}{n R 的发现. 举个例说，可用这项技术，求等比数列前n 项的求和公式： 设)0,1(111≠≠=-q ?a ? q q a a n n ，则有 ?q q q a a n n n )(111--=-， ∴∑∑==---=--==n i n i n i i i n q q a q q q a a S 1 1111)1(1)(1. 也可写成q a a S n n --=+111. （4）上述（Ⅱ）的证法二，采用了由特殊到一般的思维方式，根据开始的几个特殊情形，探索规律，对一般情形作出“猜测”，进而应用数学归纳法，作出证明，完成解答. 这也是解答数学问题的一种常用方法. 该法成功与否，关键在于猜测，为了使猜测有效和正确，在考查特殊情形时，应避免机械的数字计算和瞎猜，须讲究方法. 例如，上述在考查211,T ?T ?T +与321T T T ++的变化规律 ，充分注意所要证明的不等式∑=< n i i T 12 3的特点，把观察的侧重点放在差值)132(1∑=-n i i T 的估计上：把T 1=1写成)311(231-=T ；把7 921=+T T 写成)711(2321-=+T T ；把1521321=++T T T 写成)15 11(23-. 为一般规律的发现提供了方便，提高了猜测的成功率. 例3 数列}{n a 满足a 1=1，且)1(21)11(21≥+++=+n a n n a n n n . （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ； （Ⅱ）已知不等式x x <+)1ln(对0>x 成立. 证明：)1(2≥ e =2.71828 … . 分析 根据题设的递推关系，难以求得通项，为了证明给定的不等式，宜用放缩法. （Ⅰ）的证明； （1）当n =2时，22 1)21 1(12=++==a a a n ； （2）假设2≥=k n 时，不等式成立，即2≥k a ，则 221)11(21≥≥+++=+k k k k a a k k a ，即当1+=k n 时，不等式也成立. 综合（1）（2），得)2(2≥≥n a n . （Ⅱ）的证明； 方法一 ∵1,)2(21=≥≥?a ? n a n ， ∴)1()2 111(21)11(0221≥+++≤+++ =<+n a n n a n n a n n n n n ， 取自然对数，得：当1≥n 时， n n n n n n n n a a 21)111()2111ln(ln ln 21++-<+++≤-+， ∴∑∑-=-=+++-<-111 11])21()111[()ln (ln n i n i i i i i i a a 即2)2 121(211ln ln 1<-+-<-n n n a a ， ∵01ln ln 1==a ，∴)1(2≥ 方法二 首先，用数学归纳法证明不等式 )1)(1(2≥->n n n . （1）当n =1，2，3，4时，n 2依次取值2，4，8，16，)1(-n n 依次取值0，2，6，12，所以不等式成立； （2）假设4≥=k n 时，不等式成立，即)1(2->k k k ，所以)1(22 1->+k k k ， ∵4≥k ，∴0)3()1()1(2>-=+--k k k k k k ， 即k k k k )1()1(2+>-，从而]1)1)[(1(2 1-++>+k k k ，即当n =k +1时不等式成立. 综合（1）（2），证得)1)(1(2≥->n n n . 其次，当 2≥n 时，)1()1(->+n n n n ，依设得 )1(1))1(11(2 1))1(11(1-+-+<+++=+n n a n n a n n a n n n n ， 由（Ⅰ）知0>n a ，故有 )1)() 1(11(101+-+<+<+n n a n n a ， ∴ )2(,1)1(1)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1≥--=-<-+<+-++n ??n n n n n n n a a n n 得∑∑-=-=+--<+-+1212 1)111( )]1ln()1[(ln n i n i i i i i a a ， ∴11 11)1ln()1ln(2<--<+-+n a a n . ∵22=a ，∴<+1n a e 3ln 1+<3e ， ∵2.7 得a n <3e-1<7.16 又有a 1=1 体验 （1）上述（Ⅱ）的证法一，将n 21放大为n n a 2 1，即是利用了)2(2≥≥n a n 和a 1=1，将1放大为n a ，顺利且简练地完成证明. 而证法二，则比较转折，进行多次放缩，首先是将)1(1+n n 和n 21都放大为) 1(1-n n ，后来为证明3e-1 当2≥n 时，2≥n a ，所以，依设得 112 1)1(1121)1(110+++++<+++= <-+++n ??n n n n a a n n n ， ∑∑-=+-=+--++-<-1221212 11)21(81)111()ln (ln n i n n i i i i i a a ， 得12)21(41121ln ln +-+-<-n n n a a ，∴2ln 4 3ln 43ln 2+<+2.73=19.683>16，∴2ln 416ln 3=>， 得2 34343ln ,432ln =+< n ?a n . 因为23e e <，所以，这里不仅证明了（Ⅱ）的不等式，而且获得更强的结论. （2）用数学归纳法证（Ⅰ），无难点，但在（Ⅱ）的证法二中，证不等式)1)(1(2≥->n n n 时，不仅要检验n =1时，不等式成立，还要检验n 取值为2，3，4的情形，然后作归纳假设4≥=k n 时，不等式成立，再去证1+=k n 时，不等式也成立. 从这里可体验到：应用数学归纳法时，必须根据归纳假设及其接着的归纳证明的需要，确定应该检验哪些特殊的n 值；其次，归纳假设的设定，也并非千篇一律，不是所有的情形都假设1≥=k n 时结论成立. 有时必须假定为m k n ≥=时结论成立，或假定为当k n ≤时结论成立，等等，这要视归纳证明（即证1+=k n 时结论成立）的需要而定. 数列与不等式测试题 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分；共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1. 不等式1 x x > 成立的一个充分不必要条件是（） A.x>0 B.x<0或x>1 C.x<0 D.0 7. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( ). A. 12 B. 1 2 - C. 2 D. 2-8.数列{}n a 的通项为1(21)(21)n a n n = -+，前n 项和为9 19 ，则项数n 为（ ） A. 7 B.8 C. 9 D. 10 9. 在等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，100S >并且110S =，若n k S S ≤对n N *∈恒成立，则正 整数k 构成集合为 （ ） A ．{5} B ．{6} C ．{5,6} D ．{7} 11.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（ ） A. 212-12 12.若a 是12b +与12b -的等比中项，则 22ab a b +的最大值为（） A. 12 B.4 C.5 D.2 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13.公差不为0的等差数列{}n a 中，2 37 11220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = . 三角函数、数列、不等式练习题 命题人：刁化清 一、选择题 1．对于任意的实数,,a b c ，下列命题正确的是 A ．若22bc ac >，则b a > B ．若0,≠>c b a ，则bc ac > C ．若b a >，则 b a 11< D ．若b a >，则22b c ac > 2. 设0 C ．0()0f x < D ．)(0x f 的符号不确定 7. 在等差数列｛n a ｝中，若,8171593=+++a a a a 则=11a （ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 8．已知等差数列前n 项和为n S ，且，则13S 的值为 A ．13 B ．26 C ．8 D ．162 9．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 10．在ABC ?中，角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若2cos a c B =，则ABC ?的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 {}n a 351024a a a ++= 数列与不等式专题练习 一、选择题 1．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 2．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 3．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．2 1 4．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113 -是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ） A ．513 B ．512 C ．510 D ．8 225 6．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 8．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 9．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ） A ．15(0,)2+ B ．15(,1]2- C ．15[1,)2+ D ．)2 51,251(++- 10．在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上都不对 11．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．等差数列或等比数列 D ．都不对 12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+ 一．方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略 类型一数列中的恒成立问题 【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 由题意得，则，等差数列的公差， . 由， 得， 则不等式恒成立等价于恒成立， 而， 问题等价于对任意的，恒成立. 设，， 则，即， 解得或. 故选:A. 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得 ，借助裂项相消法得到，又 ，问题等价于对任意 的 ， 恒成立. 【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2 142,n n S S n n n N -++=≥∈，若 对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()4,6 C ．[)3,5 D ．[)4,6 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足 ， ，则使 的正整数的最小值是（ ） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021 数列与不等式复习题（一） 1．数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 （ ） A ．43-=n a n B ．43+-=n a n C ．()43)1(--=n a n n D ．()43) 1(1 --=-n a n n 2、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 3、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为（ ） A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 4．不等式01 31 2>+-x x 的解集是 （ ） A ．}21 31|{>- 数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝 对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ； ⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们 统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：① ② . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为： “”或“求解. 数列求和的常用方法 高一数学检测卷(十一) 一、选择题 1. a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3 C ．－a 3＞a 2＞－a D ．a 2＞－a ＞－a 3 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n . 若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3．已知x ，y ∈R ＋ ，2x ＋y ＝2，c ＝xy ，那么c 的最大值为( ) A ．1 B.12 C.22 D.14 4．设{}n a （n ∈N * ）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 5．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100， 则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( ) A ．102 B ．101 C ．100 D ．99 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则 a 1＋a 3＋a 9 a 2＋a 4＋a 10 等于( ) A.1514 B.1213 C.1316 D.1516 8．在平面直角坐标系中，不等式组???? ? x ＋y ≥0x －y ＋4≥0 x ≤1 表示的平面区域面积是( ) A ．3 B ．6 C.9 2 D ．9 数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答（1） 1．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，{}n T 为等差数列，且1324a T ==，. （1）求n a ； （2）证明： 112233 1111 ln(1)n n n a T a T a T a T ++++ <+. 2．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =， 121 111n n n c a a a a -=++???+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式； （2）（i ）求证：11 1n n n n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：231115 1113 n c c c ??????+ +???+< ? ? ???????. 3．已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质： ①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2 i m j a a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n l a a a =． (Ⅰ)若(1,2, )n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若1 2(1,2, )n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 4．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记222 12n n S T T T =++???+ （1）证明：数列11n a ?? ??-? ?是等差数列； （2）记1n n n d a S +=-，证明：11 32 n d << 数列及不等式综合测试卷 测 试 卷 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．下列不等式中成立的是（ ） A ．若a b >，则2 2 ac bc > B ．若 a b >，则2 2 a b > C ．若0a b <<，则2 2 a ab b << D ．若 a b <<，则11 >a b 2．下列命题中，正确的是（ ） A.若b a >，d c >，则bd ac > B.若bc ac >，则b a > C.若2 2 c b c a < ，则b a < D.若b a >，d c >， 则d b c a ->- 3．设1 1 1 () ()122 2 b a <<<，那么 A ． a b a b a a << B ．b a a a b a << C ．a a b b a a << D ．a a b a b a << 4．设3log π =a ，3 .02=b ，6 sin log 3π =c ，则 A ．c b a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >> 5．若正数a, b 满足3a+4b=ab ，则a+b 的最小值为（ ） A ．6+2 B ．7+2 C ．7+4 D ．7－6．在等比数列{}n a 中，若1 2 a =，2 50 a a +=，{}n a 的n 项 和为n S ，则2015 2016S S += （ ） A ．4032 B ．2 C ．2- D ．4030- 7．等比数列{}n a 中，4 52,5 a a ==，则数列{lg }n a 的前 8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．3 D ．4 8．已知}{n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项 和，且 64 65 36=S S ,则数列|} log {|2 n a 前10项和为 （ ） A.58 B.56 C.50 D.45 9．已知等比数列{}n a ,且4 82, a a +=则6 2 610(2) a a a a ++的 值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 10．设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数 ,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y ?=+，若 ()()11 ,2 n a a f n n N *==∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值 范围是（ ） A. 1,22????? ? B. 1,22????? ? C. 1,12????? ? D. 1,12????? ?q 时，
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