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行列式计算与应用

行列式的计算方法

方法1 化三角形法

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

例1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：

123123413

45121

n n n n D n

n n -=--

[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式

的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。

解：

1(2,,)

(2,,)111111111112111110003

1111200011

111

010000

001

000

0020011(1)2

0020000

01(1)()2i i

n n i n r r i n r r n n n D n n n

n n n

n n n n n n n

n n n n

n n

n n n n ===+

--=-----++----+=

?-----+=??-

()

(1)(2)

(1)1

(1)(1)12

n n n n n n n

-----?-+=??-

[问题推广]

例1中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1

这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。[2]

从而推广到一般，求下列行列式：

01211

012

23411

0(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---??

??????=∈=-????????

解：令 01211

012

23411

0n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ---??

??????=????????

首先注意，若u 为n 次单位根（即u n

=1），则有：

01111

0212

23111120101120112123

011101(1,n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n a a u a u

u a a u a u A u u u u a a u a u u a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------??+++??????+++?????????==∴=????+++????????+++????

++++++=++++

这里用到等）12

011122111

01111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u

u u --------????????????

????=+++?????????????++????

????

=?=+++????????

其中

22cos

sin

1,1(0)1,,,,n

k n k k w n

w w k n w w w

ππ-=∴=≠<< 设+i 为n 次本原单位根

有:于是：互异且为单位根

()2011(1)0110

01100111

1,(0,1,,1)

(,,,)

(,,,)((),(),,())()

(,,,)(j

j n n j i

j j

n n n n n w w j n w w w w w

w A w f w w

Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -------??????

??==-=??

??????

?=?==???

?=??

????

记：方阵则由上述知：故

）

2(1)

0111

(1)(1)

1(,,,)1

n n n n n n w w

w w w w w

w ------??

???

???==????

????

显然为范德蒙行列式 1

A (1)()()(1)()()

n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w

--∴≠=????=?∴==??? 从而有：

又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反

所以例1与

11120'

n n n n a a a a a a D a a a ---=

相对应

(1)(2)

1n n n n D D --而与只相差（－）

个符号

(1)(2)

01,121

(1)2

(1)()()

,,)(1,2,,)1,

()123(1)12n n n n n k

n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+????==≠=++++=+++=

即得：=(-1)

从而当（时对单位根总有：

()()1()1n f u uf u u u u n n

n f u u

-∴-=++++-=--∴=

1()1,

(1)111 n

n k

n k n k

k x x w

x x x

x x w

--=-=-=

-=++++-=-==∏∏ 而又

令则有：

＋＋＋

(1)(2)

(1)

(1)()()(1)1

1()

(

)

2111(1)

(1)2

(1)

1(1)21(1)

n n n n n n n n n n n n k

k n n n

n n n D f f w f w n n n w w

n n n w

n n

n n n

----------=---=????+=??-??

---+-?

-+-?

+=-?

?∏ 从而有：(-1)

(-1)

与例1的答案一致。

方法2 按行（列）展开法（降阶法）

设n ij D a =为n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有

()11221,2,,n i i i i in in D a A a A a A i n =+++=

或 ()11221,2,,n j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++= 其中ij A 为n D 中的元素ij a 的代数余子式

按行（列）展开法可以将一个n 阶行列式化为n 个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n 阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。

例2，计算20阶行列式[9]

201231819202

121718193

2116171820

D =

[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。

注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：解：

20201

(1,(2,,20)

19)

1111111231819202111112

121718193111113

21161718191111120

19183

2120

1111113

0222240022221(1)

21200000221

i i

i i i c c r r D ++==-+---=---------=?-?=-?

以上就是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来。

下面是一常用的方法：

方法3 递推法

应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。

例3，2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：

0001

0001000

1n D αβαβαβαβαβαβ

++=

n n n D α

αβαβ

++-=

≠-证明　：其中

（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）

［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余

的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]

。从行列式的左上方往右下方看，即知D n-1与D n 具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。

证明：D n 按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：

12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－

这是由D n-1 和D n-2表示D n 的递推关系式。若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：

11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－）或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）

现可反复用低阶代替高阶，有：

11223342

2221[()()](1)

n n n n n n n n n n n

D D D D D D D D D D αβαβαβαβαβ

αβαβααββ-+--+= －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）

＝＝（－）=

同样有：

11223342

2221[()()](2)

n n n n n n n n n n n

D D D D D D D D D D βαβαβαβαβα

αβαββαβα-+--+= －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）

＝＝（－）=

因此当αβ≠时

由（1）（2）式可解得：1

n n n D α

αβ

++-=

证毕。

［点评］虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关

系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递推关系式，如本题。

方法4 加边法（升阶法）

有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的

方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。

加边法的一般做法是：

111

111111112122122

2121

1100000

n n n n n n n n n nn

n nn

a a a a a a

b a a a a D a a b a a a a a a b a a =

特殊情况取121n a a a ==== 或 121n b b b ====

当然加法不是随便加一行一列就可以了。那么加法在何时才能应用呢？关键是观察每行或每列是否有相同的因子。如下题：

例4、计算n 阶行列式：[8]

112122

122122

111

n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=

[分析] 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x 1与x 1,x 2,…, x n 相乘，第二行为x 2与x 1,x 2,…, x n 相乘，……，第n 行为x n 与 x 1,x 2,…, x n 相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x 1,x 2,…, x n ，从而就可考虑此法。

解：

11112122

112

1212

212221

2121

(1,,)(1,,)

011000

10100

10100100100

i i i i n n n n n n n n

n n

n i n

i n i n r x r c x c i n x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x

x x x x

+++==+=-+=+-=+-+-+

∑∑

[注意] 在家一定要记住，加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。

方法5 拆行（列）法

由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列

式值，此法称为拆行（列）法。

由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。

例5、南开大学2004年研究生入学考试题第1大题，要求下列行列式的值：设n 阶行列式：

11121212221

1n n n n nn

a a a a a a a a a =

且满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 对任意数b ，求n 阶行列式

111212122212?n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b

a b

++++++=+++

[分析]该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b ，显然用拆行（列）法。

解： 1112111121121212222122222212122n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a b a b a a b a b b a b

a b

++++++++++++++=

+++++++

1112111

112121222212222121

111n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a b

a a a

b a b a b

a a ++++=+

+++

1112111

1121212222122221

1111

n n n n n n n n nn

n nn

a a a a a a a a a a a a a a b

a a a a a a a =+++

211

i i i i b A b A ===+++∑∑ ,1

ij i j b A ==+∑

A 又令＝

121212221

n n n n nn

a a a a a a a a a

,,1,2,,i j j i

a a i j n

=-= 且 '

:1,

A A A ∴==-有且

E A

A A A

?=?＊

－－＊

＊

由＝

得：即＝

A A

∴＊

－＝

()()

()

A A A A A ---===-=-＊

＊

又（）

A ∴也为反对称矩阵

又(,1,2,,)ij A i j n = 为*A 的元素

1,1

ij i j A ==∴=∑

有

从而知：1,1

11n

n ij i j D b A ===+=∑

方法6 数学归纳法

一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）例6 .证明：

2cos 10001

2cos 100012cos 00sin(1)(sin 0)sin 0002cos 10

2cos n n D θθθθθθ

θθ

≠

证：当1,2n =时，有：

2sin(11)2cos sin 2cos 1sin(21)4cos 11

2cos sin D D θθθθθθθ

+==+=

=-=

结论显然成立。

现假定结论对小于等于1n -时成立。即有：

21sin(21)sin(11),

sin sin n n n n D D θ

---+-+=

将n D 按第1列展开，得：

(1)

122cos 1002cos 0001

2cos 0012cos 00002cos 1002cos 10

2cos 0

2cos 2cos sin(11)sin(21)2cos sin sin 2cos sin sin(1)sin 2cos sin sin cos co n n n n n D D D n n n n n n θθθθθθθ

θθ

θθθ

θθθθ----=

=?--+-+=?-

?--=?-?+=

s sin sin sin cos cos sin sin sin(1)sin n n n n θθ

θθθθ

θθ

??+?=+=

故当对n 时，等式也成立。

得证。

接下来介绍一些特殊的行列式计算方法，但却很实用。

方法7 析因法

如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C ，根据多项式相等的定义，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x) 。

那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行（其中含变数x ），若x 等于某一数a 1

时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0。那么x -a 1便是一个一次因式，再找其他的互异数使得D=0，即得到与D 阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法。

例7 .兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。需求如下行列式的值。

121

211231

n n n n x a a a a x a a D a a a a a a a x

[分析] 根据该行列式的特点，当.1,2,,i x a i n == 时，有10n D +=。但大家认真

看一下，该行列式D n+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n 个一次因式

1,2,,i x a i n -= ,那么能否用析因法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一

样的，为：1

i i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式

i a

x =+∑，这样行列式的次数就降了一次。从而再考虑析因法。

解：

1211221

211

232312

()11

n i n

n i

i n n

n i i n

n i n i n i

i a

x a a a a a a a

x a a x a a D a x a a a a x a a a a a x

a a x

==+===++=

=+++∑∑∑∑

∑

令：

122'

1232

n n n n a a a x a a D a a a a a x

显然当：.

1,2,,i x a i n == 时，'

10n D += 。

又'

1n D +为n 次多项式。

112()()()n n D C x a x a x a +∴=--- 设

又'1n D +中x 的最高次项为n x ，系数为1，∴C=1

112()()()n n D x a x a x a +∴=---

因此得：

1121

()()()()()

n i n i n

i n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑

[点评] 该题显然用析因法是最简便，但大家不要一味地只找使它等于0的数，而该最多只能有n 个数使它等于0，而行列式又是n+1阶是一个n+1次多项式，从而我们想到的就是得用行列式的性质把行列式的次数降低一次，使得原n+1次多项式变为一个一次多项式和一个n 次多项式的乘积。进而便可求得其值。

凡事要懂得变通，一道题不可能用一种方法就可以马上解得。在析因法中，对于一个n 次多项式，当你最多只能找出r 个使其行列式为零时，就要把它化为一个n -r 次多项式与一个r 次多项式的乘积。但一般找出的使其行列式为零的个数与行列式的次数差太多时，不用本法。

方法8 .辅助行列式法

辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同。解题程序：

1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；

2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式(1,2,)ii A i n = ;

3)[1]

*,1

i j D D x A ==-∑

例8 .大连理工大学2004年硕士生入学考试《高等代数》试题，第一大题填空题第2小题需求下列n 阶行列式的值。

1121121211

n n n D n

--=

解：在n D 的各元素上加上(1)-后，则有：

(1)

0020020()(1)

(1)20

n n n

n n n D n n

---=

=-?--

又(1)1

12,11(1)

(1)

n n n n n n A A A n ---====-?- ，其余的为零。

(1)

*,1

(1)

(1)1

()(1)

(1)(1)(1)(1)(1)

(1)

n n n

n n ij i n i i j i n n n n n

n n n n D D A n A n n n n --+==-----∴=+

=-?-+

=-?-+-??-=-?-∑

∑

[点评]若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题。但根据该行列式的特点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，再化为三角形行列式也可轻易解出该行列式。

以下几种方法是利用到公式，所以有的方法在这只简单地给出其应用，只要记住公式，会应用就行。

方法9 利用拉普拉斯定理

拉普拉斯定理的四种特殊情形：

[1][5]

1）

0nn nn mm mn mm A A B C B =?

2）

0nn nm nn mm mm A C A B B =?

3）0(1)

nn mn

nn mm mm

A A

B B

C =-? 4）

(1)

nm nn mn

nn mm mm

C A A B B =-?

例9 计算n 阶行列式：[1]

n a a a a

b D b

λαββββαβββββ

解：

222

(2)(2)

(2,,1)

0000

0(1)(2)0

000(3,)0

0(1)00(2)0

[(2)(1)i n

n n i n a a a a

D n a

n C C i n n a

n n ab n λλλααββββαααβλαβ

βββαβαβαβαβ

λαβαβ

αβ

λαλβ+?-?-=------+-+--=----?

+--=+---

利用拉普拉斯定理

]()

n αβ-?-

方法 10 .利用范德蒙行列式

范德蒙行列式：

1232

12311111

1111()n n i j j i n

n n n n n

x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=

-∏

例10 计算n 阶行列式[9]

11112

(1)(2)(1)(1)(2)

(1)

11n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a

D a n a n a a ---------+-+--+-+-=

-+-+-

11112

(1)(2)(1)(1)(2)

(1)

n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a

D a n a n a a ---------+-+--+-+-=

-+-+-

解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。

先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次行对换后，得到

(1)

22221

1111

1(1)

(1)(2)(1)(1)

(2)

(1)

n n n n n n n n n n n a n a n a a D a n a n a a a n a n a a

----------+-+-=--+-+--+-+-

上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：

n m

n m E AB E BA

λλ

λ--=-

(1)

(

11(1)

[()()](1)

()n n n n n j i n

j i n

D a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏

∏

方法11 利用矩阵行列式公式

引理：设A 为n m ?型矩阵，B 为m n ?型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()n m E BA E BA = [5]

先引入一个证明题：[1]

设A ，B 分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ≠，证明：n m

n m E AB E BA λλλ--=-

证明：

0n n

n m m m E A E E AB A B E B

E E λλ-??????= ? ? ?-?????? 两边取行列式得：

n n m m m

m m

E A

E E A E AB

E AB E B

E B E B E E λλλλ-=

=--n E AB

λ=-

又

n n n

m m m

E E A E A B E B BA E E λλλ

λ????-

?? ?

= ? ? ?-+ ? ????

??同样两边取行列式有：

n m

E E A E A E A

E B

BA E E λλλλ

()1

n m

n m m m E BA E E BA E BA λλ

λλ

-=-

+=-=- 得证。

那么对于,A B 分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ

≠能否得到：

n m

n m E AB E BA λλ

λ-+=+

答案是肯定的。

证：00n n

n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-+-??????

? ? ?-??????

∴ 有：

n m

E A E AB

E λλ-=+

又

n n

m m m

E E A E A B

E B BA E E λλλ

λ????-?? ?

= ? ? ?+ ? ????

n m

m m m

E A E BA E E BA B

E λλλ

λλ

--∴

=+=+

n m

n m E AB E BA λλ

λ-∴+=+

即得：对,A B 分别为n m ?和m n ?矩阵，0λ

≠时，有：

n m

n m E AB E BA λλ

λ-=

则当1λ

=时，有：n m E AB E BA

线性代数实践课作业

学院：环境与市政工程学院

专业：建筑环境与设备工程

班级：2010107

同组人：刘英利201010706

时鹏飞：201010711

石英三：201010705

行列式的计算方法及应用

本科生毕业论文题目: 行列式的计算方法及应用专业代码: 070102 作者姓名: 李延雪学号: 2007200676 单位: 2007 级 1 班指导教师: 孙守斌 2011年 5 月20 日

原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期

目录前言 (1) 1.行列式的定义及其表示 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.2 行列式的表示 (3) 2.行列式的性质 (4) 3.行列式的计算方法 (6) 3.1加边法 (6) 3.2利用已知公式 (7) 3.3数学归纳法 (10) 3.4递推法 (11) 3.5构造法 (12) 3.6拆项法 (13) 4.行列式的应用 (13) 4.1行列式在证明微分中值定理中的应用 (13) 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 (15) 4.3行列式在多项式理论中的应用 (15) 4.4 行列式在解析几何中的应用 (16) 结语 (17) 参考文献 (18) 致谢 (19)

摘要行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法：加边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理；并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用. 关键词：行列式；计算方法；行列式的应用

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式 00400300200 1000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321 =τ，所以此项取正号．故 0 04003002001000 =()()241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 221132 1 33323122211100 00 00=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 1 21n 11210000D 0 n n n a a a b b b b b += = . 2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法徐亮（西北师大学数信学院数学系， 730070 ）摘要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运．关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1．定义法应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法．根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．

行列式的计算及应用毕业论文

行列式的计算及应用毕业论文目录 1. 行列式的定义及性质 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.1.1 排列 (1) 1.1.2 定义 (1) 1.2 行列式的相关性质 (1) 2. 行列式的计算方法 (5) 2.1 几种特殊行列式的结果 (5) 2.1.1 三角行列式 (5) 2.1.2 对角行列式 (5) 2.2 定义法 (5) 2.3 利用行列式的性质计算 (5) 2.4 降阶法 (6) 2.5 归纳法 (7) 2.6 递推法 (8) 2.7 拆项法 (9) 2.8 用德蒙德行列式计算 (10) 2.9 化三角形法 (10) 2.10 加边法 (11) 2.11 拉普拉斯定理的运用 (12) 2.12 行列式计算的Matlab实验 (13) 3. 行列式的应用 (15) 3.1 行列式应用在解析几何中 (15) 3.2 用行列式表示的三角形面积 (15) 3.3 应用行列式分解因式 (16) 3.4 利用行列式解代数不等式 (17) 3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17) 3.6 行列式在实际中的应用 (18) 总结 (20) 参考文献 (21) 附录1 (22) 附录2 (22)

附录3 (23) 谢辞 (24)

1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义 1.1.1 排列[1] 在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数. 1.1.2 定义[1] n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积 n nj j j a a a 2121 (1-1-1) 的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为 n n n nj j j j j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (21 22221 11211 )1(∑-= = τ ， (1-1-2) 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列求和. 由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为 n i i i i i i i i i nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(21 22221 11211 212121)1(∑-== τ. （1-1-3） 1.2 行列式的相关性质记 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 112 11 = ,nn n n n n a a a a a a a a a D 212 2212 12111 '=,

浅谈行列式的计算方法x

浅一、特殊行列式法 1．定义法当行列式中含零元较多时，定义法可行．例1 计算n 级行列式 α β βαβαβα000000 0000 00 =D . 解：按定义，易见121,2,,,n j j j n === 或 1212,3,,,1n n j j j n j -==== . 得 11(1)n n n D αβ-+=+- 2．三角形行列式法利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式． nn a a a a a a 000n 222n 11211＝nn n n a a a a a a 212212110 0112233nn a a a a = 例2 计算n 级行列式1231 131 211 2 3 1 n n x n D x n x +=++ 解：将n D 的第(2,3,,)i i n = 行减去第一行化为三角形行列式，则 1230 1000 0200 1 (1)(2)(1) n n x D x x n x x x n -=--+=---+

3．爪形行列式法例3 计算行列式 0121 1 220 0000n n n a b b b c a D c a c a = ()0,1,2,,i a i n ≠= 解: 将D 的第i +1列乘以（i i a c - ）都加到第1列()n i ,2,1=，得 10 12 120000000 00n i i n i i n bc a b b b a a D a a - =∑= ＝011()n n i i i i i i b c a a a ==-∑∏ 4．范德蒙行列式法 1 2 3 2 2221 2 3 11111 2 3 1111n n n n n n n a a a a D a a a a a a a a ----= 1()i j j i n a a ≤<≤= -∏ 例4 计算n 级行列式 2 2221233 333 1 2 3 12 3 11 1 1 n n n n n n n x x x x D x x x x x x x x = 解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式 12222 212121111()n n n n n n n x x x x g x x x x x x x x x = 多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，即 1 ()() n i i g x x x ==-∏∏≤<≤-n i j j i x x 1)(

行列式的计算方法

摘要行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算

Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation

目录摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)

(完整版)行列式的计算方法(课堂讲解版)

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --，故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.

行列式计算及应用

行列式的计算及应用毕晟 100220120 数字印刷一班【摘要】通过了一年的线性代数学习，行列式是学习的重点，因而我对行列式的计算和应用进行总结性的说明，并借此对行列式进行复习。【关键字】行列式引言：行列式在本册书中极为重要，并且与其他的章节知识点比如矩阵求逆、向量组、方程等有紧密的联系,所以学好行列式是很重要的，通过这次论文，也可以对期末考试中的行列式问题进行必要的复习。一．行列式的计算 1. 定义法根据定义公式解行列式。例如：二阶行列式中 2 521 = 85221-=?-? 三阶行列式中 4 213212 51=215644158531132221221135421=---++=??-??-??-??+??+?? 2.化成三角形行列式法例求D ＝3 1 1 1的值 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 解D ＝3 1 1 1＝6 1 1 1 1 3 1 1 6 3 1 1 1 1 3 1 6 1 3 1 1 1 1 3 6 1 1 3 =1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 =1 1 1 1=48 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 3. 分解行列法若行列式的某行（列）是两行（列）的和，则可将行列式分解成两个行列式的和． 4.分离线性因子法此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，变换

它，若发现：它可被一些线性因子所整除，如果这些因子互素，它也可被这些因子的积所整除，然后将行列式个别项与线性因子积的项比较，求用这乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。 5. 递推关系式法此法是变换已知行列式，并按行或按列把它展开成较低阶的同类型的行列式的表示式。所得到的等式为递推关系式。在递推关系是右端出现几个低阶的行列式，然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列式。更高阶的行列式逐次由递推关系式算出，在表达n 阶行列式的递推关系中，把在递推关系式中的n-1 换n 所得到的关于n-1 阶行列式的表达式代入；其次，把n-2 阶行列式的类似表达式代入，依此类推，直到所求n 阶行列式的一般表达式为止，递推关系式法是所研究的方法中最常用的方法，它适用与较复杂的行列式。 6.拆分法可以将行列式化简后，拆分为余子式进行计算。但计算量较大。二．行列式的应用 2.1 应用行列式解线性方程组（主要应用克莱姆法则，这里要注意应用的条件） 2.2 雅可比行列式在隐函数组中的应用 2．3 非奇异矩阵的判别 2．4 计算矩阵的秩。求行列式的值下面就我们学过的2.1和2.4进行解释说明：用行列式解方程分为线性齐次方程和线性非齐次方程例如2.1： 5 26421 43321321321=++=++=++x x x x x x x x x 于是可以用行列式表示： D=111642143 2156421411=D 1516221132=D 5 112421 433=D 所以 D D x 11= D D x 22= D D x 33= 2.4 A=0 141114 21 我们将其化简为最简阶梯型的行列式如：0 002102 01 则 R （A ）=2 三．总结行列式在线性代数中很重要，而它的应用也很广泛，对此，我们深入学习，就可以开拓思维、拓宽视野。

(完整word)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档

计算技巧及方法总结一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若

,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的若干计算技巧与方法内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法定义法利用行列式的性质降阶法升阶法（加边法）数学归纳法递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法拆行（列）法构造法特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用降阶法和递推法逐行相加减和套用范德蒙德行列式构造法和套用范德蒙德行列式

行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

行列式化简计算技巧实题

行列式化简计算技巧和实题操练 ——Zachary 一.技巧: 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a == ∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111221 21 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变

1112111 12112112212121 21 2 n n s s sn s t s t sn tn t t tn t t tn n n nn n n nn a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++= 技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积 111111111111111111 11000 m m n m mm m n m mm n nn n nm n nn a a a a b b a a c c b b a a b b c c b b = 技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 1 1 (1,2,,)(1,2,,)n n ik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑ 二.解题方法: 方法1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算 1112 112212212122 a a a a a a a a =-, 111213 21222311223312233113213211233212213313223131 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---

行列式计算的若干种方法讲解

中南民族大学毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法学生姓名: 曹金金学号:08067005

指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日

中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名：年月日

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)

行列式计算的若干方法摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods

(完整版)行列式的计算方法总结

行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)

浅论行列式及其计算方法

浅论行列式及其计算方法摘要：本文主要介绍了行列式的概念——行列式是n 阶矩阵的一个特征量。行列式的性质——行列式和它的转置行列式相等等一系列性质。行列式的计算方法——化三角法，定义法等。克莱姆法则。以及和矩阵相关的一些问题。关键词：行列式的概念行列式的性质行列式的计算矩阵克莱姆法则正文 1行列式的概念 1.1 二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如 1112112212212122a a a a a a a a =- （1.1） 111213 21222311223312233113213231 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++ 322311332112312213a a a a a a a a a --- （1.2）分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式。行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标。如32a 表示该元素位于第3行、第2列。二阶、三阶行列式的全面展开可以用对角线法。【例】5152(1)3133 2 -=?--?=； 2 2 2 2 ()a b a b a b b a =--=+-； 250 1334 1 6 ---2361(1)0(5)(3)4=??+?-?+-?-?034-?? (1)(3)21(5)6--?-?-?-?(36)(0)(60)(0)(6)(30)120=++----=。 1.2 n 阶行列式的全面展开用2 n 个元素可以构成n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 。行列式有时简记为j i a 。一阶行列式a 就是a 。高于4阶的行列式不能用对角线法展开。参照二阶、三阶行列式的展开式（1.1）、（1.2），规定n 阶行列式的全面展开按如下方式进行：（1）展开式的每一项都是不同行、不同列的n 个元素的乘积。（2）取自不同行、不同列的n 个元素要出现所有不同的搭配。若将行标顺序安排，则每一项对应列标的一个排列。如332112a a a 对应的排列是2 1 3。所有不同的搭配，对应所有不同的列标排列，n 个自然数共有!n 种排列，因而全面展开式共有!n 项。（3）各项的前置符号，偶排列取正，奇排列取负。所谓偶（奇）排列是指该排列的逆序数

特殊行列式与行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）

行列式的运算与应用

,. 行列式的运算与应用实验目的: 1. 学习数据的输入及用syms语句先定义变量再输入的两种方式. 2. 掌握利用Matlab软件计算n阶行列式的方法(包括含参数的行列式) 3. 熟悉Matlab软件中关于矩阵运算的各种语句. 4. 掌握对已知矩阵如何进行修改其中的数据,以及如何构建对应的行(列)子矩阵及扩展矩阵. 5. 掌握矩阵初等变换的每个步骤实验内容: 1.计算12阶行列式 x a a a x a a a x - -- L L L L L L L 并赋值x=2,4,-1;a=0,2,4时，求行列式的值。解syms x % syms语句定义变量x syms a % syms语句定义变量a A=[x a a a a a a a a a a a; % 输入矩阵A -a x a a a a a a a a a a; -a -a x a a a a a a a a a; -a -a -a x a a a a a a a a; -a -a -a -a x a a a a a a a; -a -a -a -a -a x a a a a a a; -a -a -a -a -a -a x a a a a a;

,. -a -a -a -a -a -a -a x a a a a; -a -a -a -a -a -a -a -a x a a a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a x a a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a x a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a x] D=det(A) %计算行列式A X=(2,4,0) B1=subs(D,x) subs(B1,a,0) B2=subs(D,x,4) subs(B2,a,2) B3=subs(D,x,-1) subs(B3,a,4) 2.计算10阶行列式 000 00 000 000 000 a b b a a b b a a b b a b b a a b + + + + + L L L L L L L L L L 解：syms a % syms语句定义变量a syms b % syms语句定义变量b A=[a+b b 0 0 0 0 0 0 0 0; % 输入矩阵A a a+ b b 0 0 0 0 0 0 0; 0 a a+b b 0 0 0 0 0 0; 0 0 a a+b b 0 0 0 0 0;

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