范德蒙行列式的应用_徐杰

行列式的应用讲解

摘要 行列式是数学研究中一类重要的工具之一，行列式最早出现在16世纪，用于解决线性方程组的求解问题。现在，行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例，论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。 关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何

The Application of The Determinant Abstract The determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects. Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry

范德蒙行列式的历史回顾与应用

范德蒙行列式的历史回顾与应用 摘要：行列式是高等代数的重要内容之一，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变 换的基础。n 级范德蒙行列式是著名的行列式，它有广泛的应用，证明过程是行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n 级范德蒙行列式的历史发展进程与范德蒙行列式和类似范德蒙行列式的计算方法， 讨论它的各种位置变化规律, 介绍如何将类似范德蒙行列转换构造为标准的范德蒙行列式，并通过行列式的性质及定理，行列式的乘法规则，和行列式的加边法，来计算此类行列式，由此让人们能较为深入地了解到范德蒙行列式的魅力所在，同时也提高了分析、归纳与总结相关内容的能力，掌握解决此类问题的方法与技巧。 关键词：行列式，范德蒙行列式，行列式的性质，乘法规则，加边法，拉普拉斯定理， 子式，代数余子式，克莱姆法则，重根，充要条件，线性方程组。 1 .引言 行列式 11312 1 1223222 13 2 1 1111----=n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d 称为n 级的范德蒙行列式。（见文献[1]） 我们来证明，对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙行列式等于n a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差j i a a -（1≤j ＜i ≤n ）的乘积，即 ∏≤<≤-n i j j i a a 1)(。 我们可以将范德蒙行列式或类似范德蒙行列式的行列式，用行列式的性质、乘法规则、加边法，计算出结果。 2.1.预备知识

性质1 行列互换，行列式不变，即 nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212 221212111212222111211= 。 在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。 性质2 nn n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 21 21 112112 1 2111211=。 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。 性质3 nn n n n n nn n n n n nn n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a 2 12 1 11211212 1112112 1 221111211+=+++。 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应的行一样。 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓相同就是说两行的对应元素都相等。 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

行列式计算证明题

1-513 113 4 112 3 1?设 2 2… 2.计算元素为a” = |i —j 1 的n阶行列式 01A n -1 1 A冋一］ 1^1 = 1 TH 0 A n ?3 —2 由最后一和起，每行减刖一行1-1 A c -1 解.IvJ n - J 1 M - 2 A 0 lw J_ 1 1 A-1 1 A A 粕一 1 0-2 A A -1 每列力口錦鬥列M O0 A A =1-1严严0??1) M M 0-2 00A0-1 X] +1Xj 2A D x= x2 + 1+ 2A总+麗 A A A A 3.计算n阶行列式心+1召+ 2A (n 2) 是| A|中元素a ij的代数余子式 : -5 1 3 1-60 : 1 3 4 1 02 : 123 1 0 1 解.A41 + A42 + A3 + A44[ 1 1 1 0 0-6 计算Al l + Al2 + A43 + Al4 =, 其中A j 1,2, 3, 4) 十1严 2

解.当<■ >; Xj + 2 A 丑+用 1 齐+ 2 A 巧+肚 D n 二 % + 2 A : 冷亠2 A 巧+ w A A A A 上 A A A 心+2 A 忌+用 + -. 每+ 2 A 珂 Xj + 3 A 耳i 十挖 工！ 2 +3 A 盖i + 曲 % 心十？ A 兀2 +超 总2 ^ + 3 A 工2 + 用 M M M M M M M M M M % 珀+3 A + 珀2 兀+ 3 A 心+用 1咼 x : + 3 A 卞1十 肚 1 2 + 3 A 简十抡 1 x 2 屯十H A x 2 + w 1 2 z 2 +3 A x 2 + ?s M M M M M M M M M M + 1為 心+孑 A 码* + 1 2 4+3 A 心+冲 1可 ?十3 A H ］十 圧 1 r a 亏+3 A Jt 3 + W M M M M M 1 0 心+了 A 可十1 画十2 4.设a , b , c 是互异的实数,证明: 1 A 咼十肚 1 A 工2十肚 M M M M M 1 A X, +w 1 7] 3 A 雄i 十耳 1 x 2 3 A 心+血 M M M M M 1 x # 3 A 兀 j * 冲

范德蒙行列式论文

范德蒙行列式的推广及应用 目录 一、摘要 二、引言 三、第一章 1、定义…………………………………………………………… 2、定义的证明……………………………………………………… 3、推广定义及证明………………………………………… 4、性质…………………………………………………………………… 第二章 1、范德蒙行列式在行列式计算中的应用…………………………………… 2、范德蒙行列式在微积分计算中的应用………………………………… 3、范德蒙行列式在向量空间计算中的应用………………………… 4、范德蒙行列式在线性空间计算中的应用…………………………… 第三章 1、范德蒙行列式在多项式插值中的应用……………………………… 2、利用编程计算范德蒙行列式……………………………………………… 第四章 结论………………………………………………………………… 参考文献……………………………………………………………

摘要 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略） 关键词：………………（略） 引言 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略） 英文 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）

范德蒙行列式的证明及其应用

范德蒙德行列式的证明及其应用 摘要：介绍了n阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础. 关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用 1引言 行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末, 在十九世纪末,其理论体系已基本形成. 1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布 尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的 系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地 基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方 程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人. 他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的 钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是 范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数 书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列 式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在 范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自 此起,人们对行列式展开了单独的研究. 人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双 重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个 特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式. 范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的 应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来 将更广泛的应用在数学各个领域. 2范德蒙行列式的定义及证明 2.1定义

范德蒙行列式的应用论文

1引言 定义：形如 n D =113 12 1 1 2 2 32 22 1321 1111----n n n n n n n a a a a a a a a a a a a 的行列式叫做范德蒙行列式. 用递推法可以证明 n D =1 2322221 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1111n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---- () ?????→?=-+n i r a r i i ,2,111 21 31 1 2 2 2 2213311111100()()() n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --------- = 2131122133112 2 2 2213311() () () () ()() n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------ =(12a a -)(13a a -)…(1a a n -) 2 2 3 2 2 32111 ---n n n n n a a a a a a ???→?依次类推 n D = ∏≤<≤-n j i j a a i 1)( 2 范德蒙行列式在解题中的应用 2.1 范德蒙行列式简单性质 范德蒙行列式 1 1 2 1 1 21111 ---= n n n n n n x x x x x x D

性质一 逆时针旋转 90得 D = 1 1 1 1 1111 11 -----n n n n n n n x x x x x x 转置 1 1 1 1 1 11111-----n n n n n n n x x x x x x 交换各列 1 1 2 1 1 2111 1---n n n n n x x x x x x .2 )1() 1(--n n =n n n D ?--2 ) 1() 1( 性质二 逆时针旋转 180得 1 1 1 111 1 1 11 x x x x x x n n n n n n n -----交换各行n n n ) 1(1--） （1 1 1 1 1 11111 -----n n n n n n n x x x x x x = n n n )1(1--）（.n n n ) 1(1--） （n n D D = 性质三 逆时针旋转 270得 1 112 1 22 21 2121 11 n n n n n n n n n x x x x x x x x x ------转置 1 1 1 1 2 22 21 1 1 21 1 ------n n n n n n n n x x x x x x 交换各行 n n n D ?--2 )1()1( 性质四 逆时针旋转360 得 n D D = 所以：逆时针旋转2 π 的奇数倍则 D =n n n D ?--2 ) 1() 1( 逆时针旋转 2 π 的偶数倍则 D = n D 注①：类似三角公式中奇变偶不变.对此亦可进行顺时针旋转，结论一致. 2.2 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 例1 计算n+1阶行列式.

范德蒙德行列式的研究与应用

毕业设计（论文）题目范德蒙德行列式的研究与应用 院（系）数理学院 专业班级xxxxxx 学生姓名xxx 学号xxxx 指导教师xxxx 职称xxx 评阅教师xxxx 职称xxxx 2014年5 月30日 注意事项

1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作） 2）原创性声明 3）中文摘要（300字左右）、关键词 4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入） 6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论 7）参考文献 8）致谢 9）附录（对论文支持必要时） 2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。 3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。 4.文字、图表要求： 1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写 2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画 3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印 4）图表应绘制于无格子的页面上 5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档 5.装订顺序 1）设计（论文） 2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订 3）其它 学生毕业设计（论文）原创性声明

本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 毕业设计（论文）作者（签字）： 年月日

范德蒙行列式及其应用

目录 摘要及关键词 (1) 一、范德蒙行列式 (1) (一)范德蒙行列式定义 (1) (二)范德蒙行列式的推广 (4) 二、范德蒙行列式的相关应用 (8) (一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8) (二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14) (三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19) (四) 范德蒙行列式推广的应用 (21) 三、结束语 (22) 四、参考文献 (23)

范德蒙行列式及其应用 摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程 组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。本文将通过对n 阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。 关键词：范德蒙行列式、行列式 The Determinant of Vandermonde and Its Application Yuping- Xiao (Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China) Abstract: Higher algebra textbook edition in Beijing University,the determinant is not only an important point but also a difficult point,it is a foundation of learning linear equations,matrices, vector space and linear transformation,it plays an important role.And the calculation of determinant has a certain regularity and skills,it can be applied in many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Vandermonde determinant,and discuss the calculation of determinant,the relevant application in the calculus and multinomial theory, then study some examples about the determinant of Vandermonde,and acquire some methods and skills of determinant calculation,This will help us better use the determinant of Vandermonde to solve the problems. Key words: the Vandermonder determinant; determinant 一、范德蒙行列式 (一)范德蒙行列式定义 定义1[1] 关于变元1x ,2 x n x 的n 阶行列式 1 22 221 2 1 1112 111n n n n n n n x x x D x x x x x x ---= (1) 叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式。 下面我们来证明 对任意的n (2n ≥),n 级范德蒙行列式等于1x ，2 x n x 这n 个数的

范德蒙德行列式的证明

范德蒙德（Vandermonde ）行列式 ·定义：行列式1 1 3 1 2 1 1 2 23222 1 321...... ... ......... (1) (111) ----=n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d 称为n 级范德蒙德（Vandermonde ）行列式。 ·性质：对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙德行列式等于a 1a 2a 3...a n 这n 个数的所有可能的差 a i -a j (1≤j ＜i ≤n)的乘积。即 )(...... ... (1) (11111) 1 3 1 2 1 1 2 23222 1 321 j i n i j n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a d -∏==≤<≤---- 范德蒙德行列式为零的充分必要条件是a 1，a 2，...，a n 这n 个数种至少两个相等。 ·证明：（#数学归纳法） （i ）当n=2时， 122 11 1a a a a -=，结论成立。 ) (...... ... ...............1 (111) 1 12 1 2 3 2 2 2 1 2 123222 1 1 321 1j i n i j n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a d -∏==-≤<≤-------- （ii ）设对于n-1级范德蒙德行列式结论成立，即

则 || ....................................................).........() ())...()((...... ... ...... ...1...11) )...()(( 0 ... ... ... 0 ...01 (11112113122) 2 3 2 2 32113122 11 2 311 3 2 211 2 12 3 12 32 12 211312j i n i j j i n i j n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d -∏=-∏?---=---=---------=≤<≤≤<≤---------

范德蒙行列式用vb编程计算

Module Module1 Dim sum As Integer Function calc(ByVal arrayString As Object) As Integer Dim arrayCount As Integer '计算数组长度 arrayCount = UBound(arrayString) - LBound(arrayString) + 1 '定义计算结果 sum = 1 '利用双重循环计算范德蒙多行列式值 For i = 0 To arrayCount - 1 For j = i + 1 To arrayCount - 1 'Val函数转字符串为整数 sum *= (Val(arrayString(j)) - Val(arrayString(i))) Next j Next i Return sum End Function Sub Main() Dim array(100) As Integer '获取用户输入，测试数据用，隔开 Dim arrayString() = Split(InputBox("请输入数据，用，隔开"), ",") Dim result = calc(arrayString) MsgBox(result) End Sub End Module Module Module1 Dim sum As Integer Function calc(ByVal arrayString As Object) As Integer Dim arrayCount As Integer '计算数组长度 arrayCount = UBound(arrayString) - LBound(arrayString) + 1 '定义计算结果 sum = 1 '利用双重循环计算范德蒙多行列式值 For i = 0 To arrayCount - 1 For j = i + 1 To arrayCount - 1 'Val函数转字符串为整数 sum *= (Val(arrayString(j)) - Val(arrayString(i))) Next j

范德蒙行列式的应用论文

范德蒙行列式的应用 摘要行列式是线性代数的主要内容之一，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，有着很重要的作用。而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。 关键词：行列式；范德蒙行列式；向量空间理论；线性变换理论；微积分

VANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONS ABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus. Key words: linear algebra，Vandermonde determinant，theory of vector spaces，linear transformation theory，infinitesimal calculus.

范德蒙行列式的应用

幂零矩阵性质及应用 摘要： 幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题实行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。 关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识 版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社） （一） 一些概念 1、令A 为n 阶方阵，若存有正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。 2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。 3、设11 11 n n nn a a A a a ?? ?= ? ??? ，称11 11n n nn a a A a a ?? ? '= ? ???为A 的转置， 称11 1*1n n nn A A A A A ?? ? = ? ??? 为A 的伴随矩阵。 其中(,1,2,,)ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式 4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。 5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。 6、形为 010(,)000001J t λλλλλ?? ? ? ?= ? ? ???

范德蒙德行列式的几点应用

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用 我们知道，n 阶范德蒙德行列式 ()21 1 11212 22 121111n n n i j j i n n n n n x x x x x x V x x x x x --<-= =-∏ ≤≤， 当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果． 例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根． 证 设()2012n n f x a a x a x a x =++++ 有1n +个互异的零点121,,,n x x x + ，则有 ()20120n i i i n i f x a a x a x a x =++++= ，1 1i n +≤≤． 即 2011121202222220112 10, 0, 0. n n n n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++?++++=?++++=?? ??++++=? 这个关于01,,,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式 ()2 1112222 11 21 11 11 01n n i j j i n n n n n x x x x x x x x x x x <++++=-≠∏ ≤≤， 因此0120n a a a a ===== ．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根． 例2 设12,,,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,,n b b b ，存在惟一的次数小于n 的多项式()L x ： ()1 n j i i j i i j x a L x b a a =≠-=-∑∏ ， 使得()i i L a b =，1 i n ≤≤． 证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可． 设()2 1 0121n n f x c c x c x c x --=++++ 满足

范德蒙行列式的应用论文

范德蒙行列式的应用论文 范德蒙行列式的应用 摘要行列式是线性代数的主要内容之一～它是后续课程线性方程组、矩阵、 向量空间和线性变换的基础～有着很重要的作用。而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式～它构造独特、形式优美～更由于它有广泛的应用～因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算～以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。 行列式,范德蒙行列式,向量空间理论,线性变换理论,微积分关键词: VANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONS ABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of

范德蒙行列式的相关应用

范德蒙行列式的相关应用 （一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是： 1 22 22121 11112 111()n n n i j n i j n n n n x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏L L L L L L L L 根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。常见的化法有以下几种： 1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。 例1 计算 2221 1 1222333n n n n D n n n = L L L L 解 n D 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到n r -。而是由1递升至n 。如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n -. []21 212 1 1 111 1222!!(21)(31)(1)(32)(2)(1)1 3331 n n n n D n n n n n n n n n ---==-------L L L L L L L L L L L L !(1)!(2)!2!1!n n n =--L 例2 计算 11 1 1(1)()(1)()1111 n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--L L L L L L L L

解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使 1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至 第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行L 第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过 (1) (1)(2)212 n n n n n ++-+-+++= L 次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式： [][](1) 2 1111(1)2 1 1 111(1) (1)()(1) ()(1) (1)(2)()2(1)((1))! n n n n n n n n n n n k a a a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏L L L L L L L L L L 若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将 n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范 德蒙行列式： 例3 计算 1 2 3 4 2 2 2 2 11223344232323231122 3344 1 1111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ= Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ 解 将D 的第一行乘以-1加到第二行得： 1 2 3 4 2 2 2 2 112233442323232311223344 1111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ 再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：

范德蒙行列式及其应用

范德蒙行列式及其应用 摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用. 关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换 一． 范德蒙行列式定义及性质 1.范德蒙行列式的定义 定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式 1 22 2 2 1 21 111 2 111n n n n n n n x x x D x x x x x x ---= (1) 叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）. 2.我们用定理证明范德蒙德行列式 已知在错误！未找到引用源。级行列式 中，第错误！未找到引用源。行（或第错误！未找到引用源。列）的元素除错误！未找到引用源。外都是零，那么这个行列式等于错误！未找到引用源。与它的代数余子式错误！未找到引用源。的乘积错误！未找到引用源。 ，在 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的错误！未找到引用源。倍得

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 根据上述定理 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 提出每一列的公因子后得 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 最后一个因子是错误！未找到引用源。阶范德蒙行列式，用错误！未找到引用源。表示，则有 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 同样可得 错误！未找到引用源。=（错误！未找到引用源。）(错误！未找到引用源。)错误！未找到 引用源。(错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。 此处错误！未找到引用源。是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）错误！未找到引用 源。(错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。） 由以上的计算可以得出， 定理1 n 阶范德蒙行列式 n V （1x ,2x ,…n x ）=1 22 2 2 1 21 11 1 2 11...1n n n n n n x x x x x x x x x --- =∏(i j x x -). 有这个结果立即得出 定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等. 二． 范德蒙行列式的应用