一元二次方程
知识要点
1 ?方程中只含有 _个未知数,并且整理后未知数的最高次数是这样的__________ 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式(a 、b、c、为常数,a_」。
2.一元二次方程的解法:
(1)直接开平方法:当一元二次方程的一边是一个含有未知数的__________ 的平方,而另一边是一个 ________ 时,可以根据 ________ 的意义,通过开平方法求出这个方程的解。
(2)配方法:用配方法解一元二次方程ax2 bx c o a 0的一般步骤是:
①化二次项系数为 ____ ,即方程两边同时除以二次项系数;
②移项,使方程左边为 ______ 项和_______ 项,右边为______ 项;
③配方,即方程两边都加上 _________________ 的平方;
④化原方程为(x m)2 n的形式,
如果n是非负数,即n 0,就可以用_____________ 法求出方程的解。
如果n v O,则原方程_______ 。
(3)公式法:方程ax2 bx c 0(a ______________ 0),当b2 4ac 0 时,x =
(4)因式分解法:用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:
①将方程的右边化为_______ ;
②将方程的左边化成两个_____ 的乘积;
③令每个因式都等于______ ,得到两个_________ 方程;
④解这两个方程,它们的解就是原方程的解。
3. 一元二次方程的根的判别式
(1) b24ac >0 一兀二次方程ax2 bx c0 a 0有两个的实数根
即x,x2
(2) b24ac =0 一兀二次方程有两个的实数根,即xi X2 ,
(3) b24ac <0 一兀二次方程ax2 bx c0 a 0 实数根。
4.元
—二次方程根与系数的关系
(
韦达定理)
如果一元二次方程ax2 bx c 0(a0)的两根为X i,X2,则% x2,x-i x2
提示:在应用一元二次方程根与系数的关系时,一定要保证元二次方程有实数根。
经典考题:
例1、若关于x的一元二次方程x2 (k 3)x k 0的一个根是2,则另一个根是_______________ 变式1、已知关于x的方程x2-3x+2k=0的一个根是1,则k= _________________
变式
2、
一兀二次方程2x mx 3 '0的一个根为1,则另一个根为
例2、兀二次方程x(x-2):=2- x的根是()
A.— 1
B.2
C. 1 和2 D . —1和2
变式1、
一元
一
二次方程x2=16的解是
变式
2、
方程x2 4 0的根是()
A. x :2
B. x2
C.x! 2,x22
D. x 4
例3、已知关于x的一元二次方程(a-I )x2- 2x+l = 0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()
A a v 2 B、a> 2 CC a v 2 且a艸 D a v — 2
变式1、若关于x的一元二次方程kx2 2x 1 0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(A) k 1 (B) k 1 且k 0 (c) k 1 (D) k 1 且k 0
例4、若捲,X2是一元二次方程x25x 6 0的两个根,贝U X1+X2的值是()
A. 1
B. 5
C. 5
D. 6
变式1、已知关于x的一元
二
一次方程x2 6x k 1 0的两个实数根是X1, X2,且xj xf 24,
则k的值是()
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
变式2、若方程x2 3x 10的两根为冷、X2,
1 1
则一一的值为()
x1x2
A. 3
B.—3
1
C. 1
D.1
33
例5、用配方法解方程x2 2x 5 0时,原方程应变形为()
典 2 2
A ?x 1 6 B. x 1 6
2 2
C. x 2 9
D. x 2 9
变式1、用配方法解方程3x2 6x 1 0,则方程可变形为( )
2 1 21
A. (x 3)2 -
B. 3(x 1)2 -
3 3
2 22
C. (3x 1) 1
D. (x 1) -
变式2、用配方法解儿
—一次方
程
2 x4x5的过程中,配方正确的是()
A. ( x 2)2 1 B . (x2)21C.(x2)29 D.2
(x 2) 9例6、解方程:
(1) (x 3)2 2x(x3)0⑵(x2
3) 4x(x 3)0 .
(3) x2 4x 2
0 .
(4) x2 2x 3 0
2
(5) x 3x 1 0 .
(6) x2 2x 2
0。