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异面直线所成的角讲义(教师版)

A 1

异面直线所成的角

1.基础知识：

余弦定理：a b c bc A A b c a bc

222

22=+-?=+-cos cos

正弦定理：a A b B c C R a R A

b R B

c R C

sin sin sin sin sin sin ===?===???

?2222

S a b C ?=

·sin

2.平移法

例1．

如图，在正方体1111D C B A ABCD -中， E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ，因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ，又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1，

故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G∥D 1F 。

设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。

因为E 是BB 1的中点，所以Rt△A 1AG≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,从而∠A 1HA=90°, 即直线AE 与D 1F 所成的角为直角。

例2．

在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．

解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝

FG ＝EG ＝1

∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

例3．

S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且2

ASB BSC CSA π

∠=∠=∠=

，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．

求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．

证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角

B M N C

连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝

a 2

NQ ＝

21SM ＝

a BQ ＝

a 4

∴COS∠QNB＝5

2222=?-+NQ BN BQ NQ BN

例4．

正ABC ?的边长为a ，S 为ABC ?所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．答案：45°

例5．

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，

∠BCA＝90°，M 、N 分别是AB 和AC 的中点，

若BC ＝CA ＝CC 1，求B 1M 与A 1N 所成角的余弦值．解：连接MN ，作NG∥B 1M 交B 1C 1于G ，连接AG ，易证∠GNA 1就是B 1M 与A 1N 所成的角．

设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则A 1G ＝A 1N ＝5，GN ＝B 1M ＝6， cos∠GNA＝

62556=

??-+。例6．如图的正方体中，E 是A′D′的中点

(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?

(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；

(3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；

(4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值

解：(1)

∵ A '?平面BC′，又点B 和直线CC′都在平面BC′内，且B ?CC′, ∴ 直线BA′与CC′是异面直线

同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC 、AD 、B′C′所在的直线都和直线BA′

成异面直线

(2)∵ CC′∥BB′，

∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角 ∵ ∠A′BB′=45°

∴ BA′和CC′所成的角是45°

(3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE 和AA′所成的锐角∠A′AE 是AE 和CC′ 所成的角在Rt△AA′E 中，tan ∠A′AE＝

A E AA ''

＝21，所以AE 和CC′所成角的正切值是21

(4)取B′C′的中点F ，连EF 、BF ，则有EF ＝∥

A '

B '＝∥

AB, ∴ ABFE 是平行四边形，从而BF ＝∥

AE, 即BF∥AE 且BF=AE. ∴ BF 与BA′所成的锐角∠A′BF 就是AE 和BA′所成的角

M A C

B B '

A '

A B C '

D '

D F E

设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF 的各边长分别为 A′B＝22，A′F＝BF ＝5，由余弦定理得：

cos ∠A ’

BF ＝

222)5()5()22(2

22=

??-+ 3.补形法例1：

在正方体AC 1中，M,N 分别是A 1A 和B 1B 的中点，求异面直线A 1M 和D 1N 所成的角的余弦值？

方法一：（平移法）

1AO M ∠=

方法二：（补形法）

A 1C 1与BD 1

所成角的余弦值为5

课堂训练：

1．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角的正切值

2.如图，四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，求BE 与CD 所成角的余弦值

3.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点求MN 与CC 1所成角的余弦值。

4.如图，四面体ABCD 中，E 为AD 中点，若AC ＝CD ＝DA ＝8，AB ＝BD ＝5，BC ＝7，求BE 与CD 所成角的余弦值。答案；1．

，取AD 中点E ，则∠MEN＝90°； 2．57，取AC 中点F ，连EF 、BF ，求得BE ＝21AD ＝5，BF ＝2

AC ＝32； 3．

2，分别取AC 、B 1C 1的中点P 、Q ，则PMQN 是矩形，设CC 1＝MQ ＝a ，则MP ＝21a ；

4．6

，取AC 中点F ，连EF 、BF ，则EF ＝4，BE ＝BF ＝3．

A B D M

(第1题) N

4 3 A

B D (第2题) E 6 6 8 (第3题)

M A B C N C 1

A 1

B 1 8

A B C

D E

(第4题) 7 8 5

4 4

异面直线所成的角练习题

1. 如图在长方体ABCD —A

1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是

A ．

515 B C ．5

10 D ．0

2. 在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为1的菱形，⊥?=∠PA ABC ,60底面ABCD ，PA=1，则异面直线AB 与PD 所成角的余弦值为

A ．

B ．

2 C ．

414

D ．

2 3. 过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABCD A BC D -的12条棱所在直线成等角的直线共有 A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数条

4. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内取一点E ，使AE 与AB 、AD 所成的角都是60°，则线段AE 的长为

A ．

B ．

C D 5. 已知S —ABC 是正四面体，M 为AB 之中点，则SM 与BC 所成的角的余弦值为。 6. 在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，已知E 是棱C 1D 1的中点，则异面直线B 1D 1与CE 所成角的余弦值的大小是 A ．

B ．

55 C ．5

10 D ．

7. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱AB 的中点，则异面直线DM 与D 1B 所成角的余弦值为 A ．

615 B ．515 C ．315 D ．10

8. 在三棱锥P —ABC 中，ABC PA 底面⊥，BC AC ⊥，BC AC PA ==，则两直线PC 与AB 所成角的大小是 .

参考答案：

1.D

2.A

3.C

4.C

5.6

6.D

7.B

8.?60

异面直线所成的角练习题

A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二）一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）（A ）不平行的直线（B ）不相交的直线（C ）相交直线或平行直线（D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是（）（A ）和两条异面直线都垂直相交的直线（B ）和两条异面直线都垂直的直线（C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长（D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是（）（A ）3个（B ）2个（C ）1个（D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为（）（A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）（A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）（A ）23（B ）1010（C ）5 3（D ）54 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成ο60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（）（A ）平行（B ）平行和异面（C ）平行和相交（D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则（）（A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形（B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形（D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为．

异面直线所成的角的求法

异面直线所成的角的求法法一：平移法在正方体 ABCD A i B i C i D i 中，求下列各对异面直线所成的角。恵，求直线AB 与CD 所成的角。习题1?在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2, E, F 分别为AB 、CD 的中点，EF =为, 求AD 、BC 所成角的大小. 例1: (1) AA 1 与 BC ; (2) DD 1 与 AB ; (3) A i B 与 A C 。法二：例2: 求直线AB 与MN 所成的角。中位线在空间四边形 ABCD 中，AB = CD ，且AB CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点, 变式：在空间四边形 ABCD 中，点M 、N 分别为 BC 、AD 的中点，AB = CD = 2,且 MN =

正 ABC 的边长为a , S 为 ABC 所在平面外的一点，SA = SB = SC = a, E , F 分别是SC 和AB 的中点.求异面直线 SA 和EF 所成角. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC ,且 ASB = BSC = CSA = - , M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线 SM 与BN 所成的角的余弦值. 如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ BCA = 90° M 、N 分别是 A i B i 和A i C i 的中点，若BC = CA = CC i ，求BM 与AN 所成的角. 5.如图1 — 28的正方体中，E 是A D 勺中点 (1) 图中哪些棱所在的直线与直线 BA 成异面直线？ (2) 求直线 (3) 求直线 (4) 求直线 2. 3. 4 . BA 和CC 所成的角的大小； AE 和CC 所成的角的正切值; AE 和BA 所成的角的余弦值 B A （图 1— 28）

异面直线所成角练习

1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°．故选：D ．考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（） A ． 3 ．7 C ．5 D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：设向量 1,,AB a AD b AA c === ，则11 ,AC a b c AD b c =++=- ，11AC A D ∴== 111111cos ,AC A D AC A D AC A D ?<>== 。考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3．正方体1111ABCD A BC D -中，,,,E F G H 分别是1AA , AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

【答案】C 【解析】试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60° 考点：异面直线所成角 4．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（） A ． 5 ．5．5 10 - D ．5- 【答案】B 【解析】试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1 D CF ∠为异面直线所成角，设边长为2 ，11C F DC DF ∴== 1cos 5 DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角 5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（） A 、910 B 、45 C 、710 D 、3 5 【答案】A 【解析】试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB = ,在'' A BC ?中 ''''AC A B BC ===''9 cos 10 A BC ∴∠= 考点：异面直线所成角 6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是 A ．?60 B ．?90 C ．?45 D ．?30 【答案】A 【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，

补充构造异面直线所成角的几种方法

一. 异面直线所成角的求法 1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，] 90? 2、熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。（2）求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是。 E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G

例 2 已知 S 是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ 2 π ，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．例3长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 B M A N C S B M A N C S B M A N C S

异面直线及其所成的角

异面直线及其所成的角填空题基础题1.doc 参考答案与试题解析一．填空题（共30小题） 1．（2015?松江区一模）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．来源：2015年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到．解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，

即有tan60°=，即b=a，在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a， cos∠BC1A1==．则BC1与AC所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题． 2．（2015?浦东新区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为arccos．来源：2015年上海市浦东新区高考数学一模试卷难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角．

异面直线所成的角求法-答案

异面直线所成的角的两种求法初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！下面介绍两种求法一．传统求法--------找、作、证、求解。求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角. 解由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝2 1 AB ＝62， HE ＝ 2 1 ，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123. ∴ sin∠EHG＝ 2 2 ,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45° 注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2 2 AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图）解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG= 21 BC ，FG∥AD，且FG= 2 1 AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。由BC=AD 知EG=GF= 2 1 AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。求：AM 与CN 所成的角的余弦值； H G F E D C B A A B C G F E D

异面直线所成的角

科目：数学课题 §2.1.2.2异面直线所成的角课型新课教学目标（1）理解异面直线所成的定义（2）掌握求异面直线所成的角要注意的问题（3）掌握求异面直线所成角的一般步骤教学过程教学内容备注一、自主学习 1.什么叫异面直线？三线平行公理和等角定理分别说明什么问题？ 2.不同的异面直线有不同的相对位置关系，用什么几何量反映异面直线之间的相对位置关系，是我们需要探讨的问题.

二、质疑提问思考1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系，分别是通过什么几何量来反映的？思考2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否发生变化？思考3:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？三、问题探究思考1：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐角(或直角)来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之为异面直线所成的角.你能给“异面直线所成的角” 下个定义吗？对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或

直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 思考2:若点O的位置不同，则直线a′与b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点O宜选在何处？思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？思考2:如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，

如何求异面直线所成的角

3 3 如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作证求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。 I 、用平移法作两条异面直线所成的角、端点平移法例1、在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， CBA 900 ,点D , F 分别是 AQ , A ,B i 的中点，若 AB BC CC i ,求CD 与AF 所成的角的余弦值。解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， QDF//EC 且 DF EC 四边形DFEC 为平行四边形 EF // DC EFA （或它的补角）为CD 与AF 所成的角。设 AB 2,则 EF 76，AF 730 arccos 10 、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, 解：连结MD ，取MD 的中点0，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， NO 为DAM 的中位线， NO//AM ， ONC （或它的补角）为AM 与CN 所成的角。広 J 7 设正四面体ABCD 的棱长为2，则有NO —，CN 73, CO — 2 2 皿 NO 2 CN 2 CO 2 故 cos ONC ----------------- 2NOgCN 2 ONC arccos-故EFA EF 2 FA 2 EA 2 2EFgFA 730 10 75，EA 45 M , N 分别是BC, AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 EFA A l A D

异面直线所成的角说课稿

说课稿：异面直线所成的角各位老师，大家好！我说课的内容是《异面直线所成的角》．我将通过教材分析、教学目标、重点难点、教法与学法、教学过程、教学评价、六个部分，阐述本课的教学设计．一、教材分析 1．教学内容《异面直线所成的角》是中等职业教育规划教材，人民教育出版《数学》第一册，第十二章的第四节第二部分“空间两条直线的位置关系”的第二小节，主要内容是异面直线所成的角的定义及其求法 2.地位与作用异面直线所成的角是第十二章立体几何的重点内容之一，也是难点之一。它是立体几何教学的起始阶段，对发展学生的空间想象能力、培养学生优良数学思维品质是非常必要的；本节课所渗透的“转化”思想不仅是这节课的重要思想方法，也是立体几何学习的核心思想。二、教学目标所成的角１．学情分析学生学习立体几何没多久，空间意识淡薄，还没有解决空间问题的基本思路。虽然已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在分析推理能力、空间想象能力方面比较欠缺。多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强. 2、教学目标根据“以人为本、以能力为本”的教育教学理念以及前面对教材、学情的分析，我制定了如下教学目标．（1）知识目标：：①理解并掌握异面直线所成的角的概念和初步运用②掌握在简单几何载体中找（作）出两条异面直线所成角的方法及求解步骤（2）能力目标：①进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力②培养学生获取数学知识的能力，数学交流表达的能力和自主学习的内在发展能力（3）情感目标：①通过让学生积极参与探究，投入到课堂教学双边活动中，培养学生的合作意识 ②通过让学生体验成功，享受发现的乐趣，培养学生学习数学的自信心三、重点、难点: 1、重点：（1）异面直线所成的角的概念（2）异面直线所成角的求法 2、难点：如何根据定义作出异面直线所成的角是本课的难点 3、难点突破：本课在设计上采用了由感性到理性、从具体到抽象的教学策略，同时，借助于多媒体的直观动态演示帮助学生理解并掌握方法，并通过逐步深入的练习，交流互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点四、教法与学法 1、教法：（1）根据教学内容和职业学生的学习状况、认知特点，本课采用学生自主探究、小组合作研讨的教学方法．而教师则在情境创设、认知策略上给予适当的点拨和引导（2）采用模型演示和多媒体辅助教学，提高课堂效率，激发学习热情。对于复杂的立几问题，使用几何画板及flash动画以直观、形象的方式展示给学生，便于学生理解和掌握 2、学法：学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。五、教学过程结合教材知识内容和教学目标，本节课的教学过程由 1 、创设情景引入新课、 2、新课探究 3、应用例解 4、反馈练习 5、归纳小结 6、布置作业，六个教学环节构成。环节１创设情境在教学环节1中，首先在一个正方体观察哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线，为什么？之后教师指出：从位置关系说，这六条直线与直线BA1同为异面直线，但它们与直线BA1的相对位置，是否就没有区别？学生回答：有区别。教师紧接着说：既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相

异面直线及其夹角

异面直线及其夹角教学目标：：知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形，会判断两直线是否为异面直线。 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。教学重点、难点: 重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。教学准备：多媒体课件教学课时：二课时教学过程：第一课时一、导入新课 1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？两条道路所在的直线不在同一平面内。它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？ 2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。（板书课题）二、新课讲解前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。我们给它一个新的名称“异面直线”。 1 异面直线的定义：不同在任何．．一个平面内的两条直线叫异面直线。 2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。（如前面我们所说的两个例子，同学们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。 3.空间两条异面直线的画法。如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其特点）这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征难以体现。（今后我们也可以不用平面来衬托）同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？ a b a b b a

高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直角平移法： 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝ 3 FG ＝EG ＝1 ∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．正确答案：45° 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝ 2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝ a 2 5 NQ ＝21SM ＝ 4 2a BQ ＝ a 4 14 ∴COS ∠QNB ＝ 5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝10 305 62556=??-+。 B M A N C S

异面直线所成角的计算

第二节异面直线所成角的计算 1.定义：直线a 、b 是异面直线，经过空间一交O ，分别a ?范围：例1 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 分析:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形. 作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法: 把空间图形补成熟悉的几何体, 其目的在于容易发现两条异面直线的关系. 2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 小结：求异面直线所成角的方法：变式一：已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，各侧棱与底面边长相等，求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值。变式二：如图，点M 是正方形ABCD 所在平面外的一点，且MA=MB=MC=MD=AB 2，求异面直线MC 与BD 所成角的余弦值。例2 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角AEB ∠=45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．例3 空间四边形ABCD 中，对角线8AC =，6BD =，,M N 分别为,AB CD 的中点，且5MN =，求异面直线,AC BD 所成的角。变式：在空间四边形ABCD 中，4BD =，6AC =，且AC BD ⊥，,M N 分别为,AB CD 的中点，求MN 及MN 与BD 所成角的正切值。 1、两条直线,与平面α所成的角相等,则直线a ,b 的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能. 2、设棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1和BB 1的中点，则直线CM 和D 1N 所成角的正弦值为 . 3、已知a 、b 是一对异面直线，且a 、b 成60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中，与a 、b 均成60o 角的直线有条. 4、异面直线a 、b 互相垂直，c 与a 成30o 角，则c 与b 所成角的范围是 . 5、.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 6、长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，（1）求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角的余弦值。（2）若M 、N 分别是BC 、11C A 的中点，求异面直线M A 1与CN 所成角的余弦值。 A C B D A B M D A C B F E 1 A 1

高中数学必修二《异面直线所成的角》专题复习优秀教学设计

人教A版必修2第二章专题复习课----异面直线所成的角一、教学目标： 1、掌握异面直线所成角的定义、范围 2、掌握异面直线所成角的方法二、教学重点：能熟练的运用传统几何方法和空间向量方法计算异面直线所成的角三、教学过程： 1、知识回顾 ①异面直线所成角的定义 ②异面直线所成角的范围 ③求异面直线所成角的方法：平移法、补形法、空间向量法 2、例题讲解：例、如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥平面ABC，∠ACB = 90°， ∠ABD = 30°，AC = BC，求异面直线AB 与CD所成的角的余弦值。 D A B C

思路一：平移法 ①平移 ②构造三角形③求角主要思路:a CE CD DE CE CD DCE a DE CD a AB EC ABC DA a AD CD AB DCE DE ABCE BC AB 10 302cos 2 6,3,,,2 22=?-+= ∠= ===⊥=∠则面所成的角，设、就是异面直线则，连结平行四边形为邻边作、解：以一作，二证，三计算 A B C D 思路二、补形法补形法：①补形 ②平移③构造三角形 ④求角把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。

建立空间直角坐标系解:设AD 长为a, )0,2 3 ,23( a a C 10 3 a - 注意:不能写成CD AB

3、巩固练习（1）、在正方体AC 1中，M,N 分别是A 1A 和B 1B 的中点，求异面直线CM 和D 1N 所成的角余弦值？（2）若M 为A 1B 1的中点，N 为BB 1的中点，求异面直线AM 与CN 所成的角；四、归纳小结（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、 B A C 1 M A 1 1 E

文科高考中异面直线所成角的常考题型

异面直线所成的角一．例题与课堂练习题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3 ，求AD 、BC 所成角的大小．题2．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2 π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．题3．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．题4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．题5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。题6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值【说明】(1)如图1—29，单独画出△A?BF，使图中线段与角的数量关系较直观图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法； (2)解法中用余弦定理求cos∠A?BF,其实有更简单方法，请找出简单方法 (3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案? B M A N C S A C B N M A C B B? (图 1－ A? A B C? D? C D F E

高中数学《异面直线》教学设计

高中数学《异面直线》教学设计教学目标: 会用图形表示两条直线异面,理解并掌握异面直线所成角的定义,熟记异面直线所成角的范围;会用平移转换法求异面直线所成的角,理解异面直线公垂线的定义,掌握异面直线间距离的概念;会求已给出公垂线的两异面直线间的距离;培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力,使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想;通过本节内容的学习,培养学生不断探索发现新知识的精神,渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 教学重点: 异面直线所成角的定义、范围、计算,异面直线间距离的定义与计算. 教学难点: 异面直线所成角的计算,异面直线间距离的计算. 教学过程: Ⅰ.课题导入 [师]前面我们学习的空间两条直线的位置关系和平行公理与等角定理、平行公理与等角定理及其推论是平行直线中的有关内容,今天我们来研究异面直线中的有关内容(板书课题. Ⅱ.讲授新课 [师]前面我们学习空间两条直线的位置关系时,讨论了异面直线,并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时,怎样显示它们不共面的特点呢?常用的方法有下列几种:

这三种表示方法有一个共同的特点,就是用平面来衬托,离开平面的衬托,不同在任何一个平面的特征则难以体现.请同学们注意: 这样表示a、b异面正确吗? [生]不正确.直观上看a?α,b?β,似乎分别在不同的平面内,但从图形上可看出,a、b有与两平面α、β的交线都平行的可能,这样a与b就平行,它们完全有可能在新的平面γ内, 所以这样画容易给人造成误解. [师]好!画异面直线时,一定要把其特征清楚地显现出来,不能使人产生歧义.

空间两条直线所成的角教学设计

《空间两条直线所成的角》教学设计罗央旦一、教材分析《异面直线所成角》是高等教育出版社数学基础模块下册9.3.1内容。它是职高数学教学的重点和难点之一，并且与直线与平面所成的角，平面与平面所成的角都有很大的关联。所以这块内容掌握的好坏直接影响后面的学习，非常关键。学生在初中已经学习过平面两条直线所成角，如何把空间两条直线所成角转化成平面中两条直线所成角，这是本节课的关键。对立体几何这块内容，新大纲要求采用直观教学的方法，遵循从具体到抽象，从特殊到一般的教学原则，利用计算机软件多媒体方式呈现空间几合体，这就需要适当引导学生通过实验，亲身做一做，观察等引出新知识，在理解的基础上，指导学生应用所学知识去解决实际问题，提高学生的学习兴趣。三、学情分析对学生而言，本节内容比较抽象，难学。尤其是初中平面几何基础掌握不是很好的，听课似乎是云里雾里。本节主要内容是两条异面直线所成角的概念，学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念。突破这个难点的关键是采用多媒体课件进行辅助教学，通过直观的演示，使学生切实明白。弄清楚了概念后，如何求出这个角也是关键。涉及到计算问题，就要复习解三角形的相关概念，余弦定理等都要提及。三、教学目标知识目标：理解空间两异面直线所成角的定义、范围，并会作出、求出两异面直线所成角。能力目标：培养学生的识图、作图能力，在习题讲解中，培养学生的空间想象能力以及解决问题和分析问题的能力。情感目标：在对学生进行创造性思维培养的同时，激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点。四、教学重点难点教学重点：对异面直线所成角的定义的理解和应用。教学难点：如何在实际问题中求出异面直线所成的角。五、设计思想 “授人以鱼，不如授人以渔”。在教学过程中，我们要传授学生课本知识，但比课本知识更重要的是，通过学习培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，这才是教学的终极目标。在教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在师生积极的双边活动中，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键。本着这个思想，本节课从学生专业出发，设计了观察素描画像，做实验、观看多媒体动画等环节，让学生参与到每一个环节，充分发挥学生在学习过程中的主动性、积极性和创造性。六、教学策略与手段 1.“主导—主体—主线”三位一体的探究式教学模式强调学生的主体性，要求充分发挥学生在学习过程中的主动性、积极性和创造性。学生被看作知识建构过程的积极参与者，学习的许多目标和任务都要学生主动、有目的地获取材料来实现。教师是教学过程的组织者、指导者、促进者和咨询者，教师的主导作用可以使教学过程更加优化，是教学活动中重要的一环，它自始至终是以学生自主探究为主线的。 2.多媒体，实验等教学手段

异面直线所成角作业

注明：作业一定写出详细的解题过程！！！ ★1、在正方体1111D C B A ABCD -中，M,N 分别是1A A 和1B B 的中点，求异面直线CM 和1D N 所成的角？求异面直线1A M 和1D N 所成的角？（删） 2 在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3 ，求AD 、 BC 所成角的大小． 3 ，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点 BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值是 4．如图1—28的正方体中，E 是A′D′ 的中点 (1)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (2)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (3)求直线AE 和BA′ 所成的角的余弦值 ★5.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角（删） 6．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3， M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角的正切值 7.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体， M 、N 分别是BC 和A 1C 1MN 与CC 1所成角的余弦值。 B ' (图1－28) A ' A B C ' D ' C D F E (第3题) F 1 A B C D 1 C 1 A 1 B 1 A B D M (第6题) N 4 3 (7题) M A B C N C 1 A 1 B 1 F B C E S (第5题)

异面直线所成角练习

- 总 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为 A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°．故选：D ．考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（） A 6 B 14 C 15 D 10【答案】B 【解析】试题分析：设向量1,,AB a AD b AA c ===，则11,AC a b c A D b c =++=-， 112,7AC A D ∴==， 11111114 cos ,7 AC A D AC A D AC A D ?<>= =。考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3．正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（）

A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】C 【解析】试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60° 考点：异面直线所成角 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（） A B C ．5 10- D ．【答案】B 【解析】试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1DC F ∠为异面直线所成角，设边长为2 ， 11C F DC DF ∴== =1cos 5 DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角 5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（） A 、910 B 、45 C 、710 D 、3 5 【答案】A 【解析】试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB = ,在'' A BC ?中''''AC A B BC ===''9 cos 10 A BC ∴∠= 考点：异面直线所成角 6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是 A ．?60 B ．?90 C ．?45 D ．?30 【答案】A 【解析】

异面直线所成的角教案

异面直线所成角教案设计 ●所用教材说明： “异面直线所成角”是人教版高中数学必修2中第二章“点，直线，平面之间的位置关系”2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系中最后一小节内容（46页至47页部分）。它是立体几何教学的起始阶段，引导学生去积极探索，逐步建构立几的知识体系，异面直线所成角的大小是一种重要的定量计算。本节内容运用类比的方法，平行变换思想，化归的思想，这些是高考中所要重点考察的内容和数学思想。本课是在学生初步了解空间两条直线的三种位置关系的基础上进一步研究两异面直线的相关性质。 ●教学要求：掌握异面直线所成角的定义和求法

学会用平移法求异面直线所成角 ●教学目标： ▲知识掌握目标：认识两条异面直线所成角的概念；并通过讨论使学生掌握求两条异面直线所成角的方法 ▲能力培养目标：培养学生观察，分析，抽象，概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决问题的能力 ▲创新培养目标:培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识 ▲德育目标:通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对空间立体美的感受，激发学生对美好事物的追求 ●教学重难点：重点是异面直线所成角的定义难点是异面直线所成角的求法 ●教学方法：师生共同讨论法教学中联系平面图形的知识，联想两相

交直线的度量关系——角，利用类比方法引入异面直线所成的角，利用化归思想，通过平移，化空间问题为平面问题。 ●教学过程：本节课以“课程引入—建构数学—数学运用—总结提高”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索，讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好的理解数学知识的意义。而且按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序引导学生从生活实例入手，从分析定义开始，循序渐进地进行探究，有利于学生进行思考。对学生来说，空间角转化成平面角有一定难度，因此教学中对此进行了重点引导，点拨。 ●教师讲解：在平面几何中我们知道，对于两条相交直线，可以用它们交角大小来确定其相互的位置关系；对于两条平行线，可以用它们之

《用向量法求异面直线所成的角》教案

第一讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求异面直线所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点求解异面直线所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾一、回顾有关知识： 1、两异直线所成的角：（范围：]2 , 0(π θ∈）（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a ′与b ′，那么直线a ′与b ′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和， a b α θ O