简单数学建模100例
“学”以致用
-----简单数学建模步骤
数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练来加深理解所学公式。但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.
一．模型准备先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备。
二．模型假设有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。
三．模型构成在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）。
四．模型解析在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。
五．模型检验与应用把模型解析得到的结果与实际情况对比，以检验其合理和有效性，检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出
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预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考称为
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.
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第一关：接触数学建模
【 1 】一副扑克牌有54张，从中任取
多少张，可以保证一定有5张牌的花色
是一样的？
分析除去大、小鬼还有52张牌，其中4种花色各13张.运气最好的情况下所取
的5张牌都是同一花色的，哪运气不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢？
假设假定至少要取N张，才能保证一定有5张牌的花色是一样的.
模型逆向地思维
解析在运气最不好的情况下，每种花色各4张，再加大、小鬼2张，共取18张是保证一定没有5张牌的花色一样的最大可能。
所以442119
N=?++=张就可以保证一定有5张牌的花色是一样的.
检验在很多情况下采用逆向地思维，可以使解题思路清晰、便捷.
练习题公园里准备对300棵珍稀树木依次从1—300进行编号，问所有的编号中“1”共会出现的几次？
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【2】一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑，猫便紧追。猫的步子大，它跑5步的路程，老鼠要跑9步。但是老鼠的动作频率快，猫跑2步的时间，老鼠能跑3步。
请问：按照这种速度，猫能追得上老鼠吗？如果能，它要跑多少步才能追到。
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假设 此题两问可归结为一个问题：假定猫跑x 步就能追上老鼠 模型 猫与老鼠之间频率的最小公倍数
解析 由频率关系可知，老鼠跑339?=步时，猫跑了236?=步.
根据路程关系知，猫跑6步其中有1步是追上老鼠的路程
可得本题的数学模型为
1006
x
-= 解得60x =（步）
检验 由此可见，按照现有速度，猫要跑60步才能追得上老鼠.
练习题
现有玩具模型20个，交给小黄加工，规定加工合格一个可得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣.最后小黄共得到56元.问小黄在加工玩具模型中不合格的共有几个？
【3】在小傅家门口有一个十字型的交通路口（如图所示），小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？
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分析此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.
假设（1）每条线路都有往返双向线
（2）设4条路分别为A,B,C,D；
（3）以A为起始，
A A A
B A
C A D
①如允许原路调头，则有,,,,
A B A C A D
②如不允许原路调头，则有,,,
模型分步乘法计数原理
解析第一步：始线路条数；第二步：终线路条数。
N（种可能）
①如允许原路调头：则44=16
N（种可能）
②如不允许原路调头，则43=12
检验如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况；如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况。
练习题
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铁路京广线（北京—广州）共有36个大站，问用电脑上购票时需要有多少种不同的火车票？
【4
的汽车牌照共有多
少块？
分析由条件知，问题为三个中各可以填入多少种数字或字母
假设假定按要求的汽车牌照共有N种可能，且在第i个中共有(1,2,3)
i
n i种字符可以填写.
根据汽车牌照的特点，在每个中可以填入1~0共10个阿
拉伯数字和A,B,C,D……，26个英语字母，即36(1,2,3)
i
n i
模型分步乘法计数原理.
解析因为各中填入的字符数符合
123
N n n n
故363636
N=46656
检验
的汽车牌照共有46656块。不难发现，无论B和5在何位置，所得结论不变.
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练习题
出租车在开始10千米以内收费10.4元，以后每走1千米，收费1.6元，问走20千米需收多少钱?
第二关：初识数学建模
把20个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人，要求每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？
假设先取9个苹果，平均每人3个，剩下的11个再按不同情况讨论.
模型排列数公式
解析可以有：(11,0,0),(10,1,0),(9,2,0),(9,1,1),(8,3,0),(8,2,1),(7,4,0),(7,3,1), (7,2,2),(6,5,0),(6,4,1),(6,3,2),(5,5,1),(5,4,2),(5,3,3),
15种不同种类，对每一种类再考虑小明、小惠、小曼的不同次序，用排列数公式n
m
A即可求解.
①对（11,0,0），（9,1,1），（7,2,2），（5,5,1），（5,3,3）五类，各类可以有3种次序排法，故共有15种分发法.
②对其余的10类，各类可以有6（3
3
A）种次序排法，故共有60种分发法
检验所以按要求可以有75种不同的分法.
练习题
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水果店进了十筐苹果，每筐10个，共100个，每筐里的苹果重量都一样，
其中有九筐每个苹果的重量都是1斤，另一筐中每个苹果的重量都是0.9斤，但是外表完全一样，用眼看或用手摸无法分辨。现在要你用一台普通的大秤一次把这筐重量轻的找出来。你可以办到么？
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【6】有243颗外形一模一样的珠子，其中有一颗稍重一点。用一架没有砝码的天平，至少称几次才能找出这颗珠子来?
分析与假设①将243颗珠子平均分成3份，每份81颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中.
②在找出含有稍重珠子的一份中（含81颗），再将其81颗珠子平均分成3份，每份27颗，任取其2份放置在天平两边，若
平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中.
③在找出含有稍重珠子的一份中（含27颗），再将其27颗珠子平均分成3份，每份3颗，任取其2份放置在天平两边，
若平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中.
④在找出含有稍重珠子的一份中（含1颗），再将其3颗珠子平均分成3份，每份1颗，任取其2颗放置在天平两边，若
平衡则另1颗稍重的一颗；若不平衡则稍重的一颗为天平下沉的1颗.
模型“三分法”
解析按“分析与假设”所述可知，至少称4次才能找出这颗珠子来.
检验此题的关键是珠子的颗数243，可以平均分成3份，每份81颗，而81又可以平均分成3份，每份27颗，而27又可以平均分成3份，每份3颗，而3可以平均分成3份，每份1颗，最后找出异样的珠子.
练习题
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小敏把100只彩色小灯泡串联起彩灯，用来布置教室，可是其中有只小灯泡坏了，这可急坏了小敏。你能用最速捷的方法很快地找出了那只损坏的小灯泡吗？
【7】水果店进了十筐苹果，每筐
10个，共100个，每筐里的苹果重
量都一样，其中有九筐每个苹果的
重量都是1斤，另一筐中每个苹果
的重量都是0.9斤，但是外表完全
一样，用眼看或用手摸无法分辨。
现在要你用一台普通的大秤一次把
这筐重量轻的找出来。你可以办到么？
A i
分析与假设普通的大秤上是有刻度，可以称得具体重量.从这点考虑不妨将十筐苹果进行标号(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
i
并取与标号对应的苹果数——1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共计55个，再用所给的大枰称得这55个苹果的总重量若此55个苹果重量均为1斤（理想状态），则总重量应为55斤，由题目条件知其中某一框苹果重量均为0.9斤，假定为第j
框时，那么所取苹果数为j个，大枰称得总重量就要比55斤少j两.
模型等差数列的求和
解析利用框数与所取苹果数的对应关系，考虑大枰称得总重量与理想状态55个苹果的总重量之间的差
A的这框苹果重量为0.9斤.
按“分析与假设”所述可解得.若大枰称得总重量为54斤3两，比55斤差7两，即得框号为
7
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练习题
某单位某月1～12日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4天.要求三个人各自值班日期数字之和相等。已知甲头两天值夜班，乙9、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值夜班？
【8】甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水。如果允许将部分食物存放于途中，其中1人最远可深入沙漠多少千米？（要求最后两人返回出发点）
分析与假设要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水？
?=千米，但回程就没有食物和水了），需要乙在适当的地点留小足够的食物和水.
①经过商议让甲走得更远（最远走44080
②第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，
到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点.
③第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往回返，
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到50千米处吃1份（到此为止甲自带的食物和水已吃完），第5天走到30千米处吃1份（此处食物和水是乙留下的），第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点
模型错位推进法
解析所谓“错位推进法”对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论——其中的1位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米.
检验从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了. 考虑一下甲是否还可以再往前推进5千米呢？
练习题
在一排10个花盆中种植3种不同的花卉，要求每3个相邻的花盆中所种的花的品种各不相同，问共可有多少种不同的种植方法？
【9】家里有两个容积分别为5升和6升的空水壶.问大明怎样用这两个水壶得到3升的水.
分析从5升的满水壶倒出2升即可得到3升的水，问题是如何使6升的水壶空出2
升的空间（即得到4升水)，问题是如何使5升的水壶空出1升的空间（即得到4升水），问题是如何使6升的水壶空出1升的空
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间（即得到5升水），此问题不难解决.
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假设由上分析可以如下操作：
①将5升的满水壶的水全部倒出6升的空水壶中，在6升的水壶中得到1升的空间.
②用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的1升空间，此时的5升水壶空出了1升的空间.
③将5升水壶中的4升水倒进6升的空水壶，在6升水壶中的得到2升的空间.
④用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的2升空间,.
此时在5升的水壶里剩下的就是3升的水了.
模型逆向推理综合法
解析按分析及假设即可将问题解决，得到3升的水.
检验逆向推理综合法是一种非常有用的数学思维方法，用途非常广泛.
练习题
某盐溶液的浓度为20%，加水后溶液的浓度稀释为15%.如果再加同样多的水，问溶液的浓度为多少？
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【10】箱子里放着一箱梨，第一个人拿了梨总数的一半又多半只，第二个人拿了剩下梨的一半又多半只，第三个人拿了第二次剩下的一半又多半只，第四个人3拿了第三次剩下的一半又多半只，第五个人拿了第四次剩下的一半又多半只。这时箱子里的梨正好拿完，而且每人手里的梨都没有半只的，请问箱子里原来有多少只梨?
假设假定箱子里原来有x只梨，则有条件
①第一个人拿梨数：
11
222
x x+
+=；
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②第二个人拿梨数：
1111 ()
2224
x x
x
++ -+=
③第三个人拿梨数：
11111 ()
24228
x x x
x
+++ --+=
④第四个人拿梨数：
111111 ()
2482216
x x x x
x
++++ ---+=
⑤第五个人拿梨数：
1111111 ()
248162232
x x x x x
x
+++++ ----+=
模型解一元一次方程
解析解方程
11111
()(1)31 2481632
x x x +++++=?=
检验按题意验证当箱子里原来有31只梨时，题目条件符合.
练习题
去年某种货物的进价为15元/公斤，今年该货物的进口量增加了一半，进口价增加了20%，问今年该货物的进口价是多少？
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第二关：初识数学建模
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