全国中考数学压轴题精选精析(二)

（第24题图）

2008年全国中考数学压轴题精选精析（二）

11（08江苏连云港24题）（本小题满分14分）

如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的AOB △，COD △处，直角边OB OD ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至PEF △处时，设PE PF ，与OC 分别交于点M N ，，与x 轴分别交于点G H ，．

（1）求直线AC 所对应的函数关系式；

（2）当点P 是线段AC （端点除外）上的动点时，试探究：

①点M 到x 轴的距离h 与线段BH 的长是否总相等？请说明理由；

②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（08江苏连云港24题解析）解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，

知A C ，两点的坐标分别为(1

2)(21)，，，． 设直线AC 所对应的函数关系式为y kx b =+． ················ 2分

有221

k b k b +=??

+=?，．解得13k b =-??=?，

． 所以，直线AC 所对应的函数关系式为3y x =-+． ·············· 4分 （2）①点M 到x 轴距离h 与线段BH 的长总相等．

因为点C 的坐标为(21)，

， 所以，直线OC 所对应的函数关系式为1

2

y x =． 又因为点P 在直线AC 上，

所以可设点P 的坐标为(3)a a -，

． 过点M 作x 轴的垂线，设垂足为点K ，则有MK h =．

因为点M 在直线OC 上，所以有(2)M h h ，． ······ 6分 因为纸板为平行移动，故有EF OB ∥，即EF GH ∥．

又EF PF ⊥，所以PH GH ⊥．

（第24题答图）

法一：故Rt Rt Rt MKG PHG PFE △∽△∽△，

从而有1

2GK GH EF MK PH PF ===． 得1122GK MK h ==，11

(3)22

GH PH a ==-．

所以13

222OG OK GK h h h =-=-=．

又有13

(3)(1)22

OG OH GH a a a =-=--=-． ··············· 8分

所以33

(1)22

h a =-，得1h a =-，而1BH OH OB a =-=-，

从而总有h BH =． ··························· 10分

法二：故Rt Rt PHG PFE △∽△，可得

1

2

GH EF PH PF =-． 故11

(3)22

GH PH a ==-．

所以13

(3)(1)22

OG OH GH a a a =-=--=-．

故G 点坐标为3(1)02a ??

-

???

，． 设直线PG 所对应的函数关系式为y cx d =+，

则有330(1)2

a ca d c a d -=+??

?=-+??，

．解得233c d a =??

=-? 所以，直线PG 所对的函数关系式为2(33)y x a =+-． ············ 8分 将点M 的坐标代入，可得4(33)h h a =+-．解得1h a =-．

而1BH OH OB a --=-，从而总有h BH =． ··············· 10分 ②由①知，点M 的坐标为(221)a a --，，点N 的坐标为12a a ?

? ???

，．

ONH ONG S S S =-△△1111133(1)222222

a NH OH OG h a a a -=

?-?=??-??- 2

2133133

224228

a a a ??=-+-=--+ ???． ·················· 12分

当32a =

时，S 有最大值，最大值为3

8

． S 取最大值时点P 的坐标为3322?? ???

，． ···················· 14分

12（08江苏连云港25题）（本小题满分12分）

我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．

（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）； （3）某地有四个村庄E F G H ，，，（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．

（08江苏连云港25题解析）解：（1）如图所示： ··············· 4分

（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分） （2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； ··········· 6分

若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． ····································· 8分

（3）此中转站应建在EFH △的外接圆圆心处（线段EF 的垂直平分线与线段EH 的垂直平分线的交点处）． ····················· 10分 理由如下：

A A

B B C

C 80

100 （第25题图1）

G

F

（第25题图2）

（第25题答图1）

由47.835.182.9HEF HEG GEF ∠=∠+∠=+=

，

50.0EHF ∠= ，47.1EFH ∠= ，

故EFH △是锐角三角形，

所以其最小覆盖圆为EFH △的外接圆，

设此外接圆为O ，直线EG 与O 交于点E M ，， 则50.053.8EMF EHF EGF ∠=∠=<=∠

．

故点G 在O 内，从而O 也是四边形EFGH 的最小覆盖圆． 所以中转站建在EFH △的外接圆圆心处，能够符合题中要求． ························ 12分

13（08江苏南通28题）（14分）已知双曲线k y x

=

与直线1

4y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，

n ）（在A 点左侧）是双曲线k

y x

=

上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k

y x

=

于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．

（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．

（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．

（08江苏南通28题解析）解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入1

4

y x =

中，得y =－2． ∴B 点坐标为（－8，－2）．而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2）．

从而8216k =?=．……………………………………………………………………3分

（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，

∴mn k =，B （－2m ，－

2

n

），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． ……………4分 S 矩形DCNO 22mn k ==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN =11

22mn k =， ………………7分

∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO －S △DBO － S △OEN =k ．∴4k =． …………………………8分

F

（第25题答图2）

（第28题）

由直线14y x =

及双曲线4

y x

=，得A （4，1）

，B （－4，－1）， ∴C （－4，－2），M （2，2）．………………………………………………………9分 设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得 42,2 2.

a b a b -+=-??

+=? 解得23a b ==． ∴直线CM 的解析式是22

33

y x =

+．………………………………………………11分 （3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1、M 1．

设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ．于是 111A M MA a m

p MP M O m

-=

==． 同理MB m a

q MQ m

+=

=，……………………………13分 ∴2a m m a

p q m m

-+-=

-=-．……………………14分

14（08江苏宿迁27题）（本题满分12分）

如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．

(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切；

(2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；

(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．

（08江苏宿迁27题解析）解：(1) ∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD AD ⊥

第27题

∵A 、O 、D 在同一条直线上 ∴?=∠90ODC ∴直线CD 与⊙O 相切； (2)直线CD 与⊙O 相切分两种情况:

①如图1, 设1D 点在第二象限时,过1D 作

x E D ⊥11轴于点1E ,设此时的正方形的边长为a ,则

2225)1(=+-a a ,解得4=a 或3-=a (舍去)．

由BOA Rt ?∽11OE D Rt ? 得

OB

OD BA E D OA OE 1

111== ∴54,53111==

E D OE ∴)5

4

,53(1-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 3

4

-=；

②如图2, 设2D 点在第四象限时,过2D 作

x E D ⊥22轴于点2E ,设此时的正方形的边长为b ,

则2

2

2

5)1(=++b b ,解得3=b 或4-=b (舍去)．

由BOA Rt ?∽22OE D Rt ?

得

OB

OD BA E D OA OE 2

222== ∴53,54222==

E D OE ∴)53,54(2-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 4

3

-=. (3)设),(0y x D ,则2

01x y -±=,由)0,5(B 得x x x DB 1026)1()5(22-=-+-=

∴x x BD S 513)1026(2

1

212-=-==

∵11≤≤-x

∴851318513=-==+=最小值

最大值，S S .

第27题图

1

第27题图2

15（08江苏泰州29题）已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，

2

3

-

）。 （1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分） （2）若反比例函数)0(2

2>=

x x

y 图像与二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图像在第一象限内交于点A （x 0,y 0）, x 0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）

（3）若反比例函数)0,0(2>>=

x k x

k

y 的图像与二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图像在第一象限内的交点为A ，点A 的横坐标为0x 满足2<0x <3，试求实数k 的取值范围。（5分）

（08江苏泰州29题解析）（本题满分14分）（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)……………1分 （只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）

将（0，—

23）代入，解得a=2

1. ∴抛物线解析式为y=2

1x 2

+x-23 …………………………………3分

（无论解析式是什么形式只要正确都得分）

画图（略）。（没有列表不扣分）…………………………………5分 （2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7分

由图像可知，交点的横坐标x 0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。…………………………………………………9分 （3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x ＜3时， 对y 1=

2

1x 2

+x-23, y 1随着x 增大而增大，对y 2=x k （k ＞0），

y 2随着X 的增大而减小。因为A （X 0，Y 0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X 0=2时，由

反比例函数图象在二次函数上方得y 2＞y 1， 即

2k ＞21×22

+2-23，解得K ＞5。…………………………………11分 同理，当X 0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y 1＞y 2， 即

21×32

+3—23＞3

k ，解得K ＜18。…………………………………13 所以K 的取值范围为5 ＜K ＜18………………………………………14分

16（08江苏无锡27题）（本小题满分10分）

如图，已知点A 从(10)，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作菱形

OABC ，使点B C ，在第一象限内，且60AOC ∠= ；以(03)P ，为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动

了t 秒，求：

（1）点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；

（2）当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．

（08江苏无锡27题解析）27．解：（1）过C 作CD x ⊥轴于D ， 1OA t =+ ，1OC t ∴=+，

1cos 602t OD OC +∴==

，sin 60DC OC ==

∴点C

的坐标为12t ?+ ??

． ··· （2分）

（2）①当P 与OC 相切时（如图1），切点为C ，此时PC OC ⊥，

cos30OC OP ∴= ，132t ∴+= ，

1t ∴=． ····· （4分）

②当P 与OA ，即与x 轴相切时（如图2），则切点为O ，PC OP =， 过P 作PE OC ⊥于E ，则1

2

OE OC =

， ················· （5分）

1cos302t OP +∴

==

1t ∴=． ··············· （7分） ③当P 与AB 所在直线相切时（如图3），设切点为F ，PF 交OC 于G ， 则PF OC ⊥

，FG CD ∴==

，

)

sin 302

t PC PF OP +∴==+

． ·················· （8分） 过C 作CH y ⊥轴于H ，则2

2

2

PH CH PC +=，

2

2

2

13

322t ??+??∴+=+? ?? ??????

，

化简，得2

(1)1)270t t +-++=，

解得1t +=

10t =< ，

1t ∴=．

∴所求t

1-

，1

和1． ·········· （10分）

17（08江苏无锡28题）（本小题满分8分）

一种电讯信号转发装置的发射直径为31km ．现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km 的正方形城区示意图，供解题时选用）

（08江苏无锡28题解析）解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安

装在这4

个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为1312

=

，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．

····· （3分）（图案设计不唯一）

（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE DG CG ==．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE x =，则30ED x =-，15DH =．

由BE DG =，得2222

3015(30)x x +=+-，

22515604x ∴==

，30.231BE ∴=≈<，

图

1

即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． ············ （6分）

或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得31BE =，H 是CD 的中点，将每个装置安装在这些矩形

的

对

角

线

交

点

处

，

则

AE =

，

30DE =，

26.831DE ∴=<，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． （6分）

要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的O 去覆盖边长为30的正方形A B C D ，设O 经过A B ，，O 与AD 交于E ，连BE ，

则

1

152

AE AD ===

，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD ． 所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． ········· （8分） 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．

18（08山东德州东营菏泽24题）(本题满分12分)

在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

A D C

B 图1 B

F D A E H O 图

2 图3

B D

图 2

B 图 1

图 3

（08山东德州东营菏泽24题解析）(本题满分12分) 解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．

∴ AM AN AB AC

=，即43x AN =．

∴ AN ＝4

3

x ． ……………2分

∴ S =2

133248

MNP AMN

S S x x x ??==??=．（0＜x ＜4） ………………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =2

1

MN ． 在Rt △ABC 中，BC

． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．

∴ AM MN AB BC

=，即45x MN

=．

∴ 5

4MN x =

， ∴ 5

8

OD x =． …………………5分

过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则5

8

MQ OD x ==

． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC

=．

∴ 5

5258324

x

BM x ?=

=，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝

49

96

． ∴ 当x ＝49

96

时，⊙O 与直线B C 相切．…………………………………………7分

（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．

∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC

∴ △AMO ∽ △ABP ．

∴

12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论：

① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．

∴ 当x ＝2时，233

2.82

y =

?=最大 …………………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．

∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．

B

D 图 2

P

图 3

B

图 1

又∵ MN ∥BC ， ∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．

∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．

∴ 2

PEF ABC

S PF AB S ????

= ???． ∴ ()2

322

PEF S x ?=

-． ……………………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ??=-＝()2

22339266828

x x x x --=-+-．……………………10分

当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-2

98283x ??

=--+ ???

．

∴ 当8

3

x =

时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………………11分 综上所述，当8

3

x =时，y 值最大，最大值是2． ……………………………12分

19（08山东临沂25题）（本小题满分11分） 已知∠MAN ，AC 平分∠MAN 。

⑴在图1中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：AB ＋AD ＝AC;

⑵在图2中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; ⑶在图3中：

①若∠MAN ＝60°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC; ②若∠MAN ＝α（0°＜α＜180°），∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC （用含α的三角函数表示），并给出证明。

（08山东临沂25题解析）解:⑴证明:∵AC 平分∠MAN ，∠MAN ＝120°， ∴∠CAB ＝∠CAD ＝60°， ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，

∴∠ACB ＝∠ACD ＝30°，…………1分

∴AB ＝AD ＝2

1

AC ，……………………2分

∴AB ＋AD ＝AC 。……………………3分 ⑵成立。……………………………r …4分

证法一：如图，过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F 。 ∵AC 平分∠MAN ，∴CE ＝CF.

∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°,∠ADC ＋∠CDE ＝180°,

图 4

第25题图 A M

N

D

B C A M N D

B C A M

N D B C E

A M

N

D

B C

F G

∴∠CDE ＝∠ABC,………………………………………………………………5分 ∵∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△CED ≌△CFB,∴ED ＝FB,……………………6分 ∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE,由⑴知AF ＋AE ＝AC,

∴AB ＋AD ＝AC ……………………………………………………………………7分 证法二：如图，在AN 上截取AG ＝AC ，连接CG .

∵∠CAB ＝60°,AG ＝AC,∴∠AGC ＝60°,CG ＝AC ＝AG ,…………5分 ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°,∠ABC ＋∠CBG ＝180°,

∴∠CBG ＝∠ADC,∴△CBG ≌△CDA,……………………………………6分 ∴BG ＝AD,

∴AB ＋AD ＝AB ＋BG ＝AG ＝AC ，…………………………………………7分 ⑶①3;………………………………………………………………………8分 ②2

cos

2α

.………………………………………………………………………9分

证明：由⑵知，ED ＝BF,AE ＝AF ， 在Rt △AFC 中，AC AF CAF =∠cos ,即AC

AF

=2cos α,

∴2

cos

α

AC AF =,………………………………………………………………10分

∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE ＝22

cos

α

AC AF =，…………11分

20（08山东临沂26题）（本小题满分13分）

如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;

⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求

出点M 的坐标。

（08山东临沂26题解析）⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），

∴设抛物线解析式为)0(32

≠++=a bx ax y ………………………………1分 根据题意，得??

?=++=+-,0339,03b a b a ，解得?

??=-=.2,

1b a

∴抛物线的解析式为322++-=x x y ………………………………………2分 ⑵存在。…………………………………………………………………………3分 由322

++-=x x y 得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x ＝1。…………4分 ①若以CD 为底边，则PD ＝PC ，设P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得2

222)4()1()3(y x y x -+-=-+，即y ＝4－x 。…………………………5分 又P 点(x,y)在抛物线上，∴3242

++-=-x x x ，即0132

=+-x x …………6分

解得253±=

x ，1253<-，应舍去。∴2

5

3+=x 。……………………7分 ∴2554-=

-=x y ，即点P 坐标为???

? ??-+255,253。……………………8分 ②若以CD 为一腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 与点C 关于直线x ＝1

对称，此时点P 坐标为（2，3）。 ∴符合条件的点P 坐标为???

?

??-+255,253或（2，3）。……………………9分

⑶由B （3，0），C （0，3），D （1，4），根据勾股定理,

得CB ＝23,CD ＝2,BD ＝52,………………………………………………10分 ∴202

2

2

==+BD CD CB ,

∴∠BCD ＝90°,………………………………………………………………………11分

设对称轴交x 轴于点E ，过C 作CM ⊥DE ，交抛物线于点M ，垂足为F ，在Rt △DCF 中， ∵CF ＝DF ＝1, ∴∠CDF ＝45°,

由抛物线对称性可知，∠CDM ＝2×45°＝90°,点坐标M 为（2，3）， ∴DM ∥BC,

∴四边形BCDM 为直角梯形, ………………………………………………………12分

由∠BCD ＝90°及题意可知，

以BC 为一底时，顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;

以CD 为一底或以BD 为一底，且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在。 综上所述，符合条件的点M 的坐标为（2，3）。…………………………………13分