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2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(3)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(3)
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(3)

2020年全国高中数学联赛 (考试时间:上午8:00—9:40)

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)

1. 如图,在正四棱锥P ?ABCD 中,∠APC =60°,则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为( ) A. 71 B. 71- C. 21 D. 2

1-

5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆,动圆P 与这两个定圆都相切,则圆P 的圆心轨迹不可能是( )

6. 已知A 与B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与B 的元素个数相同,且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ,则集合A ∪B 的元素个数最多为( )

A. 62

B. 66

C. 68

D. 74

二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

7. 在平面直角坐标系内,有四个定点A (?3,0),B (1,?1),C (0,3),D (?1,3)及一个动点P ,则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB =EF =1,BC =6, 33=CA ,若2=?+?,则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1,以顶点A 为球心,3

32为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。

10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0,等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ,

b 1=d 2

,且3

21232221b b b a a a ++++是正整数,则q 等于________。 11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ,则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有________种(用数字作答)。

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

13. 设∑=-+=

n

k n k n k a 1)1(1,求证:当正整数n ≥2时,a n +1+=x x

x y 交于两个不同点M 和N 。求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹。

15. 设函数f (x )对所有的实数x 都满足f (x+2π)=f (x ),求证:存在4个函数f i (x )(i =1,2,3,4)满足:(1)对i =1,2,3,4,f i (x )是偶函数,且对任意的实数x ,有f i (x+π)=f i (x );

(2)对任意的实数x ,有f (x )=f 1(x )+f 2(x )cos x+f 3(x )sin x+f 4(x )sin2x 。

2020年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)

1. 如图,在正四棱锥P ?ABCD 中,∠APC =60°,则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为( )

A. 71

B. 71-

C. 21

D. 2

1- 【答案】B

【解析】如图,在侧面PAB 内,作AM ⊥PB ,垂足为M 。连结CM 、AC ,则∠AMC 为二面角A ?PB ?C 的平面角。不妨设AB =2,则22==AC PA ,斜高为7,故

2272?=?AM ,由此得2

7==AM CM 。在△AMC 中,由余弦定理得7

12cos 222-=??-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。

3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于( )

A. 8152

B. 8159

C. 8160

D. 81

61 【答案】D

【解析】甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为92=81个。

由不等式a ?2b +10>0得2b

6181135745=++++。

4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒成

D P M

立,则

a

c

b cos

的值等于()

A.

2

1

- B.

2

1

C. ?1

D. 1

【答案】D

5. 设圆O1和圆O2是两个定圆,动圆P与这两个定圆都相切,则圆P的圆心轨迹不可能是()

【答案】A

【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2,|O1O2|=2c,则一般地,圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2,且离心率分别是

2

1

2

r

r

c

+

|

|

2

2

1

r

r

c

-

的圆锥曲线(当r1=r2时,O1O2的中垂线是轨迹的一部份,当c=0时,轨迹是两个同心圆)。

当r1=r2且r1+r2<2c时,圆P的圆心轨迹如选项B;当0<2c<|r1?r2|时,圆P的圆心轨迹如选项C;当r1≠r2且r1+r2<2c时,圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合,因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。

6. 已知A与B是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A与B的元素个数相同,且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B,则集合A∪B的元素个数最多为()

A. 62

B. 66

C. 68

D. 74

【答案】B

【解析】先证|A∪B|≤66,只须证|A|≤33,为此只须证若A是{1,2,…,49}的任一个34元子集,则必存在n∈A,使得2n+2∈B。证明如下:

将{1,2,…,49}分成如下33个集合:{1,4},{3,8},{5,12},…,{23,48}共12个;{2,6},{10,22},{14,30},{18,38}共4个;{25},{27},{29},…,{49}共13个;{26},{34},{42},{46}共4个。由于A是{1,2,…,49}的34元子集,从而由抽屉原理

可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ,即存在n ∈A ,使得2n +2∈B 。 如取A ={1,3,5,…,23,2,10,14,18,25,27,29,…,49,26,34,42,46}, B ={2n +2|n ∈A },则A 、B 满足题设且|A ∪B |≤66。

9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1,以顶点A 为球心,332为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 。 【答案】635π 【解析】如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点A 所在的三个面上,即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上;另一类在不过顶点A 的三个面上,即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上。在面AA 1B 1B 上,交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上,因为

332=

AE ,AA 1=1,则61πAE A =∠。同理6πBAF =∠,所以6

πEAF =∠,故弧EF 的长为ππ936332=?,而这样的弧共有三条。在面BB 1C 1C 上,交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B ,半径为33,2

πFBG =∠,所以弧FG 的长为ππ63233=?。这样的弧也有三条。 于是,所得的曲线长为6

35633933πππ=?+?。

10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0,等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ,

b 1=d 2,且321232221b b b a a a ++++是正整数,则q 等于 。 【答案】21 11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=

x x πx πx x f ,则f (x )的最小值为 。 【答案】5

54

12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 种(用数字作答)。

【答案】3960

【解析】使2个a 既不同行也不同列的填法有C 42A 42=72种,同样,使2个b 既不同行也不同列的填法也有C 42A 42=72种,故由乘法原理,这样的填法共有

722种,其中不符合要求的有两种情况:2个a 所在的方格内都填有b 的情况

有72种;2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有C 161A 92=16×72

种。所以,符合题设条件的填法共有722?72?16×72=3960种。

三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 13. 设∑=-+=n

k n k n k a 1

)1(1,求证:当正整数n ≥2时,a n +1

任意的正整数n ≥2,有∑∑+==++

-+=-1111121111)(21n k n k n n k

n k n a a 0)11()2)(1(1)2)(1(11)2111(11>-++=++-+-+=∑∑==n k n k k

n n n n k n n ,即a n +1

15. 设函数f (x )对所有的实数x 都满足f (x+2π)=f (x ),求证:存在4个函数f i (x )(i =1,2,3,4)满足:(1)对i =1,2,3,4,f i (x )是偶函数,且对任意的实数x ,有f i (x+π)=f i (x );

(2)对任意的实数x ,有f (x )=f 1(x )+f 2(x )cos x+f 3(x )sin x+f 4(x )sin2x 。

【解析】证明:记2)()()(x f x f x g -+=,2

)()()(x f x f x h --=,则f (x )=g (x )+h (x ),且g (x )是偶函数,h (x )是奇函数,对任意的x ∈R ,g (x+2π)=g (x ),h (x+2π)=h (x )。令2)

()()(1πx g x g x f ++=,?????+=+≠+-=202cos 2)()()(2πk πx πk πx x πx g x g x f ,

?????=

≠+-=k πx k πx x πx h x h x f 0sin 2)()()(3,?????=≠++=2

022sin 2)()()(4k πx k πx x πx h x h x f ,其中k 为任意整数。

容易验证f i (x ),i =1,2,3,4是偶函数,且对任意的x ∈R ,f i (x+π)=f i (x ),i =1,2,3,

2020年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案

一、(本题满分50分)如图,在锐角△ABC 中,AB

【解析】证明:连结BP 、CP 、O 1O 2、EO 2、EF 、FO 1。因为PD ⊥BC ,PF ⊥AB ,故B 、D 、P 、F 四点共圆,且BP 为该圆的直径。又因为O 1是△BDF 的外心,故O 1在BP 上且是BP 的中点。同理可证C 、D 、P 、E 四点共圆,且O 2是的CP 中点。综合以上知O 1O 2

∥BC ,所以∠PO 2O 1=∠PCB 。因为AF ·AB=AP ·AD=AE ·AC ,所以B 、C 、E 、F 四点共圆。 充分性:设P 是△ABC 的垂心,由于PE ⊥AC ,PF ⊥AB ,所以B 、O 1、P 、

E 四点共线,C 、O 2、P 、

F 四点共线,∠FO 2O 1=∠FCB =∠FEB =∠FEO 1,故O 1、O 2、E 、F 四点共圆。 必要性:设O 1、O 2、E 、F 四点共圆,故∠O 1O 2E +∠EFO 1=180°。 由于∠PO 2O 1=∠PCB =∠ACB ?∠ACP ,又因为O 2是直角△CEP 的斜边中点,也就是△CEP 的外心,所以∠PO 2E =2∠ACP 。因为O 1是直角△BFP 的斜边中点,也就是△BFP 的外心,从而∠PFO 1=90°?∠BFO 1=90°?∠ABP 。因

为B 、C 、E 、F 四点共圆,所以∠AFE =∠ACB ,∠PFE =90°?∠ACB 。于是,由∠O 1O 2E +∠EFO 1=180°得

(∠ACB ?∠ACP )+2∠ACP +(90°?∠ABP )+(90°?∠ACB )=180°,即∠ABP =∠ACP 。又因为AB

故∠PBC +∠ACB =(90°?∠ACB )+∠ACB =90°,故直线BP 和AC 垂直。由题设P 在边BC 的高上,所以P 是△ABC 的垂心。

二、(本题满分50分)如图,在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点,那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由。

B'O 2O 1F E P

D A B C

图1 图2

第二步构造一种取法,共取走11个棋子,余下的棋子没有五子连珠。如图2,只要取出有标号位置的棋子,则余下的棋子不可能五子连珠。

综上所述,最少要取走11个棋子,才可能使得余下的棋子没有五子连珠。

三、(本题满分

50分)设集合P={1,2,3,4,5},对任意k∈P和正整数m,记

f(m,k)=∑

=

?

?

??

?

?

+

+

5

11 1

i

i

k

m,其中[a]表示不大于a的最大整数。求证:对任意正整数n,存在

k∈P和正整数m,使得f(m,k)=n。

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