2020年全国高中数学联赛 (考试时间:上午8:00—9:40)
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1. 如图,在正四棱锥P ?ABCD 中,∠APC =60°,则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为( ) A. 71 B. 71- C. 21 D. 2
1-
5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆,动圆P 与这两个定圆都相切,则圆P 的圆心轨迹不可能是( )
6. 已知A 与B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与B 的元素个数相同,且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ,则集合A ∪B 的元素个数最多为( )
A. 62
B. 66
C. 68
D. 74
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7. 在平面直角坐标系内,有四个定点A (?3,0),B (1,?1),C (0,3),D (?1,3)及一个动点P ,则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB =EF =1,BC =6, 33=CA ,若2=?+?,则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1,以顶点A 为球心,3
32为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0,等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ,
b 1=d 2
,且3
21232221b b b a a a ++++是正整数,则q 等于________。 11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ,则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有________种(用数字作答)。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13. 设∑=-+=
n
k n k n k a 1)1(1,求证:当正整数n ≥2时,a n +1+=x x
x y 交于两个不同点M 和N 。求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹。
15. 设函数f (x )对所有的实数x 都满足f (x+2π)=f (x ),求证:存在4个函数f i (x )(i =1,2,3,4)满足:(1)对i =1,2,3,4,f i (x )是偶函数,且对任意的实数x ,有f i (x+π)=f i (x );
(2)对任意的实数x ,有f (x )=f 1(x )+f 2(x )cos x+f 3(x )sin x+f 4(x )sin2x 。
2020年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1. 如图,在正四棱锥P ?ABCD 中,∠APC =60°,则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为( )
A. 71
B. 71-
C. 21
D. 2
1- 【答案】B
【解析】如图,在侧面PAB 内,作AM ⊥PB ,垂足为M 。连结CM 、AC ,则∠AMC 为二面角A ?PB ?C 的平面角。不妨设AB =2,则22==AC PA ,斜高为7,故
2272?=?AM ,由此得2
7==AM CM 。在△AMC 中,由余弦定理得7
12cos 222-=??-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。
3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于( )
A. 8152
B. 8159
C. 8160
D. 81
61 【答案】D
【解析】甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为92=81个。
由不等式a ?2b +10>0得2b 6181135745=++++。 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒成 D P M 立,则 a c b cos 的值等于() A. 2 1 - B. 2 1 C. ?1 D. 1 【答案】D 5. 设圆O1和圆O2是两个定圆,动圆P与这两个定圆都相切,则圆P的圆心轨迹不可能是() 【答案】A 【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2,|O1O2|=2c,则一般地,圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2,且离心率分别是 2 1 2 r r c + 和 | | 2 2 1 r r c - 的圆锥曲线(当r1=r2时,O1O2的中垂线是轨迹的一部份,当c=0时,轨迹是两个同心圆)。 当r1=r2且r1+r2<2c时,圆P的圆心轨迹如选项B;当0<2c<|r1?r2|时,圆P的圆心轨迹如选项C;当r1≠r2且r1+r2<2c时,圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合,因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。 6. 已知A与B是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A与B的元素个数相同,且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B,则集合A∪B的元素个数最多为() A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 【答案】B 【解析】先证|A∪B|≤66,只须证|A|≤33,为此只须证若A是{1,2,…,49}的任一个34元子集,则必存在n∈A,使得2n+2∈B。证明如下: 将{1,2,…,49}分成如下33个集合:{1,4},{3,8},{5,12},…,{23,48}共12个;{2,6},{10,22},{14,30},{18,38}共4个;{25},{27},{29},…,{49}共13个;{26},{34},{42},{46}共4个。由于A是{1,2,…,49}的34元子集,从而由抽屉原理 可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ,即存在n ∈A ,使得2n +2∈B 。 如取A ={1,3,5,…,23,2,10,14,18,25,27,29,…,49,26,34,42,46}, B ={2n +2|n ∈A },则A 、B 满足题设且|A ∪B |≤66。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1,以顶点A 为球心,332为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 。 【答案】635π 【解析】如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点A 所在的三个面上,即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上;另一类在不过顶点A 的三个面上,即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上。在面AA 1B 1B 上,交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上,因为 332= AE ,AA 1=1,则61πAE A =∠。同理6πBAF =∠,所以6 πEAF =∠,故弧EF 的长为ππ936332=?,而这样的弧共有三条。在面BB 1C 1C 上,交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B ,半径为33,2 πFBG =∠,所以弧FG 的长为ππ63233=?。这样的弧也有三条。 于是,所得的曲线长为6 35633933πππ=?+?。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0,等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d , b 1=d 2,且321232221b b b a a a ++++是正整数,则q 等于 。 【答案】21 11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ,则f (x )的最小值为 。 【答案】5 54 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 种(用数字作答)。 【答案】3960 【解析】使2个a 既不同行也不同列的填法有C 42A 42=72种,同样,使2个b 既不同行也不同列的填法也有C 42A 42=72种,故由乘法原理,这样的填法共有 722种,其中不符合要求的有两种情况:2个a 所在的方格内都填有b 的情况 有72种;2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有C 161A 92=16×72 种。所以,符合题设条件的填法共有722?72?16×72=3960种。 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 13. 设∑=-+=n k n k n k a 1 )1(1,求证:当正整数n ≥2时,a n +1 任意的正整数n ≥2,有∑∑+==++ -+=-1111121111)(21n k n k n n k n k n a a 0)11()2)(1(1)2)(1(11)2111(11>-++=++-+-+=∑∑==n k n k k