FPGA内嵌的块RAM及其在FFT算法中的应用
FPGA内嵌的块RAM及其在FFT算法中的应用
1、引言
在现代逻辑设计中，FPGA占有重要的地位，不仅因为具有强大的逻辑功能和高速的处理速度，同时因为其内部嵌有大量的可配置的块RAM[1]，使其得到了广泛地应用，例如FFT 算法的实现等。FFT算法的实现有多种方案[2]，比如采用单片机或DSP芯片实现，但是因需要外接存储器而使其运算速度受到了限制[3`4]，而采用FPGA实现FFT算法，避免了使用外部存储器，加快了数据的读取和存储速度，进而可以提高FFT的运算速度[5`6]。
随着设计的日益复杂，RAM的需求量也越来越大，不同器件商生产的不同FPGA器件族内嵌块RAM的结构又有一些不同，在Altera公司的FPGA内部嵌入的RAM块有三种[7]，分别是M512RAM（512bit RAM）、M4K（4Kbit）和M-RAM（512Kbit RAM），其中M512主要用于大量分散的数据存储、浅FIFO、移位寄存器、时钟域隔离等功能。M4K通常用作芯片内部数据流的缓存、A TM信元的处理、信元FIFO接口以及CPU的程序存储器等。而M-RAM主要用于在大数据包的缓存（如以太网帧、IP包等大到几K字节的数据包），视频图像帧的缓存，回波抵消（Echo Canceller）数据存储等等。本文将详细介绍内嵌RAM块的不同配置模式，及其实现的FIFO存储器在FFT算法中的应用。
2、FPGA内嵌块RAM
RAM几乎是可编程逻辑器件中除了LE之外用得最多的功能块了。通常，FPGA内嵌块RAM可以配置成以下几种模式：单端口RAM、简单双口RAM、真正双口RAM、移位寄存器、ROM和FIFO等模式[8]。而在Altera公司的FPGA中内嵌块RAM以M4K最多，本文就以M4K块RAM为例，介绍这几种模块的实现方式及其在FFT算法中的应用。
2.1 单端口RAM模式
如图1所示为单端口RAM的模型，其中两个时钟inclock和outclock可以使用同一个时钟源，inclocken和outclocken是两个时钟使能信号，inaclr和outaclr是异步清零信号，可以分别对输入级和输出级寄存器清零。
图1 单端口RAM模型
单端口RAM模式支持非同时的读写操作。同时每个M4K RAM块可以被分为两部分，分别实现两个独立的单端口RAM。当器件内部存储单元不足时，QuartusII软件就会自动的将M4K RAM配置成两个相互独立的单端口RAM。需要注意的是，当要实现两个独立的单端口RAM模块时，首先要保证每个模块所占用的存储空间小于M4K RAM存储空间的1/2。在单端口RAM配置中，输出只在read-during-write模式有效，即只有在写操作有效时，写
入到RAM的数据才能被读出。当输出寄存器被旁路时，新数据在其被写入时的时钟的上升沿有效。
2.2 简单双端口RAM模式
如图2所示为简单双端口RAM模型，图中左边的端口只写，右边的端口只读，因此这种RAM也被称为伪双端口RAM（Pseudo Dual Port RAM）。这种简单双端口RAM模式也支持同时的读写操作。
图2 简单双端口RAM模型
M4K RAM块支持不同的端口宽度设置，允许读端口宽度与写端口宽度不同。这一特性有着广泛地应用，例如：不同总线宽度的并串转换器等。下表1显示了M4K RAM支持的混合端口配置情况。
表1 简单双端口RAM模型的混合端口配置
在简单双端口RAM模式中，M4K RAM块具有一个写使能信号wren和一个读使能信号rden，当rden为高电平时，读操作有效。当读使能信号无效时，当前数据被保存在输出端口。当读操作和写操作同时对同一个地址单元时，简单双口RAM的输出或者是不确定值，或者是存储在此地址单元的原来的数据（这个可以在QuartusII软件中进行设计）。
2.3 真正双端口RAM模式
如图3所示为真正双端口RAM模式，图中左边的端口A和右边的端口B都支持读写操作，wren信号为高为写操作，低为读操作。同时它支持两个端口读写操作的任何组合：两个同时读操作、两个端口同时写操作或者在两个不同的时钟下一个端口执行写操作，另一个
端口执行读操作。
图3 真正双端口RAM模式
真正双端口RAM模式在很多应用中可以增加存储带宽，例如，在包含Altera Nios嵌入式处理器和DMA控制器系统中，采用真正双端口RAM模式会很方便，相反，如果在这样的一个系统中，采用简单双端口RAM模式，当处理器和DMA控制器同时访问RAM时，就会出现问题。真正双端口RAM模式支持处理器和DMA控制器同时，这个特性避免了采用仲裁的麻烦，同时极大的提高了系统的带宽。
在由单个M4K RAM块实现的真正双端口RAM模式中，能达到的最宽的数据位为256*16-bit或者256*18-bit（包括校验位），而不支持128*32-bit和128*36-bit（包含校验位），因为这时输出驱动器的个数与M4K RAM块的最大数据位宽相等，而真正双端口RAM在两边都有输出端口，这样真正双端口RAM的最大数据位宽等于输出驱动器的一半。然而，可以采用级联多个M4K RAM块的方式实现更宽数据位的双端口RAM。
另外，真正双端口RAM模型也支持混合端口宽度，如表2所示。
表2 真正双端口RAM模型的混合端口配置
在真正双端口RAM模式中，RAM的输出只能配置成read-during-write模式。这意味着在写操作执行过程中，通过A或B端口写入到RAM的数据，可以分别通过输出端口A或B输出。当输出寄存器被旁路时，新数据在其被写入的时钟的上升沿有效。
当两个端口同时向同一个地址单元写入数据时，写冲突将会发生，这样存入该地址单元的将是未知的。要实现有效地向同一个地址单元写入数据，A端口和B端口时钟的上升沿的到来之间必须满足一个最小写周期时间间隔。因为在写时钟的下降沿，数据被写入M4K RAM块中，所以A端口时钟的上升沿要比B端口时钟的上升沿晚到来1/2个最小写时钟周期，如果不满足这个时间要求，则存入此地址单元的数据无效。
2.4 RAM用做移位寄存器
在DSP应用情况中，可以将内嵌的RAM块配置成移位寄存器，例如FIR滤波器、随机数据产生器、多通道滤波器、自相关和互相关功能模块等，在这些和其他需要本地存储的DSP系统中，一般是利用触发器来实现，但是这种方法会耗费很多的逻辑单元，尤其是在实现较大的移位寄存器时。而利用内嵌的RAM块实现移位存储器，既可以节约逻辑单元和布线资源，同时也可以提高效率。
假设设计一个移位寄存器，输入数据宽度为w，抽头数为n，抽头长度为m，如图4所示。在用RAM块实现移位寄存器时，需要满足w*n小于RAM块的最大支持的数据宽度，w×n×m小于RAM块的最大比特数。M4K的最大数据宽度为36bit，最大比特数为4608。而如果需要更大的移位寄存器可以用更多的RAM级联实现。
图4 移位寄存器
2.5 RAM用做ROM
M4K RAM块还可以配置成ROM，可以使用存储器初始化文件（.mif）对ROM进行初始化，在上电后使其内部的内容保持不变，即实现了ROM功能。
2.6 RAM实现FIFO
实际上，在FIFO的具体实现时，RAM的部分是采用简单双端口模式操作的，一个端口只写数据而另一个端口只读数据，另外在RAM周围加一些控制电路，下面将详细介绍由内嵌RAM块配置成的FIFO在FFT算法中的应用。
3、FIFO在FFT算法中的应用
3.1 FFT简介及其乒乓操作
快速傅立叶变换（FFT）在数字信号处理中具有非常重要的地位，并且有着广泛的应用，其中FFT的运算速度和占用的存储单元是设计中重点考虑的方面，在实现FFT算法的各种方法中，基于FPGA的实现在速度、精度和性价比等方面具有不可比拟的优势[3]，其倍受设计者的亲睐，其中FPGA内嵌RAM使得FFT计算中数据的存储变得方便快捷，同时采用内嵌RAM块能很好的完成“乒乓操作[8]”，进而提高了运算速度。
“乒乓操作”是一个常常应用于数据流控制的处理技巧，典型的乒乓操作方法如图5所示
图5 乒乓操作流程图
乒乓操作的处理流程描述如下：输入数据流通过“输入数据流选择单元”，等时地将数据流分配到两个数据缓冲模块。数据缓冲模块可以是任何存储模块，比较常用的存储单元为双口RAM（DPRAM）、单口RAM（SPRAM）和FIFO等。在第一个缓冲周期，将输入的数据流缓存到“数据缓冲模块1”。在第2个缓冲周期，通过“输入数据流选择单元”的切换，将输入的数据流缓存到“数据缓冲模块2”，与此同时，将“数据缓冲模块1”缓存的第1个周期的数据通过“输出数据流选择单元”的选择，送到“数据流运算处理模块”被运算处理。在第3个缓冲周期，通过“输入数据流选择单元”的再次切换，将输入的数据流缓存到“数据缓冲模块1”，与此同时，将“数据缓冲模块2”缓存的第2个周期的数据通过“输出数据流选择单元”的切换，送到“数据流运算处理模块”被运算处理。如此循环，周而复始。
乒乓操作的最大特点是，通过“输入数据流选择单元”和“输出数据流选择单元”按节拍、相互配合的切换，将经过缓冲的数据流没有时间停顿地送到“数据流运算处理模块”被运算和处理。把乒乓操作模块当做是一个整体，站在这个模块的两端看数据，输入数据流和输出数据流是连续不断的，没有任何停顿，因此非常适合对数据口进行流水线式处理。所以采用乒乓操作实现FFT算法可以提高计算速度。
3.1 FIFO存储单元在FFT算法中的应用
FFT算法的处理过程开始于数据输入过程，此过程中，采样数据被读入并保存在存储器中；接下来用存储的数据作FFT计算并输出结果。
存储单元RAM是用来存储输入数据和中间运算结果的单元，每次蝶形运算都要经由RAM读写输入输出数据，在进行下一级变换的同时，首先应将结果回写到读出数据的RAM
存贮器中，为加快FFT运算速度，构造了双端口FIFO RAM来加大数据的吞吐量，并实现乒乓操作，其输入输出共用一个时钟，在时钟的下降沿写入数据，上升沿读出数据。双端口FIFO RAM可配置在片内或片外。内置RAM是FPGA的一种新增资源。将RAM设置在FPAG 内部不存在驱动和pad延时问题，速度快且控制简单，可提高系统的可靠性。为此，本设计应用Atera FPGA的内置RAM资源设计内置RAM，提高系统总体速度和可靠性。以下介绍FIFO的具体实现过程。
4、FIFO的实现及其仿真图
Altera公司提供了强大而又便捷的QuartusII和MegaWizard Plug-In Manager工具，可以帮助设计者简单快捷地实现FIFO存储器。启动QuartusII软件中MegaWizard Plug-In Manager 工具，并选择plm_fifo，如图5所示，然后根据设计要求，按照向导进一步设计各个参数，最后形成如图6所示的模块，再添加必要的输入输出引脚，即完成了FIFO的初步设计。从上述过程可以看到，Altera公司提供的QuartusII软件在实现内嵌FIFO功能上具有方便快捷的特点，可以加快整个设计的速度，并保证了设计的正确性。
图5 MegaWizard工具有plm_fifo 模块
图6 QuartusII软件中实现的FIFO模块
为了验证其是否符合设计要求，对其进行仿真，得到如图7所示的图形。由图7可以看到，上面设计的存储器符合FIFO存储器的要求，符合FFI算法的实现中对存储器的要求。
图7 FIFO存储器仿真图
5、小结
本文总结了Altera公司FPGA内嵌块RAM的不同配置方法，并详细介绍了每种配置方法的特点，同时以由内嵌RAM块实现的FIFO存储器在FFT算法中的应用为例，详细的介绍了FIFO存储器的具体实现过程，并对FFT算法中利用FIFO存储器实现的乒乓操作进行了说明，最后给出了FIFO存储器的仿真图。
参考文献：
[1] EDA先锋工作室，Altera FPGA/CPLD设计（基础篇），北京，人民邮电出版社，2005
[2] 刘嘉新，付金霞，苏健民，用FPGA实现快速傅立叶变换，信息技术，2006年第2期
[3] 孙志坚，刘学梅，在FPGA中实现高速FFT算法的研究，青岛建筑工程学院学报，2005 第26卷第2期
[4] 高瞻，庄圣贤，王森林，史琴，基于FPGA的FFT处理器设计，集成电路应用，2005.10
[5] 赵涛，傅丰林，王晓辉，基于Stratix系列FPGA的FFT模块设计与实现，国外电子元器件，2006年第5期
[6] 万红星，陈禾，韩月秋，实时可重配置FFT处理器的ASIC设计，北京理工大学学报，2006 第26卷第4期
[7] Altera Inc. Cyclone 器件数据手册，2003
[8] EDA先锋工作室，Altera FPGA/CPLD设计（高级篇），北京，人民邮电出版社，2005
曲线拟合的数值计算方法实验
曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在
曲线拟合的数值计算方法实验
曲线拟合的数值计算方 法实验 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按原理求出变换后变量的，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。
3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近的一种方法。在或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m ），其中各X i 是彼此不同的 。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x ，c ）来反映量x 与y 之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x ，c)常称作拟合模型 ，式中c=(c 1，c 2，…c n )是一些待定参数。当c 在f 中出现时，称为线性模型，否则称为。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c 使得拟合模型与实际在各点的(或)，c）-f （f y e k k k 的平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通过建立和求解来确定参数，从而求得拟合曲线。至于，则要借助求解非线性方程组或用最优化方法求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性。 曲线拟合：与路径转化时的误差。值越大，误差越大；值越小，越精确。 2.最小二乘法拟合：
曲线拟合的最小二乘法论文#精选.
“数值计算方法与算法”论文 题目：浅谈曲线拟合的最小二乘法 院系：化学与材料工程学院20系 姓名： 学号： 时间：2015年春季学期
浅谈曲线拟合的最小二乘法 【摘要】 数值计算方法，一种研究并解决数学问题的数值近似解的方法，主要解决那些理论上有解但是无法轻易且准确求解的数学问题。在当今计算机技术日渐成熟的背景下，数值计算方法的应用被大大的推广，并且极大的推动了自然科学的规律探索及理论验证。本文主要探讨了一种重要的数值计算方法——曲线拟合的最小二乘法的历史发展、理论核心以及应用价值。 关键词：数值计算方法最小二乘法应用 【正文】 数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，现在通常在计算机上使用来求解数学问题。它主要的计算对象是那些在理论上有解而又无法直接手工计算的数学问题【1】。例如，用已知的数据点来构造合适的插值函数或拟合出合适的曲线来近似代替原函数，从而解决了因难以求得原函数表达式而无 法计算相关函数值的难题；又如，对于一个一般的非线性方程，可能在 计算方程的根时既无一定章程可循，也无理论解法可言，那么这时就可以构造合适的迭代格式如Newton迭代，通过对一个近似的初值进行有限次迭代，就可以得到较精准的根值，从而有效避免了冗长而又复杂的理论求解的过程。 在学习完计算方法与算法这门课程后，我收获了许多实用的计算方法、技巧和思想，而对书中的某些问题的解法的深入思考也让我加深了对这门课程的理解。由于专业的相关需要，我对曲线拟合的最小二乘法这部分知识点进行了重点的学习和深刻的反思，也收获了许多。 1.最小二乘法的发展历史 18世纪中期以后，欧拉（L. Euler, 1707-1783）、梅耶（T. Meiyer, 1723-1762）、拉普拉斯(P. S. Laplace, 1749—1827)等科学家在研究一些天体运动规律时，都得到了一些含有m个变量n个（）方程的线性方程组（也就是我们现在所说的线性矛盾方程组），并且各自运用了一些方法解出了方程组的较优解。虽然方法繁琐且奇特，但不失为数学史一次伟大的尝试。 有关于最小二乘法的首次应用于实际计算并成功的记载，是关于第一颗小行星位置的预测，十分之有趣。1801年，意大利天文学家朱塞普·皮亚齐（Giuseppe Piazzi,1746-1826）发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后，全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据，开始了寻找谷神星之旅。但是，根据大多数人的计算结果来寻找谷神星，都以失败告终。时年24岁的伟大的数学家高斯（C.F.Gauss, 1777
计算方法离散数据曲线拟合
第三章 数据拟合 知识点：曲线拟合概念，最小二乘法。 1．背景 已知一些离散点值时，可以通过构造插值函数来近似描述这些离散点的运动规律或表现这些点的隐藏函数 曲线拟合方法也可以实现这个目标，不同的是构造拟合函数。两种方法的一个重要区别是：由插值方法构造的插值函数必须经过所有给定离散点，而曲线拟合方法则没有这个要求，只要求拟合函数（曲线）能“最好”靠近这些离散点就好。 2．曲线拟合概念 实践活动中，若能观测到函数y=f(x )的一组离散的实验数据(样点):(x i ,y i )， i =1，2…,n 。就可以采用插值的方法构造一个插值函数?(x)，用?(x)逼近f(x )。插值方法要求满足插值原则 ?(x i )=y i ，蕴涵插值函数必须通过所有样点。另外一个解决
逼近问题的方法是考虑构造一个函数?(x )最优靠近样点，而不必通过所有样点。如图。 即向量T=（?(x 1）， ?(x 2)，…?(x n )）与Y=（y 1，y 2，。。。，y n ）的某种误差达到最小。按T 和Y 之间误差最小的原则作为标准构造的逼近函数称拟合函数。 曲线拟合问题:如何为f(x )找到一个既简单又合理的逼近函数?(x)。 曲线拟合：构造近似函数?(x)，在包含全部基节点x i (i =1，2…,n)的区间上能“最好”逼近f(x )（不必满足插值原则）。 逼近/近似函数y =?(x)称经验公式或拟合函数/曲线。 拟合法则：根据数据点或样点(x i ,y i )，i =1，2…,n ，构造出一条反映这些给定数据一般变化趋势的逼近函数y =?(x)，不要求曲线?(x ）经过所有样点，但要求曲线?(x)尽可能靠近这些样点，即各点误差δi =?(x i )-y i 按某种标准达到最小。 均方误差/误差平方和/误差的2-范数平方： 常用误差的2-范数平方作为总体误差的度量，以误差平方和达到最小作为最优标准构造拟合曲线的方法称为曲线拟合的最小二乘法（最小二乘原理）。 3．多项式拟合 2 4 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? -4 -2 样点 y =?(x) ?(x i ) y i =f(x i ) ∑==n i i 122 2 ||||δδ
曲线拟合的数值计算方法实验.
曲线拟合的数值计算方法实验 郑发进 2012042020022 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。
3.7-数值计算方法教案-曲线拟合与函数逼近
第三章 插值法与最小二乘法 3.7 最小二乘法 一、教学目标及基本要求 通过对本节课的学习，使学生掌握数值逼近的拟合方法。 二、教学内容及学时分配 本章主要介绍数值分析的最小二乘法。具体内容如下：曲线拟合原理，最小二乘法。 三、教学重点难点 1．教学重点：曲线拟合。 2. 教学难点：最小二乘法。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。 一．曲线拟合 1.问题提出： 已知多组数据(),,1,2,,i i x y i N =L ，由此预测函数()y f x =的表达式。 数据特点：（1）点数较多。（2）所给数据存在误差。 解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。 2.直线拟合的概念 设直线方程为y=a+bx 。 则残差为：?i i i e y y =-,1,2,,i N =L ，其中?i i y a bx =+。 残差i e 是衡量拟合好坏的重要标志。 可以用MATLAB 软件绘制残差的概念。 x=1:6; y=[3,4.5,8,10,16,20]; p=polyfit(x,y,1); xi=0:0.01:7; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o');
y1=polyval(p,x); hold on for i=1:6 plot([i,i],[y(i),y1(i)], 'r'); end 可以绘制出如下图形： 三个准则： （1）max i e 最小 （2）1n i i e =∑最小 （3）21 N i i e =∑最小 3.最小二乘法的直线拟合
计算方法上机5曲线拟合
实验报告名称曲线拟合 班级：学号：姓名：成绩： 1实验目的 1）了解最小二乘法的基本原理，通过计算机解决实际问题； 2）了解超定方程组的最小二乘解法。 2 实验内容 由化学实验得到的某物质浓度与时间的关系如下： 时间t 1 2 3 4 5 6 7 8 浓度y 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 时间t 9 10 11 12 13 14 15 16 浓度y 10.00 10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60 3实验步骤 算法 已知数据对（xj,yj）(j=1,2...n),求多项式p(x)=∑aix^i(m
{ int i; float a[3]; float x[16]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}; float y[16]={4,6.4,8,8.8,9.22,9.5,9.7,9.86,10,10.2,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.6}; void Approx(float[],float[],int,int,float[]); Approx(x,y,16,2,a); for(i=0;i<=2;i++) printf("a[%d]=%f\n",i,a[i]); } void Approx(float x[],float y[],int m,int n,float a[]) { int i,j,t; float *c=new float[(n+1)*(n+2)]; float power(int,float); void ColPivot(float*,int,float[]); for(i=0;i<=n;i++) { for(j=0;j<=n;j++) { *(c+i*(n+2)+j)=0; for(t=0;t<=m-1;t++) *(c+i*(n+2)+j)+=power(i+j,x[t]); } *(c+i*(n+2)+n+1)=0; for (j=0;j<=m-1;j++) *(c+i*(n+2)+n+1)+=y[j]*power(i,x[j]); } ColPivot(c,n+1,a); delete c; } void ColPivot(float*c,int n,float x[]) { int i, j, t, k ; float p; for (i=0;i<=n-2;i++) { k=i; for(j=i+1;j<=n-1;j++) if(fabs(*(c+j*(n+1)+i))>(fabs(*(c+k*(n+1)+i)))) k=j; if(k!=i) for(j=i;j<=n;j++)