均值不等式题型归纳
一、拼凑求最值
1.函数y =x ·(3-2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________.
2.已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4
有( ) A .最大值54 B .最小值54
C .最大值1
D .最小值1
3.当x >1时,不等式x +1x -1
≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[3,+∞) D .(-∞,3]
二、“1”的代换
1.若正数x 、y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( )
A .245
B .285
C .5
D .6
三、实际应用
1.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓
储时间为x 8
天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
A .60件
B .80件
C .100件
D .120件
2.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元,那么水池的最低总造价为__________元.
3.一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400km 以外的灾区,为了安全起见,
两列火车的间距不得小于(v 20
)2km ,则这批物资全部运送到灾区最少需__________h.
4.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.试求:
(1)仓库面积S 的取值范围是多少?
(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长?
四、公式直接应用
1.已知2x +3y =2(x >0,y >0),则xy 的最小值是________.
2.已知m 、n ∈R ,m 2+n 2=100,则mn 的最大值是( )
A .100
B .50
C .20
D .10
3.已知x 、y ∈R +,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为________.
4.已知正数x 、y 满足1x +4y =1,则xy 有( )
A .最小值116
B .最大值16
C .最小值16
D .最大值116
五、二次函数观点
1.若实数x 、y 满足x 2+y 2+xy =1,则x +y 的最大值是________.
2.若正实数x 、y 满足2x +y +6=xy ,则xy 的最小值是________.
二、填空题
1.若a <1,则a +1
a -1有最______(填“大”或“小”)值,为________.
2.若对任意x >0,x
x 2+3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围为________.
3.已知a >0,b >0,a +b =2,则y =1a +4b 的最小值是
( ) A.72 B .4 C.92 D .5
4.设0 5.若xy 是正数,则????x +1 2y 2+????y +1 2x 2的最小值是 ( ) A .3 B.72 C .4 D.92 6.设x >-1,则函数y =(x +5)(x +2) x +1的最小值是________. 人教版数学必修I 测试题(含答案) 一、选择题 1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =( ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N ( ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 ( ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合B A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解,则a 的取值范围是 ( ) A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =,则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 9、若()2log 1log 20a a a a +<<,则a 的取值范围是 ( ) 高中数学必修五基本不等式题型(精编) 变 2.下列结论正确的是 ( ) A .若a b >,则ac bc > B .若a b >,则22a b > C .若a c b c +<+,0c <,则a b > D >a b > 3. 若m =(2a -1)(a +2),n =(a +2)(a -3),则m ,n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 (1)2230x x --≥ (2)2280x x -++> (3) 405x x ->- (4)405 x x -≥- (5)112x ≥ (6)已知R a ∈,解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 (1)函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . (2)设2a >,12 p a a =+-的最大值是 . (3)函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . (4) 变、 (1 )2y = 的最小值是 . (2) . 2. 和为定值 (1) ,y=x(4-x) 的最大值是 . (2), 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=,则 y x 11+的最小值为______ 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2112a b a b +≥+(当 a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: ①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式:转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 2012届锐翰教育适应性考试数学试卷 满分150分,考试时间:120分钟 一. 选择题(每题4分,共64分): 1. 若集合}8,7,6{=A ,则满足A B A =?的集合B 的个数是( d ) A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 2.方程062=+-px x 的解集为M,方程062=-+q x x 的解集为N,且M ∩N={2},那么p+q 等于( ) A.21 B.8 C.6 D.7 3. 下列四个函数中,与y=x 表示同一函数的是( ) A.()2x y = B.y=33x C.y=2x D.y=x x 2 4.已知A={x|y=x,x ∈R},B={y|2x y =,x ∈R},则A ∩B 等于( ) A.{x|x ∈R} B.{y|y ≥0} C.{(0,0),(1,1)} D.? 5. 32)1(2++-=mx x m y 是偶函数,则)1(-f ,)2(-f ,)3(f 的大小关系为( ) A. )1()2()3(->->f f f B. )1()2()3(-<- 不等式的基本知识 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则:b a a b b a 1 10, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论) 3、应用不等式性质证明不等式 (二)解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、, ac b 42-=?, 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ? 2、简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现() f x的符号变化规律,写出不等式的解集。()()() 如:x x x +--< 1120 23 3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0 ()() 0()()0;0 ()0 ()() f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥ ? >?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < (三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,),把它的坐标(y x,)代入 1.已知全集I ={0,1,2},且满足C I (A ∪B )={2}的A 、B 共有组数 2.如果集合A ={x |x =2k π+π,k ∈Z},B ={x |x =4k π+π,k ∈Z},则集合A ,B 的关系 3.设A ={x ∈Z||x |≤2},B ={y |y =x 2 +1,x ∈A },则B 的元素个数是 4.若集合P ={x |3 一. 选择题(4×10=40分) 1. 若集合}8,7,6{=A ,则满足A B A =?的集合B 的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 2. 如果全集}6,5,4,3,2,1{=U 且}2,1{)(=?B C A U ,}5,4{)()(=?B C A C U U , }6{=?B A ,则A 等于( ) A. }2,1{ B. }6,2,1{ C. }3,2,1{ D. }4,2,1{ 3. 设},2|{R x y y M x ∈==,},|{2 R x x y y N ∈==,则( ) A. )}4,2{(=?N M B. )}16,4(),4,2{(=?N M C. N M = D. N M ≠? 4. 已知函数)3(log )(2 2a ax x x f +-=在),2[+∞上是增函数,则实数a 的取值围是( ) A. )4,(-∞ B. ]4,4(- C. ),2()4,(+∞?--∞ D. )2,4[- 5. 32)1(2 ++-=mx x m y 是偶函数,则)1(-f ,)2(-f ,)3(f 的大小关系为( ) A. )1()2()3(->->f f f B. )1()2()3(-<- 第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤(一) 教学要求:通推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 教学重点: 2 a b +≤的证明过程; 教学难点:理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程: 一、复习准备: 1. 回顾:二元一次不等式(组)与简单的线形规划问题。 2. 提问:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 二、讲授新课: 1. 教学:基本不等式 2a b +≤ ①探究:图形中的不等关系,将图中的“风车”抽象成如图,在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有222a b ab +=。(教师提问→学生思考→师生总结) ②思考:证明一般的,如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式:如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ,可得a b +≥, (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ : 用分析法证明:要证 2a b +≥, 只要证 a+b ≥ (2), 要证(2),只要证 a+b- ≥0(3)要证(3), 只要证( - )2(4), 显然,(4)是成立的。当且仅当a=b 时,(4)中的等号成立。 ⑤练习:已知x 、y 都是正数,求证:(1)y x x y +≥2;(2)(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8 x 3y 3. 高中数学必修1检测题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U )等于 ( ) A .{2,4,6} B .{1,3,5} C .{2,4,5} D .{2,5} 2.已知集合}01|{2=-=x x A ,则下列式子表示正确的有( ) ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ?φ ④A ?-}1,1{ A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.若:f A B →能构成映射,下列说法正确的有 ( ) (1)A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一; (2)A 中的多个元素可以在B 中有相同的像; (3)B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像; (4)像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减,那么实数a 的取值范围是 ( ) A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5、下列各组函数是同一函数的是 ( ) ①()f x =()g x =()f x x =与()g x =; ③0()f x x =与0 1()g x x = ;④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 6.根据表格中的数据,可以断定方程02=--x e x 的一个根所在的区间是 ( ) A .(-1,0) B .(0,1) C .(1,2) D .(2,3) 7.若=-=-33)2 lg()2lg(,lg lg y x a y x 则 ( ) 均值不等式应用(技巧)技巧一:凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 (x > 3)的最小值 2、已知x > 3 2 ,求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ,求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二:凑系数 4、当0 < x < 4时,求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时,求y = 4x(3 - 2x)的最大值,并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时,求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时,求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三:分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 (x > -1)的值域; 9、求y = x2 + 3x + 1 x (x > 0) 的值域 10、已知x > 2,求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c,求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1,求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四:应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2,则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2,求1 x + 1 y 的最小值,并求x、y的值。 技巧六:整体代换 16、已知x > 0,y > 0,且1 x + 9 y = 1,求x + y的最小值。 17、若x、y∈R+且2x + y = 1,求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a,b,x,y∈R+ 且a x + b y = 1,求x + y的最小值。 19、已知正实数x,y满足2x + y = 1,求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x,y,z满足x + y + z = 1,求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七:取平方 21、已知x,y为正实数,且x2 + y2 2 = 1,求x 1 + y2的最大值。 22、已知x,y为正实数,3x + 2y = 10,求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x(1 2 < x < 5 2 )的最大值。 技巧八:已知条件既有和又有积,放缩后解不等式 24、已知a,b为正实数,2b + ab + a = 30,求函数y = 1 ab 的最小值。人教版高一数学必修1测试题(含答案)
高中数学必修五基本不等式题型(精编)
必修五-不等式知识点总结
高中数学必修一测试题
最新高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答
高一数学必修1试题附答案详解
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高中数学必修五教案-基本不等式
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