仿射变换仿射平面与投影变换平面
仿射平面与投影平面
第一章仿射几何学
本章内容的安排在于揭示一种思想方法，从观察到概念形成到不变量系统再到代数系统，这种安排思想也充分反映了历史上射影几何建立过程中综合方法与解析方法各有所长交替作用互相影响的发展历程。本节研究的内容来自于生活、自然与生产建设实践，如正交变换是从研究我们生活空间中物体位置改变的最简单的情形移动、转动和镜面反射开始的，仿射变换则是从太阳光的照射开始的。因此在本章的学习中应注重于培养观察能力。
《数学发现的艺术》中是这样描述“观察”与“归纳”的：“观察是有意知觉的高级形式，它与有意注意结合在一起，与思维相联系。怎样进行观察？需要注意三点：一是有意识、有目标，处处留心，总想‘找岔儿’，从中发现点什么，否则就会熟视无睹，看等于不看；二是要有基础，有必要的相关知识，否则难以看出‘门道儿’，而只能是‘外行看热闹’；三是要有方法，否则就看不到‘点子’上，抓不住要领。在观察中，要特别注意从个别想到一般，从平常中发现异常”；而“归纳是由个别事例向关于这一类事物的一般性的过渡，是一种对经验、以实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的综合处理方法。人们用归纳法清理事实，概括经验，处理资料，从而形成概念，发现规律”。
通过本章学习，首先对观察、归纳应该有一个较为深刻的认识，为在以后的学习中能熟练应用观察而打下良好的基础，其次对数学研究的目标之一——对象的结构——有一个初步的了解。
12
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§1 正交变换
本单元分两个部分介绍正交变换，其一是解析几何中坐标变换的复习，主要通过讨论刚体运动中的特例——平移、旋转和反射，揭示其中最基本的不变量——距离，进而提炼出正交变换的概念。其二是利用不变量系统建立相应的坐标系，从而引入解析法，用代数方法解决正交变换的结构问题。
一、基本概念
实例 (a) 平移是沿一定的方向推移物体的过程，建立适当的坐标系，就有
平移0X l ： ?
íì+=￠+=￠00y y y x x x ， 即 0X X X +=￠； (b) 旋转是物体绕着固定点转动的过程，建立适当的坐标系，就有
旋转q r ： ?íì+=￠-=￠q
q q q cos sin sin cos y x y y x x ， 即 X X ÷÷?
???è?-=￠q q q q cos sin sin cos ；
(c) 反射是关于一条固定直线的对称，建立适当的坐标系，就有
反射x r ： ?íì-=￠=￠y y x x ， 即 X X ÷÷?
???è?-=￠1001。 这三种变换是平面上物体运动的最基本方式，它们的组合就形成了物体在平面上的丰富多彩的运动方式。这三种变
14 换有一个最基本的共同的度量特征“保持两点间的距离不变”，从而它们的组合也是如此。由此可给出如下概念：
正交变换 保持任何两点间的距离不变的变换。 通过研究正交变换的不变量系统：保持两点之间的距离不变；保持直线之间的夹角不变等，由此可建立起相应的在正交变换下保持不变的笛卡尔直角坐标系。
二、重要结果
1．正交变换的代数表示：
,23
2221131211?íì++=￠++=￠a y a x a y a y a x a x 其中 0,122122111222221212211=+=+=+a a a a a a a a 。
或用矩阵表示为 )(,
0I AA X AX X T =+=￠ （满足I AA T =的方阵A 称为正交矩阵。
）
2．正交变换的结构定理
定理：正交变换可分解为平移、旋转和反射的积。
三 例题选讲
例 求以直线0=++C By Ax 为轴的轴反射变换公式。
解 当01A 时，直线与x 轴的交点为)0,(0A
C X -
15
斜率为,B
A tg -=q 则 22222cos
B A A B +-=q ， 2
222sin B A AB +-=q 。 通过正交变换的分解可得
)(00X l r r r l X X x X --=￠q q
即
00)(cos sin sin cos 1001cos sin sin cos X X X X +-÷÷?
???è?-÷÷????è?-÷÷????è?-=￠q q q q q q q q 00)(2cos 2sin 2sin 2cos X X X +-÷÷?
???è?-=q q q q 将各已知量分别代入，得
???
??íì+-+--+-=￠+-+-+-=￠22222222222222222222B A BC y B A A B x B A AB y B A AC y B A AB x B A A B x （*） 容易验证，当A=0时，（*）式也成立。
所以（*）为所求。
评注： 正交变换，寥寥几页，但在全书中的地位十分重要，因为它揭示了贯穿于全书的研究思想方法：
（1）观察具体的实际现象及相关资料（平移、旋转和反射）；
（2）归纳抽象，形成概念（正交变换）；
（3）研究不变性质（正交变换的不变量系统）；
（4）利用不变量系统建立相应的坐标系（笛卡尔直角坐标系）；
（5）研究对象的结构（正交变换的分解）。
§2 仿射变换
本单元主要分两个部分介绍仿射变换，其一是通过平行投影建立仿射对应，研究仿射变换的不变量系统；其二是利用仿射变换的不变量系统建立与之相应的仿射坐标系，利用解析法研究仿射几何。
一、基本概念
空间中的物体在太阳光的照射下，会在地面上投下影子。若物体是平面图形，那么图形和影子之间即建立了一种一一对应。太阳光线可近似地看成是平行的，从而我们有以下概念。
1．平行投影：若从平面p到平面p￠的一一点对应满足对应点的连线互相平行，则称此对应为从平面p到平面p￠的平行投影。
注：透视仿射对应就是平行投影。
2.仿射对应：有限个平行投影的积。
注：仿射变换的结构（即仿射变换的分解）问题已解决，即仿射变换可分解为有限个平行投影的积。但我们仍然可提出这样的问题“最少可用几个透视仿射变换表示仿射变换？”
3.仿射不变量和仿射不变性
图形的在仿射变换下保持不变的性质（数量）称为图形的仿射不变性（仿射不变量）。
4．单比
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设A 、B 、C 三点共线，称有向线段的比值
BC AC 为A 、B 、C 的单比，记为)(ABC ，即BC
AC ABC =)(。 注：单比的实质是解析几何中的定比分点中的分比，两者之间相差一个符号而已。由此可见，仿射几何对解析几何会有重要的指导意义。
二 重要结果
1．仿射对应的不变量体系
① 基本不变量： 同素性、结合性、平行性、单比； ② 常用不变量： 平行线段之比、封闭图形面积之比。 注：（1） 由基本不变量和常用不变量经过“组合”，可导出许多不变量，如线段的中点、三角形的中线和重心、平行四边形的性质等。
（2） 必须引起重视的是角度不是仿射不变的。
2．仿射坐标系（根据仿射不变量体系所建立的相应的
坐标系）
其中PP x //EE x //y 轴，PP y //EE y //x 轴，且x 轴与y 轴上不一定垂直，其上的度量单位在一般情形下不一致。
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3．仿射对应的代数表示 0,222112112322211312111?íì++=￠++=￠a a a a a y a x a y a y a x a x
或 0,01+=￠A X AX X 。
4．仿射几何基本定理： 不共线的三对对应点唯一决定一个仿射对应。
注：为什么要研究变换的不变量？
我们所研究的变换是连续性的，一个图形经过连续变形而变到另一个图形，在连续变化过程中得到的一系列图形具有一定的共性。这种共性是变化前后的图形都拥有的，换句话说，这种共性不因变换而改变，即它们是变换的不变量（性质）。
不变量的作用在于：（1） 我们可以从特例或比较简单图形的性质导出复杂图形的性质，这是从特殊到一般的哲学思想在几何研究中的体现。
（2） 不变量系统可使我们弄清楚几何学的构建或者解决结构问题。例如我们研究n 阶矩阵的特征值和特征向量而导致线性变换下的不变子空间，最终导致线性空间分解为不变子空间的直和。又如我们研究正交变换下的不变量系统，导致我们建立笛卡尔直角坐标系，从而给出正交变换的代数表示，最终导出正交变换可分解为平移、旋转和反射的积，从而解决了正交变换的结构问题。
三、例题选讲
例1 求椭圆122
22=+b
y a x 的面积。
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解 适当选取仿射变换 ???íì=￠=￠y
y x a b x ，将椭圆变成圆。
因为面积之比是仿射不变量，
所以 B
A O OA
B S S S S ￠D D =圆椭圆 所以
b b ab S p p =×=
22椭圆
小结：（1） 由本例可建立
模型：在仿射变换下，叙述形式保持不变的命题（称为仿射命题）。
解法：适当选取仿射变换或仿射坐标系，将一般问题变为特殊情形，使问题获得解决，再利用不变性返回一般情形。
(2) 仿射几何是射影几何的子几何。本章在全书中的作用是为射影几何的展开铺路、提供素材，以便初学者入门。
例2 梯形两底的中点，两腰的交点，两对角线的交点，四点共线。
分析 梯形、线段的中点、直线的交点和点共线都是仿射不变的，从而本命题的叙述形式在仿射变换下保持不
变。根据上面的小结，我们求解如解 取两底中点的连线为y 轴x 轴建立仿射坐标系如图，那么
AC 的方程为 x+(a+1)y –1 = 0 BD 的方程为 x-(a+1)y+1 = 0 解得P 的坐标为 （0，1） AD 的方程为 x+(a-1)y+1 = 0
20
BC 的方程为 x-(a-1)y –1 = 0
解得Q 的坐标为 （0，1/（a - 1））。
所以O 、M 、P 、Q 都在y 轴上，即O 、M 、P 、Q 四点共线。
例3 求把直线x+y –1 = 0，x –2y = 0 分别变为x –y+1 = 0，2x + y –1 = 0 及把点（1，1）变为 （1，1）的仿射变换。
为了提高解题的效率，培养解决问题的能力，我们根据解题的一般过程，来完成本问题的解答如下。
一、归类：求公式的计算题，常用的方法有待定系数法等。
二、知识点：仿射变换。
三、联想
仿射变换的性质：同素性、结合性、平行性、单比不变等。仿射变换的代数表达式：
,232221131211?íì++=￠++=￠a y a x a y a y a x a x 0222112111a a a a 。
四、分析
仿射变换是由点的形式表达的，那么直线变为直线是如何表示的呢？
直接从变换式看，我们有直线 0131211=++a y a x a 变为直线0'=x ，直线 0232221=++a y a x a 变为直线 0'=y 。 可以设想，对应本题有
21
?íì-=-￠+￠-+=+￠-￠)
2(12)1(1y x m y x y x k y x 。 五、叙述：
解 设 ?
íì-=-￠+￠-+=+￠-￠)2(12)1(1y x m y x y x k y x 。 把（1，1）变为（1，1）代入得 2,1-==m k ，
?íì+-=-￠+￠-+=+￠-￠y
x y x y x y x 421211 。 解得所求变换为 ???
??íì++-=￠-+-=￠)524(31)15(31y x y y x x 。 六、总结
类型：求仿射变换的代数表示式，特征是线、线、点变到线、线、点。
方法：待定系数法；
技巧：用另一种角度，即直线变为直线的角度去看待用点表示的仿射变换，从而把6个待定系数减少到2个。
七、研究
1．求仿射变换： 仿射变换是点变换，而本例是通过直线变为直线和点变为点的情形来解决变换问题的。因此可以想到还有
（1） 点、点、点变为点、点、点；
（2） 线、点、点变为线、点、点；
22
（3） 线、线、线变为线、线、线。
经过实验可发现，（2）涉及到一个仿射不变量，即两点到一直线的距离之比是仿射不变量。因此，当两个原象点到原象直线的距离之比与两个象点到象直线的距离之比不等时，问题无解；而当两个原象点到原象直线的距离之比与两个象点到象直线的距离之比相等时，问题有无数解。
2. 指导意义：用待定系数法解决问题时，关键是如何减少待定系数的数目。
如考察双曲线的标准方程 122
22=-b
y a x ，将其化为1(=-+b y a x b y a x ，而0=+b y a x 和0=-b
y a x 正好是渐近线，这可给下面的问题提供了解法。
求过点)1,1(-且以0143,02=+-=-+y x y x 为渐近线的双曲线。
解 设所求曲线为
a y x y x =+--+)143)(2(
将)1,1(-代入得 16-=a ，
故 16)143)(2(-=+--+y x y x
化简得 014954322=++---y x y xy x
在解析几何中，我们经常以点的坐标来表示曲线的方程，以上的例子说明当我们用另一种观点即用直线的观点来考察点方程时，往往能得到全新的解决问题的方法。
23
例4 求仿射变换 ?íì++=￠-+-=￠5
2212y x y y x x 的不变点和不变直线。
解 设),(y x 是不变点，则它们满足
?í
ì++=-+-=5
2212y x y y x x 由此解得 3
4,611-=-=y x ，即所求的不变点为34,611(--。 再设0=++c by ax 为不变直线，则由 0=++c by ax 变为0=+￠+￠c y b x a
及
)
5()22()2()522()12(c b a y b a x b a c
y x b y x a c y b x a ++-++++-=++++-+-=+￠+￠ 可知有 l =++-=+=+-c
c b a b b a a b a 5222 由此解得a : b : c = 29:2:1或a : b : c =3
7:1:2-，故所求的不变直线为
0942=++y x 和 0736=+-y x 。 注意：变换的不变直线指的是直线作为一个几何元素通过变换保持不变，而不一定是其上的每个点都不变。
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训 练 与 提 高
1． 设D 、E 、F 各是ΔABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且DE//AB ，DF//CA 。求证： CDE BFD AEF S S S D D D =2
。
2． 平行于平行四边形ABCD 的对角线AC 作一直线与AB 、BC 交于点E 、F 。证明： CDF AED S S D D =。
3． 在三角形的边BC 、CA 、AB 上取点D 、E 、F 使BD ：DC=CE ：EA=AF ：FB=1：n ，设AD 交BE 于L ，BE 交CF 于K ，CF 交AD 于M ，证明： 1
)1(22
++-=D D n n n S S ABC LKM 。 4． 将三角形的每边分成三等分，再将每个分点与三角形的对应顶点相连，这六条直线构成一个六边形，求证：这个六边形的三双对顶点的连线共点。
5． 设A 1、B 1、C 1分别在ΔABC 的边BC 、CA 、AB 上，且B C AC A B CB C A BA 111111:::==，三线AA 1、BB 1、CC 1构成222C B A D 。求证：ΔA 1B 1C 1，ΔABC 与222C B A D 有共同的重心。
6． 设M 是椭圆的不在长轴上的任意点，连M 和长轴的两端点，所得两直线交短轴于A 、B 两点，证明：OA ·OB 是常数。
7.设M 为椭圆上给定的一点，过椭圆的轴的端点A ，作AQ//OM （O 为椭圆的中心），交椭圆于Q ，交另一轴于P ，求：
25
2
OM AP AQ × 。 8.设A 、B 、C 三点共线，D 、E 是直线AB 外的两点且满足AD//BE ，EC//BD ，证明：ΔDBE 的面积是ΔADB 的面积与ΔBEC 的面积的比例中项。
9.设D 、E 分别是ΔABC 的边BC 、CA 上的点，满足（DCB ）
=x,（EAC ）=y ，BE 交AD 于P ，证明：x
y x EBP )1)(1()(---= 。 10．试证：对于共线的四个不同点A 、B 、C 、D ，存在此直线上的一点M 使 （ADM ）=（BCM ） 。
问题探索：
（1）透视仿射变换的代数表示是什么？
（2）仿射变换成为透视仿射变换的充要条件是什么？
（3）最少能用几个透视仿射变换表示仿射变换？
（提示：在此我们提供一种思路，利用训练题10来考虑。）
（4）还有其它的确定仿射变换的条件吗？
（5）一般体（域）上的仿射几何。（参见第二版《高等几何》（梅向明等编）P.216）
（7）设φ是仿射变换,证明至少有一对互相垂直的方向在φ下的象仍然垂直。(这样的方向称为φ的主方向，仿射变换可看成是沿主方向的伸缩。)
（8）作出由ΔABC 与ΔA ′B ′C ′确定的仿射变换的不变点。（提示：利用（3）的结论）
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阅读材料一 —— 封闭图形面积之比是仿射不变量
（1）由下图可导出
F B E A B X A X XB XA BD AC ￠￠=￠￠== 即“平面上任两点到对应轴
是仿射不变量。”
（2）由右图可导出
a a A XY XYA h h S S ￠
￠=D D 即“有一条共公边在对应轴上的
两对应三角形的面积比是一个常数（这个常数与平行投影有关）。”
（3）由下图可知
Z Y C Z X A Y X B CYZ AXZ BXY C B A ABC S S S S S S S S ￠
￠￠￠￠￠￠￠￠￠￠￠+-+-=D D D D D D D D
由（2）知这是一个常数（与平行投影有关）。即有“对
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应三角形的面积之比是常数（与平行投影有关）。”
（4）两三角形的面积之比是仿射不变量。
任取两个三角形ABC 和DEF ，根据（3）有
F E D DEF C B A ABC S S S S ￠
￠￠D D ￠￠￠D D = 即
F E D C B A DEF ABC S S S S ￠￠￠￠￠￠=D D D D （与平行投影无关）。
因为任何多边形总可剖分成若干个三角形，故由（4）可得
（5）两个多边形面积之比是不变量。
因为任一条闭曲线总可用闭折线来逼近，从而通过取极限获得
（6）两个封闭图形的面积之比是仿射不变量。
阅读材料二 —— 仿射变换的分解
定义：设j 是平面p 的一个点变换j 。
若任给p ?Q P ,，都有)(//)(Q Q P P j j ，则称j 是p 的一个透视仿射变换。
定义1：设p p ￠,是两个平面，点对应p p j ￠?:。若任给p ?Q P ,，都有)(//)(Q Q P P j j ，则称j 是从p 到p ￠的透视仿射对应。
定义2 有限个透视仿射对应的积称为仿射对应。
28
在仿射坐标系下，仿射变换的代数表示为
111213212223
x a x a y a y a x a y a ￠=++ìí￠=++? 定理 仿射变换是透视仿射变换的充要条件是
131112212223
11a a a a a a -==-。 证明 设透视仿射变换为 f ，P(x,y)是平面上任一点，根据定义有
111213212223()(,)((1),(1))Pf P x x y y a x a y a a x a y a ￠￠=--=-+++-+uuuuuu u r 平行于固定方向 (a ，b)，于是有
111213212223(1)(1)a x a y a a a x a y a b
-++=+-+ 由x, y 的任意性，分别取（0，0）、（1，0）和（0，1）代入，即得
131112212223
11a a a a a a -==-。 反之，因为
131112212223
11a a a a a a -==- 那么由等比定理易得
29
111213212223(1)(1)a x a y a x x a y y a x a y a b
￠-++-==￠-+-+ 即Pf(P)平行于固定方向，所以f 是透视仿射变换。
定理 任一非透视仿射变换的仿射变换都可分解为两个透视仿射变换的积。
证明：如图，设仿射变换f 由三角形ABC 与三角形A B C ￠￠￠的顶点,,A A B B C C ￠￠￠与与与的对应而确定，选择一个与AC 与A C ￠￠都不平行的方向v r 。过,A C ￠￠作与方向v r 平行的直线分别交AC 于,A C ￠￠￠￠；过B ￠作平行于方向v r
的直线和过B 平行于AC 的直线交于B ￠￠。
记由对应点,,A A B B C C ￠￠￠￠￠￠与与与确定一个透视仿射变换1f ；由,,A A B B C C ￠￠￠￠￠￠￠￠￠与与与确定一个透视仿射变换
2f ，那么 21f f f =。所以非透视仿射变换的仿射变换都可分解为两个透视 仿射变换的积。
根据仿射变换的分解定理，我们立即得到代数上的一个
命题：设A 是二阶非奇异矩阵，则A 可表为两个以1为特征值的二阶非奇异矩阵的积。
30
B'根据此分解定理，我们还可得到由两三角形确定的仿射变换的不变点的作图方法如下：
设仿射变换由ΔABC 与ΔA ’B ’C ’顶点之间的对应所确定。过A 、B 、C 和A ’、B ’、C ’分别作两组平行线，如图，对应的平行线交成第三个三角形A 0B 0C 0；作出AB 与A 0B 0的交点，BC 与B 0C 0的交点，此两点的连线为l 1；再作出A ’B ’与A 0B 0的交点和B ’C ’与B 0C 0的交点的连线l 2，那么l 1与l 2的交点即为仿射变换的不变点。
不同类型地图使用的投影与坐标系
不同类型地图使用的投影与坐标系 (2016-08-12 15:29:29) 不同类型地图使用的投影与坐标系 1.概念辨析 地图投影跟大地坐标系是完全两个东西，尽管具有相关性。地球椭球体则是另一 个东西。实际上地图编绘涉及三个基本的东西：椭球体、地图投影、大地坐标系。三者密切关联。（百科知识） 要绘制地图，首先考虑用什么椭球体，这是投影和坐标系的基础——我国三代坐标系使用三种椭球体。 三者之间的关系：先有个椭球体，然后是投影到承影面，然后是添加经纬网。椭 球体是基础，投影是转换函数，是数学关系，大地坐标系是参照系。因此，同一椭球体可以用不同的投影；而同一投影，也可以用不同的大地坐标系。 但是一般三者是协调一致的，如我国的三代坐标系，有对应的椭球体、投影类型、基准面（坐标系）。 从地图反映地球表面来看，整个过程涉及五个环节：地球～椭球体～投影～坐标系～地图。而地球是球面的，是一个曲面，而地图是平面的，二者的结构性矛盾，导致我们不得不采用一系列转换，这个转换中不可避免地产生扭曲、变形和误差。具体关系：总结：地球（地球表面，存在高低起伏）→椭球体（光滑球面，相关参数）→投影（投影方式：几何投影与解析投影）→坐标系（地理坐标系与平面直角坐标系）→地图。 2. 我国三代坐标系 我们经常给影像投影时用到的北京54、西安80和2000坐标系是投影直角坐标系，如下表所示为国内坐标系采用的主要参数。从中可以看到我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的大地基准面。 表：北京54、西安80和2000坐标系参数列表 坐标名称投影类型椭球体基准面 北京54Gauss Kruger （Transverse Mercator） Krasovsky D_Beijing_1954 西安80Gauss Kruger （Transverse Mercator） IAG75D_Xian_1980 CGCS2000Gauss Kruger （Transverse Mercator） CGCS2000D_China_2000
讲平面立体的投影
第8讲第三章立体的投影及表面交线 3-1 平面立体的投影及其表面取点 教学目标： 1、掌握平面立体如棱柱棱锥的作图方法； 2、掌握平面立体表面求点的方法； 教学重点：引导学生在掌握投影原理的基础上来求立体及其表面的点 教学难点：利用辅助线求立体表面的点 教学手段：结合实例课堂讲解 教学用具：多媒体 教学过程： 由于平面立体的表面四有若干个多边形平面所围成，因此，绘制平面立体的投影可归结为求它的各表面的投影。平面立体各表面的交线称为棱线。平面立体的各表面是由棱线所围成，而每条棱线可由其两端点确定，因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制各棱线及各顶点的投影。作图时，应判别其可见性，把可见棱线的投影画成粗实线，不可见棱线的投影画成虚线。 一、棱柱 （1） 棱柱的投影 图3-1所示为一正放（立体的表面、对称平面、回转轴线相对于投影面处于平行或垂直的位置）的正六棱柱直观图及投影图。正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面围成。顶面、底面分别由六条底棱线围成（正六边形）；每个侧棱面又由两条侧棱线和两条低棱线围成的（矩形）。 1.投影分析 （1）正六棱柱的顶面、底面 均为水平面，其水平投影反映顶面、底面的真形，且互相重合；正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影轴的直线。 （2）六个侧棱面 其前后两个棱面为正平面，其水平投影重合，且反映真形；水平投影和侧面投影都积聚成平行于相应轴的直线。其余四个侧棱面都为铅垂面，其水平投影分别积聚成倾斜直线；正面投影和侧面投影均为类似形（矩形），且两侧棱面投影对应重合。由于六个侧棱面的水平投影均有积聚性，故与顶面、底面边线（底棱线）的水平投影重合。
（3）棱线 顶、底面各有六条底棱线，其总前、后两条为侧垂线，四条为水平线；而六条侧棱线均为铅垂线。它们的三面投影，请读者自行分析。 2.作图步骤 画正放棱柱（如正六棱柱）的投影图时，一般先画出对称中心线，对称线，再画出棱柱水平投影（如正六边形）；然后根据投影关系画出它的正面投影和侧面投影。应注意当棱线投影与对称重合（如图中棱线AAo侧面投影a〃a〃o）时应画成粗实线. (二)棱柱表面上取点 在平面立体表面上取点,其原理和方法与平面上取点相同,由于正放
(推荐)投影坐标转换
第二节 平面坐标基准转换 由于海上和陆地上在测量时，使用不同的坐标系和不同参考椭球，而且采用的投影也不同，使得我们获得的数据不统一，必须进行坐标转换。 §3·2·1 欧拉角 设有两个空间直角坐标系，分别为O-XYZ 和O-X 'Y 'Z '，为了便于讨论其相应坐标轴间的变换，设其原点相同如图所示，选择εx 、y ε、z ε为欧拉角，又称旋转参数，经过三次旋转，使两个坐标系重合，既：（图见下页A ） 首先，绕O Z '轴，将O X '轴旋转到OX 0轴，所转的角为z ε； 其次，绕OY 0轴，将O Z '轴旋转到OZ 0轴，所转的角为y ε； 最后，绕OX 轴，将O Z 0轴旋转到OZ 轴，所转的角为εx ； Z Z 0 Z ' X ' O X 0 X Y 0 Y Y ' 图A 因此有 X X ' Y = R 1（εx ）R 2（y ε）R 3（z ε） Y '
Z Z ' 式中 R 1（εx ）、R 2（y ε）、R 3（z ε）为旋转矩阵，其表达式在ε、y ε、z ε很小时可以最终表示为： X 1 z ε y ε X '
Y = -z ε 1 εx Y ' 公式1 Z y ε - εx 1 Z ' §3·2·2 不同三维空间直角坐标系的变换模型 GPS 测量的WGS —84属地心坐标系，而1980年国家大地坐标系和1954年北京坐标系属参心坐标系，他们所对应得空间直角坐标系是不同的，这里将讨论不同空间直角坐标系的变换模型。 如图B 两个空间直角坐标系分别为O-XYZ 和O '-X 'Y 'Z '，其坐标系原点不同则存在三个平移参数?X 0、?Y 0、?Z 0，他们表示O '- X 'Y 'Z '坐标系原点O '相对于O-XYZ 坐标系原点O 在三个坐标轴上的分量；又当各坐标轴相互不平行时，既存在三个旋转参数εx 、y ε、z ε。 Z O X Y ' O Y X 考虑到两个坐标系的平移和旋转以及尺度参数可得公式如下： X X ' 1 z ε y ε X ' Y =（1+m ） Y ' -z ε 1 εx Y ' Z Z ' y ε - εx 1 Z ' ?X 0 + ?Y 0 公式一
平面立体的投影(教案)
课题：平面立体的投影 授课老师：梁金土 授课时间：第七周星期二第五节 授课班级：14数控（3）班 教学目的： 1、知识目标：让学生熟练掌握平面立体三视图的作法。 2、能力目标：通过精讲多练，提高学生的空间思维想象能力。 3、情感目标：培养学生理论联系实际的能力和团队合作精神。 教学重点：平面立体三视图的作法。 教学难点：平面立体三视图的投影特征。 教学方法：启发式教学法、讲练结合法、演示法（模型、课件） 教具：多媒体、正六棱柱、三面投影体系 教学过程： 一、复习引入 1、复习提问： 前面我们学习了点、线、面的投影知识，在这部分的内容中我们得知：将两点的同面投影连接起来，可以得到什么的投影？ 2、新课引入： 我们知道点、线、面是组成基本几何体的基本元素，是否可以根据前面所学过的点、线、面投影知识，作出基本几何体的投影呢？ 二、新课讲授 1、基本几何体概念的引入 设问：看一下这些机件上有你认识的几何体吗？（课件展示） 学生回答： 教师总结：机器上的零件，不管它们的形状如何复杂，都可以看成是由一些简单的基本几何体组合起来的。 2、基本几何体的分类 平面立体：表面都是平面围成的几何体。（如：棱柱、棱锥等） 曲面立体：表面是曲面或曲面和平面围成的几何体。（如：圆柱、圆锥、球等）3、平面立体投影（以正六棱柱为例） ⑴正六棱柱的形体分析（展示模型） 设问：正六棱柱有几个点？几条棱？几个面？ 学生回答： 教师总结：正六棱柱有12个顶点，6条棱，8个面组成。上下底面全等且互相平行，侧面为全等的六个矩形，且垂直于底面。 ⑵正六棱柱三面投影的形成及投影特征 任务指引： 将正六棱柱放置在三面投影体系中，如课本35页图2-21a）所示，判断正六棱柱各表面与三个投影面的相对位置关系（平行、垂直或倾斜），并说出各表面的三面投影。 分小组进行讨论，各小组长归纳总结，随机抽取学生回答问题，教师补充完善。 ⑶正六棱柱的三视图的画法 步骤： ①先画各投影轴和中心线，然后画出正六棱柱的水平投影正六边形， ②再根据“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律作出其他两面投影。 ③检查并描深图线，完成作图。 4、学生练习 ①请学生根据手中的正六棱柱模型，量取它的长、宽、高三个尺寸，然后做出它的三视图。 ②教师抽查点评 三、小结 1、画平面立体的三视图可以归结为画立体上平面和棱线的投影。 2、画平面立体的三视图，要熟练运用“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。 四、练习 习题册P21（1）
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
§2.3.1 坐标系的分类 正如前面所提及的,所谓坐标系指的是描述空间位置的表达形式,即采用什么方法来表示空间位置。人们为了描述空间位置，采用了多种方法，从而也产生了不同的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。 在测量中常用的坐标系有以下几种： 一、空间直角坐标系 空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z 轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角。某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。空间直角坐标系可用图2-3来表示： 图2-3 空间直角坐标系 二、空间大地坐标系 空间大地坐标系是采用大地经、纬度和大地高来描述空间位置的。纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。空间大地坐标系可用图2-4来表示：
图2-4空间大地坐标系 三、平面直角坐标系 平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等。在我国采用的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数不同而已。 高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。如图左侧所示，设想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC ’通过椭球中心而与地轴垂直。 高斯投影满足以下两个条件： 1、 它是正形投影； 2、 中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。 将中央子午线东西各一定经差（一般为6度或3度）范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯平面直角坐标系，如下图２－５右侧所示。 图2-5 高斯投影 x 方向指北，y 方向指东。 可见，高斯投影存在长度变形，为使其在测图和用图时影响很小，应相隔一定的地区，另立中央子午线，采取分带投影的办法。我国国家测量规定采用六度带和三度带两种分带方法。六度带和三度带与中央子午线存在如下关系： 366 N L ＝中； n L 33＝中 其中，N 、n 分别为6度带和3度带的带号。
坐标转换及方里网的相关问题(椭球体、投影、坐标系统、转换、北京54、西安80等)
坐标转换及方里网的相关问题（椭球体、投影、坐标系统、转换、北京54、西安80等） 最近需要将一些数据进行转换，用到了一点坐标转换的知识，发现还来这么复杂^_^，觉得自己真是愧对了武汉大学以及中科院这么多年培养我，让我上了好多课却从来没有好好听，今天才知道其实很有用！不多废话，给您分享下我的坐标转换之路。 Part one: Background 地理坐标系与投影坐标系的区别 (cite from:https://www.wendangku.net/doc/3b13243776.html,/f?kz=354009166) 1、首先理解地理坐标系（Geographic coordinate system），Geographic coordinate system直译为地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。很明显，Geographic coordinate system是球面坐标系统。我们要将地球上的数字化信息存放到球面坐标系统上，如何进行操作呢？地球是一个不规则的椭球，如何将数据信息以科学的方法存放到椭球上？这必然要求我们找到这样的一个椭球体。这样的椭球体具有特点：可以量化计算的。具有长半轴，短 半轴，偏心率。以下几行便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。 Spheroid: Krasovsky_1940 Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000 Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000 Inverse Flattening（扁率）: 298.300000000000010000 然而有了这个椭球体以后还不够，还需要一个大地基准面将这个椭球定位。在坐标系统描述中，可以看到有这么一行： Datum: D_Beijing_1954 表示，大地基准面是D_Beijing_1954。 有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使用。 完整参数： Alias: Abbreviation: Remarks: Angular Unit: Degree (0.017453292519943299) Prime Meridian（起始经度）: Greenwich (0.000000000000000000) Datum（大地基准面）: D_Beijing_1954 Spheroid（参考椭球体）: Krasovsky_1940 Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000 Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000 Inverse Flattening: 298.300000000000010000 2、接下来便是Projection coordinate system（投影坐标系统），首先看看投影坐标系统中的一些参数。 Projection: Gauss_Kruger Parameters:
坐标系统与地图投影--基础知识
空间参照系统和地图投影 导读：正如上一章所描述的，一个要素要进行定位，必须嵌入到一个空间参照系中，因为GIS所描述是位于地球表面的信息，所以根据地球椭球体建立的地理坐标（经纬网）可以作为所有要素的参照系统。因为地球是一个不规则的球体，为了能够将其表面的内容显示在平面的显示器或纸面上，必须进行坐标变换。 本章讲述了地球椭球体参数、常见的投影类型。考虑到目前使用的1：100万以上地形图都是采用高斯——克吕格投影，本章最后又对该种投影类型和相关的地形图分幅标准做了简单介绍。 1．地球椭球体基本要素 1．1地球椭球体 1．1．1地球的形状 为了从数学上定义地球，必须建立一个地球表面的几何模型。这个模型由地球的形状决定的。它是一个较为接近地球形状的几何模型，即椭球体，是由一个椭圆绕着其短轴旋转而成。 地球自然表面是一个起伏不平、十分不规则的表面，有高山、丘陵和平原，又有江河湖海。地球表面约有71%的面积为海洋所占用，29%的面积是大陆与岛屿。陆地上最高点与海洋中最深处相差近20公里。这个高低不平的表面无法用数学公式表达，也无法进行运算。所以在量测与制图时，必须找一个规则的曲面来代替地球的自然表面。当海洋静止时，它的自由水面必定与该面上各点的重力方向（铅垂线方向）成正交，我们把这个面叫做水准面。但水准面有无数多个，其中有一个与静止的平均海水面相重合。可以设想这个静止的平均海水面穿过大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面（图4-1）。 图4-1：大地水准面
大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体内部质量分布的不均匀，引起重力方向的变化，导致处处和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的，仍然是不能用数学表达的曲面。大地水准面形状虽然十分复杂，但从整体来看，起伏是微小的。它是一个很接近于绕自转轴（短轴）旋转的椭球体。所以在测量和制图中就用旋转椭球来代替大地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体，简称椭球体。 1．1．2地球的大小 关于地球椭球体的大小，由于采用不同的资料推算，椭球体的元素值是不同的。现将世界各国常用的地球椭球体的数据列表如下： 表4-1：各种地球椭球体模型 椭球体名称年代长半轴（米）短半轴（米）扁率 白塞尔(Bessel) 1841 6377397 6356079 1：299.15 克拉克(Clarke) 1880 6378249 6356515 1：293.5 克拉克(Clarke) 1866 6378206 6356584 1：295.0 海福特(Hayford) 1910 6378388 6356912 1：297 克拉索夫斯基1940 6378245 6356863 1：298.3 I．U．G．G 1967 6378160 6356775 1：298.25 埃维尔斯特(Everest) 1830 6377276 6356075 1：300.8 1．1．3椭球体的半径 地球椭球体表面是一个规则的数学表面。椭球体的大小，通常用两个半径：长半径a和短半径b，或由一个半径和扁率来决定。扁率α表示椭球的扁平程度。扁率的计算公式为：α=（a-b）/a。这些地球椭球体的基本元素a、b、α等，由于推求它的年代、使用的方法以及测定的地区不同，其结果并不一致，故地球椭球体的参数值有很多种。中国在1952年以前采用海福特（Hayford）椭球体，从1953-1980年采用克拉索夫斯基椭球体。随着人造地球卫星的发射，有了更精密的测算地球形体的条件。1975年第16届国际大地测量及地球物理联合会上通过国际大地测量协会第一号决议中公布的地球椭球体，称为GRS（1975），中国自1980年开始采用GRS（1975）新参考椭球体系。由于地球椭球长半径与短半径的差值很小，所以当制作小比例尺地图时，往往把它当作球体看待，这个球体的半径为6371公里。 1．1．4高程 地面点到大地水准面的高程，称为绝对高程。如图2所示，P0P0'为大地水准面，地面点A和B到P0P0'的垂直距离H A和H B为A、B两点的绝对高程。地面点到任一水准面的高程，称为相对高程。如图2中，A、B两点至任一水准面P1P1'的垂直距离H A'和H B'为A、B两点的相对高程。
目前常见的自适应算法研究与比较
目前常见的自适应算法研究与比较 常见自适应滤波算法有：递推最小二乘算法，最小均方误差算法，归一化均方误差算法，快速精确最小均方误差算法，子带滤波，频域的自适应滤波等等。 其中最典型最有代表性的两类自适应算法就是递推最小二乘算法和最小均方误差算法，以下对几种较常用的算法进行介绍： 1、递归最小二乘法(RLS) RLS 算法的基本方法为: ^^33()()(1) ()()() (1)()()()(1)() 1()[(1)()()(1)] ()(1)()() T T T d n X n H n e n d n d n P n X n k n X n P n X n P n P n K n X n P n H n H n K n e n λλ=-=--=+-=---=-+ K(n) 称为Kalman 增益向量,λ是一个加权因子,其取值范围0 <λ< 1 ,该算法的初始化一般令H( - 1) = 0及P( - 1) = 1/δI,其中δ是小的正数。 2、最小均方误差算法（LMS ） 最小均方误差算法（LMS ）是一种用瞬时值估计梯度矢量的方法，即 2[()]()2()()()n e n e n n n ??==-?X h （1） 按照自适应滤波器滤波系数矢量的变化与梯度矢量估计的方向之间的关系，可以写出LMS 算法调整滤波器系数的公式如下所示： 1(1)()[()]2n n n μ+=+-?h h ()()()n e n n μ=+h X （2） 上式中的μ为步长因子。μ值越大，算法收敛越快，但稳态误差也越大；μ值越小，算法收敛越慢，但稳态误差也越小。为保证算法稳态收敛，应使μ在以下范围取值： 212 0() N i x i μ=<<∑ 从收敛速度来看，RLS 算法明显优于LMS 算法,但RLS 算法在运算上却比LMS 算法复杂得多,为了减小计算复杂度,并保留RLS 的收敛性能,人们提出了
平面直角坐标变换
平面直角坐标变换 【摘要】对利用EXCEL电子表格进行高斯投影换算的方法进行了较详细的介绍，对如何进行GPS坐标系转换进行了分析，提出了一种简单实用的坐标改正转换方法，介绍了用EXCEL完成转换的思路。 [关键字] 电子表格；GPS；坐标转换 作为尖端技术GPS，能方便快捷性地测定出点位坐标，无论是操作上还是精度上，比全站仪等其他常规测量设备有明显的优越性。随着我国各地GPS差分台站的不断建立以及美国SA政策的取消，使得单机定位的精度大大提高，有的已经达到了亚米级精度，能够满足国土资源调查、土地利用更新、遥感监测、海域使用权清查等工作的应用。在一般情况下，我们使用的是1954年北京坐标系或1980年西安坐标系（以下分别简称54系和80系），而GPS测定的坐标是WGS-84坐标系坐标，需要进行坐标系转换。对于非测量专业的工作人员来说，虽然GPS定位操作非常容易，但坐标转换则难以掌握，EXCEL是比较普及的电子表格软件，能够处理较复杂的数学运算，用它来进行GPS坐标转换、面积计算会非常轻松自如。要进行坐标系转换，离不开高斯投影换算，下面分别介绍用EXCEL进行换算的方法和GPS 坐标转换方法。 一、用EXCEL进行高斯投影换算 从经纬度BL换算到高斯平面直角坐标XY（高斯投影正算），或从XY换算成BL（高斯投影反算），一般需要专用计算机软件完成，在目前流行的换算软件中，存在一个共同的不足之处，就是灵活性较差，大都需要一个点一个点地进行，不能成批量地完成，给实际工作带来许多不便。笔者发现，用EXCEL可以很直观、方便地完成坐标换算工作，不需要编制任何软件，只需要在EX CEL的相应单元格中输入相应的公式即可。下面以54系为例，介绍具体的计算方法。 完成经纬度BL到平面直角坐标XY的换算，在EXCEL中大约需要占用21列，当然读者可以通过简化计算公式或考虑直观性，适当增加或减少所占列数。在EXCEL中，输入公式的起始单元格不同，则反映出来的公式不同，以公式从第2行第1列（A2格）为起始单元格为例，各单元格的公式如下： 单元格 单元格内容 说明A2 输入中央子午线，以度.分秒形式输入，如115度30分则输入1 15.30 起算数据L0 B2 =INT(A2)+(INT(A2*100)-INT(A2)*100)/60+(A2*10000-INT(A2* 100)*100)/3600 把L0化成度 C2 以度小数形式输入纬度值，如38°14′20″则输入38.1420 起算数据B D2 以度小数形式输入经度值 起算数据L E2 =INT(C2)+(INT(C2*100)-INT(C2)*100)/60+(C2*10000-INT(C2* 100)*100)/3600 把B化成度 F2 =INT(D2)+(INT(D2*100)-INT(D2)*100)/60+(D2*10000-INT(D2* 100)*100)/3600 把L化成度 G2 =F2-B2 L-L0 H2 =G2/57.2957795130823 化作弧度 I2 =TAN(RADIANS(E2)) Tan(B) J2 =COS(RADIANS(E2)) COS(B)
基于仿射投影算法的信道均衡器研究
第28卷第3期 计算机应用与软件 Vo l 28No .3 2011年3月 Co m puter Applicati o ns and Soft w are M ar .2011 基于仿射投影算法的信道均衡器研究 张 怡 薛 静 智永锋 张婷婷 (西北工业大学自动化学院 陕西西安710072) 收稿日期:2010-10-17。张怡,硕士生,主研领域:通信系统工程。 摘 要 为了克服信号传输中码间干扰影响,改善通信质量,研究了基于仿射投影算法(APA )的信道均衡系统。设计APA 均衡 器的关键是确定步长因子和滤波器长度,使系统的误码率最低。首先根据其性能仿真曲线可以得到一组最优的参数值,然后构建SI MU L I NK 仿真平台进行验证,并和LM S 及NLM S 均衡器作对比。结果表明APA 均衡器是有效的,并能在信道失真较严重的场合保持一定的性能。 关键词 A PA 算法 信道均衡 码间干扰 自适应均衡器 STUDY ON CHANNEL EQUALI ZER W I TH AFFI NE PRO J ECTI ON ALGOR I THM S Zhang Y i Xue Jing ZhiYong feng Zhang T ingti n g (School of Au t oma tion,N ort hw est ern P ol y t echnical University ,X i an 710072,Shaanx i ,China ) Abstrac t T o overco m e Inter Sy m bo l Inter f e rence (ISI)during data trans m i ssi on and to i m prove co mmun ica ti on qua lity ,the paper stud i es on t he channe l equa lizer w ith A ffine P ro jecti on A l go rith m s (A PA ).T he key to design i ng an APA equa lizer i s defi n i ng its step size value and filter length value to m i n i m i ze the syste m B it Error R ate (BER ).F irstl y an assemb l y of opti m a l coeffic i ents are j udged by the pe rf o r m ance e mu lati on curve ;t hen SI MU L I NK e m ulation platfor m is estab lished t o v erify it ,and compare it w ith L M S and NL M S equalizers .T he results de m onstrate t he APA equalizer i s effecti ve and ab le to m ai n tain m oderate perfor m ance on o ccasions w ith bad l y ana m orphic channe l s .K eywords A PA Channel equa lization ISI A daptive equa li zer 0 引 言 均衡技术最早应用于无线电通信领域,主要用于消除信道响应引起的码间干扰(IS I)。目前,自适应滤波和计算机技术促进了自适应均衡技术的迅猛发展。例如基于L M S 算法的线性均衡器能够在工作环境变化时,自动调整相关参数以保持最佳的性能,在数字通信中得到了广泛应用[1];另外,基于LM S 算法的判决反馈均衡器由于存在不受噪声增益影响的反馈部分,性能优于线性横向均衡器[2] ,但是它的结构比较复杂,不便于工程实现和应用。在高速无线通信系统中,多径传输引起的ISI 较为严重,为了更好地减小波形失真就需要研究性能更优的自适应均衡器。 1 自适应APA 算法原理 下面简介APA 算法的计算步骤[1]。假设将最后的L +1个输入向量X ap (k )写成矩阵形式(1),其中L 为A PA 算法的维数,M 为横向滤波器的抽头数。 X ap (k )= x (k ) x (k -1) x (k -L ) x (k -1) x (k -2) x (k -L -1) x (k -M )x (k -M -1) x (k -L -M )=[X (k )X (k -1) X (k -L )] (1) 自适应滤波器输出: Y ap (k )=X T ap (k )W (k )=[y 0(k )y 1(k ) y L (k )]T (2)期望信号: D ap (k )=[d(k )d (k -1) d (k -L )]T (3) 误差向量: E ap (k)=[e 0(k )e 1(k ) e L (k )]T =D ap (k )-Y ap (k )(4)权值更新方程为: W (k +1)=W (k )+X ap (k )(X T ap (k )X ap (k )) -1 E ap (k )(5)通过引入下面的步长 ,可以取得最终失调与收敛速度之 间的折中,为了避免矩阵求逆过程中的数值问题,再加上一个恒等矩阵,于是APA 算法表示为:W (k +1)=W (k )+ X ap (k )(X T ap (k)X ap (k )+ I )-1E ap (k )(6)APA 算法实质上是NLM S 算法的L 维空间拓展,这种拓展得到了更快速的收敛性能。 2 信道均衡系统模型 图1给出了基于自适应APA 算法的信道均衡系统的仿真模型[3]。数据发生器用于产生信道输入序列x (n),它是由{+1,-1}组成的双极性Bernoulli 序列,经延迟后作为参考信号y d (n ),均衡器的输出为y ^(n),噪声发生器用来产生加性高斯白噪声。信道模块采用弥散信道模型,信道的单位脉冲响应表示为: h n =1/2 [1+cos (2 /W (n -2))]
我国四大常用坐标系及高程坐标系
我国四大常用坐标系及高程坐标系 1、北京54坐标系（BJZ54） 北京54坐标系为参心大地坐标系，大地上的一点可用经度L54、纬度M54和大地高H54定位， 它是以克拉索夫斯基椭球为基础，经局部平差后产生的坐标系。 新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大 地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我 国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。 北京54坐标系，属三心坐标系，长轴6378245m短轴6356863,扁率1/298.3 ； 2、西安80坐标系 1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系。 为此有了1980年国家大地坐标系。1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据，即IAG75地球椭球体。该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐 标系，又简称西安大地原点。基准面采用青岛大港验潮站1952- 1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）。 西安80坐标系，属三心坐标系，长轴6378140m短轴6356755,扁率1/298.25722101 3、W G-84坐标系 WG—84坐标系（WorldGeodeticSystem ）是一种国际上采用的地心坐标系。坐标原点为地球质心，其地心空间直角坐标系的Z轴指向国际时间局（BIH）1984.0定义的协议地极（CTP方向，X轴指向BIH1984.0的协议子午面和CTP赤道的交点，丫轴与Z轴、X轴垂直构成右手坐标系，称为1984年世界大地坐标系。这是一个国际协议地球参考系统（ITRS），是目前国际上统一采用的大地坐标系。GPS^播星历是以WGS-84坐标系为根据的。 WGS8坐标系，长轴6378137.000m,短轴6356752.314，扁率1/298.257223563。 由于采用的椭球基准不一样，并且由于投影的局限性，使的全国各地并不存在一至的转换参数。对于这种转换由于量较大，有条件的话，一般都采用GPS联测已知点，应用GPS软件自动完成坐标的转换。当然若条件不许可，且有足够的重合点，也可以进行人工解算。 4、2000国家大地坐标系 英文缩写为CGCS200O 2000国家大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下：长半轴a=6378137m 扁率f=1/298.257222101， 地心引力常数GM=3.986004418< 1014m3s2 自转角速度3 =7.292115 < 10-5rads-1 我国常用高程系 “ 1956年黄海高程系”，是在1956年确定的。它是根据青岛验潮站1950年到1956年的黄海验潮资料，求出该站验潮井里横按铜丝的高度为 3.61米，所以就确定这个钢丝以下3.61米处为黄海平均海水面。从这个平均海水面起，于1956年推算出青岛水准原点的高程为72.289米。 国家85高程基准其实也是黄海高程基准，只不过老的叫“1956年黄海高程系统”，新的叫“ 1985国家高程基准”，新的比旧的低0.029m 我国于1956年规定以黄海（青岛）的多年平均海平面作为统一基面，为中国第一个国家高程系
高斯平面直角坐标与大地坐标转换
高斯平面直角坐标系与大地坐标系 1 高斯投影坐标正算公式 （1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标()B L ,，求该点在高斯投影平面上的直角坐标()y x ,，即()),(,y x B L ?的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点1P 和2P ,它们的大地坐标分别为（B L ,）及（B l ,），式中l 为椭球面上P 点的经度与中央子午线)(0L 的经度差：0L L l -=, P 点在中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为),(1y x P '和),(2y x P -'。 （4）计算公式 ??? ? ???''+-''+''+-''+''''=''+-''+''''+ =54255 32234 22342 2)185(cos 120)1(6cos )95(cos sin 2sin 2l t t B N l t B N l B N y l t B B N l B N X x ρηρρηρρ 当要求转换精度精确至时，用下式计算： ?????? ???????''-++-' '+''+-' '+''''=''+-''+''++-''+''''+ =52224255 32233 64256 44223422)5814185(cos 720)1(cos 6cos )5861(cos sin 720)495(cos sin 24sin 2l t t t B N l t B N l B N y l t t B B N l t B B N l B N X x ηηρηρρρηηρρ 2 高斯投影坐标反算公式 （1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标()y x ,，求该点在椭球面上的大
地图投影和坐标系
地球坐标系与投影方式的理解(关于北京54,西安80,WGS84;高斯,兰勃特,墨卡托投影) 一、地球模型 地球是一个近似椭球体，测绘时用椭球模型逼近，这个模型叫做参考椭球，如下图： 赤道是一个半径为a的近似圆，任一圈经线是一个半径为b的近似圆。a称为椭球的长轴半径，b称为椭球的短轴半径。 a≈6378.137千米，b≈6356.752千米。（实际上，a也不是恒定的，最长处和最短处相差72米，b的最长处和最短处相差42米，算很小了） 地球参考椭球基本参数： 长轴：a 短轴：b 扁率：α=(a-b) / a 第一偏心率：e=√(a2-b2) / a 第二偏心率：e'=√(a2-b2) / b 这几个参数定了，参考椭球的数学模型就定了。 什么是大地坐标系？ 大地坐标系是大地测量中以参考椭球面为基准面建立起来的坐标系。地面点的位置用大地经度、大地纬度和大地高度表示：(L, B, H)。
空间直角坐标系是以参考椭球中心为原点，以原点到0度经线与赤道交点的射线为x轴，原点到90度经线与赤道交点的射线为y轴，以地球旋转轴向北为z 轴：(x, y, z) 共同点：显然，这两种坐标系都必须基于一个参考椭球。 不同点：大地坐标系以面为基准，所以还需要确定一个标准海平面。而空间直角坐标系则以一个点为基准，所以还需要确定一个中心点。 只要确定了椭球基本参数，则大地坐标系和空间直角坐标系就相对确定了，只是两种不同的表达而矣，这两个坐标系的点是一一对应的。 二、北京54，西安80，WGS84 网上的解释大都互相复制，语焉不详，隔靴搔痒，说不清楚本质区别。为什么在同一点三者算出来的经纬度不同？难道只是不认同对方的测量精度吗？为什么WGS84选地球质心作原点，而西安80选地表上的一个点作原点？中国选的大地原点有什么作用？为什么选在泾阳县永乐镇？既然作为原点，为什么经纬度不是0？下面是我个人的理解。 首先，三者采用了不同的参考椭球建立模型，即长短轴扁率这组参数是不同的。北京54：长轴6378245m，短轴6356863，扁率1/298.2997381 西安80：长轴6378140m，短轴6356755，扁率1/298.25722101 WGS84：长轴6378137.000m，短轴6356752.314，扁率 1/298.257223563，第一偏心率0.0818********，第二偏心率 0.082095040121 这些参数不同，决定了椭球模型的几何中心是不同的。那么为什么这三种坐标系的参数有这么大差别呢？除了测量精度不同之外，还有一个原因，就是侧重点不一样。 WGS84是面向全球的，所以它尽量逼近整个地球表面，优点是范围大，缺点是局部不够精确。 北京54用的是前苏联的参数，它是面向苏联的，所以它在前苏联区域这个曲面尽量逼近，而其它国家地区偏多少它不管。它以苏联的普尔科沃为中心，离那越远，误差就越大。 西安80是面向中国的，所以它在中国区域这个曲面尽量逼近，而其它国家地区偏多少它不管。而且这个逼近是以西安附近的大地原点为中心的，也就是说，在西安大地原点处，模型和真实地表参考海平面重合，误差为0，而离大地原点越远的地方，误差越大。所谓的大地原点就是这么来的，它是人为去定的，而不是必须在那里，它要尽量放在中国的中间，使得总的误差尽量小而分布均匀。然后，我国在自已境内进行的建筑，测绘，勘探什么的所绘制的图，都以这个大地原点为基准，去建立各种用途的地表坐标系，就能统一起来了。
坐标系投影方式的选择及坐标转换
坐标系投影方式的选择及坐标转换 [摘要]通过对几种常用投影方式的分析对比，详细剖述了海外项目投影方式的选择及应用，并配以实例阐述了坐标系之间的相互转换及注意事项。 [关键字]海外项目投影方式坐标转换 响应国家”走出去”的资源战略方针，国内很多公司都有项目在国外；每一个项目在进场前，要充分收集项目的相关资料，对测量技术人员来说，尤其要清楚项目区域已有测量资料的坐标系，高程系及投影方式，任何一种坐标系在建立前都要确定其投影方式。所以我们应该对常用的一些投影方式有基本的认识。 1坐标系投影方式的选择 1.1高斯-克吕格投影 高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影，简称高斯投影，是一种”等角横切圆柱投影”，具体的投影特征在这里不作说明，但是应该对下面几点应该有清醒的认识。 1）在国内大部份地区使用高斯投影。 2）高斯投影有两种分带方式，3度分带和6度分带。3度分带大多用于大比例尺测图，主要指比例尺大于1：10000以上的地形测图。 3）3度带是把全球分为120个带，起始带的经度是1.5～4.5度，中央经线为3度，带号为1，4.5～7.0度为第2带，中央经线为6度，以此类推。 4）6度带是把全球分为60个带，起始带的经度是0～6度，中央经线为3度，带号为1，6～12度为第2带，中央经线为9度，以此类推。 5）高斯投影为保证东向坐标值（测量指的是Y值）不小于0，所以将纵坐标轴西移了500公里。 1.2UTM投影 UTM投影全称Universal Transverse Mercator，译成中文是：通用横轴墨卡托投影。使用UTM投影时需要注意以下几点： 1）UTM投影是世界上最常用的一种投影方式，特别是不发达国家。 2）UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经线为-177°，包含的范围是-180°～-174°。第2带的中央经线为-171度，所含的范
曲面立体表面点的投影
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《机械制图》课程教案 《第三章立体表面交线的投影作图§3－1 立体表面上点的投影》教案 授课教师：杨秋颖班级：机加14-1 时间：课 题：曲面立体的投影及表面取点 教学方法：讲授法 教学目的：1、讲解曲面立体的种类及其三视图画法 2、讲解在圆柱和圆锥体表面取点、取线的作图方法 目的要求：1、能够熟练掌握圆柱和圆锥体的三视图画法 2、能够熟练运用利用点所在的面的积聚性法和辅助线法在曲面立体 表面取点、取线 教学重点：1、曲面立体的种类及其三视图画法。 2、在曲面立体表面取点、取线的作图方法 教学难点：在圆柱和圆锥体表面取点、取线的作图方法 【教学媒体和资源利用】多媒体课件 【教学过程设计】组织教学—引入—新授—小结—学生练习—作业
（ a ）立体图 （ b ）投影图 图3－4 圆柱的投影及表面上的点 边画图边讲解作图方法与步骤。 总结圆柱的投影特征：当圆柱的轴线垂直某一个投影面时，必有一个投影为圆形，另外两个投影为全等的矩形。 （2）圆柱面上点的投影 方法：利用点所在的面的积聚性法。（因为圆柱的圆柱面和两底面均至少有一个投影具有积聚性。） 举例：如图3－4（b ）所示，已知圆柱面上点M 的正面投影 m ′，求作点M 的其余两个投影。 因为圆柱面的投影具有积聚性，圆柱面上点的侧面投影一定重影在圆周上。又因为m ′ 可见，所以点M 必在前半圆柱面的上边，由m ′ 求得m ″，再由m ′ 和m ″ 求得m 。 第二课时 （二）曲面立体的投影及表面取点 1、圆锥 圆锥表面由圆锥面和底面所围成。如图3－5（a ）所示，圆 锥面可看作是一条直母线SA 围绕与它平行的轴线SO 回转而成。在圆锥面上通过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。 （1）圆锥的投影 画圆锥面的投影时，也常使它的轴线垂直于某一投影面。 举例：如图3－5（b ）所示圆锥的轴线是铅垂线，底面是水 课件展示