信号与线性系统分析第一章课件吴大正主编
其中包含的信息。在本课程中对“信息”和“消息”两词未加严格区分。
3、信号反映信息的物理量，是信息的物理体现，是信息的载体。
为了有效地传播和利用消息，常常需要将消息转换成便于传输和处理的信号。信号是消息的载体，一般表现为随时间变化的某种物理量。根据物理量的不同特性，可把信号区分为声信号、光信号、电信号等不同类别。在各种
信号中，电信号是一种最便于传输、控制与处
理的信号。同时，在实际应用中，许多非电信
号常可通过适当的传感器变换成电信号。因
此，研究电信号具有重要意义。在本课程中，
若无特殊说明，信号一词均指电信号。
信号举例信号可以描述范围极为广泛的
一类物理现象，如，声音和图像（屏幕）。
日本人寻找大庆
60年代初日本某咨询公司从我国公开发行的《人民画报》照片上发现北京的公共汽车上没有气包了，而这气包正是中国缺油的标志，这个微小的变化使他们推断出中国一定找到了大油田。事隔不久，《人民日报》刊登了《大庆精神大庆人》的文章，肯定中国有了大油田，日本人储存了这个信息。
1966年7月《人民画报》刊登了王进喜的照片，照片上的王进喜戴着厚厚的皮帽。日本人从照片上帽子的保暖性判断，大庆在零下30多度的地区，从帽子的式样分析，很可能在中国的东北地区，再从冬天的温度测算大体的纬度得出结论，大庆大致在哈尔滨到齐齐哈尔之间。
这当然还只是推测。为了验证这些推测，他们又利用来中国的机会，测量了运送原油的火车上的灰尘厚度。火车在大地上行走，不断积累着灰尘。从灰尘的厚度可以测算火车行走的时间和从出发地到目的地北京之间的距离。灰尘厚度表示的时间和距离与日本人从帽子上的信息所作的分析是一致的。
1966年，中国官方报纸在介绍王铁人时提到了马家窑这个地方，在报道中举了王进喜等石油工人是靠人推肩把钻机运送到现场的例子。日本人从这篇报道中认为，大庆油田离车站不远，如果很远，是无法用人力搬运的。既然在马家窑，日本人就从精确的地图上找到了马家窑。日本人还从当地的地质结构推测松辽盆地一带称为大庆油田，对大庆油田的规模有了比较准确的认识。
1967年，日本人根据《人民画报》上刊登的一个大庆石油冶炼厂的照片获取信息。照片上有一个扶手。常规的扶手是1米左右。日本人从照片上的扶手推算了炼油塔的外径，并推算出内径在5米左右。进一步推算出日炼油能力为900千升。以出油率30%计，判定原油加工能力为3000千升，以一年330天计，每口井每年产原油为100万千升，大庆有800口井，可知年产量约360万吨。
二、信号的描述方法：
数学手段：函数、序列（数列）、图形
三、信号的分类：从不同的角度
1、按信号的预知性分
1）确定信号：预知信号随时间的变化规律
例：工频电压信号
t
uπ
?
)(t
=
100
)
cos(
.
2
220
2）随机信号：不能预知信号随时间的变化规律
例：环境噪声
2、从函数的定义域（时间）是否连续：
1）连续时间信号：在连续的时间范围内有定义。t是连续的，f（t）可是，也可不是
表达时间的函数（解析式），如f（t）=Asinπt
方式波形图表示：
上述两种表达方式，可以互换。信号和函数两个词
四复合运算f(t)—＞f(-at+b)
顺序：先平移f(t)—＞f(t+b)；再反转f(-t+b)；最后尺度变换f(-at+b).
逆复合运算f(-at+b)—＞f(t)
顺序：先尺度变换f(-t+b)；再反转f(t+b)；最后平移f(t)
例：已知f(5-2t)的波形如图，试画出f(t)的波形
解题思路：f(5-2t)?
?
?
?
?→
?=倍
展宽
乘2
2/1
a f(5-2×2t)= f(5-t)
?
?→
?反转f(5+t)?
?→
?5
右移f(5+t-5)= f(t)
五、微分：将f（t）对t求导得微分信号
微分的数学表达
框图
)(
)(
)(
)()1(t
y
t
f
t
f
t
f
dt
d
=
='
=
例：已知f(t)的波形如图，
t
试画出f(t)/的波形
解：波形如图
注：
若f （t ）为偶函数，则f /（t ）为奇函数 若f （t ）为奇函数，则f /（t ）为偶函数
六、积分：将f （t ）在区间（－∞，ｔ）内沿时间轴对τ积分得积分信号，是关于ｔ的函数
积分的数学表达 框图
)()()()
1(t y t f
d f t
==-∞
-?
ττ
例：已知f(t)的波形如图， 试画出f （－１）(t)的波形
解：波形如图
§ 基本的连续时间信号的时域描述
信号的时域描述就是用一个时间函数表示信号随时间变化的特性，基本信号有两类，普通信号与奇异信号。 一、普通信号的复指数函数描述 1、复数的三种表达方式
1）、代数式βαj A
+= 2）、三角式)sin (cos ??j r A
+= 3）、指数式α
β
?βα?1
22-=+==tg r re A
j 2、用复指数函数表示实信号
设 均为复数其中ωσβα?j s Ce j c
)(j +==+== st e c
t f
于是)t (j t t )j (j e Ce e Ce )(?ωσωσ?++===st e c
t f
几种普通信号的复指数表示 1）、稳恒直流信号 当0,
0==s ?时，f （t ）=C 表示稳恒直流信号
2）、实指数信号 当0,
0==ω?时，t Ce )(σ=t f 表示实指数信号
若σ>0,上升 若σ<0,下降
指数信号的一个重要性质是它对时间的微分和积分仍是指数形式 3）、余弦信号 当0,
0==σ?时，t Ce )(ωj t f =表示一个余弦信号
由欧拉公式???
??-=+=-t j t t j t j j ωωωωωωsin cos e
sin cos e t t 得 ???
????-=+=--j t t j j j j 2e e sin 2e e cos t
t t
t ωωωωωω 而t *t e )(e ωωj j -=，所以用t Ce )(ωj t f =可表示一个余弦或正弦信号，其角频率为ω 4）、一般情况
ωσ?j s +==,0，t t e Ce )(ωσj t f =表示一个幅度按指数规律变化的余弦信号
若σ>0,上升
若σ<0,下降
ωσ?j s +=≠,0，初相角不为零
二、奇异信号
介绍几个理想化的信号，这类函数都有一个或多个间断点，在间断点处的导数或用一般方法不好确定，称为奇异信号。 1）单位阶跃信号
定义：??
?><=0
100
)(t t t ε ，在t=0处一般定义为1/2
延时的单位阶跃信号
??
?><=-0
01
)(t t t t t t ε 通过例题理解单位阶跃信号
例1：画)(cos )(t t t f εω=的波形
解： ?
?<>=000cos )(t t t
t f ω
)(t ε看作起始信号
例2：画)1(cos )(+=t t t f εω的波形
解： ?
?-<->=101cos )(t t t t f ω
例3：画)(cos )(t t f ωε=的波形
解： ?
?<>=0
cos 0
0cos 1)(t t t f ωω
例3：写出右图波形的表达式 解：1）分段表达
??????
?><<<<-<=3
32221110)(t t t t t t f
2）解析式
)3(2)2(2)2()1()1()1()()
()()(0---+-----=--=t t t t t t t f t t t t f εεεεεε
反转的单位阶跃信号
??
?><=-0
01)(t t t ε 截止信号
例4：已知)
2
(
t
f-的波形如图，画)
(
)1
(t
t
f-
+ε的波形
解：1）原波形压缩得)
(
)
2
2
(t
f
t
f-
=
-
2）反转f（t）
3）平移f(t+1)4）截止)
(
)1
(t
t
f-
+ε
例5：画)1
(
)
(2-
=t
t
fε的波形
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
>
-
<
<
-
>
-
=
1
1
1
1
1
)(
2
2
t
t
t
t
t
f
例6：求门函数
??
?
?
?
<
<
-
=
其他
2
2
1
)(
τ
τ
τ
τ
t
t
G的解
析表达式
解：?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
?
?
?
?
?
+
=
2
2
1
)(
τ
ε
τ
ε
τ
τ
t
t
t
G
2）单位冲激信号
(1)定义
τ
τ
ε
τ
ε
δ
τ
?
?
?
?
?
-
-
?
?
?
?
?
+
=
→
2
2
lim
)(
t
t
t，可见)(t
δ可看作是门函数0
)(→
τ
τ
当
t
G的极限获得
的
狄拉克定义
?
?
?
?
?
=
=
=
=
≠
=
???
∞
∞--
2
2
2
2
1
1
)(
)(
)(
τ
τ
τ
τ
ττ
δ
δ
δ
t
dt
dt
t
dt
t
t
t
可见)
(t
δ是这样一个理想信号，当T=0时，
冲击强度为1，可表达为1
)
(
0?
+
-
=
dt
t
δ，是一
个能量信号，波形图为延迟表示
例1：画)(sin )(t t f πδ=的波形 解：当 0
sin =t π才出现冲激，可得
∑∞
-∞
=-=
+±+±+=n n t t t t t f )
()2()1()()(δδδδ
例2：求)()4()(2t t t f εδ-=的波形及表达式 解：当 042=-t 才出现冲激
[])
2()()2()2()(2
-=-++=±=∴t t t t t f t δεδδ (2)冲激信号的性质
○1δ(t)对时间的积分等于ε(t) )(01)()(0
001)(000
0t t t t t t d t t t t d t t -=?
??<>=-=???<>=??∞-∞
-εττδεττδ
○
2ε(t)对时间的微分等于δ(t) 对t>0, ε(t)=1,t<0, ε(t)=0,其导数为0，在t=0处 不连续，该处的导数
)()
()(lim
)(00
t t t dt
t d t δτ
τετεετ=--+=→=，同理，
)()(00t t dt t t d -=-δε 注：引入δ(t)概念后，可以认为函数在跳变处也存在导数，即可对不连续函数求导。
例3：求右图波形的导数 解：
)
6(6)4(2)2(4)()6(6)4(2)2(4)
6(6)
4(6)4(4)2(4)(---+-='---+-=---+---=t t t t f t t t t t t t t f δδδεεεεεεε
○
3任意函数与δ(t)的乘积（筛分性质，筛选性质） )
()()()()()()()()
()0()()(01001000t t t t f t t t t f t t t f t t t f t f t t f --=---=-=δδδδδδ
○
4抽样性质：任意函数与δ(t)的乘积的积分
)0()()(f dt t t f =?
∞
∞
-δ
证明：)0()()0()()0()()(f dt t f dt t f dt t t f ===
???
∞
∞
-∞
∞
-∞
∞
-δδδ
同理
)
()()()
()()(100100t t f dt t t t t f t f dt t t t f -=--=-?
?∞
∞
-∞
∞-δδ
例4：求积分dt t t f )(sin )(0πδ?
∞
-
=
解：
[]∞
=+++=+-+-+==
=
??
∞
-
∞
-
111)2()1()()(sin )(00dt t t t dt t t f δδδπδ
结果是一个数
[]
+-+-+=+-+-+==
=
??
∞
-
∞
-
)2()1()()2()1()()(sin )(00t t t d d t f εεεττδτδτδτπτδ
结果是一个函数 ○
5对称性质 δ(t)是偶函数，关于t=0对称，即δ(-t)= δ(t)
δ(t-t 0)关于t=t 0对称，即δ(t 0-t)＝δ［－(t-t 0)］＝δ(t-t 0) 例4：求积分
10)1()41(2)1()4(2)1()4(233
3
=-+=
-+=
-+?
?
?
∞
∞
-∞
∞-∞
∞-dt t dt t t dt t t δδδ
101)1()4(2)1()4(232
03
2
0因过dt t t dt t t -+=-+??-
-
δδ
01)1()4(2)1()4(2303
0因不过dt t t dt t t -+=
-+?
?
-
∞
--∞-δδ
42t sin2t )(4t sin2t )(2==??
∞
∞
-∞
∞-dt t dt t δδ
2)6(2)6(6sin 4)6(sint 4=-=-=-???
∞
∞
-∞
∞-∞
∞
-dt t dt t dt t π
δπ
δππ
δ
)6-(t 2)6(2)6(6sin 4)6(sin 4t
t
t
π
ετπτδτπ
τδπτπ
ττδ=-=-=-???
∞
-∞-∞
-d d d
○
6δ(t)的尺度变换性质
)(1
)(t a
at δδ=
)(1
)(00a
t t a t at -=
-δδ δ(t)的尺度变换的筛分性质与抽样性质
)()
0()()(t a
f at t f δδ=
a
f dt t a t f dt at t f )
0()()()()(==?
?
∞
∞
-∞
∞
-δδ )()
()(000a
t t a a t
f t at -=-δδ
a
a t
f dt a t t a a t f dt t at t f )()()()()(0000=-=-?
?
∞
∞
-∞
∞
-δδ 3）单位冲激偶信号δ／(t)
)()('t t dt d
δδ=
冲激偶的性质
?
∞
∞--=)0(')()('f dt t f t δ
?∞
∞
=0)('dt t δ
4）正负符号函数 定义
??
?<->=)
0(1
)0(1
)sgn(t t t
可用阶跃表示
1)(2)sgn(-=t t ε
§1.５ 基本离散时间信号的时域描述
离散时间信号
如果信号仅在一些离散的瞬间具有确定的数值，则称之为离散时间信号。若选取的离散瞬间是等间隔的，则一般常用f(kT)表示，其中k=0,±1,±2,…；T 为离散间隔。一般把这种按一定规则有秩序排列的一系列数值称为序列，简记为f(k)。离散时间信号可用序列{f(k)}表示。 一、常用的离散时间信号
1.单位阶跃序列ε(k)
单位阶跃序列ε(k)定义为
??
?<≥=0
00
1)(k k k ε
延迟?
??<≥=-00
001)(k k k k k k ε 如图
可见单位阶跃序列类似于连续时间信号中的单位阶跃函数ε(t)，它也是有截除性。即可将一个双边序列截为一个单边序列
?
?
?<≥=000
)()()(k k k f k k f ε 同样ε(t)与ε(k)也有本质的差别：ε(t)是一种奇异信号，它在t=0处发生跃变，ε(0-)=0,ε(0+)=1；而ε(k)是一种非奇异信号，它在k=0处明确定义为1。 2.单位序列δ(k)
单位序列δ(k)定义为???≠==0
00
1)(k k k δ
延迟??
?≠==-0
001)(k k k k k k δ 如图
可见该序列仅在k=0处取单位值，其余点均为零值，因此又称之为“单位取样序列”、 “单位函数”、“单位脉冲序列”等。
单位序列作用类似于连续时间信号中的δ(k)，也具有抽样性，即
)()0()()(k f k k f δδ=
)()()()(n k n f n k k f -=-δδ )()()()(n k n f n k k f +-=+δδ
任意序列用δ(k)表达
)()()()()(k k f n k n f k f n δδ*=-=
∑∞
-∞
=卷积和
但是δ(t)与δ(k)有本质的差别：δ(t)是一个奇异信号，可理解为一个在t=0处宽度无穷小、幅度无穷大、面积为1的窄脉冲，实际中无法实现。而δ(k)是一个非奇异号，它在k=0处取有限值1，这在实际工程中是完全存在的。 ε(k)与δ(k)有如下关系： 1)差分关系
)
()1()()
()1()(000k k k k k k k k k -=----=--δεεδεε
2）求和关系
∑∞
=-=-++-+-+=0
)
()()2()1()()(n n k n k k k k k δδδδδε 3.
单位矩形序列(门序列))(k G N 单位矩形序列定义为
??
?-≤≤=其他 01
0 1)(N k k G N
对应图形如图所示。若用单位阶跃序列表示，则)()()(N k k k G N --=εε 二、用复指数表示的离散时间信号 表达式
)(00)()()(??ααα+ΩΩ===k j k k j j k e C e Ce c
k f 1）、实指数序列：c
α 均为实数 k C k f α=)(讨论
○
1α=1，C k f =)(——直流序列 k
1G N (k)图 7 - 7
...
-1 0 1 2 3
N -1N
○
2若a ＞1，则k C k f α=)(——发散序列 ○
3若0＜a ＜1，则f(k)——收敛序列 ○
4若α=-1，k C k f )1()(-=等幅、正负交替变化序列
○
5-1＜a ＜0幅度指数下降，正负交替 ○
6 a ＜-1指数上升，正负交替 2）正弦序列：c
为实数α 为复数 k j e C k f )()(0Ω=α式中，0Ω为正弦序列的数字角频率；C ，?为正弦序列的振幅和初相。
讨论
○
1若α=1—等幅正弦 ○
2若a ＞1，—发散正弦 ○
3若0＜a ＜1，—收敛正弦 3）c
α 均为复数，有初相 三、用复指数表示的离散时间信号的周期
1、连续信号的周期
用复指数表示的连续时间信号)t (j t e Ce )(?ωσ+=t f
0≠σ，非周期，
0=σ，t Ce )(ωj t f =表示一个余弦信号()?ω+t Ccos
求周期[])t cos(T)t (Ccos ?ωω?ω++=++mT C m 则ω
π
ωππ
ω222=
=
∴=m T T m ，周期存在 2、离散信号的周期
用复指数表示的离散时间信号)(0)(?α+Ω=k j k e C k f ，
若1≠α非周期，若1=α当)(0)(?+Ω=k j Ce k f 表示一个余弦序列()?+Ωk 0Ccos 求周期[])cos()(Ccos 000??+Ω+Ω=++ΩN k C N k 则0
022Ω=
∴=Ωπ
πk N k N ，若能找到整数N ，则周期存在 例1：k k f 7
3j 1e
)(π=，k k f 4
j 2e )(π
=，k k f 4
j -3e
)(π
=判断是否为周期的，若是，求周期
一个系统可由几个子系统组成，按系统处理的信号的连续性可分为连续时间系统、离散时间系统。 二、系统的基本单元
一个系统一般应有输入和输出端口，简单的系统为单输入单输出，复杂的系统可以是多输入多输出的。分析系统的方法：输入输出法、状态方程法。 系统的表示方法：
1、数学表达式——用微分方程、差分方程、状态方程表示一个系统的特性。
2、方框图表示——在方框图中用箭头表示信号的流向，字母表示需要进行的运算或变换。
3、端口特性表示——f(t)→y(t) 基本单元的表示方法 1）标乘单元
数学表达式 y(t)=af(t) 方框图 y(k)=af(k) 2）微分单元（连续） 数学表达式 )()(t f dt
d
t y =
方框图 3）积分单元（连续）
数学表达式 ττd f t y t
)()(0
?= 方框图
4）求和单元 数学表达式
)
()()()()()(2121k f k f k y t f t f t y +=+= 方框图
5）延时单元(离散)
数学表达式 )1()(-=k f k y 方框图 三、子系统的相互联结 1、级联 2、并联
)()()()(2121k f L L k y t f L L t y ==)()()(21t f L L t y +=