都匀市第一中学2018-2019学年高二12月月考数学(理)试题(含解析)

都匀一中2018—2019学年度第一学期第五次月考试卷

高二理科数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.所有试题均在答题卡上作答，在试卷上作答一律无效。

4.答题时间为120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若直线，和相交于一点，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据直线，相交求出交点坐标，代入直线即可求解.

【详解】由解得，代入直线方程，解得，故选C.

【点睛】本题主要考查了直线方程，直线的交点，属于中档题.

2.已知椭圆长轴在轴上，若焦距为4，则等于（）

A. 4

B. 5

C. 7

D. 8

【答案】8

【解析】

由椭圆的长轴在y轴上，

则a2=m﹣2，b2=8﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣10．

由焦距为4，即2c=4，即有c=2．

即有2m﹣10=4，解得m=7．

故答案为：7.

3.若直线与圆，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直线与圆有公共点知，圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可求出的范围.

【详解】因为圆心到直线的距离，

且直线与圆有公共点，

所以，解得，故选C.

【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，直线与圆的位置关系，属于中档题.

4.对于直线，和平面，，，有如下四个命题：

（1）若，，则（2）若，，则

（3）若，，则（4）若，，，则

其中正确的是（）

A. （1）

B. （2）

C. （3）

D. （4）

【答案】D

【解析】

【分析】

逐项分析答案即可选出.

【详解】对于选项（1）若，，可能，推不出，对于选项（2）若，，可能，推不出，对于选项（3）若，，则可能相交推不出，对于选项（4）由，，知

，又，所以正确，故选D.

【点睛】本题主要考查了直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，属于中档题. 5.直线与直线的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两条平行线之间的距离公式计算即可.

【详解】化简直线可得：

根据平行线间距离公式知，故选A.

【点睛】本题主要考查了两条平行线之间的距离公式，属于中档题.

6.如图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸，可知该几何体的体积是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图知该几何体为三棱柱，根据三棱柱体积公式即可求解.

【详解】由三视图知该几何体为三棱柱，

,故选B.

【点睛】本题主要考查了三视图，三棱柱的体积，属于中档题.

7.圆在点处的切线方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

试题分析：圆的方程化为标准方程是(x-2)2+y2=4,点P是圆上的点,由圆的切线的几何性质知,圆心与切点的连线

与切线垂直,所以切线的斜率为,故切线方程是(y-)=x-1，即.

考点：直线与圆的位置关系.

8.若圆C经过两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，选D.

9.已知点，，若直线过点与线段始终没有交点，则直线的斜率的取值范围是（）

A. B. 或 C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出的斜率，根据直线与线段始终没有交点，可知其斜率的取值范围.

【详解】因为，，

如图：

因为直线与线段始终没有交点，

所以斜率k的取值范围是. 故选A.

【点睛】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，数形结合的思想方法，属于中档题.

10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则

A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）

∴=（-2，0，1），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．

∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

考点：直线与平面所成的角

11.圆上到直线的距离等于1的点有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】

先计算圆心到直线的距离，结合圆的半径和平行线的性质，得到圆上的点与直线的距离等于1的点共有3个.

【详解】由题可知，圆心坐标，圆的半径；

圆心到直线距离，直线与圆相交.

则圆上的点与直线的距离等于1的点所在的直线到圆心的距离为1或3：

（1）到圆心距离为1的直线与圆相交，有两个公共点；

（2）到圆心距离为3的直线与圆相切，有一个公共点；

综上，一共有3个点.

故选C.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线距离公式和两平行线间距离问题，考查学生转化思想和数形结合思想的运用.

12.椭圆的左焦点为F，上顶点上A，右顶点为B，若的外接圆圆心在直线

的左下方，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设的外接圆方程，将三点代入，即可求出P点坐标，由，求得的关系，即可求得椭圆离心率的取值范围.

【详解】设，设的外接圆方程,

将代入外接圆方程，解得：，

由在直线的左下方，则，

所以，化简得，

所以，即，解得，故选A.

【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，圆的一般方程，考查了计算能力，数形结合思想，属于中档题.

第Ⅱ卷

二、填空题。

13.已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则

的周长为______.

【答案】32

【解析】

【分析】

为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长.

【详解】为椭圆的两个焦点

由椭圆的定义可得

的周长为，

故答案为32.

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，推理计算能力，属于中档题.

14.已知点，直线：，则点关于直线的对称点的坐标为____.

【答案】

【解析】

【分析】

设点关于直线的对称点，利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出的值即可.

【详解】设点关于直线的对称点，

则由，解得，故点，

故答案为.

【点睛】本题主要考查了求一个点关于直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上两个条件及中点坐标公式，属于中档题.

15.已知点是椭圆上的一点，，是焦点，且，则的面积为____.

【答案】5

【解析】

【分析】

根据椭圆定义知，又由勾股定理可知，两式联立可求出

，代入面积公式即可求解.

【详解】由椭圆知，

又，

所以

而

解得

所以的面积为.

故答案为5.

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，三角形面积公式，属于中档题.

16.已知直线l过点，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当面积最小时，直线l的一般式方程为____.

【答案】

【解析】

【分析】

设方程为，点代入后应用基本不等式求出的最小值，当不等式取等号时求出即可写出直线方程.【详解】设方程为，代入可得，

，

，可知，

，当且仅当时取最小值.

此时的方程为.

故答案为.

【点睛】本题主要考查了直线的截距式方程，利用均值不等式求面积的最最小值，属于中档题.

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知两条直线：和：，试分别确定、的值，使：

（1）；

（2）且在轴上的截距为.

【答案】解　(1)当m＝0时，显然l1与l2不平行.

当m≠0时，由＝≠得

m·m－8×2＝0，得m＝±4，

8×(－1)－n·m≠0，得n≠±2，

即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.------------6分

(2)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.

又－＝－1，∴n＝8.

即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.--------------12分

【解析】

试题分析：（1）本题考察的是两直线平行的判定，若平行，只需

，根据已知条件代入相应的数值即可求出的值．

（2）本题考察的是两直线垂直的判断，若垂直，则，根据已知条件代入相应的数值即可求出的值．

试题解析：（1），，

解得，或

（2）由题得，解得

考点：直线的一般式方程与直线的平行、垂直关系

18.已知圆：，直线：.

（Ⅰ）求证：直线恒过定点：

（Ⅱ）当直线与圆相交时，求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短长度.

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ），最短弦长为

【解析】

【分析】

（Ⅰ）将直线方程整理为，根据m的任意性可知，即可证明直线过定点.

（Ⅱ）根据直线和圆心与定点连线垂直时，弦长最短，即可解决.

【详解】（Ⅰ）将直线的方程整理得：，

由于的任意性，解得：，

直线恒过定点.

（Ⅱ）当直线和圆心与定点连线垂直时，弦长最短，

最短弦长为，

此时直线的斜率为，

，解得：，

此时直线的方程为，即.

【点睛】本题主要考查了过定点的直线系方程，圆的几何性质，属于中档题.

19.已知椭圆的焦点分别为，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的面积。

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆的焦点坐标和长轴长分别算出，利用算出，再写出椭圆方程；（Ⅱ）利用弦长公式算出,用点到直线距离公式算出三角形的高,再用面积公式求出面积.

试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

由题意，于是，所以椭圆C的方程为

（Ⅱ）由，得

由于该二次方程的，所以点A、B不同。设，

则，

点O到直线的距离

所以

所以

考点：1.椭圆的简单几何性质；2.点到直线距离公式；3.弦长公式；4.三角形面积公式.

【方法点晴】椭圆的焦点坐标(其中),椭圆长轴长为,短轴长为.由已知

的焦点坐标和长轴长可以求出和,由求出,再写出椭圆方程；点到直线

的距离为；若直线与椭圆相交于,,则弦长

=(为直线的斜率).

20.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

【答案】（1）；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．

（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解

试题解析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，

设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．

由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．

故由，解得：．

故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．

（2）设M；N，

由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，

可得，

∴，

∴，

由，解得k=1，

故直线l的方程为y=x+1，即x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算

21.如图，四棱柱中，侧棱底面，

，，，，为棱的中点.

（1）证明；

（2）求二面角的余弦值；

（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

【答案】（1）见证明；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）以点为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出向量，，计算两向量的数量积即可证明垂直（Ⅱ）利用向量的坐标，分别求出平面的法向量，平面的法向量，即可计算二面角的余弦值（III）设，写出，求平面的一个法向量，利用线面角公式写出直线

与平面所成角的正弦值且为，可解出，即可求解线段的长.

【详解】（I）以点为原点建立空间直角坐标系，如图，

依题意得，，，

，，.

则，，

而.

所以.

（II），，

设平面的法向量为，则，

即，取.

设平面的法向量为，则，

即，取.

，

所以二面角的余弦值为.

（III），，

设，有.

取为平面的一个法向量，

设为直线与平面所成的角，

则

.

于是，解得.

所以.

所以线段的长为.

【点睛】本题主要考查了利用空间向量来证明立体几何中的垂直关系，求二面角、线面角，考查了学生的推理计算能力，属于中档题.

22.已知椭圆的离心率为，且过点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）四边形的顶点在椭圆上，且对角线、过原点，若，

（1）求的最值；

（2）求证；四边形的面积为定值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（1）的最小值为. 的最大值为.（2）见证明

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据椭圆的离心率及椭圆过点可联立方程组求解（Ⅱ）设直线的方程为，再设，，根据直线与椭圆的位置关系可求出，，由可化简得（1）根据

，由k的范围可求出的最值（2）设原点到直线的距离为，则，再由即可求解.

【详解】（Ⅰ）由题意，，又，

解得：，，

椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，再设，，

联立，得.

…①

，，

，，

，

，

，得.

（1）

当（此时满足①式），即直线平行于轴时，的最小值为.

又直线AB的斜率不存在时，OA·0B=2，

的最大值为.

(2)设原点到直线的距离为，则

.

.

【点睛】本题主要考查了椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系的应用，平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属于难题.