湘教版九年级数学正弦和余弦ppt

九年级数学正弦和余弦人教版知识精讲

初三数学正弦和余弦人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 正弦和余弦 二. 重点、难点： 1. 正弦和余弦的概念。 2. 正弦、余弦之间的关系。 【典型例题】 例1. 填空题。 （1）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝5，则 sinA ＝_________，cosA ＝_________； sinB ＝_________，cosB ＝_________。 B 3 C 5 A （）如图，在△中，∠°，，，则，2A B C C 90BC ====sin A AB 45 10 cosB ＝_________。 A B C （3）如上题图，若AC ：BC ＝1：2，则sinB ＝_________。 （）是锐角，且，则度。432 ∠=∠=B B B cos （5）sin30°＝_______，cos45°＝_______，sin60°＝_______。 （6）比较下列各组值的大小。 ①sin15°_________ sin20°； ②cos40°_________ cos50°； ③cos32°_________ sin58°； ④sin10°_________ cos10°。 （7）sin 210°＋cos 210°＝_________，sin 220°＋sin 270°＝_________。 （）∠为锐角，若，则。843 A sin cos sin cos A A A A +=?= （）是锐角，且，则。9513 ∠==A A A sin cos （）化简：。10121010-??= sin cos 解： （1）此题主要考察对正弦、余弦概念的理解。

九年级数学上册：4.1.3《正弦和余弦》教案

4.1.3正弦和余弦 教学目标 【知识与技能】 1.进一步认识正弦和余弦； 2.正弦和余弦的综合应用. 【过程与方法】 通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算. 【情感态度】 经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力. 【教学重点】 直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用. 【教学难点】 直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1.正弦和余弦的定义是什么？ 2.正弦和余弦之间有什么关系？ 【教学说明】复习有关知识，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°， OB=OA＝OD=2.5 m， ∠AOD＝1/2×60°＝30°， ∴OC=OD·cos30° =2.5≈2.165(m).

∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m). 所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. 【教学说明】通过例题的教学，使学生掌握正弦、余弦在具体问题中的应用. 三、运用新知，深化理解 1.求下列式子的值. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=3/5，求cosA. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝12/13，AC＝10，AB等于多少?sinB呢? 4.已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明) 单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。解：在Rt△ABC中， sinA=BC/AB， 在Rt△BCD中， cosB=BD/BC 根据上题中的结论，可知： 在Rt△ABC中，sinA=cosB， BC/AB=BD/BC 即：BC2＝AB·BD. 【教学说明】使学生掌握正弦、余弦的综合应用. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴

正弦与余弦定理和公式高中数学知识点梳理

正弦与余弦定理和公式高中数学知识点 梳理 首先，我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： (1)已知三角形的两角与一边，解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 (3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次，余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形

中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及大边对大角，大角对大边定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sin A+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1.在△ABC中，C=90，a=1，c=4，则sinA 的值为 2.已知为锐角，且，则的度数是( ) 3.在△ABC中，若，A，B为锐角，则C的度数是() 4.若A为锐角，且，则A=() 5.在△ABC中，AB=AC=2，ADBC，垂足为D，且AD= ，E 是AC中点， EFBC，垂足为F，求sinEBF的值。

正弦与余弦教学设计

第一章直角三角形的边角关系 《正弦与余弦（第2课时）》 教学设计说明 砚山县蚌峨中学韦贵宏 1、学生已经知道的：学生在前一节课学习了有关正切的知识，学会了用直角三角形中两条直角边的关系来描述梯子的倾斜度（即倾斜角的正切） 2、学生想知道的：直角三角形中边与角之间是否还存在着其他的关系呢？是否也能用来刻画梯子的倾斜度呢？ 3、学生能自己解决的：探索出直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的的比、邻边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的. 二、教学任务分析 本课是九年级下册第一章第一节的第二课时，是让学生在理解了正切的基础上，进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系.同时发现，可以用其它的方式来刻画梯子的倾斜程度，从而拓展了学生的思维和视野.在导学探究过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生发表自己的看法，培养学生的逻辑思维能力，培养学生学习数学的自信心. 知识与技能 1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2、能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1、经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感与价值观

1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 教学重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 教学难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：探求新知；第三环节：及时检测；第四环节：归类提升；第五环节：总结延伸；第六环节：随堂小测； 第一环节 复习引入 1、如图，Rt △ABC 中，tanA = ，tanB= . 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝4 3 ，AC ＝10，求BC,AB 的长. 3、若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为∠A ，∠A 越大，梯子越 ；tanA 的值越大，梯子越 . 4、当Rt △ABC 中的一个锐角A 确定时,其它边之间的比值也确定吗? 可以用其它的方式来表示梯子的倾斜程度吗？ 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），第4题的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 第二环节 探求新知 探究活动1：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； B 1 B 2 A C 1 C 2

九年级数学上册 4.1 正弦和余弦教案1 湘教版

九年级数学上册 4.1 正弦和余弦教案1 湘教版 教学目标 1、知识与技能：能根据正弦概念正确进行计算，通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、过程与方法：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实 3、态度、情感、价值观：发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 教学重点：理解认识正弦（sinA ）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 教具：课件、多媒体展台、小黑板 教学方法：讲练结合、点拨与讨论结合 学具： 教学过程及教学内容设计： （一）复习引入 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。 你想知道小明怎样算出的吗？ 师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测 算出旗杆的大致高度； 实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线 段的长度，来测算出旗杆的高度。 这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物 体长度或高度的方法。 下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 （二）实践探索 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 分析： 问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即 可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比 ，能得到什么结论？ 341米 10米 ?

沪教版数学九年级上册【学案】锐角的三角函数正弦与余弦

23.1.2 锐角的三角函数——正弦与余弦 教学思路（纠错栏）学习目标： 1.理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。 2.能用函数的观点理解正弦和余弦 学习重点：正弦、余弦的概念. 学习难点：准确运用正弦、余弦表示直角三角形中两条边的比. ☆预习导航☆ 一、链接：如图，在Rt△ABC中， tanA = （）, tanB=（）. 二、导读：（用边的比表示）请同学们仔细阅读课本第115页内容后，再思考下列问题： 1.如图，在Rt△ABC中，_______________________________叫做∠A的正弦，记作sinA,即sinA = a BC A = = ∠ 斜边 的对边 2、如上图，在Rt△ABC中，_________________________叫做∠A 的余弦. 记作cosA,即 cosA = b AC A = = ∠ 斜边 的邻边 ☆合作探究☆ 1.已知：如图，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D. （1）sinA= BC AC = （） （） （2） AB CD) ( ) ( B sin = = （3） BC BCD CD ACD ) ( cos , ) ( cos = ∠ = ∠ （4） ) ( ) ( tan , ) ( ) ( tan AC BD B AC CD A= = = =

教学思路（纠错栏）2. 在△ABC中，∠C = 90°，sinA = 5 3 ,求则cosA= 3.请你分别求出图中∠A和∠B的各个三角函数值。 ☆归纳反思☆ ☆达标检测☆ 1.ABC Rt?中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos的值为（）. A、 5 1 B、 5 3 C、 3 4 D、 4 3 2.如果把ABC Rt?的三边同时扩大到原来的n倍，则A sin的值（） A、不变 B、扩大到原来的n倍 C、缩小到原来的 n 1 D、不确定 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1， 则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______. 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 4 3 ，AB＝10，求BC和cosB。 5.在平面直角坐标系内有一点P（2，5），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角a 的各个三角函数值.

九年级数学下册 正弦与余弦的习题(无答案) 苏科版

7.2正弦与余弦的习题课 一、复习练习 1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，分别写出∠A 的三角函数关系式：sinA ＝_____，cosA=_____， tanA ＝_____。 ∠B 的三角函数关系式 。 2、①在Rt△ABC 中，∠C=90°,BC=6,AC=8, 则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。 ②在Rt△ABC 中，∠C=90°,BC=2,AC=4, 则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。 ③在Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。 ④在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10,sinA= 5 3，则BC=_____。 ⑤在Rt△ABC 中，∠C=90°,AB=10,sinB=5 4,则AC=_____。 ⑥在Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=15,sinC=5 3，则AB=_____。 ⑦在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA=32，AC=12，则AB=_____,BC=_____。 二、例题 例.1 在△ABC 中，∠C＝90°，cos B=13 12, AC ＝10，求△ABC 的周长和斜边AB 边上的高 例2. （2011四川雅安）已知△ABC 的外接圆O 的半径为3，AC=4，则sinB= 例3.（2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中， 一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图①在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB ==底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad 60°= . （2）对于0°

初三数学正弦、余弦和正切知识精讲 湘教版

初三数学正弦、余弦和正切知识精讲湘教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 正弦、余弦和正切 ［教学目标］ （一）知识与技能 1. 了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念，能够正确地应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边之比。 2. 熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，会计算含有这三个特殊锐角的直角三角形的边长，会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角。 3. 了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值之间的关系。 4. 会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值。 （二）过程与方法： 经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切值的过程，在探索中总结规律，体验学习的乐趣。 （三）情感态度与价值观 体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习自信心。 ［教学重点］ 1. 正弦、余弦、正切的定义。 2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。 3. 互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系。 ［教学难点］ 1. 锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算。 2. 综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角三角形的边。 ［主要内容］ 1. 正弦、余弦、正切的定义： （1）如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比，叫做∠A的正弦。 记作，即∠的对边 斜边 sin sin A A A a c == （2）在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦。 记作，即∠的邻边 斜边 c o s c o s A A A b c ==

（3）在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切。 记作，即∠的对边∠的邻边t a n t a n A A A A a b == 当锐角A 确定后，这些比值都是固定值。 2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。 α α αα 304560122232 32221233 1 3 °°°sin cos tan 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30° 设BC ＝k ，则AB ＝2k 由勾股定理得A C k =3 ∴°s i n 3021 2= = =BC AB k k c o s 303232°===AC AB k k t a n 3033 3°== =BC AC k k 用同样的方法可求45°、60°角的三角函数值。 3. 互为余角的正弦、余弦之间的关系： 由定义知：，sin cos A a c B a c = = ∴sinA ＝cosB 即°s i n c o s ()A A =-90 同理：°cos sin()A A =-90 语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；

(完整word版)新湘教版九年级数学上册知识点总结

九（上）数学知识点 第一章 反比例函数 反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：（1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大． 第二章 一元二次方程 （1）一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化作ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)的形式。 （2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 1、直接开平方法 2、分解因式法：（1、提公因式法；2、公式法； 3、十字交叉相乘法） 3、配方法：加上一次项系数一半的平方。 4、公式法 （1）根的判别式：2 4b ac ?=-，?>0时，方程有两不等实数根；?=0时，方程有两相同实数根；?<0时，方程无实数根。 （2）求根公式 ： 当2 4b ac ?=-≥0时，x=a ac b b 242-±- （3）韦达定理：12b x x a +=- ,12c x x a ?= 第三章 图形的相似 1、 线段的比

一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果 a c b d =， 那么ａｄ ＝ ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定 三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 相似， 且Ａ′， Ｂ′， Ｃ′分别与Ａ， Ｂ， Ｃ 对应， 那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比 判定定理１ 三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２ 两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理３ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形周长的比等于相似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方 4、相似多边形 把对应角相等， 并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形．相似多边形的对应边的比ｋ 叫作相似比． 相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方． 取定一点Ｏ， 把图形上任意一点Ｐ 对应到射线ＯＰ （或它的反向延长线）上一点Ｐ ′ ， 使得线段ＯＰ ′与ＯＰ 的比等于常数ｋ（ｋ ＞ ０）， 点Ｏ 对应到它自身， 这种变换叫 作位似变换 ， 点Ｏ 叫作位似中心， 常数ｋ 叫作位似比（'OP k OP =）。 两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 5、相似多边形的性质 性质１ 相似多边形的对应边成比例 性质２ 相似多边形的对应角相等． 性质３ 相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似 比的平方． 第四章、解直角三角形 锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A

正弦和余弦的相互关系公式

正弦和余弦的相互关系公式 教学目标 1．使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题； 2．通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力； 3．培养学生运用知识结构总结问题的能力。 教学重点和难点 公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点。 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 A （投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13） ①c ＞a ，c ＞b 答：（1）边的关系：②a+b ＞c ，… b c ③a 2+b 2=c 2。 （2）角的关系：∠A+∠B=90°。 C a B （3）边角关系：sinA=a/c ，cosA=b/c ，… 图 6-13 教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题。（板书课题） 二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程 1．复习特殊角三角函数值。 （边问边按下列格式打出投影片，如图6-14） sin30°= ； cos60°= ； sin60°= ； cos30°= ； sin45°= ； cos45°= 。 问：你能发现什么规律？ 答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°。 2．从特殊到一般提出猜想。 猜想：设A 和B 互为余角，则：sinA=cosB ， 30° cosA=sinB 。 2 3．证明猜想，形成公式。 （采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的 正、余弦相互关系的三种表达形式。） 1 45° 互为余角的正、余弦的相互关系： 1 （1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB ，或cosA=sinB 。 （2）sin α=cos （90°-α），或cos α=sin （90°-α）。 图 6-14 1 （3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 练习1（口答） sin37°=cos ； cos62°=sin ； sin47°-cos43°= ； 72sin 18cos = 。 4．应用公式，变式练习。 32

湘教版九年级数学上册知识点归纳总结

九上 第一章反比例函数 （一）反比例函数 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而 得到反比例函数的解析式； （二）反比例函数的图象与性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在

双曲线的另一支上． 4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形 PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为 ． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概 而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时， 两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （三）反比例函数的应用 1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2、反比例函数与一次函数的联系． 3、充分利用数形结合的思想解决问题． 第二章一元二次方程 （一）一元二次方程 1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20 ax bx c ++=（a、b、c为常数， a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 2、把20 ax bx c ++=（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项（包括符号）。 （二）一元二次方程的解法 1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得； 如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。 2、配方法：配方式 基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程

九年级数学下册《正弦与余弦》习题(无答案) 苏科版

九年级数学下册《正弦与余弦》习题（无答案） 苏科版 一、复习练习 1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，分别写出∠A 的三角函数关系式：sinA ＝_____，cosA=_____， tanA ＝_____。 ∠B 的三角函数关系式。 2、①在Rt△ABC 中，∠C=90°,BC=6,AC=8, 则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。 ②在Rt△ABC 中，∠C=90°,BC=2,AC=4, 则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。 ③在Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。 ④在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10,sinA=53，则BC=_____。 ⑤在Rt△ABC 中，∠C=90°,AB=10,sinB=5 4,则AC=_____。 ⑥在Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=15,sinC=5 3，则AB=_____。 ⑦在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA=32，AC=12，则AB=_____,BC=_____。 二、例题 例.1在△ABC 中，∠C＝90°，cos B= 13 12,AC ＝10，求△ABC 的周长和斜边AB 边上的高 例2. （2011四川雅安）已知△ABC 的外接圆O 的半径为3，AC=4，则sinB= 例3.（2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图①在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB ==底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad 60°=. （2）对于0°

初中数学湘教版九年级上册 正弦和余弦教学设计 教案

《正弦和余弦》教学设计 一、基本说明： 1模块：初中数学 2年级：九年级 3所用教材版本：湖南教育出版社 4所属的章节：第四章第一节 5学时数：45分钟（多媒体授课） 二、教学设计： 1、教学目标： （1）知识与技能目标：使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。 (2)过程与方法目标：逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。 (3)情感与态度目标：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯，树立挑战困难的自信。 2、内容分析： （1）重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是固定的这一事实。 （2）难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。 （3）疑点：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。 （4）解决办法：教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。 3、学情分析： 九年级学生正处于由形象思维向抽象思维的过渡阶段，他们具备了一定的探究能力，也喜欢动手探究，对数学学习已有浓厚兴趣，面对新知识的学习，对学生又是一个新的挑战。 4、设计思路： 本堂课的设计思路是从学生生活实际及已有经验入手，运用多媒体教具演示，引导学生进行思考、讨论，最后得出基本的结论，形成一定的概念，达到理

解和应用的目的。教师的主要任务在于积极引导，调动学生的积极性。 三、教学过程：

A

B 四、教学反思与评析 正弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA来表示，学生过去未接触过，所以正弦的概念是难点。 （一）、联系实际，提出问题 引入部分的前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是学生身边的数学，引起学生的好奇、回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但第 三个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说， 起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一 个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角 形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边 或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过 的知识全部求出来。 （二）、动手度量、总结规律。 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°角的对边、邻边与斜边的比值。学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固 定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其

湘教版九上数学：45°,60°角的正弦值及用计算器求任意锐角的正弦值教案

课题：45°，60°角的正弦值及用计算器求任意锐角的正弦值 【学习目标】 1．会求特殊角45°、60°的正弦值． 2．会用计算器计算任意锐角的正弦值，会由任意锐角的正弦值求对应的锐角． 3．培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 【学习重点】 特殊角45°、60°的正弦值的求法． 【学习难点】 特殊角45°、60°的正弦值的求法及由任意锐角的正弦值和余弦值求对应的锐角． 一、情景导入 生成问题 回顾： 1．在Rt △ABC 中， (1)若∠ACB ＝90°，AB ＝5，sin A ＝35 ，则AC ＝4； (2)若∠ACB ＝90°，BC ＝3，sin A ＝35 ，则AB ＝5； (3)若∠ACB ＝90°，AB ＝5，∠A ＝30°，则BC ＝2.5． 2．sin 30°＝12 ． 二、自学互研 生成能力 知识模块一 特殊角45°、60°的正弦值的应用 阅读教材P 111、P 112两个“动脑筋”和P 113例2，完成下面的内容： 归纳：(1)sin 45°2sin 60°2 (2)把sin 30°、sin 45°、sin 60°按从大到小的顺序排列； sin 60°>sin 45°>sin 30°. (3)你发现有什么规律吗？ 对于任意锐角α，都有0

九年级数学正弦和余弦的相互关系公式

正弦和余弦的相互关系公式教案 教学目标 1．使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题； 2．通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力； 3．培养学生运用知识结构总结问题的能力. 教学重点和难点 公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 （投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13） ①c ＞a ，c ＞b 答：（1）边的关系：②a+b ＞c ，… ③a 2+b 2=c 2. （2）角的关系：∠A+∠B=90°. （3）边角关系：sinA=a/c ，cosA=b/c ，… 教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题.（板书课题） 二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程 1．复习特殊角三角函数值. （边问边按下列格式打出投影片 sin30°= ； cos60°= ； sin60°= ； cos30°= ； sin45°= ； cos45°= . 问：你能发现什么规律？ 答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°. 2．从特殊到一般提出猜想. 猜想：设A 和B 互为余角，则：sinA=cosB ，cosA=sinB. 3．证明猜想，形成公式. （采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的正、余弦相互关系的三种表达形式.） 互为余角的正、余弦的相互关系： （1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB ，或cosA=sinB. （2）sin α=cos （90°-α），或cos α=sin （90°-α）. （3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 练习1（口答） sin37°=cos ； cos62°=sin ； sin47°-cos43°= ； 72sin 18cos = .

初三数学上册：《正弦和余弦》教案

初三数学上册：《正弦和余弦》教案教学目标 【知识与技能】 1.进一步认识正弦和余弦； 2.正弦和余弦的综合应用. 【过程与方法】 通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算. 【情感态度】 经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力. 【教学重点】 直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用. 【教学难点】 直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用. 教学过程 【一】情景导入，初步认知 1.正弦和余弦的定义是什么？ 2.正弦和余弦之间有什么关系？ 【教学说明】复习有关知识，为本节课的教学作准备. 【二】思考探究，获取新知 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°， OB=OA＝OD=2.5 m， ∠AOD＝1/2×60°＝30°， ∴OC=OD·cos30°

=2.5×≈2.165(m). ∴AC ＝2.5-2.165≈0.34(m). 所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. 【教学说明】通过例题的教学，使学生掌握正弦、余弦在具体问题中的应用. 【三】运用新知，深化理解 1.求以下式子的值. 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90°,BC=6, sinA=3/5,求cosA. 3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝12/13，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢? 4.：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明) 单靠〝死〞记还不行,还得〝活〞用,姑且称之为〝先死后活〞吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到〝一石多鸟〞的效果。解：在Rt △ABC 中， sinA=BC/AB ， 在Rt △BCD 中， cosB=BD/BC 根据上题中的结论，可知： 在Rt △ABC 中,sinA=cosB ， BC/AB=BD/BC 即：BC2＝AB ·BD. 【教学说明】使学生掌握正弦、余弦的综合应用. 【四】师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 2

正弦函数和余弦函数的计算公式

正弦函数和余弦函数的 计算公式 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

关于正弦函数和余弦函数的计算公式同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα

【湘教版】九年级数学上册：4.1.1 正弦及30°角的正弦值(含答案)

第4章 锐角三角函数 4.1 正弦和余弦 第1课时 正弦及30°角的正弦值 01 基础题 知识点1 正弦的意义 1.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，则∠A 的正弦值可以表示为(C) A.AC AB B.AC BC C.BC AB D.BC AC 2.(贵阳中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sinA 的值为(D) A.512 B.125 C.1213 D.513 3.正方形网格中，△AOB 如图放置，则sin ∠AOB ＝(C) A.32 B.23 C.31313 D.21313 4.已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则sinA ＝(A) A.35 B.45 C.53 D.34 5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA ＝2 3，则边AC 的长是(A) A. 5 B.3 C.4 3 D.12

6.把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(A) A.不变 B.缩小为原来的1 3 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 7.如图，在平面直角坐标系内有一点P(5，12)，那么OP 与x 轴的夹角α的正弦值是12 13 . 8.分别求出图中∠A.∠B 的正弦值. 图1 图2 解：图1：AC ＝AB 2－BC 2＝62－22＝42， ∴sinA ＝BC AB ＝13，sinB ＝AC AB ＝22 3 . 图2：AB ＝AC 2＋BC 2＝（2）2＋（6）2＝22， ∴sinA ＝BC AB ＝622＝32，sinB ＝AC AB ＝222＝1 2. 知识点2 30°角的正弦值 9.计算：sin30°＝1 2 . 10.计算：sin30°－|－2|＝－3 2 . 11.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠B ＝30°，则sin ∠ADE 的值为1 2 .