高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第一章 1.2

§1.2充分条件与必要条件充分条件、必要条件与充要条件的概念

概念方法微思考

若条件p,q以集合的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则由A?B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.

提示若A B,则p是q的充分不必要条件；

若A?B,则p是q的必要条件；

若A B,则p是q的必要不充分条件；

若A＝B,则p是q的充要条件；

若A?B且A?B,则p是q的既不充分又不必要条件.

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(√)

(2)已知集合A,B,则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)

(3)q不是p的必要条件时,“p?q”成立.(√)

(4)若p?q,则p是q的充分不必要条件.(×)

题组二教材改编

2.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)

答案充分不必要

3.“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)

答案必要不充分

4.函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.

答案m＝－2

题组三易错自纠

5.设x＞0,y∈R,则“x＞y”是“x＞|y|”的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

答案 C

解析 由x ＞y 推不出x ＞|y |,由x ＞|y |能推出x ＞y ,所以“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要不充分条件. 6.(多选)设x ∈R ,则x ＞2的一个必要不充分条件是( ) A.x ＜1 B.x ＞1 C.x ＞－1 D.x ＞3 答案 BC

7.已知集合A ＝?

???

??

x ??

13

<3x <27，x ∈R ,B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1,m ∈R },若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是____________. 答案 (2,＋∞)

解析 因为A ＝?

???

??

x ??

13

<3x <27，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3},x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,

所以A B ,所以m ＋1＞3,即m ＞2.

充分、必要条件的判定

1.设命题p :x ＞4；命题q :x 2－5x ＋4≥0,那么p 是q 的______________条件.(选填“充分不必

要”必要不充分“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要

解析 由x 2－5x ＋4≥0得x ≤1或x ≥4,可知{x |x ＞4}是{x |x ≤1或x ≥4}的真子集,∴p 是q 的充分不必要条件.

2.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的( ) A.充要条件 B.既不充分又不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件

答案 D

解析 非有志者不能至,是必要条件；但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件. 3.设p :????12x

＜1,q :log 2x ＜0,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

答案 B

解析 由????12x ＜1知x ＞0,所以p 对应的集合为(0,＋∞),由log 2x ＜0知0＜x ＜1,所以q 对应的集合为(0,1),显然(0,1)(0,＋∞),所以p 是q 的必要不充分条件.

4.若集合A ＝{x |x 2－6x ＋5＜0},B ＝{x ||x －a |＜1},则“a ∈(2,3)”是“B ?A ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 答案 A

解析 A ＝{x |1＜x ＜5},B ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}.

∵B ?A ,∴?

????

a －1≥1，a ＋1≤5，即2≤a ≤4,

∵(2,3)[2,4],∴“a ∈(2,3)”是“B ?A ”的充分不必要条件. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法

(1)定义法:根据p ?q ,q ?p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法:根据p ,q 对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.

充分、必要条件的应用

例1 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0},非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,求m 的取值范围.

解 由x 2－8x －20≤0,得－2≤x ≤10, ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.

由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S ?P . 则????

?

1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，

∴当0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件, 即所求m 的取值范围是[0,3].

若本例条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P

是x ∈S 的充要条件.

解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P ＝S ,

∴?

????

1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解, 即不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.

思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.

跟踪训练1 (1)已知p :1≤x ≤2,q :(x －a )(x －a －1)≤0,若p 是q 的充要条件,则实数a 的值为________. 答案 1

解析 q :(x －a )(x －a －1)≤0,∴a ≤x ≤a ＋1.

由p 是q 的充要条件知?

????

a ＝1，a ＋1＝2，∴a ＝1.

(2)设p :|2x ＋1|＜m (m ＞0)；q :x －1

2x －1＞0.若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围为

__________. 答案 (0,2]

解析 由|2x ＋1|＜m (m ＞0),得－m ＜2x ＋1＜m , ∴－m ＋12＜x ＜m －12,且－m ＋12＜0,

由

x －12x －1

＞0,得x ＜1

2或x ＞1.

∵p 是q 的充分不必要条件, ∴m －12≤1

2

,∴0＜m ≤2.

充要条件的探求

例2 已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,求两方程的根都是整数的充要条件.

解 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程, 所以m ≠0.

又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,且两方程都要有实根,

所以?

????

Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，

解得m ∈????－5

4，1. 因为两方程的根都是整数, 故其根的和与积也为整数,

所以????

?

4

m

∈Z ，4m ∈Z ，

4m 2

－4m －5∈Z .

所以m 为4的约数. 又因为m ∈????－5

4，1, 所以m ＝－1或1.

当m ＝－1时,第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 而当m ＝1时,两方程的根均为整数,

所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.

思维升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性,解题时要考虑条件包含的各种情况,保证条件的充分性和必要性.

跟踪训练2 (1)命题“对任意x ∈[1,2),x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a ≥4 B.a ＞4 C.a ≥1 D.a ＞1

答案 B

解析 要使“对任意x ∈[1,2),x 2－a ≤0”为真命题,只需要a ≥4,所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件.

(2)(2020·武汉质检)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________. 答案 ac ＜0

解析 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是?????

Δ＝b 2－4ac >0，c a <0.

即ac ＜0.

1.“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 答案 A

解析 由log 2(2x －3)＜1?0＜2x －3＜2?32＜x ＜52,4x ＞8?2x ＞3?x ＞3

2,所以“log 2(2x －3)＜

1”是“4x ＞8”的充分不必要条件,故选A. 2.设a ,b ∈R ,则“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A

解析 由(a －b )a 2＜0可知a 2≠0,则一定有a －b ＜0,即a ＜b ；但是a ＜b 即a －b ＜0时,有可能a ＝0,所以(a －b )a 2＜0不一定成立,故“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件,故选A. 3.“|x －1|＜2”是“x ＜3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 答案 A

解析 由|x －1|＜2,可得－1＜x ＜3,

∵{x|－1＜x＜3}{x|x＜3},

∴“|x－1|＜2”是“x＜3”的充分不必要条件.

4.(2019·东莞模拟)若实数a,b满足a＞0,b＞0,则“a＞b”是“a＋ln a＞b＋ln b”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案 C

解析设f (x)＝x＋ln x,显然f (x)在(0,＋∞)上单调递增,

∵a＞b,∴f (a)＞f (b),

∴a＋ln a＞b＋ln b,充分性成立；

∵a＋ln a＞b＋ln b,

∴f (a)＞f (b),∴a＞b,必要性成立,

故“a＞b”是“a＋ln a＞b＋ln b”的充要条件,故选C.

5.若“x＞1”是“不等式2x＞a－x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()

A.a＞3

B.a＜3

C.a＞4

D.a＜4

答案 A

解析若2x＞a－x,即2x＋x＞a.设f (x)＝2x＋x,则函数f (x)为增函数.由题意知“2x＋x＞a成立,即f (x)＞a成立”能得到“x＞1”,反之不成立.因为当x＞1时,f (x)＞3,∴a＞3.

6.已知p:x≥k,q:(x＋1)(2－x)＜0,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()

A.[2,＋∞)

B.(2,＋∞)

C.[1,＋∞)

D.(－∞,－1]

答案 B

解析由q:(x＋1)(2－x)＜0,得x＜－1或x＞2,又p是q的充分不必要条件,所以k＞2,即实数k 的取值范围是(2,＋∞),故选B.

7.(多选)若x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充分不必要条件,则实数a的值可以是()

A.1

B.2

C.3

D.4

答案BCD

解析由x2－x－2＜0,解得－1＜x＜2.

∵x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充分不必要条件,

∴(－1,2)(－2,a),∴a≥2.

∴实数a的值可以是2,3,4.

8.(多选)下列叙述中不正确的是()

A.若a,b,c∈R,则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”

B.若a,b,c∈R,则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”

C.“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

D.“a ＞1”是“1

a ＜1”的充分不必要条件

答案 AB

解析 A 错误,当a ＝0,b ＝0,c ＜0时,满足b 2－4ac ≤0,但此时ax 2＋bx ＋c ≥0不成立,故若a ,b ,c ∈R ,则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”错误； B 错误,若a ,b ,c ∈R ,“a ＞c ”且b ＝0时,推不出“ab 2＞cb 2”,故错误；

C 正确,若方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根,则Δ＝1－4a ＞0,x 1x 2＝a ＜0,则a ＜0,又“a ＜1”是“a ＜0”的必要不充分条件,故正确；

D 正确,“a ＞1”?“1a ＜1”但是“1

a

＜1”推不出“a ＞1”,故正确.

9.已知命题p :1a ＞1

4,命题q :?x ∈R ,ax 2＋ax ＋1＞0,则p 成立是q 成立的________条件.(选填“充

分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要

解析 命题p 等价于0＜a ＜4.命题

q :对?x ∈R ,ax 2＋ax ＋1＞0

等价于?

????

a ＝0，

1>0或

?

????

a >0，

a 2－4a <0，则0≤a ＜4,所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件. 10.(2019·福州模拟)已知 f (x )是R 上的奇函数,则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要

解析 ∵函数f (x )是奇函数,∴若x 1＋x 2＝0,则x 1＝－x 2,则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2),即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立,即充分性成立；若f (x )＝0,满足f (x )是奇函数,当x 1＝x 2＝2时,满足f (x 1)＝f (x 2)＝0,此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0,但x 1＋x 2＝4≠0,即必要性不成立.故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件.

11.若x ∈{－1,m }是不等式2x 2－x －3≤0成立的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是________. 答案 ?

???－1，3

2 解析 不等式可转化为(x ＋1)(2x －3)≤0,解得－1≤x ≤32,由于x ∈{－1,m }是－1≤x ≤3

2的充分

不必要条件,结合集合元素的互异性,得到m ∈?

???－1，3

2. 12.设p :实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0(其中a ＞0),q :实数x 满足x －3

x －2≤0.若p 是q 的必要不充分

条件,求实数a 的取值范围.

解 设A ＝{x |a ＜x ＜3a },B ＝{x |2＜x ≤3},p 是q 的必要不充分条件,则B A ,则?

????

03，则1

＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2].

13.(2020·深圳模拟)对于任意实数x ,〈x 〉表示不小于x 的最小整数,例如〈1.1〉＝2,〈－1.1〉＝－1,那么“|x －y |＜1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 答案 B

解析 令x ＝1.8,y ＝0.9,满足|x －y |＜1,但〈1.8〉＝2,〈0.9〉＝1,〈x 〉≠〈y 〉,可知充分性不成立.当〈x 〉＝〈y 〉时,设〈x 〉＝x ＋m ,〈y 〉＝y ＋n ,m ,n ∈[0,1),则|x －y |＝|n －m |＜1,可知必要性成立.所以“|x －y |＜1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件.故选B. 14.求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.

解 (1)当a ＝0时,为一元一次方程,其根为x ＝－1

2

,符合题目要求.

(2)当a ≠0时,为一元二次方程,它有实根的充要条件是判别式Δ≥0,即4－4a ≥0,从而a ≤1. 又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根为x 1,x 2,则x 1＋x 2＝－2a ,x 1x 2＝1

a .

①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是????

?

a ≤1，1a

<0，得a ＜0.

②方程ax 2

＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是?????

a ≤1，

－2a

<0，

1a >0，

得0＜a ≤1.

综上,ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.

15.已知集合2613x x A x --????

??=?? ?

??????

≤1 ,B ＝{x |log 3(x ＋a )≥1},若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞,0]

解析 由2613x x x --????

???? ?

??????

≤1 ,得x 2－x －6≥0,解得x ≤－2或x ≥3,则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}.由log 3(x ＋a )≥1,得x ＋a ≥3,即x ≥3－a ,则B ＝{x |x ≥3－a }.由题意知B A ,所以3－a ≥3,解得a ≤0.

16.已知ab ≠0,求证:a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明 (1)必要性:

因为a ＋b ＝1,所以a ＋b －1＝0.

所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)·(a 2－ab ＋b 2)＝0. (2)充分性:

因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0, 即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0, 又ab ≠0, 所以a ≠0且b ≠0.

因为a 2－ab ＋b 2＝????a －b 22＋3

4b 2＞0, 所以a ＋b －1＝0,即a ＋b ＝1.

综上可得当ab ≠0时,a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.

高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修45 不等式选讲

选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；ab，那么________；如果________，那么a>b.即a>b?________. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么________． (3)可加性：如果a>b，那么____________． (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么________；如果a>b，c<0，那么________． (5)乘方：如果a>b>0，那么a n________b n(n∈N，n>1)． (6)开方：如果a>b>0，那么n a________ n b(n∈N，n>1)． 3．绝对值三角不等式 (1)性质1：|a＋b|≤________. (2)性质2：|a|－|b|≤________. 性质3：________≤|a－b|≤________. 4．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集 (2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b| ①|ax＋b|≤c?______________； ②|ax＋b|≥c?______________. (3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法．

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-4 坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；

【免费下载】高中数学步步高大一轮复习讲义文科第1讲 归纳与类比

第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析　由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案　B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析　观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第五章 5.4复数

§5.4复数

1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.

概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．

题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i

最新2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量的数量积

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积

第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|，

又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及

最新高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1汇总

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1

§3.1导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导 数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为 导数． 4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B

2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第十三章 13.1 第2课时参数方程

第2课时参数方程 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一 个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t )就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 概念方法微思考

1．在直线的参数方程? ???? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中， (1)t 的几何意义是什么？ (2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？ 提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量． (2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2. 2．圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？ 提示 θ的几何意义为该圆的圆心角． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)参数方程? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ ) (2)方程? ???? x ＝2cos θ， y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ ) (3)已知椭圆的参数方程? ???? x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π 3，点O 为原 点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) (4)参数方程??? ?? x ＝2cos θ，y ＝5sin θ ????θ为参数且θ∈????0，π2表示的曲线为椭圆．( × ) 题组二 教材改编 2．曲线? ???? x ＝－1＋cos θ， y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上 D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B 解析 由????? x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得????? cos θ＝x ＋1， sin θ＝y －2. 所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上． 3．直线????? x ＝t ＋1，y ＝t (t 为参数)与圆? ???? x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交且直线过圆心 D ．相交但直线不过圆心 答案 D 解析 消去参数，得直线方程为x －y －1＝0， 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径R ＝1， 圆心到直线的距离为d ＝|2－0－1|2 ＝2 2<1，

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 专题一

专题一 高考中的导数应用问题 1． 函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 答案 D 解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2. 2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D.??? ?0，1 2 答案 D 解析 f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝ 3x 2－6b ， 由题意，得函数f ′(x )的草图如图， ∴????? f ′(0)<0，f ′(1)>0， 即????? －6b <0， 3－6b >0， 解得0

2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章 4.4三角函数的图象与性质

§4.4三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，????π2，1，(π，0)，??? ?3π2，－1，(2π，0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，????π2，0，(π，－1)，??? ?3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )

概念方法微思考 1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π 2＋k π(k ∈Z )． (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．

题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × ) (2)由sin ????π6＋2π3＝sin π6知，2π 3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝cos ????2x ＋π 4的最小正周期是________． 答案 π 3．y ＝3sin ????2x －π6在区间????0，π 2上的值域是________． 答案 ??? ?－3 2，3 解析 当x ∈????0，π2时，2x －π 6∈????－π6，5π6， sin ????2x －π6∈????－1 2，1， 故3sin ? ???2x －π6∈????－3 2，3， 即y ＝3sin ????2x －π6在????0，π2上的值域为??? ?－3 2，3. 4．函数y ＝－tan ????2x －3π 4的单调递减区间为________________． 答案 ???? π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )

2018年步步高高中数学大一轮复习选修4-4 第1讲 坐标系

选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 一、填空题 1．在极坐标系中，点P (ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________． 解析 设点P (ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)． 答案 (－ρ0，θ0) 2．过点(2，π4)平行于极轴的直线的极坐标方程是________． 解析 设直线上点坐标P (ρ，θ)， 则ρsin θ＝2cos (90°－45°)＝ 2. 答案 ρsin θ＝ 2 3．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ? ?? ??4，π6到圆心C 的距离是________． 解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心 坐标为(0,2)．又易知点A ? ?? ??4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为(0－23)2＋(2－2)2＝2 3. 答案 2 3 4．在极坐标系中，点M ? ????4，π3到曲线ρcos ? ????θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________． 解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为

|2＋23×3－4| 12＋(3) 2＝2. 答案 2 5．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________． 解析 设所求曲线上动点M 的极坐标为(r ，φ)， 由图可知???φ＝θ r ＝12ρ . 把θ＝φ和ρ＝2r 代入方程ρ＝2a cos θ， 得2r ＝2a cos φ，即r ＝a cos φ.(? ????－π2 ≤φ≤π2， 这就是所求的轨迹方程． 由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(a 2，0)为圆心，半径为a 2的圆． 答案 以(a 2，0)为圆心，以a 2为半径的圆 6．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、 B 两点，则线段AB ＝________. 解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由??? ρ＝2cos θ， θ＝π4得??? ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2.

2018年步步高大一轮高考理科数学总复习

第1课时集合 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4) 2. A B或 B A ?B且B≠?3． (1) U (2) ①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B. ②A∩A＝A，A∩?＝?. ③A∪A＝A，A∪?＝A. ④A∩?U A＝?，A∪?U A＝U，?U(?U A)＝A. 4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(×) (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A.(×) (3)若A B，则A?B且A≠B.(√) (4)N*N Z.(√) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) (6)对于任意两个集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)成立．(√) (7)?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)，?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)．(√) (8)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (9){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√) (10)若A∪B＝A∪C，则B＝C.(×) 考点一集合的概念

第一章 集合与常用逻辑用语大一轮复习 数学(理)[例1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 解析：∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素． 答案：C (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98 . 答案：D [方法引航] (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 1．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝??????1a ，a 2，0，则a ＝________. 解析：由题意1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，所以只有a 2＝1. 当a ＝1时，1a ＝1，不满足互异性，∴a ＝－1. 答案：－1 2．(2017·福建厦门模拟)已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________． 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5＜k ≤6. 答案：(5,6] 考点二 集合间的关系及应用 [例2] (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }A ．P ?Q B ．Q ?P C ．?R P ?Q D ．Q ??R P 解析：因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}，所以?R P ＝{y |y ＞1}，所以?R P ?Q ，选 C. 答案：C (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：∵B ?A ， ∴①若B ＝?，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠?，则????? 2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2， 2m －1≤5. 解得2≤m ≤3. 由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(－∞，3] [方法引航] 1.集合间基本关系的两种判定方法 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系 (2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系． 2．根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 1．在本例(1)中，集合P 变为P ＝{y |y ＝x 2 ＋1}，Q 不变，如何选答案． 解析：P ＝{y |y ≥1}，Q ＝{y |y ＞0}，∴P ?Q ，选A.

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1

§3.1导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数， 通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝lim Δx→0 f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式

5． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1 x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B 解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.