巧用线性规划思想解题

巧用线性规划思想解题

当约束条件或目标函数不是线性规划问题，但其几何意义明显时，仍可利用线性规划的思想来解决问题，从而使解题思路拓宽，提高解题能力．

一、 函数问题转化为线性规划问题

例1 如图1，x y ，满足的可行域是图中阴影部分（包括边界）．若函数2t ax y =-在 点(05)，取得最小值，求a 的取值围．

解：由图1易得x y ，满足的约束条件为5026000.x y x y x y +-??

+-?????，

，

，≤≤≥≥

将目标函数2t ax y =-改为斜截式22a t y x =-，2

t

-表示直线

在y 轴上的截距，欲求t 的最小值，可转化为求2

t

-的最大值．

当0a ≥时，显然直线在点(05)，处，2

t

-取得最大值；

当0a <时，依题意，12

a

-≥，易得20a -<≤．

综上所述，2a -≥时，函数2t ax y =-在点(05)，

取得最小值． 二、 方程问题转化为线性规划问题

例2 已知a b +∈R ，，若方程2

20x ax b ++=与方程2

20x bx a ++=都有实数根， 求a b +的最小值．

解：由题意，得220,0,80440a b a b b a >??>??-??-?，，≥≥即220,

0,8.a b a b b a >??>?

????

，≥≥

画出其可行域为如图2所示阴影部分．

令t a b =+，故要求a b +的最小值，即求过可行域的点，使得b t a =-在b 轴上截距最小的点的坐标．由图知，A 点即为所求．

由228.

a b b a ?=??=??，解得42a b ==，． a b ∴+的最小值为6．

三、 不等式问题转化为线性规划问题

例3 已知()3f x x y =-，且11x y -+≤≤，13x y -≤≤，求()f x 的取值围．

解：如图3，作出不等式组1113x y x y -+??-?

，

，≤≤≤≤

所表示的平面区域，即可行域．

作直线:30l x y -=，把直线l 向右下方平移过

(01)B -，，即直线10x y --=与

10x y ++=的交点时，min ()3011f x =?+=；

再把直线l 向右下方平移过(21)A -，即直线

30x y --=与10x y +-=的交点时，max ()2317f x =?+=，1()7f x ∴≤≤．

说明：本题还可运用整体代换法，先用x y +与x y -的一次组合表示，找出它们之间 的线性关系，然后利用不等式的性质加以解决．

四、 多元问题转化为线性规划问题

例4 已知ABC △的三边长a b c ，，满足2b c a +≤，2a c b +≤，求

b

a

的取值围． 解：由题意，应用22000a b c a b a c b c a b a b c <+??

<+??<+??>>>?，，

，，，，

≤≤

令b c x y a a

==，，

上述不等式可化为1212100.

x y x y x y x x y <+??

<+??<+??>>?，，

，，≤≤

求出x 的围即可．

作出可行域如图4，易得23

32

x <<，

于是

b a 的围为2332??

???

，． 五．几何问题转化为线性（非线性）规划问题（3，6，8）

简单的线性规划和实际应用

一、选择题

1.已知变量x、y满足条件

?

?

?

?

?

≤

-

+

≤

-

≥

,0

9

2

,0

,1

y

x

y

x

x

则x+y的最大值是( )

A.2

B.5

C.6

D.8

解析：由题可知可行域如下:

显然,B(3,3)使(x+y)取得最大值6.

答案：C

2.在平面直角坐标系xOy中,满足不等式组

?

?

?

<

≤

1

|

|

|,

||

|

x

y

x

的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图中的( )

解析：若00时,要使|y|≥|x|,则y≥x;当y<0时,要使|y|≥|x|,则y≤-x;若-10时,要使|y|≥|x|,则y≥-x; 当y<0时,要使|y|≥|x|,则y≤x.

答案：C

3.若A为不等式组

0,

0,

2

x

y

y x

≤

?

?

≥

?

?-≤

?

表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a 扫过A中的那部分区域的面积为( )

A.

4

3

B.1

C.

4

7

D.2

解析：如图所示,直线x+y=a扫过的区域为四边形AOBC.

∴S四边形AOBC=S△AOD-S△CBD=

4

7

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

=

?

?

-

?

?.

答案：C

4.设二元一次不等式组

?

?

?

?

?

≤

-

+

≥

+

-

≥

-

+

14

2

,0

8

,0

19

2

y

x

y

x

y

x

所表示的平面区域为M,则使函数y=a x(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值围是( )

A.［1,3］

B.［2,10］

C.［2,9］

D.［10,9］

解析：平面区域M如图所示.求得A(2,10),C(3,8),B(1,9).

由图可知,欲满足条件必有a>1且图象在过B、C两点的图象之间.

当图象过B时,a1=9,∴a=9.

当图象过C时,a3=8,∴a=2.

故a的取值围为［2,9］.故选C.

答案：C

二、填空题

5.若变量x,y满足

?

?

?

?

?

?

?

≥

≥

≤

+

≤

+

,0

,0

,

50

2

,

40

2

y

x

y

x

y

x

则z=3x+2y的最大值是___________.

解析：由不等式组????

???≥≥≤+≤+0

,0,

502,

402y x y x y x 画出的可行域如图,结合图形,由??

?==????=+=+.20,10502402y x y x y x 于是z max =3×10+2×20=70.

答案：70

6.已知M={(x,y)||x|+|y|≤1},则M 的面积为__________. 解析：如图,作出M 表示的平面区域,其面积为2.

答案：2

7.若a≥0,b≥0,且当??

?

??≤+≥≥1,0,0y x y x 时,恒有ax+by≤1,则以a,b 为坐标的点P(a,b)所形成的平

面区域的面积是__________.

解析：ax+by≤1恒成立,当x=0时,by≤1恒成立,可得y≤

b

1

(b≠0)恒成立,所以0≤b≤1;同理0≤a≤1.所以点P(a,b)确定的平面区域是一个正方形,面积为1. 答案：1 三、解答题

8.已知??

???≤--≥+-≥-+,033,042,022y x y x y x 求z=x 2+y 2

的最值,并求出z 取得最值时x 、y 的值.

解：z=x2+y2不是线性函数,求它的最值可利用几何意义求解.x2+y2表示区域上的点到原点的距离的平方,显然,它的最值应在区域的边界上取得.

作出满足以上不等式组的可行区域(如图),易知在这个区域中,点C到原点O的距离最远,即z的最大值是22+32=13,这时x=2,y=3.又过O点作直线AB:x+

2

y

=1的垂线,垂足)

5

2

,

5

4

(

D,在

点D处z有最小值|OD|2=

5

4

,此时x=

5

4

,y=

5

2

.

9.若函数)2

(

)2

(

)

(2+

+

+

+

=a

bx

x

a

x

f的定义域是R,求3a+b的取值围.

解：∵)2

(

)2

(

)

(2+

+

+

+

=a

bx

x

a

x

f的定义域是R,

∴

?

?

?

≤

+

-

>

+

?

?

?

=

=

+

,0

)2

(4

,0

2

,0

2

2

2a

b

a

b

a

或

即

?

?

?

?

?

≥

-

-

≤

+

+

>

+

?

?

?

?

?

≤

-

-

≥

+

+

>

+

?

?

?

=

-

=

.0

4

2

,0

4

2

,0

2

4

2

,0

4

2

,0

2

,2

a

b

a

b

a

a

b

a

b

a

b

a

或

或

可行域为下图中阴影部分.

∵3a+b=0的斜率为-3,

∴最优解为A(-2,0),此时(3a+b)min=-6.

∴3a+b的取值围为［-6,+∞).

线性规划的方法及应用

线性规划的方法及应用 1 引言 运筹学最初是由于第二次世界大战的军事需要而发展起来的，它是一种科学方法，是一种以定量的研究优化问题并寻求其确定解答的方法体系．线性规划（Linear Progromming ，简称LP ）是运筹学的一个重要分支，其研究始于20世纪30年代末，许多人把线性规划的发展列为20世纪中期最重要的科学进步之一．1947年美国的数学家丹泽格提出了一般的线性规划数学模型和求解线性规划问题的通用方法――单纯形法，从而使线性规划在理论上趋于成熟．此后随着电子计算机的出现，计算技术发展到一个高阶段，单纯形法步骤可以编成计算机程序，从而使线性规划在实际中的应用日益广泛和深入．目前，从解决工程问题的最优化问题到工业、农业、交通运输、军事国防等部门的计划管理与决策分析，乃至整个国民经济的综合平衡，线性规划都有用武之地，它已成为现代管理科学的重要基础之一． 2 线性规划的提出 经营管理中如何有效地利用现有人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现．这类问题可以用数学语言表达，即先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通常用变量的函数形式（称为目标函数），对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达（称为约束条件）．当变量连续取值，且目标函数和约束条件为线性时，称这类模型为线性规划的模型．有关对线性规划问题建模、求解和应用的研究构成了运筹学中的线性规划分支．线性规划实际上是:求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解.从而线性规划模型的基本结构为： ①变量：变量又叫未知数，它是实际系统的位置因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如n x x x ,,,21 等． ②目标函数：将实际系统的目标用数学形式表示出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值（如产值极大值，利润极大值）或极小值（如成本极小值，费用极小值等等）． ③约束条件：约束条件是指实现系统目标的限制因素．它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应设备能力、计划指标．产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件．约束条件的数学表示有三种，即 ,,,线性规划的变量应为非负值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负． 线性规划问题有多种形式，函数有的要求实现最大化，有的要求最小化；约束条件可以是“ ”，

多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现

多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现 一．多目标线性规划模型 多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函 数,其数学模型表示为： 11111221221122221122max n n n n r r r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++??=+++?? ??=+++? （1） 约束条件为： 1111221121122222112212,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x +++≤??+++≤?? ??+++≤?≥?? （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ij m n A a ?=,()ij r n C c ?=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ， 12(,,,)T r Z Z Z Z = . 则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为: max Z Cx = 约束条件：0 Ax b x ≤?? ≥? （3） 二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3] 在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下 限和上限, fval 求解的x 所对应的值。 算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ） fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束

线性规划常见题型及解法(上课)

线性规划常见题型及解法 温故 1．不在3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0） 2．已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线3x–2y + m = 0 的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24 C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤24 3．在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z= x– y 的最大值和最小值分别是（） A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－1 4．在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（） 5．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A． 2 3260 y x y x ≥- ? ? -+> ? ?< ? B． 2 3260 y x y x >- ? ? -+≥ ? ?≤ ? C． 2 3260 y x y x >- ? ? -+> ? ?≤ ? D． 2 3260 y x y x >- ? ? -+< ? ?< ?

由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值

线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)

线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致． 归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用． 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型． 【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( ) A ．[7，23] B ．[8，23] C ．[7，8] D ．[7，25] 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求 直线的截距z b 的最值，间接求出z 的最值． 【解析】画出不等式组???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3， 表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－2 3 x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组 ????? x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得????? x ＝2， y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组????? x －y ＝－1，2x －y ＝3，得????? x ＝4，y ＝5， 所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23． 【答案】A

【母题二】变量x ，y 满足???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， (1)设z ＝y 2x －1，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围； (3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0 ??? ? x －12表示点(x ，y )和????12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方． 【解析】(1)由约束条件???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， 作出(x ，y )的可行域如图所示． 由 ????? x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ????1，22 5． 由????? x ＝1， x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由? ???? x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝ y 2x －1 ＝y －0x －12 ×12 ∴z 的值即是可行域中的点与????12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－ 12×12＝29 ． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29． ∴2≤z ≤29． (3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4， d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8 ∴16≤z ≤64．

高中数学解题方法谈 线性规划求最值问题

线性规划求最值问题 一、与直线的截距有关的最值问题 例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -??-??+-? ，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的 取值范围是（ ）． （A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］ （C ）［－1，2］ （D ）［1，2］ 解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z x y =-， 把它变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行 直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且 经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2； 直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）． 注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识． 二、与直线的斜率有关的最值问题 例2 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --??+-??-? ，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点． ∴312P ?? ???，．故答案为32 ． 注：解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -= =-的 几何意义，当然本题也可设y t x =，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时， t 最大．代入y tx =，求出32 t =， 即得到的最大值是32 ． 三、与距离有关的最值问题

线性规划化问题的简单解法

简单线性规划问题的几种简单解法 依不拉音。司马义（吐鲁番市三堡中学，838009） “简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。 简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型为： 1112220(0)0(0),(),0(0) m m m A x B y C A x B y C m N z Ax By A x B y C +++≥≤??++≥≤?∈=+???++≥≤?L 约束条件 目标函数 ， 下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。 1. 图解法 第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。 ⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c 不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。 ⑵B 判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C ＞0（＜０）表示的区域在直 线Ax+By+C ＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C ＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的下方。（即若B 与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B 与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方） 用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。 第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这 个可以用下面的两种办法解决。 ⑴y 轴上的截距法：若b >0，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，便是z 取得最大值（最小值）的点；若b <0，直线y a b x z b =-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，是z 取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。 例1．设x,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥???? ?10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。 解：如图1作出可行域，因为y 的系数1大于0，目标函数z x y =+2表示直线 y x z =-+2在y 轴上的截距， 当直线过A （1，0）时，截距值最大z max =?+=2102，当直线过点O （0，0）时，截距值最小min 2000z =?+=。

高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略

高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略 一.线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如（）时，可把目标函数变形为 ，则可看作在上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下： 1.做出可行域; 2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解. 二.非线性目标函数问题的解法 当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种： 1． 比值问题 当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 例2已知变量x ，y 满足约束条件?????x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0， 则y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95 ]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6] 解析 y x 是可行域内的点M （x ，y ）与原点O （0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x 取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x 取得最大值6.答案A 2．.距离问题 当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为 PQ 距离平方的最值。 例3已知?????2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0， 求x 2＋y 2的最大值与最小值. 解析作出不等式组表示的平面区域（如图）. 设x 2＋y 2＝z ，则z 是以原点为圆心的圆的半径的平方. 当圆x 2＋y 2＝z 过点B （2，3）时，z 取得最大值，从而z 取得最大值z max ＝22＋32＝13； 当圆x 2＋y 2＝z 与直线AC ：2x ＋y －2＝0相切时，z 取得最小值，从而z 取得最小值. 设切点坐标为（x 0，y 0），则 ?????2x 0＋y 0－2＝0，y 0x 0 ·（－2）＝－1. z ax by c =++0b ≠a z c y x b b -=-+z c b -y 在轴y a z x b -=-(,)P x y (,)Q b a 22()()z x a y b =-+-(,)P x y (,)Q a b

高中数学解题方法谈 线性规划问题新解法

线性规划问题新解法 简单的线性规划问题是高中数学新课标教材的重点内容，也是近年高考命题的热点．线性规划问题的常规解法是“截距法”，即利用线性目标函数(0)z ax by b =+≠的几何意义：“z b 是直线a z y x b b =-+在y 轴上的截距”来求解．而对于有些线性规划问题．也可以运用新的视角探究其解法．现以近年高考题为例向同学们介绍，以拓广同学们的解题思路． 一、函数单调性法 例1 （高考福建卷）非负实数x y ，满足24030x y x y ?+-??+-?? ，，≤≤则3x y +的最大值是 ． 解析：在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域，如右图． 令3z x y =+，由图知，使目标函数3z x y =+取得最大值的 点一定在边界240x y +-=或30x y +-=上取得． 由24030x y x y +-=??+-=?，，解得12x y =??=? ，． （1）当01x ≤≤时，33(3)29z x y x x x =+=+-+=-+， 在[01]，上为减函数，0x =∴时，max 9z =； （2）当12x ≤≤时，33(24)512z x y x x x =+=+-+=-+， 在[1 2]，上也为减函数，1x =∴时，max 7z =； 综上知当0x =时，3z x y =+有最大值为9． 点评：本解法是将二元一次函数转化为一元一次函数，然后利用函数单调性求解的．既体现了函数与不等式的密切转化关系，也说明了线性规划问题的“返璞归真”． 二、待定系数法 例2 （高考浙江卷）设z x y =-式中变量x 和y 满足条件3020x y x y ?+-??-?? ，，≥≥则z 的最小值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．3 Ｄ．3- 解析：令()(2)()(2)z x y m x y n x y m n x m n y =-=++-=++-， 则121m n m n +=??-=-?，，解得1323m n ?=????=?? ，． 于是1212()(2)3013333 z x y x y x y =-=++-?+?=≥， 当且仅当320x y x y +=??-=? ，时，z 取最小值1．故选Ａ．

备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题32线性规划问题的求解策略(原卷版)

备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题 32 线性规划问题的求解策略（原卷版） 专业文档 【高考地位】 线性规划问题是高考的必考内容，其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。近年来， 高考中的线性规划问题更趋灵活多样，体现了“活、变、新”等特点，更加深刻的考查学生 解决综合性问题的能力。在高考中以各种题型中均出现过，其试题难度属中高档题. 【方法点评】 类型一线性目标函数问题使用情景:求目标函数的最值 解题模板:第一步根据已知约束条件画出其可行域; 第二步平移目标函数的直线系，根据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解; 第三步得出结论. x0，?,,例1 已知实数满足不等式组y,2,则的最大值是 ___________( 2xy,xy,?,,220,xy，,?, xy，,,230, ,xy，,,330x例2 已知、满足不等式组，则的最大值是 ( yzxy,，2, ,y,1, y,2,

,xy，,1【变式演练1】已知变量满足约束条件:，若表示的区域面积为4，则,,xy,, ,xya,,, 的最大值为___________. zxy,,3 xk,, ,xy，,,40k【变式演练2】已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数的, ,xy,,0, 值为( ) 珍贵文档 专业文档 A(0 B(1 C.1或3 D(3 类型二非线性目标函数问题使用情景:求非线性目标函数的最值 解题模板:第一步根据已知约束条件画出其可行域; 第二步借助目标函数的几何意义，并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟悉的问题如直线的斜率问题、两点的距离的平方等; 第三步得出结论. x,0,, y,1,xy,,0,例3 已知不等式组则的最大值为 ( z,,x，1,4312xy，,，, 360xy,,,, ,xy,，,20例4 在平面直角坐标系中, 为不等式组所表示的区域上一动点, MxOy, ,xy,,0,0, A,1,2已知点,则直线斜率的最小值为( ) AM，，

线性规划简单线性规划问题的向量解法

高二数学上学期简单的线性规划简单线性规划问题的向量解法 例题解析 ●教学目标 （一）教学知识点 1.线性规划问题，线性规划的意义. 2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 3.线性规划问题的图解方法. （二）能力训练要求 1.了解简单的线性规划问题. 2.了解线性规划的意义. 3.会用图解法解决简单的线性规划问题. （三）德育渗透目标 让学生树立数形结合思想. ●教学重点 用图解法解决简单的线性规划问题. ●教学难点 准确求得线性规划问题的最优解. ●教学方法 讲练结合法 教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的线性规划问题. ●教具准备 多媒体课件（或幻灯片） 内容：课本P60图7—23 记作§7.4.2 A 过程：先分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线l0:2x+y=0. 然后，作一组与直线的平行的直线： l:2x+y=t,t∈R （或平行移动直线l0），从而观察t值的变化. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课，咱们一起探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，我们再来探讨一下如何应用其解决一些问题. Ⅱ.讲授新课

首先，请同学们来看这样一个问题. 设z =2x +y ，式中变量x 、y 满足下列条件?? ???≥≤+-≤-1255334x y x y x 求z 的最大值和最小值. 分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域. (打出投影片§7.4.2 A) ［师］（结合投影片或借助多媒体课件） 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，z =2x +y =0. 点（0，0）在直线l 0：2x +y =0上. 作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l :2x +y =t ,t ∈R . 可知，当t 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x ,y )满足2x +y ＞0, 即t ＞0. 而且，直线l 往右平移时，t 随之增大. （引导学生一起观察此规律） 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点B （1，1）的直线l 1所对应的t 最小. 所以：z m ax =2×5+2=12, z m in =2×1+3=3. 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =2x +y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题. 那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. Ⅲ.课堂练习 ［师］请同学们结合课本P 64练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题. （1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件?? ???-≥≤+≤.1,1,y y x x y 解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x =0,y =0时，z =2x +y =0 点（0，0）在直线l 0:2x +y =0上. 作一组与直线l 0平行的直线 l :2x +y =t ,t ∈R . 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l

简单线性规划问题的类型与解法

简单线性规划问题的类型与解法 简单线性规划问题就是在线性约束条件下，求目标函数最优解的数学问题。纵观近几年的高考，简单线性规划问题是高考的热点问题，基本上每卷都有一个五分小题。归结起来简单线性规划问题主要包括：①在线性约束条件下，求目标函数的最值；②含有参数的简单线性规划问题；③简单线性规划的应用问题等几种类型，各种类型具有各自的结构特征，简单方法也各不相同，那么在实际解答解答线性规划问题时，如何抓住问题的结构特征，快捷、准确地实施解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、设变量x 、y 满足约束条件x+2y-5≤0 则目标函数Z=2x+3y+1的最大值为（ ） x-y-2≤0 A 11 B 10 X ≥0 C 9 D 8.5 【解析】 【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。 【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。 【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，Q 由 x+2y-5=0，得到 x=3，∴A （3，1），B （2，0）， x-y-2=0， y=1, C （5，0）， ?当目标函数z=2x+3y+1经过点C （5，0）时， z=2?5+3?0+1=10+1=11为最大，?A 正确，∴ 选A 。 x-y+1≤2、实数x 、y 满足 x ＞0 (1)若z=y x ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； y ≤2 （2）若z= 22x y +，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围。 【解析】 【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。 【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法分别求出最大值和最小值，就可得出目标函数的取值范围。 【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，Q 由 x-y+1=0，得到 x=1，∴A （0，2），B （1，2）， y-2=0， y=2, C （0，1）， ?（1）当目标函数z= y x 经过点B （1，2）时，z=21 =2为最小值，目标函数无最大值，∴目标函数z 的 取值范围是[,2，+∞）；（2）当目标函数z=22 x y +经过点C （0，1）时，z=0+1=1为最小值，当目标函数z=22x y +经过点B （1，2）时，z=1+4=5为最大值，的取值范围是[1，5]。

运用Matlab进行线性规划求解

线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。 8.2.1 基本数学原理 线性规划问题的标准形式是： ????? ??????≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112 121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 或 ???? ?????=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j j ,,2,1,0,,2,1,min 1 1ΛΛ 写成矩阵形式为： ?? ???≥==O X b AX CX z min 线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。 MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。 8.2.2 有关函数介绍 在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。 linprog 函数的调用格式如下： ●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。 ●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。 ●[x,lambda,exitflag]=linprog(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到lambda 参数中。 调用格式中，lambda 参数为解x 处包含拉格朗日乘子的结构。它有以下一些字段： lower —下界lb upper —上界ub

线性规划方法求解选址问题

某公司原有工厂A 、B 、C ，现在准备新建一个工厂，向四个仓库E 、F 、G 、H 提供产品，现有X 、Y 两个选址方案。两个方案除了运输成本以外其他成本都相同。公司经营者考虑选择一个使得成本最小的方案。有关各个工厂和各个仓库的供给量与需求量，以及运输成本的有关数据分别如下表所示。 仓库 生产 工厂 E F G H 供应量 A 25 35 36 60 15 B 55 30 45 38 6 C 40 50 26 65 14 需求量 10 12 15 9 仓库 厂址 E F G H 供应量 X 60 40 66 27 11 Y 50 60 56 32 11 求最优选址。 该问题实际是求最小值的问题，把两个备选方案代入现有条件，比较最小运输成本的差异，最小运输成本较小的方案入选。 假设工厂A 生产的运往仓库E 的数量为E A ，其他相同表示：E B 、E C 、E X 、E Y ，依次类 推。A 到E 的运输成本表示为AE C ，其他同理。则问题可以表示为： 求目标函数：H j j j j j j j j j E MinZ A B C X ωωωω== +++∑ （1） 约束方程： 15E F G H A A A A +++= 6E F G H B B B B +++= 14E F G H C C C C +++= 11E F G H X X X X +++= 10E E E E A B C X +++= 12F F F F A B C X +++= r C h i n a W o m e n 's U n i v e s i t y

15G G G G A B C X +++= 9H H H H A B C X +++= 所有参数大于等于0 与目标函数：H j j j j j j j j j E MinZ A B C Y ωωωω== +++∑ （2） 15E F G H A A A A +++= 6E F G H B B B B +++= 14E F G H C C C C +++= 11E F G H Y Y Y Y +++= 10E E E E A B C Y +++= 12F F F F A B C Y +++= 15G G G G A B C Y +++= 9H H H H A B C Y +++= 所有参数大于等于0 也就是求（1）与（2）谁更小问题的规划求解。 使用excel 求第（1）个规划 1． 把相关数值拷入excel r C h i n a W o m e n 's U n i v e s i t y

高考金钥匙数学解题技巧大揭秘3专题三 不等式及线性规划问题

专题三 不等式及线性规划问题 1．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式恒成立的是( )． A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ＞2ab D.b a ＋a b ≥2 答案：D [对于A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对于B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b ＜0，而2ab ＞0，2 ab ＞0，显然B 、C 不对； 对于D ：当ab ＞0时，由基本不等式可得b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2.] 2．若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )． A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B. 11＋x ≤1－12x ＋1 4x 2 C ．cos x ≥1－1 2 x 2 D ．ln(1＋x )≥x －1 8 x 2 答案：C [正确命题要证明，错误命题只需举一个反例即可．如A ，因为e 3＞1＋3＋32，故A 不恒成立；同理，当x ＝13时，11＋x ＞1－12x ＋1 4 x 2，故B 不恒成立；因为????cos x ＋12x 2－1′＝－sin x ＋x ≥0(x ∈[0，＋∞))，且x ＝0时，y ＝cos x ＋12x 2－1＝0，所以y ＝cos x ＋1 2x 2－1≥0 恒成立，所以C 对；当x ＝4时，ln(1＋x )＜x －1 8 x 2，故D 不恒成立．]

3．设变量x ，y 满足约束条件? ? x ＋2y ≥2， 2x ＋y ≤4， 4x －y ≥－1， 则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )． A .????－3 2，6 B.????－3 2，－1 C ．[－1,6] D.? ???－6，32 答案：A [ 作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x －y 得，y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图象可知当直线经过点E (2，0)时，直线y ＝3x －z 的截距最小，此时z 最大为z ＝3×2－0＝6， 当直线经过C 点时，直线y ＝3x －z 的截距最大，此时z 最小，由????? 4x －y ＝－1， 2x ＋y ＝4， 解得 ? ???? x ＝12，y ＝3，此时z ＝3x －y ＝32－3＝－3 2 ，所以z ＝3x －y 的取值范围是????－32，6.] 4．若x ，y 满足约束条件? ? x ≥0， x ＋2y ≥3， 2x ＋y ≤3， 则x －y 的取值范围是________． 解析

线性规划问题的两种求解方式

线性规划问题的两种求解方式 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 解决线性规划问题常用的方法是图解法和单纯性法，而图解法简单方便，但只适用于二维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适用于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及大量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量大，复杂繁琐。在这个计算机高速发展的阶段，利用Excel建立电子表格模型，并利用它提供的“规划求解”工具，能轻松快捷地求解线性模型的解。 无论利用哪种方法进行求解线性规划问题，首先都需要对线性规划问题建立数学模型，确定目标函数和相应的约束条件，进而进行求解。从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤； 1、根据所求目标的影响因素找到决策变量； 2、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数； 3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。 以下是分别利用单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种方法对例题进行求解的过程。 例题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，工厂中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。每生产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的生产数量的哪种组合能使总利润最大？ 这是一个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1 I II 限量 设备 1 2 8台时 原材料A 4 0 16单位 原材料B 0 4 12单位 所获利润 2 3 首先对例题建立数学模型。 问题的决策变量有两个：产品I的生产数量和产品II的生产数量；目标是总利润最大；需满足的条件是：(1)两种产品使用设备的台时<= 台时限量值(2) 生产两种产品使用原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的生产数量均>=0。 设x1、x2分别表示产品I、II的产量，由于资源限量的限制，可用不等式表示资源总量的约束条件：x1+2 x28 ≤； ≤；4 x116 ≤；4 x212 该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1、x2以得到最大的利润。若用z表示利润，这时z=2x1+3x2 综合上述，该问题可用数学模型表示为： 目标函数max z=2x1+3x2 满足约束条件：x1+2 x28 ≤ 4 x116 ≤ 4 x212 ≤ x1 , x20 ≥

高中数学解题方法系列：线性规划中整点问题的4种方法

高中数学解题方法系列：线性规划中整点问题的4种方法 线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。新教材中增加了线性规划的内容，充分体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识。由于实际问题中线性规划问题的最优解多为整数解，也是学生学习线性规划的难点，因而求线性规划的整数最优解的方法就显得尤为重要了。但教材中对此类问题却一带而过，对于具体的验算过程并没有作必要的描述，以致学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。 例：要将两种大小不同的 的钢板截成A 、B 、C 三种规 格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示，今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15，18，27 且使所用钢板张数最少。 解：设需要截第一种钢板x 张，第二 张钢板y 张，则21521832700 x y x y x y x y +≥??+≥? ?+≥??≥??≥?，作出可行 域（如图所示）,目标函数为z x y =+出在一组平行直线x y t +=中（t 为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线327x y +=和直线215x y +=的交点1839(, )55A ，直线方程为572 1155 x y +==，由于183955和都不是整数，而最优解(,)x y 中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点1839 (,)55 A 不是最优解。 经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是 12x y +=且经过的整点是B （3，9）和C （4，8） ，它们都是最优解。 答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张。两种方法都最少要截两种钢板共12张。 线性规划问题中的整点最优解是教学中的一个难点，教材中利用图解法比较直观有效地突破了这一难点，但其中有两个问题需要弄清楚：直线12x y +=是怎样确定的？整点B （3，9）和C （4，8）又是怎样确定的？ 在求最优解时，我们是将平行直线:l x y t +=向可行域内平移，在向右上方平移时，t 的值是增加的，而经过1839(, )55A 点的直线为572 1155 x y +==，当t 值增加的过程中，其最小值是12，所以与原点距离最近的直线可能是12x y +=。若在可行域内直线12x y +=上有整点则均 是最优解。而直线12x y +=与边界直线215x y +=及327x y +=的交点坐标为（3，9）、（4.5，7.5），因此直线12x y +=在可行域内的整点只有B （3，9）和C （4，8），即为所求问题的最优解。 如果问题更复杂一点该怎么办？下面以课本第71页习题7.4第4题为例介绍最优整数

线性规划问题的四种求解方法

线性规划问题的四种求解方法 江苏溧阳中学(213300) 吕清平 线性规划问题是现实生活中一类重要的应用问题,它常用来研究物资调运、生产安排、下料等工作的资源优化配制问题,寻求线性规划问题的最优解具有十分重要的现实意义.现介绍几种求解线性规划问题的最优解的策略. 一、截距法 例1 某厂需从国外引进两种机器.第一种机器每台10万美元,维护费为人民币4000元;第二种机器每台20万美元,维护费为人民币1000元;而第一种机器产生的年利润为每台12万美元;第二种机器产生的年利润为18万美元.但政府核准的外汇是130万美元,并要求总维护费不得超过人民币24000元.问每种机器应购买多少台时,才能使工厂获得的年利润最大? 解:设购买第一种机器x 台,购买第二种机器y 台. 则10x +20y 1304000x +1000y 24000 x 0 y 0即x +2y 134x +y 24 x 0,y 0 总年利润z =12x +18y 作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.由z =12x +18y 得y =-23x +z 18 ,则 z 18为直线y =-23x +z 18的截距.令z =0,则可画出直线l 0:y =-2 3 x ,把直线l 0向右上方平移,当经过可行域上点B 时,直线的截距最大.此时z =12x +18y 取最大值.解方程组x +2y =13 4x +y =24 得B (5,4).故当x =5,y =4 时,z max =12!5+18!4=132(万美元) 答:购买第一种机器5台,第二种机器4台时能使工厂获得的年利润最大. 二、等值线法 所谓等值线是指直线上任一点的坐标(x ,y )都使F (x ,y )=Ax +By 取等值C 的直线l:Ax +By =C (A 、B 不同时为零).通过比较等值线的值的大小可以求得简单线性规划问题的最优解. 例2 甲、乙两地生产某种产品.甲地可调出300吨,乙地可调出750吨,A 、B 、C 三地需要该种产品分别为200 吨、450吨和400吨.每吨运费如下表(单位:元): A B C 甲地635乙地 5 9 6 问怎样调运,才能使总运费最省? 解 设由甲地调往A 、B 两地分别为x 吨,y 吨.则由甲调往C 地为[300-(x +y )]吨;由乙地调往A 、B 、C 三地分别为(200-x )吨、(450-y )吨、(100+x +y )吨.于是x +y 300x 200 x 0,y 0 z =6x +3y +5[300-(x +y )]+5(200-x )+9(450-y )+6(100+x +y )=2x -5y +7150 作出以上不等式组所表示的平面区域即可行域.令z =0,则可画出直线l 0:2x -5y + 7150=0.画出一组与l 0平行的等值线,比较等 11 ?中学理科#2002年第7期