平面体系几何组成分析

研究平面体系几何组成分析的任务和目的：

(１) 研究结构的基本组成规则，来判定体系是否可作为结构以及选取结构的合理形式。

(２) 根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算途径。

F 若干个杆件相互联结而组成的构造。

在任何荷载作用下，若不计杆件的变形，

其几何形状与位置均保持不变的体系。

1. 自由度的概念

即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，会产生机械运动的体系，几何形状与位置可变的体系。

F

判断体系是否几何不变，又称作几何组成分

析﹙或几何构造分析﹚。

刚片：一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。

刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。

B

A

自由度是指物体运动时可以独立变化的几何参数的数目,即确定物体位置的独立坐标数目。

⑴平面上的点(A )有两个自由度, 独立变化的几何参数为：x 、y 。x

y

A x y o 1. 自由度的概念

⑵平面上的刚片有三个自由度

独立变化的几何参数为：x 、y 、?。x y x y

o

A B

?

§3—2 平面体系的自由度计算

2.约束的概念

减少自由度的装置（又称为联系）。

凡是减少一个自由度的装置称为一个约束。

⑴链杆: 一根链杆相当一个约束。

A x y

o B

§

3

—2 平面体系的自由度计算

ⅠⅡ

x

y A

x

y

?

1

?

2

o

⑵单铰：连结两个刚片的铰称为单铰。一个单铰相当于两个约束。

§

3—2 平面体系的自由度计算

ⅠⅡ

x

y

A

x

y

?

1?2

o

Ⅲ

?

3

⑶复铰：连结两个以上刚片的铰

称为复铰。连结n个刚片的复铰相

当于(n－1)个单铰。

3. 多余约束的概念

把体系上成为几何不变而必须的约束，称为必要约束；把必要约束之外的约束则称为多余约束。

§3—2

平面体系的自由度计算

m—刚片数目

h —单铰数目

r —链杆数目

式中：W—计算自由度

w = 3m －3g －(2h + r)一个平面体系,通常由若干个刚片

彼此用铰并用链杆与基础相联而组成。

g —单刚结点片数目

§3—2 平面体系的自由度计算

(4）单刚结点:

一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。

§3—2 平面体系的自由度计算

计算平面体系自由度时，应注意：

（1）确定体系的刚片数m 时，将每一根杆都视为一

个刚片。

（2）单铰数目h 仅包含刚片之间互相连接的铰，不

包括刚片与支座或支座链杆相连接的铰。复铰须拆

成单铰。

§3—2 平面体系的自由度计

算

（3）对于体系的复杂结点时，即不完全铰结点，应

具体分析。

g:单刚节点片数目

例题刚片个数m = 9

单铰个数h = 12

链杆个数r = 3

W = 3×9 —（12×2 + 3）= 0

113322讨论：

体系虽然W=0, 但其上部有多余联系，

而下部又缺少联系，仍为几何可变。

单刚结点片数g ＝0

w = 3m －3g-(2h + r)

§3—2 平面体系的自由度计算

任何平面体系的计算自由度，其计算结果将有以下三种情况：

⑴w＞0, 体系缺少足够的联系，为几何可变。

⑵w＝0, 体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。

⑶w＜0, 体系具有多余联系。

则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但这不是充分条件，还必需研究几何不变体系的

合理组成规则。

§3—3

几何不变体系的组成规则

1. 基本的三刚片规则（三角形规则）:Ⅰ

ⅡⅢ

三个刚片用不共线的三个单铰两两相连接组成的体系为几何不变。

§3—3

几何不变体系的组成规则

1. 基本的三刚片规则（三角形规则）:三个刚片用不共线的三个单铰两两相联组成的体系为几何不变。

此体系由三个刚片用不共线的三个单铰A 、B 、C

两两铰连接组成的，为几何不变。例:

Ⅰ

ⅡⅢ

§3—3 几何不变体系的组成规则

2. 二元体规则:

在一个刚片上增加一个二元体,仍为几何不变体系。

二元体：两根不共线的链杆联结一个新结点的构造。

结论：在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原体系的几何构造性质。刚

片铰结点例：

为没有多余约束的几何不变体系二元体

2平面体系的几何组成分析习题解答

第2章 平面体系的几何组成分析习题解答 习题2.3 对习题2.3图所示各体系进行几何组成分析。 (a) (b) 由铰A 和支杆①相联组成几何不变的部分；再与刚片BC 由铰B 和支杆②相联，故原体系几何不变且无多余约束。 习 题解2.3(a)图 （2）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A 、B 、（Ⅰ，Ⅲ）两两相联，组成几何不变的部分，如习题解2.3(b)图所示。在此部分上添加二元体C-D-E ，故原体系几何不变且无多余约束。 习 题解2.3(b)图 习题解2.3(c)图

习题解2.3(d)图 （5）如习题解2.3(e)图所示，刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成几何不变且无多余约束的体系，为一个大刚片；该大刚片与地基之间由平行的三根杆①、②、③相联，故原体系几何瞬变。 习题解2.3(e)图 （6）如习题解2.3(f)图所示，由三刚片规则可知，刚片Ⅰ、Ⅱ及地基组成几何不变且无多余约束的体系，设为扩大的地基。刚片ABC与扩大的地基由杆①和铰C相联；刚片CD与扩大的地基由杆②和铰C相联。故原体系几何不变且无多余约束。 习

题解2.3(f)图 （7）如习题解2.3(g)图所示，上部体系与地面之间只有3根 支杆相联，可以仅分析上部体系。去掉二元体1，刚片Ⅰ、Ⅱ由铰A 和不过铰A的链杆①相联，故原体系几何不变且无多余约束。 习题解2.3(g)图 （8）只分析上部体系，如习题解2.3(h)图所示。去掉二元体1、2， 刚片Ⅰ、Ⅱ由4根链杆①、②、③和④相联，多余一约束。故原 体系几何不变且有一个多余约束。 习题解2.3(h)图（9）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A、B、C组成无多余约 束的几何不变部分，该部分再与地基由共点三支杆①、②、③相联， 故原体系为几何瞬变体系，如习题解2.3(i)图所示。

结构力学试题及答案

、选择题（每小题3分，共18分） 1?图示体系的几何组成为： （ ） A. 几何不变，无多余联系； B. 几何不变，有多余联系； C.瞬 变； 4?图示桁架的零杆数目为：（ ） A. 6； B. 7 ； C. 8 ； D. 9。 5?图a 结构的最后弯矩图为：（ ） A.图 b ； B .图 c ； C .图 d ; B. 动 C. 会产生 体位 移； D. 3?在径向均布荷载作用下， 三铰拱的合理轴线为: A.圆弧线； B ?抛物线； C ?悬链线；D.正弦曲 D .都不 支 A.内力；

6.力法方程是沿基本未 A .力的平衡方程； C. 位移协调方程；D ?力的平衡及位 移为零方程。 :■、填空题（每题 3分，共9分） 1. 从几何组成上讲，静定和超静定结构都是 _______________________________ 体系， 前者 ___________ 多余约束而后者 ______________________ 多余约束。 2. 图b 是图a 结构 _______________ 截面的 ____________ 影响线。 3. __________________________________________________ 图示结构AB 杆B 端的转动 刚度为 ____________________________________________________ ,分配系数为 ________ , 传递系数为 ___________ 。 灯订，衷 i 三、简答题（每题 5分，共10分） 1. 静定结构内力分析情况与杆件截面的几何性质、材料物理性质是否相关? 为什么？ 2. 影响线横坐标和纵坐标的物理意义是什么？ 四、计算分析题，写出主要解题步骤 （4小题,共63分） 1?作图示体系的几何组成分析（说明理由） ，并求指定杆1和2的轴力。（本题16分） M/4 SI El M/4 3M4 量方向 移为零 知 B .位

第2章结构的几何构造分析.

第2章结构的几何构造分析 §2-1几何构造分析的几个概念 （自由度计算公式） §2-2平面几何不变体系的组成规律 ▲几何构造分析目的： Q 判别体系可否作为结构 b ）为结构计算打下基础 UmVflMITV Off BCMNCM Mh<3 TaCHHOLCXlV 第二章结构的几何构造分析 （不考虑材料的变形） §2-1几何构造分析的几个概念 一、两类体系 ■**' i■- - ——L - — - ___ ~二=一? ----------- P Z Z 几何可变体系 体系在荷《作用下? 其几何形状和位S 都不能改变? 体系受到很小的作用力， 其几何形状或位S 都可以改 几何不变体系

▲刚片一所有的《几何形状不变体系”均可视为刚片. （可以是杆.由杆组成的结构.支撑结构的地基） 二、自由度 1?定义：用来确定体系位￡所需舷立（最少）坐标的数目. 2.举例 y Yl 平面动点：w=2 （ XI, yl ） 规律：体系有《个独立的运动方式，就有《个自由度. 三、约束（联系） 1?定义：阻止或限制体系运动的装置（减少自由度的装置）. 2?约束类型（链杆、刚接、单较、复胶、固定端、平行支《杆零） ■ X 平面刚片：W=3 （xU yU卩）

1）链杆（支杆） 1个链杆=1个约束。链杆 可以是曲的. 折的杆，只要保持两姣间 $巨不变. 2 ）刚性连接 1个刚接=3个约束 W=3X2—3=3 3）单较 1个单较=2个约束=2个的单链杆。 W=3X2—2=4 瞬枝——在运动中瞬枝的位置不定，这 是瞬较和实较的区别.通常我们研究的是 扌旨定位置处的瞬时运动，因此，瞬枝 和实咬所起的作用是相同的，都是相对 转动中心. 两根不共线的链杆相当 于一个单镀.

福大结构力学课后习题详细答案..-副本

结构力学（祁皑）课后习题详细答案 答案仅供参考 第1章 1-1分析图示体系的几何组成。 1-1(a) 解原体系依次去掉二元体后，得到一个两铰拱（图（a-1））。因此，原体系为几何不变体系，且有一个多余约束。 1-1 (b)

解 原体系依次去掉二元体后，得到一个三角形。因此，原体系为几何不变体系，且无多余约束。 1-1 (c) （c-2） （c-3） 解 原体系依次去掉二元体后，得到一个三角形。因此，原体系为几何不变体系，且无多余约束。 1-1 (d)

（d-1）（d-2）（d-3） 解原体系依次去掉二元体后，得到一个悬臂杆，如图（d-1）-（d-3）所示。因此，原体系为几何不变体系，且无多余约束。注意：这个题的二元体中有的是变了形的，分析要注意确认。 1-1 (e) 解原体系去掉最右边一个二元体后，得到（e-1）所示体系。在该体系中，阴影所示的刚片与支链杆C组成了一个以C为顶点的二元体，也可以去掉，得到（e-2）所示体系。在图（e-2）中阴影所示的刚片与基础只用两个链杆连接，很明显，这是一个几何可变体系，缺少一个必要约束。因此，原体系为几何可变体

系，缺少一个必要约束。 1-1 (f) 解原体系中阴影所示的刚片与体系的其它部分用一个链杆和一个定向支座相连，符合几何不变体系的组成规律。因此，可以将该刚片和相应的约束去掉只分析其余部分。很明显，余下的部分（图（f-1））是一个几何不变体系，且无多余约束。因此，原体系为几何不变体系，且无多余约束。 1-1 (g) 解原体系中阴影所示的刚片与体系的其它部分用三个链杆相连，符合几何不变体系的组成规律。因此，可以将该刚片和相应的约束去掉，只分析其余部分。余下的部分（图（g-1））在

结构力学 第二章 结构的几何组成分析

第二章 结构的几何组成分析 李亚智 航空学院·航空结构工程系

2.1 概述 结构要能承受各种可能的载荷，其几何组成要稳固。即受力结构各元件之间不发生相对刚体移动，以维持原来的几何形状。 在任意载荷作用下，若不考虑元件变形，结构保 持其原有几何形状不变的特性称为几何不变性。 在载荷作用下的系统可分为三类。 2.1.1 几何可变系统 特点： 不能承载，只能称作“机构”。 2 1 3 4 P 2’3’

2.1.2 几何不变系统 特点：能承载，元件变形引起几何形状的微小变化，可以称为结构。 2.1.3 瞬时几何可变系统 特点：先发生明显的几何变形，而后几何不变。 P 213 4 2’ 3’ 2’3’ P 2 1 34 5 ∞ →=2321N N 1 2 3 P 内力巨大，不能作为结构。 N 21 N 23 P 2

由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。

2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。

1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A ' x y A y A x A z A z A ' O

结构的几何构造分析概念

结构的几何构造分析概念 1-1 1、几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。 几何可变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变的体系。几何不变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状保持不变的体系。 2、自由度：描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。 平面内一个动点A，其位置要由两个坐标 x 和 y 来确定，所以一个点的自由度等于2。平面内一个刚片，其位置要由两个坐标 x 、y 和AB 线的倾角α来确定，所以一个刚片在平面内的自由度等于3。 3、刚片：平面体系作几何组成分析时，不考虑材料应变，所以认为构件没有变形。可以把一根杆、巳知是几何不变的某个部分、地基等看作一个平面刚体，简称刚片。 4、约束：如果体系有了自由度，必须消除，消除的办法是增加约束。约束有三种： 5、多余约束：减少体系独立运动参数的装置称为约束，被约束的物体称为对象。使体系减少一个独立运动参数的装置称为一个约束。例如一根链杆相当于一个约束;一个连接两个刚片的单铰相当于二个约束;一个连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰;一个连接二个刚片的单刚性节点相当于三个约束;一个连接n 个刚片的复刚性节点相当于n—1个单刚性节点。如果在体系中增加一个约束，体系减少一个独立的运动参数，则此约束称为必要约束。如果在体系中增加一个约束，体系的独立运动参数并不减少，则此约束称为多余约束。平面内一个无铰的刚性闭合杆(或称单闭合杆)具有三个多余约束。

6、瞬变体系及常变体系：常变体系概念：体系可发生大量的变形，位移。区别于瞬变体系：瞬变体系概念：体系可发生微小的变形，位移。 7、瞬铰：两刚片间以两链杆相连，其两链杆约束相当(等效)于两链杆交点处一简单铰的约束，这个铰称为瞬铰或虚铰。 2-2平面杆件体系的计算自由度 1、体系是由部件（刚片或结点）加上约束组成的。 2、刚片内部：是否有多余约束。内部有多余约束时应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时应当考虑进去。 3、复铰：连接两个以上刚片的铰结点。连接n个刚片的铰相当于（n-1）个单铰。 4、单链杆：连接两个铰结点的链杆。 5、连接两个以上铰结点的链杆。 连接 n 个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。 6、平面体系的计算自由度 W ：W=3m-(2n+r) m:钢片数 n:单绞数 r:支座链杆数上面的公式是通用的。 W=2J-(b+r) J:结点个数 b:链杆数 r:支座链杆数上面的公式用于完全由铰接的连杆组成的结构体系。 7、自由度与几何体系构造特点： 静定结构的受力分析

几何组成分析习题及答案.

题15．7试对图示体系进行几何组成分析。解 (1)计算自由度。体系的自由度为 W- 2j -6-r =2×8-9-7=0 (2)几何组成分析。首先把三角形ACD和BCE分别看做刚片I和刚片Ⅱ，把基础看做刚片I，则三个刚片用不共线的三个铰A、B、C分别两两相联，组成一个大的刚片。在这个大的刚片上依次增加二元体12、DGF、CHG、EIH、IJ3。最后得知整个体系为几何不变，且无多余约束。 题15.8试对图示体系进行几何组成分析。解 (1)计算自由度。体系的自由度为 W- 3m - 2h -r =3×6-2×7—4=0 (2)几何组成分析。刚片AF和AB由不共线的单铰A以及链杆DH相联，构成刚片I，同理可把BICEG部分看做刚片Ⅱ，把基础以及二元体12、34看作刚片I，则刚片I、Ⅱ、Ⅲ由不共线的三个铰F、B、G两两相联，构成几何不变体系，且无多余约束。 题15.9试对图示体系进行几何组成分析。 解 (1)计算自由度。体系的自由度为W- 3m - 2h -r=3×14 -2×19 -4一O (2)几何组成分析。在刚片HD上依次增加二元体DCJ、CBI、BAH构成刚片I，同理可把DMG部分看做刚片Ⅱ，把基础看做刚片I，则刚片I、Ⅱ、Ⅲ由不共线的单铰D，虚铰N、O 相联，构成几何不变体系，且无多余约束。

题15.10试对图示体系进行几何组成分析。解 (1)计算自由度。体系的自由度为 W-2j—b-r =2×7—11-3一O (2)几何组成分析。由于AFG部分由基础简支，所以可只分析AFG部分。可去掉二元体BAC只分析BFGC部分。把三角形BDF、CEG分别看做附片I和I，刚片I和I由三根平行的链杆相联，因而整个体系为瞬变。 题15.11试对图示体系进行几何组成分析。解 (1)计算自由度。体系的自由度为 W- 2j -6-r =2×9-13—5一O (2)几何组成分析。首先在基础上依次增加二元体12、AE3、AFE、ABF、FI4，成一个大的刚片I。其次，把CDHG部分看做刚片Ⅱ，刚片I、Ⅱ由三根共点的链 杆BC、IG、5相联，因而整个体系为瞬变。 题15.12试对图示体系进行几何组成分析。 解 (1)计算自由度。体系的自由度为 W一2j -6-r =2×7- 11-3一O (2)几何组成分析。由于ABCDEF部分由基础简支，所以可只分析ABCDEF部分。

对图示体系进行几何组成分析(10分)

一、对图示体系进行几何组成分析。(10分) 解：折杆ABC 、CDE 与BD 形成刚片I ，为几何不变体系且无多余约束。（５分） 刚片I 与地面由４链杆相连，整个结构为几何不变且有１个多余约束。（５分） 二、计算图示静定桁架的支座反力及1、2杆的轴力。（14分） 解：求支座反力 )(2),(6),(2↑=↑=←=kN R kN Y kN X B A A （6分） 求1、2杆的轴力 截面法： )(52025 10 11拉kN N N Y ==+? -=∑ （4分） 取E 结点： ) (2402 140 22压kN N N Y -==? --=∑（4分） 三、P = 1在图示静定多跨梁ABCD 上移动。（1）作截面E 的剪力影响线；（2）画出使Q E 达最大值和最小值时可动均布荷载的最不利布置；（3）当可动均布荷载q = 20 kN/m 时，求Q Emax 值。（16分） （1） Q E 影响线见图（5分） （2）Q Emax 的最不利位置 （3分） Q Emin 的最不利位置 （3分） （3）kN q Q E 38)5 3 32152521(20max =??+???=∑=+ ω （5分） 四、用力法计算图示刚架，画M 图。EI 为常数（20分） 解：1、一次超静定结构，基本体系和基本未知量，如图 （2分） A B C D E 0.4 0.6 + － + 0.4 C E D

2、列力法方程 01111=?+P X δ （1分） 3、作图和P M M ___ 1 （6分） 4、计算系数、自由项 EI 14411= δ （3分） EI P 810 1-=? （3分） 5、解方程 kN X 625.51= （1分） 6、作M 图 （4分） 五、用位移法计算图示刚架，并作M 图。各杆EI 为常数。（20分） 解：1、以刚结点角位移为基本未知量，得基本体系 （2分）； 2、绘1M P M 图（图略） （6分） 3、列位移法典型方程： 01111=+P F z k (2分) （4分） 图（kNm ） 33.75

第2章 平面体系的几何组成分析习题解答

第2章 平面体系的几何组成分析习题解答 习题2.3 对习题2.3图所示各体系进行几何组成分析。 (a) (b) 由铰A 和支杆①相联组成几何不变的部分；再与刚片BC 由铰B 和支杆②相联，故原体系几何不变且无多余约 束。 习题解2.3(a)图 （2）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A 、B 、（Ⅰ，Ⅲ）两两相联，组成几何不变的部分，如习题解 2.3(b)图所示。在此部分上添加二元体C-D-E ，故原体系几何不变且无多余约束。 习题解2.3(b)图 习题解2.3(c)图 习题解2.3(d)图 （5）如习题解2.3(e)图所示，刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成几何不变且无多余约束的体系，为一个大刚片；该大刚片与地基之间由平行的三根杆①、②、③相联，故原体系几何瞬变。 习题解2.3(e)图 （6）如习题解2.3(f)图所示，由三刚片规则可知，刚片Ⅰ、Ⅱ及地基组成几何不变且无多余约束的体系，设为扩大的地基。刚片ABC 与扩大的地基由杆①和铰C 相联；刚片CD 与扩大的地基由杆②和铰C 相联。故原体系几何不变且无多余约束。 Ⅱ

习题解2.3(f)图 （7）如习题解2.3(g)图所示，上部体系与地面之间只有3根支杆相联，可以仅分析上部体系。去掉二元体1，刚片Ⅰ、Ⅱ由铰A和不过铰A的链杆①相联，故原体系几何不变且无多余约束。 习题解2.3(g)图 （8）只分析上部体系，如习题解2.3(h)图所示。去掉二元体1、2，刚片Ⅰ、Ⅱ由4根链杆①、②、③和④相联，多余一约束。故原体系几何不变且有一个多余约束。 习题解2.3(h)图 （9）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A、B、C组成无多余约束的几何不变部分，该部分再与地基由共点三支杆①、②、③相联，故原体系为几何瞬变体系，如习题解2.3(i)图所示。 习题解2.3(i)图 （10）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由共线三铰两两相连，故体系几何瞬变，如习题解2-3(j)图所示。

第2章平面体系的几何组成分析

第2章平面体系的几何组成分析 10 .图示体系是---------------------------- 体系，因为02.有多余约束的体系一定是几何不变体系。（ ） 03.图中链杆1和2的交点O可视为虚铰。（ ） 11 .联结两个刚片的任意两根链杆的延线交点称为 ------------- ，它的位置是------------------ 定的 12 .试对图示体系进行几何组成分析。 04.三个刚片用三个铰两两相互联结而成的体系是： A ?几何不变； B?几何常变； C.几何瞬变； D.几何不变几何常变或几何瞬变。（） 05.联结三个刚片的铰结点，相当的约束个数为： A . 2 个； B. 3 个； C. 4 个； D.5个。（） 06.两个刚片，用三根链杆联结而成的体系是： A ?几何常变； B.几何不变； C.几何瞬变； D.几何不 变或几何常变或几何瞬变。（）07.图示体系是： A?几何瞬变有多余约束； B ?几何不变； C ?几何常变； D?几何瞬变无多余约束。（） C B 13 . 14 . 对图示体系进行几何组成分析 成分析。 15 .对图示体系进行几何组成分 析。 E 08 .在不考虑材料------------- 的条件下，体系的位置和形状不能改变的体系称为几何------------- 体系 09 .几何组成分析中，在平面内固定一个点，需要

18.对图示体系进行几何组成分析。 19.对图示体系进行几何组成分析 20.对图示体系进行几何组成分析 21 .对图示体系进行几何组成分析。 16 . 对图示体系进行几何组成分 析。 对图示体系进行几何组成分析17 . E

平面体系的几何组成分析习题解答

第1章绪论(无习题) 第2章平面体系的几何组成分析习题解答 习题2.1是非判断题 (1)若平面体系的实际自由度为零，贝u该体系一定为几何不变体系。() (2)若平面体系的计算自由度W=0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。() (3)若平面体系的计算自由度W< 0,则该体系为有多余约束的几何不变体系。() (4)由三个皎两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。() (5)习题2.1(5)图所示体系去掉二元体CEF后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。() (6)习题2.1 (6)(a)图所示体系去掉二元 体几何可变体系。() (7)习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元 体 ABC后，成为习题2.1(6) (b)图，故原体系是 EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。() 【角车】(1)正确。 (2)错误。W 0是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。 (3)错误。 (4)错误。只有当三个皎不共线时，该题的结论才是正确的。 (5)错误。CEF5是二元体。 (6)错误。ABC不是二元体。 (7)错误。EDF不是二元体。 习题2.2填空 习题2.1(5) 图 (b) 习题2.1(6)图 (c)

△ □0 。 习题2.2(3)图 习题 2.2(1)图所示体系 为 体系。 习题2.2(1)图 习题 2.2(2)图所示体系 为 体系。 习题2-2(2)图 习题 2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为 习题 2.2(4)图所示体系的多余约束个数 为 (5) 习题 (6) 习题 习题 习题2.2(4)图 2.2(5)图所示体系的多余约束个数 为 佳系，有 2.2(6)图所示体系 为 2.2(7)图所示体系 为 个多余约束。 习题2.2(6)图 佳系，有 个多余约束。

第2章平面体系的几何组成分析整理版

第2章平面体系的几何组成分析 01．图示体系是几何不变体系。() 02．有多余约束的体系一定是几何不变体系。() 03．图中链杆1和2的交点O可视为虚铰。() O 04．三个刚片用三个铰两两相互联结而成的体系是：A．几何不变； B．几何常变； C．几何瞬变； D．几何不变几何常变或几何瞬变。() 05．联结三个刚片的铰结点，相当的约束个数为： A．2个； B．3个； C．4个； D．5个。() 06．两个刚片，用三根链杆联结而成的体系是： A．几何常变； B．几何不变； C．几何瞬变； D．几何不变或几何常变或几何瞬变。() 07．图示体系是： A．几何瞬变有多余约束； B．几何不变； C．几何常变； D．几何瞬变无多余约束。()08．在不考虑材料的条件下，体系的位置和形状不能改变的体系称为几何体系。 09．几何组成分析中，在平面内固定一个点，需要 。 10．图示体系是体系，因为 。 11．联结两个刚片的任意两根链杆的延线交点称为 ，它的位置是定的。12．试对图示体系进行几何组成分析。 C D B 13．对图示体系进行几何组成分析。 A C D B E 14．对图示体系进行几何组成分析。 A C D B 15．对图示体系进行几何组成分析。

A B C D E F 16．对图示体系进行几何组成分析。 B C D E F 17．对图示体系进行几何组成分析 。 B C D E F A G 18．对图示体系进行几何组成分析。 A B C D E 19．对图示体系进行几何组成分析 。 A B C D E 20．对图示体系进行几何组成分析 。 A B C D G E F 21．对图示体系进行几何组成分析。 A B C D E F G H K

01结构体系的几何组成分析.

建筑结构受力分析学习任务书 班级姓名学号组别 学习任务结构几何组成分析(一)编号练习一 一、填空 1．杆件结构是由若干个杆件按照一定的组成方式相互连接而构成的一种体系。把确定体系的位置所需的____的数目称为自由度。平面上一个点____个自由度；一个刚片（构件）有____个自由度。 2．能使体系减少____的装置称约束。减少一个____的装置称为一个约束。 3．约束与自由度的关系为：1）一根链杆相当于____个约束，能使平面体系减少____个自由度；2）一个单铰相当于____个约束，能使平面体系减少____个自由度；3）一个刚结点相当于____个约束，能使平面体系减少____个自由度。 4．连接n个刚片的复铰，减少了____个自由度，相当于____单铰。连接在____上的两链杆延长线交点称为虚铰（也称为瞬铰）。虚铰与____的作用相同，因此，两个链杆相当于一个____。 5．在任意荷载作用下，能够保持原有____和几何形状的体系称为几何不变体系；不能保持原有____和几何形状的体系称为几何可变体系。 6．一个几何可变体系，发生微小的位移后即成为几何不变体系，称为____。二、选择 1．一个( )相当于一个约束。一个( )相当于两个约束。一个( )相当于三个约束。 A．链杆B．单铰C．虚铰D．刚结点 E．活动铰支座F．固定铰支座G．定向支座H．固定端支座2．图1中有虚铰的是( )，没有虚铰的是( )。 图1 3．图2a中链杆( )是必要约束，( )是多余约束；图10-2b中链杆( )是 必要约束，( )是多余约束。 图2

班级姓名学号组别 4．图10-3中( )是几何不变体系，( )是几何可变体系，( )是瞬变体系。 图3 5.图4中，CD杆是必要约束的是( )，CD杆是多余约束的是( )。 图4 三、问答 1．什么是几何可变体系和几何瞬变体系？这两种体系为何不能用于结构？可以承受荷载的结构必须是什么体系？ 2．两刚片规则中，用两根链杆替代铰，那么连接两刚片的三链杆应满足什么要求，才能使两刚片组成几何不变体系？

平面体系的几何组成分析习题解答

第2章平面体系的几何组成分析习题解答 习题对习题图所示各体系进行几何组成分析。 由铰A和支杆①相联组成几何不变的部分；再与刚片BC由铰B和支杆②相联，故原体系几何不变且无多余约束。 习题解(a)图 （2）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A、B、（Ⅰ，Ⅲ）两两相联，组成几何不变的部分，如习题解(b)图所示。在此部分上添加二元体C-D-E，故原体系几何不变且无多余约束。 习题解(b)图 习题解(c)图 习题解(d)图 （5）如习题解(e)图所示，刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成几何不变且无多余约束的体系，为一个大刚片；该大刚片与地基之间由平行的三根杆①、②、③相联，故原体系几何瞬变。 习题解(e)图 （6）如习题解(f)图所示，由三刚片规则可知，刚片Ⅰ、Ⅱ及地基组成几何不变且无多余约束的体系，设为扩大的地基。刚片ABC与扩大的地基由杆①和铰C相联；刚片CD与扩大的地基由杆②和铰C相联。故原体系几何不变且无多余约束。 习题解(f)图 （7）如习题解(g)图所示，上部体系与地面之间只有3根支杆相联，可以仅分析上部体系。去掉二元体1，刚片Ⅰ、Ⅱ由铰A和不过铰A的链杆①相联，故原体系几何不变且无多余约束。 习题解(g)图 （8）只分析上部体系，如习题解(h)图所示。去掉二元体1、2，刚片Ⅰ、Ⅱ由4根链杆①、②、③和④相联，多余一约束。故原体系几何不变且有一个多余约束。 习题解(h)图 （9）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A、B、C组成无多余约束的几何不变部分，该部分再与地基由共点三支杆①、②、③相联，故原体系为几何瞬变体系，如习题解(i)图所示。 习题解(i)图 （10）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由共线三铰两两相连，故体系几何瞬变，如习题解2-3(j)图所示。

第二章-结构的几何构造分析(龙驭球第三版)

第2章结构的几何构造分析 本章内容：§2-1 几何构造分析的几个概念 §2-2 平面几何不变体系的组成规律 §2-3 平面杆件体系的计算自由度 §2-4 在求解器中输入平面结构体系(略) §2-5 用求解器进行几何构造分析(略) §2-6 小结 主要内容： 第三讲 §2-1 几何构造分析的几个概念 1. 几何不变体系和几何可变体系 一般结构必须是几何不变体系 几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的。 几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的。 2. 自由度 平面内一点有两种独立运动方式，即一点在平面内有两个自由度。 一个刚片在平面内有三种独立运动方式，即一个刚片在平面内有三个自由度。 自由度个数=体系运动时可以独立改变的坐标数 3. 约束 一个支杆相当于一个约束，如图(a)；一个铰相当于两个约束，如图(b)；一个刚性结合相当于三个约束，如图(c)

4. 多余约束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不减少，此约束称为多余约束。 有一根链杆是多余约束 5. 瞬变体系 特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系；经微小位移后又成为几何不变体系；在任一瞬变体系中必然存在多余约束。 可变体系 瞬变体系：可产生微小位移 常变体系：可发生大位移 6. 瞬铰 O为两根链杆轴线的交点，刚片I可发生以O为中心的微小转动，O点称为瞬时转动中心。 两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为瞬铰。 7. 无穷远处的瞬铰

两根平行的链杆把刚片I与基础相连接，则两根链杆的交点在无穷远处。两根链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的作用。 无穷远处的含义 （1）每一个方向有一个∞点； （2）不同方向有不同的∞点； （3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线； （4）各有限点都不在线∞上。 §2-2 平面几何不变体系的组成规律 1. 三个点之间的连接方式 规律1 不共线的三个点用三个链杆两两相连，则所组成的铰接三角形体系是一个几何不变的整体，且没有多余约束。 2. 一个点与一个刚片之间的连接方式 规律2 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。 3. 两个刚片之间的连接方式 规律3 两个刚片用一个铰和一根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。

平面体系的几何组成分析习题解答

第1章绪论（无习题） 第2章平面体系的几何组成分析习题解答 习题是非判断题 (1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。( ) (2) 若平面体系的计算自由度W=0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。( ) (3) 若平面体系的计算自由度W＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。( ) (5) 习题(5) 图所示体系去掉二元体CEF后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。( ) 习题 (5)图 (6) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC后，成为习题(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。( ) (7) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( ) 习题 (6)图 【解】（1）正确。 W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。 （2）错误。0 （3）错误。 （4）错误。只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。 （5）错误。CEF不是二元体。 （6）错误。ABC不是二元体。 （7）错误。EDF不是二元体。 习题填空 (1) 习题(1)图所示体系为_________体系。 习题(1)图 (2) 习题(2)图所示体系为__________体系。 习题 2-2(2)图 (3) 习题(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。

(4) 习题(4)图所示体系的多余约束个数为___________。 习题 (4)图 (5) 习题(5)图所示体系的多余约束个数为___________。 习题 (5)图 (6) 习题(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。 习题 (6)图 (7) 习题(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。 习题 (7)图 【解】（1）几何不变且无多余约束。左右两边L形杆及地面分别作为三个刚片。 （2）几何常变。中间三铰刚架与地面构成一个刚片，其与左边倒L形刚片之间只有两根链杆相联，缺少一个约束。 （3）0、1、2、3。最后一个封闭的圆环（或框）内部有3个多余约束。 （4）4。上层可看作二元体去掉，下层多余两个铰。 （5）3。下层（包括地面）几何不变，为一个刚片；与上层刚片之间用三个铰相联，多余3个约束。 （6）内部几何不变、0。将左上角水平杆、右上角铰接三角形和下部铰接三角形分别作为刚片，根据三刚片规则分析。 （7）内部几何不变、3。外围封闭的正方形框为有3个多余约束的刚片；内部铰接四边形可选一对平行的对边看作两个刚片；根据三刚片规则即可分析。 习题对习题图所示各体系进行几何组成分析。 习题图 【解】（1）如习题解(a)图所示，刚片AB与刚片I由铰A和支杆①相联组成几何不变的部分；再与刚片BC由铰B和支杆②相联，故原体系几何不变且无多余约束。 习题解(a)图 （2）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A、B、（Ⅰ，Ⅲ）两两相联，组成几何不变的部分，如习题解(b)图所示。在此部分上添加二元体C-D-E，故原体系几何不变且无多余约束。 习题解(b)图 （3）如习题解(c)图所示，将左、右两端的折形刚片看成两根链杆，则刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰（Ⅰ，Ⅱ）、（Ⅱ，Ⅲ）、（Ⅰ，Ⅲ）两两相联，故体系几何不变且无多余约束。 习题解(c)图 （4）如习题解(d)图所示，刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线的三铰两两相联，形成大刚片；该大刚片与地基之间由4根支杆相连，有一个多余约束。故原体系为有一个多余约束的几何不变体系。

结构力学-几何构造分析

1.图示体系是几何不变体系。() 2.有多余约束の体系一定是几何不变体系。() 3.图示体系是： A．几何瞬变有多余约束； B．几何不变； C．几何常变； D．几何瞬变无多余约束。() 4.在不考虑材料の条件下，体系の 位置和形状不能改变の体系称为几何体系。() 5几何组成分析中，在平面内固定一个点，需要。 6图示体系是体系，因为 。 7联结两个刚片の任意两根链杆の延线交点称为，它の位置是定 の。 8试对图示体系进行几何组成分析。 C D B 9对图示体系进行几何组成分析。 A C D B E 10对图示体系进行几何组成分析。 C D B 11对图示体系进行几何组成分析。A B C D E F 12对图示体系进行几何组成分析。 A B C D E F 13对图示体系进行几何组成分析。B C D E F A G 14对图示体系进行几何组成分析。 A B C D E 15对图示体系进行几何组成分析。

A B C D E 16对 图 示 体 系 进行 几 何 组 成 分析 。 A B C D G E F 17对 图 示 体 系 进 行 几 何 组 成 分 析 。 A B C D E F G H K 18对 图 示 体 系 进 行 几 何 构 造 分 析 。 19对 图 示 体 系 进 行 几 何 构 造 分 析 。 20对 图 示 体 系 进 行 几 何 构 造 分 析 。 21对 图 示 体 系 作 几 何 构 造 分 析 。 22对 图 示 体 系 进 行 几 何 组 成 分 析 。( 图 中 未 编 号 の 结 点 为 交 叉 点 。) A C B D E F 23对 图 示 体 系 进 行 几 何 组 成 分 析 。 A B C D E F 24三 个 刚 片 用 三 个 铰 两 两 相 联 时 の 瞬 变 原 因 是_________________________。 25图 示 体 系 按 三 刚 片 法 则 分 析 ， 三 铰 共 线 ， 故 为 几 何 瞬 变 体 系 。 ( ) 26图 示 体 系 为 几 何 不 变 有 多 余 约 束 。 ( ) 27图 示 体 系 为 几 何 瞬 变 。 ( ) 28图 示 对 称 体 系 为 几 何 瞬 变 。 ( )

第二章结构的几何组成分析.

第二章 结构的几何组成分析 儿何构造分析的日的主要是分析、刿断一个休系是否儿何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。 § 2-1几何构造分析的几个概念 一、几何不变体系和几何可变体系 儿何町变休系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变的体系。

三、约束 对物体的运动起限制作用的其他物体称为约束（联系），体系 的自山度可因加入联系而减少，能减少一个自由度的装置称为 一个联系。常川的联系勺琏杆和饺。 1根链杆一1个约束 K 1个单铁一2个约束 \ 连接3个刚片的复铁一1个约束，即2个m? 饺连接n个刚片的父较一5?1）个单钱 1个单刚结点一3个约東 连接3个刚片的复刚结点一6个约束，即2个单刚结点 连接n个刚片的父刚结点一（ml）个m?刚结点

W=3X 4 — (2X4 +3)= 1 W = 3 X 7 — (2X9+3) = 0 四、多余约束 分消必要约束和非必要约束。 如果在一个体系中增加一个约柬，而体系的门山 Ji￡ )［不因此ifU 减少，此约束称为多余约束。 五、平面杆件体系的计算自由度 1:1 W=3m- (2〃+3x+〃 协…刚片数： …单饺总数; g …讯刚Yj 点总数; 尸…连杆总数。 9-2X (2) =5 6-2X (1) =4 zz/=7 /I-9 r= 3 加=4 // — 4 r= 3

?!5 w = 3 X4 —( 3 X4+3)= — 3 W = 3 X4 —(3X4+2)=— 2 超f 浄疋衍豹 W=3x 4 — (2X 4+ 3)= 1 也=4 力=4 r= 3 IV > 0 体系儿何町变; W =0 无多余约束时，体系儿何不变; W <0 体系冇名余约束。 XJ2 —(2 XI6+4) =0

结构力学复习题(几何组成分析)

题目部分，(卷面共有15题,110.0分,各大题标有题量和总分) 一、是非(2小题,共2.0分) (1分)[1]有些体系为几何可变体系，但却有多余约束存在。() (1分)[2]图示桁架由于制造误差AB杆短了3cm，装配后AB杆将被拉长。（） A B 二、选择(2小题,共2.0分) (1分)[1]图示体系的几何组成为 A、几何不变，无多余联系； B、几何不变，有多余联系； C、瞬变； D、常变。 (1分)[2]图示平面体系的几何组成性质是： A、几何不变,且无多余联系； B、几何不变,且有多余联系； C、几何可变； D、瞬变。 三、填充(1小题,共2.0分) (2分)[1]图示体系的几何组成分析的结论是。 四、非客观(10小题,共104.0分) (10分)[1]试分析图示体系的几何组成。 (10分)[2]试分析图示体系的几何组成。 (10分)[3]已知图示结构的M图，试作Q、N图。

q 2 ql 图 M ql 2 32 (10分)[4]作图示结构的M图。 2 2 l/2 l/2 l/2 (12分)[5]用力法计算图示结构，并绘出M图。EI=常数。 3m3m (12分)[6]对图示体系进行几何组成分析。 A B C D E (10分)[7]试对图示体系进行几何组成分析。 C D B (10分)[8]分析图示平面体系的几何组成性质。

(10分)[9]对图示体系作几何组成分析。 (10分)[10]对图示体系作几何组成分析。 ====================答案==================== 答案部分，(卷面共有15题,110.0分,各大题标有题量和总分) 一、是非(2小题,共2.0分) (1分)[1][答案] 对 (1分)[2][答案] 错 二、选择(2小题,共2.0分) (1分)[1][答案] B (1分)[2][答案] B 三、填充(1小题,共2.0分) (2分)[1][答案] 几何不变且无多余约束。 四、非客观(10小题,共104.0分) (10分)[1][答案] 几何不变，无多余约束。 (10分)[2][答案] 几何不变，无多余约束。 (10分)[3][答案] ql 图 Q ql ql N 图 (10分)[4][答案]

(完整版)哈工大结构力学题库一章

第一章平面体系的几何组成分析 一判断题 1. 图示体系是几何不变体系。（×） 题1图题2图题3图题4图 2. 图示体系为几何可变体系。（×） 3. 图示体系是几何不变体系。（×） 4. 图示体系是几何不变体系。（√） 5. 图示体系是几何不变体系。（×） 题5图题6图题19图题20图 6. 图示体系为几何不变有多余约束。（×） 7. 几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结 构。（×） 8. 两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中，不仅指明了必需的约束数目，而且指明了 这些约束必需满足的条件。（√） 9. 在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全不反力和内力的体系是几何不变体系。（√） 10. 计算自由度W小于等于零是体系几何不变的充要条件。(×) 11. 几何可变体系在任何荷载作用下都不能平衡。(×) 12. 三个刚片由三个铰相联的体系一定是静定结构。(×) 13. 有多余约束的体系一定是超静定结构。(×) 14. 有些体系为几何可变体系但却有多余约束存在。（√） 15. 平面几何不变体系的三个基本组成规则是可以相互沟通的。（√） 16. 三刚片由三个单铰或任意六根链杆两两相联，体系必为几何不变。（×） 17. 两刚片用汇交于一点的三根链杆相联，可组成几何不变体系。（×） 18. 若体系计算自由度W<0，则它一定是几何可变体系。（×） 19. 在图示体系中，去掉其中任意两根支座链杆后，所余下都是几何不变的。（×） 20. 图示体系按三刚片法则分析，三铰共线，故为几何瞬变体系。（×） 21. 有多余约束的体系一定是几何不变体系。（×） 22. 几何不变体系的计算自由度一定等于零。（×）

第二章 结构的几何组成分析

第2章结构的几何组成分析 1. 教学内容 一个体系要能承受荷载，首先它的几何构造应当合理，能够使几何形状和位置保持不变。因此，在进行结构受力分析之前，先进行几何构造分析。 在几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律。规律本身是简单浅显的，但规律的运用则变化无穷。因此，学习本章时遇到的困难不在于学懂，而在于灵活运用。 本章在全书中只是一个短小的前奏，只是从几何构造的角度讨论建筑力学中的一个侧面，根本不涉及到内力和应变。但是构造分析与内力分析之间又是密切相关的，本章内容将在后面许多章节中得到应用。 2. 教学目的 理解自由度、可变体系与不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念； 正确理解三角形规律，并能熟练应用三角形规律分析平面体系的几何构造； 掌握计算自由度的计算方法，能计算一般平面体系的自由度。 3. 重难点 重点：理解自由度、可变体系与不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念，应用三角形规律分析平面体系的几何构造 难点: 熟练应用三角形规律分析平面体系的几何构造 3. 本章目录 第一节、基本概念（包括：几何不变体系和几何可变体系、几何组成分析中的几个概念、自由度） 第二节、平面几何不变体系的组成规律 第三节、平面体系几何组成分析举例

第四节、结构的几何组成和静定性的关系 第五部分、作业 4. 参考章节 《建筑力学》，第十章、结构的几何构造分析，pp.145-153。 第一节、基本概念 1. 教学要求 理解自由度、几何可变体系与几何不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念。 2. 本节目录 ?1. 几何不变体系和几何可变体系 ?2. 运动自由度 S ?3. 约束 ?4. 多余约束和非多余约束 ?5. 瞬变体系 ?6. 瞬铰和无穷远处的瞬铰 ?7. 思考与讨论 3. 参考章节 《建筑力学》，pp.11-14。 2.1.1 几何不变体系和几何可变体系 几何不变体系：体系的位置和形状是不能改变的(图2-1b)。 几何可变体系：体系的位置或形状是可以改变的(图2-1a)。 以上讨论的前提：不考虑材料的应变。