导数知识点题型
导数知识点题型
知识要点：函数的平均变化率
1．已知函数12)(2
-=x x f 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x ,1+△y ）,则x
y
??等于（ ）A ．4 B ．x 4 C ．x ?+24 D ．2
2
4x ?+ 2．如果质点M 按规律2
3t s +=运动，则在一小段时间[]1.2,2中相应的平均速度是（ ）
A ．4
B ．4.1
C ．0.41
D ．3 知识要点：导数的概念.
3. 已知函数)(x f y =在0x x =处可导，则=
??--→?x
x x f x f x )()(lim
000 4. 已知函数)(x f y =在0x x =处可导，则[])()(lim 0
00
x f x x f x -?+→?= 知识要点：导数的几何意义, 导函数 .
5.曲线122
+=x y 在点P （－１，３）处的切线方程为（ ） 6.在曲线2x y =上过哪一点的切线，
（１）平行于直线54-=x y ；（２）垂直于直线0
562=+-y x ； 知识要点：0'=C (C 为常数) 1
)'(-=n n nx
x (Q n ∈) 7.求下列函数的导数:
(1) 12
x y = (2) 4
1
x y =
(3)
53x y = (4)
x x y =
知识要点：基本初等函数的导数公式 ； 导数的运算法则
8.求下列函数的导数：
（1）x x y 23
log += （2）
x n e x y = （3） x x y sin 1
2-= （ 4）x
x y ++-=1212
9.设*()(11
10N n a x a x a x a x f n n n n
∈++++=-- ，则)0(/
f =（ ） 知识要点： 复合函数的导数
10.求下列函数的导数： （1） 99)1()(+=x x f （2）x
e x
f -=2)(
知识要点：导数的综合运算
11.求下列函数的导数: (1)
)52sin(2)(+=x x x f (2) 2
1)(x x x f +=
(3)
)
sin()(b ax e x f -= (4) x x x f 2cos cos )(=
知识要点：利用导数判断函数的单调性；利用导数求函数的单调区间．
12.判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （１）
12)(+-=x x f （２）42)(2-+=x x x f （３）x x x f 3)(3
+=
知识要点：导数在函数的单调性中的应用；
13. 已知
)
(x f 是R 上的偶函数，在区间)0,(-∞上0)(/>x f ，且有
)123()12(2
2-+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是
14. 已知函数
13)(2
3+-+=x x ax x f 在),(+∞-∞上是减函数，
则a 的取值范围是
知识要点：极值的概念；可导函数的极值．
15.求下列函数的极值： （１）
26)(2++=x x x f （２）3
126)(x x x f +-=
知识要点：极值的应用．
16. 函数
1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是（
）
A ．0>a
B ．0≥a
C ．0 D ．0≤a 知识要点：用导数求函数的最大（小）值 17. 函数 26)(2++=x x x f ]2,1[∈x 的最大值为 ，最小值为 知识要点：最值的应用 18. 当0≠x 时，求证：x e x +>1． 19. 已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－ 2 3 与x ＝1时都取得极值 （１） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间 （２）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ） 恒成立，求c 的取值范围 知识要点：导数在实际问题中的应用． 20. 一条长为l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，截得两段铁丝长分别为（ ）时，才能使两个正方形的面积和最小． 21. 已知某商品进价为a 元，根据以往的经验，当售价是)3 4 (a b b ≥ 元／件时，可卖出c 件．市场调查表明，当售价下降%10时，销售可增加%40．现决定一次性降价，销售价定为多少时，可获得最大利润？ 课堂练习 1.某质点的运动方程是2 )12(--=t t S ，则在t=1s 时的瞬时速度为（ ） A ．－1 B ．－3 C ．7 D ．13 2.设f(x)= ,11 3 2 x x x - 则f ′(1)=（ ） A 0 B 21 C 65 D 6 5 - 3.设()l n f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2 e B ．e C ． l n 2 2 D ．ln 2 4.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线0 62=--y x 平行，则=a （） A ．1 B ． 1 2 C ．12 - D ．1- 5.已知函数1 )6()(2 3 ++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．21<<-a B ．63<<-a C ．3-a D ．1-a 6.已知函数()y x f x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)， 下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ) 7.函 数 y=x x ln 232 -的单调增区间是 ________ ，减区间是 _______ . 8.函数f （x ）＝x ＋2cos x 在区间?? ? ???π2,0上的最大值为______；在区间[0，2π]上最大值为 ________． 9. 已知函数3 ()3f x x x =-.（1）求函数()f x 在3 [3,]2 -上的最大值和最小值. （2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程. 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 导数复习 1．已知函数y ＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( ) 2．函数y ＝f （x ）在定义域（－ 3 2 ，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f （x ），则不等式f （x ）≤0的解集为（ ） A ．[－13，1]∪[2，3） B ．[－1，12]∪[43，8 3] C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－ 13]∪[12，43]∪[43 ，3） 3．已知 其导函数 的图象如图，则函数 的极小值是 A. B. C. D. c 4．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．设函数()y f x =的图像如左图，则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的（） 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图像如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．函数32 55y x x x =+--的单调递增区间是___________________________. 8．函数()x x x f ln =的单调递减区间是 9.函数()f x x x ln 22 -=的单调递减区间是 10．函数f(x)= lnx x 的单调递减区间是 11．函数2x y x e -=在区间(,0)-∞上的单调性为 12．若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 高中导数知识点归纳 1 一、基本概念 2 1. 导数的定义： 3 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也4 引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 5 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数6 )(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 7 ()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=) ()(lim )(00000 8 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程） 9 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的10 斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为11 ).)((0'0x x x f y y -=- 12 3．基本常见函数的导数: 13 ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= 14 ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; 15 ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; 16 ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 17 二、导数的运算 18 1.导数的四则运算： 19 2014高考文科数学：导数知识点总结 (4) x x sin )(cos -='. (5) x x )(ln = '；e a x x a log )(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.（7）' ' ' ()u v u v ±=±. （8）' ' ' ()uv u v uv =+. （9）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -= ≠. （10）2' 11x x -=?? ? ?? （11） ()x x 21' = 5.导数的应用 ①单调性：如果0)(' >x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(' 高考复习资料 指数函数、对数函数与幂函数 知识回顾 Ⅰ、指数函数的概念及运算性质 1n 叫根指数，a 叫被开方数（平方根，立方根，n 次方根的概念）。0的任何次方根 都等于00 2、两个等式：A 、n>2时，且n N +∈时，n a = B 、n a ；n 00 a a a a a ≥?=? -∈> 正数的负分数指数幂的意义：10,,,1)m n m n a a m n N n a -+= = >∈> 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 4、指数概念由整数扩充到有理数后，指数的运算性质由5条合并成3条 ①(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =?>>∈ Ⅱ、对数的概念及运算性质 1、概念：log ,(0,1)x a y a x y a a =?=>≠，以10为底的对数叫做常用对数：10log lg a a =；以e=2.71828为底的对数叫自然对数：log ln e a a = 2、对数的性质：对数log ,(0,1)a N a a >≠的性质：①0N >；②log 10a =；③log 1a a = 3、对数的运算法则： ①log a M N ?=____________________；②log a M N =____________________；③log n a M =____________________； ④log a =______________；⑤换底公式：log a b =______________； 换底公式推论：log n m a b =_______________； ⑥倒数公式：log log 1a b b a ?=；⑦对数恒等式：log log 10log 1a b a a a a b ===①②③④log log log a b a b c c ?= Ⅲ、指数、对数函数的概念 （1）指数函数的概念：函数x y a =叫做指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量，函数的定义域为R ； （2）对数函数的概念：函数log a y x =叫做对数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量，函数的值域是R 。 Ⅳ、幂函数的概念 形如y x α=的函数称为幂函数（α为常数），重点掌握11 1,2,3,,,123 α=-时的幂函数及其图像。 Ⅴ、幂函数的性质和图像 幂函数的图像分为二大类，三种情况。A 类：当0a >时，a y x =在第一象限内为增函数，A 类分两种情况； B 类：当0a <时，a y x =在第一象限内为减函数，B 类只有一种情况。 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. Ps ：二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f （x ）的导数y ＇=f ＇（x ）仍然是x 的函数，则y ＇=f ＇（x ）的导数叫做函数y=f （x ）的二阶导数。 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. ⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 3. 导数的几何意义： 就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） )0(2''' ≠-= ?? ? ??v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+ =，x x x g 2 cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导. 5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法； 如果函数)(x f y =在区间I 恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数. 注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f （x ）在某区间有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时， ①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±???? 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导 定积分 一、知识点与方法： 1、定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式 1 ()n n i i I f x ξ== ?∑ （其中x ?为小区间长度） ，把n →∞即0x ?→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝1 lim ()n i n i f x ξ→∞ =?∑ 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。 (1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ?的几何意 义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ① ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；② ???± = ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③???+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。 2、微积分基本定理 如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 3、定积分的简单应用 (1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线 ,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的 曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）； §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于 P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作y ',即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 例一： 若2012)1(/=f ，则x f x f x ?-?+→? )1()1(l i m 0 = ，x f x f x ?--?+→?) 1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 第十一节变化率与导数、导数的计算 [备考方向要明了] [归纳·知识整合] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0， 即 f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数： 称函数f ′(x )＝lim Δx → f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． [探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？ 提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 导数知识点总结 考试内容： 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． 知识要点： 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量 ) ()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到 x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0 |'x x y =，即)(0'x f = x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y = 的定义域为B ，则A 与B 关系为 B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??=??||， 当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故 x y x ??→?0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 高二数学复习讲义—导数及其应用 知识归纳 1．导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ，那么函数 y 相应地有增量 ?y =f （x 0 + ?x ） －f （x 0 ），比值 ?y 叫做函数 y=f （x ）在 x 0 ?x 到 x 0 + ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即 ?y = f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 。如果当 ?x → 0 时， x ?x ? y 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处 ?x 可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处 的导数，记作 f’（x 0 ）或 y’| x =x 0 。 即 f （x ）= lim ?y = lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 。 0 ?x →0 ?x ?x →0 ?x 说明：（1）函数 f （x ）在点 x 0 处可导，是指 ?x → 0 时， ??y x 有极限。如果 ??y x 不存在极 限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。（2）?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量，?x ≠ 0 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( u ± v )' = u ' ± v ' . 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函 数 乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数 ， 即 ： (uv )' = u ' v + uv ' . 若 C 为常数, (Cu )' = C 'u + Cu ' = 0 + Cu ' = Cu ' . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu )' = Cu ' . 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的 ? u ? u ' v - uv ' 积再除以分母的平方： ? ‘ = v 2 ? v ? （v ≠ 0）。 形如 y=f [?(x ) ]的函数称为复合函数。复合 函数求导步骤：分解——求导——回代。法 时，而 ?y 是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的步骤：（1）求函数的增量 ?y =f （x 0 + ?x ）－f （x 0 ）； （2）求平均变化率 ?y = f (x + ?x ) - f (x 0 ) ； ?x ?x （3）取极限，得导数 f’(x 0 )= lim ?y 。 ?x →0 ?x 2．导数的几何意义 函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率是 f’（x 0 ）。 / 相应地，切线方程为 y －y 0 =f （x 0 ）（x －x 0 ）。 3．几种常见函数的导数: ① C ' = 0; ② (x n )' = nx n -1; ③ (sin x )' = cos x ;④ (cos x )' = -sin x ; ⑤ (e x )' = e x ; ⑥ ( a x )' = a x ln a ; ⑦ (ln x )' = 1 ; ⑧ (l o g a x )' = 1 log a e . x x 核心出品 必属精品 免费下载 导 数 考试内容： 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 )(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时， 1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为 ).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） )0(2''' ≠-=?? ? ??v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，x x x g 2 cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和 =+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导. 5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 导数及其应用 1、导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率 )(0x f '， 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-。若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 注：（1）知切点求切线：求导、求斜率、代方程。 （2）未给切点求切线：设点、求导数、写方程、将已知点代入、联立方程组求切点横坐标、反代得纵坐标、将切点坐标代入所设切线方程。 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 又称：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率： ()()2121f x f x x x --3、常见函数的导数公式： ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '=4、导数运算法则：() 1()()()()f x g x f x g x '''±=±????；()2()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 5、函数的单调性： 在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 6、函数的极值： (1)极值定义： 极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. (2)求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数知识点
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