几何综合题(题型概述)
几何综合题
【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.
【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.
【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.
【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.
为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.
类型一以三角形为背景的综合题
典例1(2014·江苏泰州)如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,EF ∥AC.
(1)求证:BE=AF;
(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积.
【技法梳理】(1)由DE∥AB,EF∥AC,可证得四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,又由BD是△ABC的角平分线,易得△BDE是等腰三角形,即可证得结论;
(2)首先过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,易求得DG与DE的长,继而求得答案.
【解析】(1)∵DE∥AB,EF∥AC,
∴四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE.
∴AF=DE.
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBE.
∴∠DBE=∠BDE.
∴BE=DE.
∴BE=AF.
(2)过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,
∵∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠EBD=30°.
∴DE=BE=2.
∴四边形ADEF的面积为DE·DG=6.
举一反三
1.(2014·湖北武汉)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm 的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0 (1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值; (2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值; (3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上. (1) (2) (第1题) 【小结】此类题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用. 类型二以四边形为背景的综合题 典例2(2014·安徽)如图(1),正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM ∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于点N. (1)①∠MPN= ; ②求证:PM+PN=3a; (2)如图(2),点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON; (3)如图(3),点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?并说明理由. (1) (2) (3) 【全解】(1)①∵四边形ABCDEF是正六边形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°. ∵PM∥AB,PN∥CD, ∴∠BPM=60°,∠NPC=60°. ∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC =180°-60°-60°=60°. 故答案为60°. ②如图(1),作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K, (1) (2)如图(2),连接OE. (2) ∵四边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC,∴AM=BP=EN. 又∠MAO=∠NOE=60°,OA=OE, 在△ONE和△OMA中, ∴△OMA≌△ONE(SAS). ∴OM=ON. (3)如图(3),连接OE. (3) 由(2)得,△OMA≌△ONE, ∴∠MOA=∠EON. ∵EF∥AO,AF∥OE, ∴四边形AOEF是平行四边形. ∴∠AFE=∠AOE=120°. ∴∠MON=120°. ∴∠GON=60°. ∵∠GON=60°-∠EON,∠DON=60°-∠EON,∴∠GOE=∠DON. ∵OD=OE,∠ODN=∠OEG, 在△GOE和∠DON中, ∴△GOE≌△NOD(ASA). ∴ON=OG. 又∠GON=60°, ∴△ONG是等边三角形. ∴ON=NG. ∵OM=ON,∠MOG=60°, ∴△MOG是等边三角形. ∴MG=GO=MO. ∴MO=ON=NG=MG. ∴四边形MONG是菱形. 【技法梳理】(1)①运用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解,②作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解; (2)连接OE,由△OMA≌△ONE证明; (3)连接OE,由△OMA≌△ONE,再证出△GOE≌△NOD,由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形. 举一反三 2.(2014·山东烟台)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动. (1)如图(1),当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由. (2)如图(2),当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明) (3)如图(3),当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由. (4)如图(4),当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值. (1) (2) (3) (4) (第2题) 【小结】主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当的作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段. 类型三以圆为背景的综合题 典例3(2014·江苏苏州)如图,已知l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,☉O的半径为2cm,矩形ABCD 的边AD,AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若☉O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,☉O的移动速度为3cm,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s), (1)如图,连接OA,AC,则∠OAC的度数为°; (2)如图,两个图形移动一段时间后,☉O到达☉O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长); (3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图). 【全解】 (1)∵l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切, ∴∠OAD=45°. ∵AB=4cm,AD=4cm, ∴CD=4cm,AD=4cm. ∴∠DAC=60°. ∴∠OAC的度数为∠OAD+∠DAC=105°.