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全国中考数学试题分类汇编

A B

C

D P E

2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题

1. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线的解析式是y =

2

4

1x +1,点C 的坐标为(–4,0),平行四边形OABC 的顶点A ,B 在抛物线上,AB 与y 轴交于点M ,已知点Q (x ,y )在抛物线上,点P (t ,0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标;

(2) 当四边形CMQP 是以MQ ,PC 为腰的梯形时.

① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围; ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1:2时,求t 的值.

(1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0

14

12

=21

2. 如图,已知在矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,P 是线段AD 边上的任意一点(不含端点

A 、D ),连结PC , 过点P 作PE ⊥PC 交A

B 于E

(1)在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ,使得QC ⊥QE ?若存在,求线段AP 与AQ 之间的数量关系;若不存在,请说明理由;

(2)当点P 在AD 上运动时,对应的点E 也随之在AB 上运动,求BE 的取值范围.

(3)存在,理由如下:

如图2,假设存在这样的点Q ,使得QC ⊥QE.

由(1)得:△PAE ∽△CDP , ∴ , ∴ ,

∵QC ⊥QE ,∠D =90 ° , ∴∠AQE +∠DQC =90 ° ,∠DQC +∠DCQ =90°, ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°, ∴△QAE ∽△CDQ , ∴ , ∴

∴ , 即 , ∴ , ∴ ,

∴ .

∵AP≠AQ ,∴AP +AQ =3.又∵AP≠AQ ,∴AP≠ ,即P 不能是AD 的中点, ∴当P 是AD 的中点时,满足条件的Q 点不存在,

综上所述, 的取值范围8

7

≤ <2;

3.如图,已知抛物线y =-1

2

x 2+x +4交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B .

(1)求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式;

(2)设P (x ,y )(x >0)是直线y =x 上的一点,Q 是OP 的中点(O 是原点),以PQ 为对角线作正方形PEQF ,若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值.

(1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为

(y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4

(2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4

由y=-x+4与y=x联立,解得

其交点坐标为(2,2)

①当点P的坐标为(2,2)时,依题意可知点Q的坐标为(1,1)

正方形PEQF恰好在△OAB里面,此时正方形PEQF

与直线AB刚好有一公共点(2,2)

②又当点Q的坐标值越来越大时,正方形PEQF与直线AB恒有两个交点

③而当点Q的坐标为(2,2),即点P的坐标为(4,4)时,正方形PEQF

恰好在△OAB的外面,此时正方形PEQF刚好与直线AB有一公共点(2,2) ④当点Q的坐标值大于2时,正方形PEQF与直线AB恒不相交,没有公共点综上所述,点P的横坐标x的取值范围为[2,4]

(3)∵Xq+|QE|=Xp=x

又Xq=x/2

∴|QE|=x/2

即正方形PEQF的边长为x/2

①当点E、F在直线AB上时,正方形PEQF刚好被直线AB平分,EF为正方形PEQF的对角线

则Xq+|QE|/2=2

∴x/2+(1/2)*(x/2)=2

∴x=8/3

即正方形PEQF的边长为4/3

∴S=(1/2)*|QE|2=(1/2)×(4/3)2=8/9

②当2≤x

花小姐丶xpH 2014-09-29

4.如图,P 为正方形ABCD 的对称中心,A (0,3),B (1,0),直线OP 交AB 于N ,DC 于M ,点H 从原点O 出发沿x 轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点R 从O 出发沿OM 方向以2个单位每秒速度运动,运动时间为t 。求:

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(1)C 的坐标为 ; (2)当t 为何值时,△ANO 与△DMR 相似? (3)△HCR 面积S 与t 的函数关系式;

并求以A 、B 、C 、R 为顶点的四边形是梯形 时t 的值及S 的最大值。

5.(2010年浙江金华)如图,把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中,A

,B 两点坐标分别为(3,0)和(0,.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动,点

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P 在AO ,OB ,BA 上运动的速度分别为1 2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以

3

3

(长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l ∥x 轴),且分别与OB ,AB 交于E ,F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发,运动时间为t 秒,当点P 沿折线

AO -OB -BA 运动一周时,直线l 和动点P 同时停止运动.请解答下列问题: (1)过A ,B 两点的直线解析式是 ;

(2)当t ﹦4时,点P 的坐标为 ;当t ﹦ ,点P 与点E 重合;

(3)① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F 为菱形,则t 的值是多少?

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② 当t ﹦2时,是否存在着点Q ,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

6.如图1、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,□ABCD 的顶点A 的坐标为(-2,0),点D 的坐标为(0,32),点B 在x 轴的正半轴上,点E 为线段AD 的中点,过点E 的直线l 与x 轴交于点F ,与射线DC 交于点G 。 (1)求DCB ∠的度数;

(2)连结OE ,以OE 所在直线为对称轴,△OEF 经轴对称变换后得到△F OE ',记直线F E '

与射线DC 的交点为H 。

①如图2,当点G 在点H 的左侧时,求证:△DEG∽△DHE; ②若△EHG 的面积为33,请直接写出点F 的坐标。

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(图1)

(图2)

(图3)

7.△ABC 中,∠A =∠B =30°,AB =23.把△ABC 放在平面直角坐标系中,使AB 的中点位于坐标原点O (如图),△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转.

(1) 当点B 在第一象限,纵坐标是6

时,求点B 的横坐标;

(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ,请你 探究:

① 当5a =

,1

2

b =-,35

c =-时,A ,B 两点是否都 在这条抛物线上?并说明理由;

② 设b =-2am ,是否存在这样的m 的值,使A ,B 两点不可能同时在这条抛物线

上?若存在,直接写出m 的值;若不存在,请说明理由.

8.如图,设抛物线C 1:()512

-+=x a y , C 2:()512

+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A , B ,点A

的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是-2. (1)求a 的值及点B 的坐标;

(2)点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,

在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点M的 直线为l ,且l 与x 轴交于点N .

① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为 (1, 2),求点N 的横坐标;

② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.

O

y x C B

A

1

1 -1

-1

9.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =6,AC =8.点P ,Q 都是斜边AB 上的动点,点P 从B 向A 运动(不与点B 重合),点Q 从A 向B 运动,BP=AQ .点D ,E 分别是点A ,B 以Q ,P 为对称中心的对称点, HQ ⊥AB 于Q ,交AC 于点H .当点E 到达顶点A 时,P ,Q 同时停止运动.设BP 的长为x ,△HDE 的面积为y . (1)求证:△DHQ ∽△ABC ;

(2)求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值; (3)当x 为何值时,△HDE 为等腰三角形?

10.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B 作射线BB l ∥AC .动点D 从点

A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D 作DH ⊥A

B 于H ,过点E 作EF 上A

C 交射线BB 1于F ,G 是EF 中点,连结DG .设点

D 运动的时间为t 秒. (1)当t 为何值时,AD=AB ,并求出此时D

E 的长度; (2)当△DEG 与△AC B 相似时,求t 的值;

(3)以DH 所在直线为对称轴,线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′. ①当t>5

3

时,连结C ′C ,设四边形ACC ′A ′的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式;

②当线段A ′C ′与射线BB l ,有公共点时,求t 的取值范围(写出答案即可).

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D

E

Q

P

H

11.如图1,已知梯形OABC ,抛物线分别过点O (0,0)、A (2,0)、B (6,3). (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标;

(2)将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移,分

别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1,得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1.设梯形O 1A 1B 1C 1的面积

为S ,A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1,y 1)、(x 2,y 2).用含S 的代数式表示2x -1x ,并求出当S =36时点A 1的坐标;

(3)在图1中,设点D 坐标为(1,3),动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度

沿着线段BC 运动,动点Q 从点D 出发,以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动.P 、Q 两点同时出发,当点Q 到达点M 时,P 、Q 两点同时停止运动.设P 、Q 两点的运动时间为t ,是否存在某一时刻t ,使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴...围成的三角形相似?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.

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12.如图,在菱形ABCD 中,AB=2cm ,∠BAD=60°,E 为CD 边中点,点P 从点A 开始沿AC

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方向以每秒cm 的速度运动,同时,点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动,当点P 到达点C 时,P ,Q 同时停止运动,设运动的时间为x 秒 (1)当点P 在线段AO 上运动时. ①请用含x 的代数式表示OP 的长度;

②若记四边形PBEQ 的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);

(2)显然,当x=0时,四边形PBEQ 即梯形ABED ,请问,当P 在线段AC 的其他位置时,以P ,B ,E ,Q 为顶点的四边形能否成为梯形?若能,求出所有满足条件的x 的值;若不能,请说明理由.

13.如图,已知△ABC ∽△111C B A ,相似比为k (1>k ),且△ABC 的三边长分别为a 、

b 、

c (c b a >>),△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c 。

⑴若1a c =,求证:kc a =;

⑵若1a c =,试给出符合条件的一对△ABC 和△111C B A ,使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 进都是正整数,并加以说明;

⑶若1a b =,1b c =,是否存在△ABC 和△111C B A 使得2=k ?请说明理由。

14.如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ,其顶点为A (0,1)、B (-

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33,1)、

Q

E

O

A

C

D P

C (-33,0)、O (0,0).将此矩形沿着过E (-3,1)、F (-43

3,0)的直

线EF 向右下方翻折,B 、C 的对应点分别为B ′、C ′. (1)求折痕所在直线EF 的解析式;

(2)一抛物线经过B 、E 、B ′三点,求此二次函数解析式;

(3)能否在直线EF 上求一点P ,使得△PBC 周长最小?如能,求出点P 的坐标;若不能,说明理由. 解:

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15. 问题:已知△ABC 中,∠BAC =2∠ACB ,点D 是△ABC 内的一点,且AD =CD ,BD =BA 。 探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值。 请你完成下列探究过程:

先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当∠BAC =90?时,依问题中的条件补全右图。 观察图形,AB 与AC 的数量关系为 ;

当推出∠DAC =15?时,可进一步推出∠DBC 的度数为 ; 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 ;

(2) 当∠BAC ≠90?时,请你画出图形,研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值 是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。

16.如图所示,已知抛物线k x x y +-=

2

4

1的图象与y 轴相交于点 )1,0(B ,点(,)C m n 在该抛物线图象上,且以BC 为直径的⊙M 恰

好经过顶点A . (1)求k 的值; (2)求点C 的坐标;

(3)若点P 的纵坐标为t ,且点P 在该抛物线的对称轴l 上运动,试探 索:

①当12S S S <<时,求t 的取值范围(其中:S 为△PAB 的面积,1S 为△OAB 的面积,2S 为四边

形OACB 的面积);

②当t 取何值时,点P 在⊙M 上.(写出t 的值即可)

17.如图1,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =1,OC =2,点D 在边OC 上且54

OD =

. (1)求直线AC 的解析式;

(2)在y 轴上是否存在点P ,直线PD 与矩形对角线AC 交于点M ,使得DMC △为等腰三角形?若存在,直接写出....

所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)抛物线2

y x =-经过怎样平移,才能使得平移后的抛物线过点D 和点E (点E 在y 轴正半轴上),且ODE △沿DE 折叠后点O 落在边AB 上O ′处?

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18.如图1,已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ,顶点M 的坐标为 (2,4);矩形

ABCD 的顶点A 与点O 重合,AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上,且AD=2,AB=3. (1)求该抛物线的函数关系式;

(2)将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平

行移动,同时一动点P 也以相同的速度.....

从点A 出发向B 匀速移动,设它们运动的时间为t 秒(0≤t ≤3),直线AB 与该抛物线的交点为N (如图2所示).

① 当t=2

5

时,判断点P 是否在直线ME 上,并说明理由;

② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ,试问S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

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19.如图1

A ,OA=5。若抛物线y =

(1(2)若A 点关于直线y (3)如图2,在(2)的条件下,⊙O 1是以BC 为直径的圆。过原点O 作O 1的切线OP ,P 为切点(P 与点C 不重合),抛物线上是否存在点Q ,使得以PQ 为直径的圆与O 1相切?若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由。

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20.如图,在等边ABC ?中,线段AM 为BC 边上的中线. 动点D 在直线..AM 上时,以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ?,连结BE .

(1) 填空:______ACB ∠=度;

(2) 当点D 在线段..AM 上(点D 不运动到点A )时,试求出BE

AD

的值; (3)若8=AB ,以点C 为圆心,以5为半径作⊙C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点,

在点D 运动的过程中(点D 与点A 重合除外),试求PQ 的长.

20ABC (∠A=30°)绕其直角顶点C 逆时针旋转α角(0?<''A B C ,'A C 与AB 交于点D ,过点D 作DE∥''A B 交'CB 于 点E ,连结BE.易知,在旋转过程中,△BDE 为直角三角形. 设 BC =1,AD =x ,△BDE 的 (1)当30α=?时,求x 的值.

(2)求S 与x 的函数关系式,并写出x 的取值范围;

E M

C D A B 备用图(1) A B 备用图(2)

(3)以点E 为圆心,BE 为半径作⊙E ,当S=

1

4

ABC S ?时,判断⊙E 与'A C 的位置关 系,并求相应的tan α值.

21.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,BC =6,AD =3,∠DCB =30°.点E 、F 同时从B 点出发,沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍,以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG .设E 点移动距离为x (x >0).

⑴△EFG 的边长是____(用含有x 的代数式表示),当x =2时,点G 的位置在_______; ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ,求 ①当0<x ≤2时,y 与x 之间的函数关系式; ②当2<x ≤6时,y 与x 之间的函数关系式;

⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时,存在最大值,并求出最大值.

B E → F →

C A D

G

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