全国中考数学试题分类汇编

A B

C

D P E

2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题

1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y =

2

4

1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标；

(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时.

① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值.

(1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0

14

12

=21

2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点

A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A

B 于E

（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．

（3）存在，理由如下：

如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE.

由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ，

∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴

∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ，

∴ .

∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在，

综上所述， 的取值范围8

7

≤ ＜2；

3.如图，已知抛物线y ＝－1

2

x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．

（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；

（2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．

(1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为

(y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4

(2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4

由y=-x+4与y=x联立,解得

其交点坐标为(2,2)

①当点P的坐标为(2,2)时,依题意可知点Q的坐标为(1,1)

正方形PEQF恰好在△OAB里面,此时正方形PEQF

与直线AB刚好有一公共点(2,2)

②又当点Q的坐标值越来越大时,正方形PEQF与直线AB恒有两个交点

③而当点Q的坐标为(2,2),即点P的坐标为(4,4)时,正方形PEQF

恰好在△OAB的外面,此时正方形PEQF刚好与直线AB有一公共点(2,2) ④当点Q的坐标值大于2时,正方形PEQF与直线AB恒不相交,没有公共点综上所述,点P的横坐标x的取值范围为[2,4]

(3)∵Xq+|QE|=Xp=x

又Xq=x/2

∴|QE|=x/2

即正方形PEQF的边长为x/2

①当点E、F在直线AB上时,正方形PEQF刚好被直线AB平分,EF为正方形PEQF的对角线

则Xq+|QE|/2=2

∴x/2+(1/2)*(x/2)=2

∴x=8/3

即正方形PEQF的边长为4/3

∴S=(1/2)*|QE|2=(1/2)×(4/3)2=8/9

②当2≤x

花小姐丶xpH 2014-09-29

4.如图，P 为正方形ABCD 的对称中心，A （0，3），B （1，0），直线OP 交AB 于N ，DC 于M ，点H 从原点O 出发沿x 轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R 从O 出发沿OM 方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t 。求：

（1）C 的坐标为 ； （2）当t 为何值时，△ANO 与△DMR 相似？ （3）△HCR 面积S 与t 的函数关系式；

并求以A 、B 、C 、R 为顶点的四边形是梯形 时t 的值及S 的最大值。

5．（2010年浙江金华）如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A

，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点

P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1 2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以

3

3

(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线

AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．请解答下列问题： （1）过A ，B 两点的直线解析式是 ；

（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ；当t ﹦ ，点P 与点E 重合；

（3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为菱形，则t 的值是多少？

② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图1、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射线DC 交于点G 。 （1）求DCB ∠的度数;

（2）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△F OE '，记直线F E '

与射线DC 的交点为H 。

①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG∽△DHE; ②若△EHG 的面积为33，请直接写出点F 的坐标。

（图1）

（图2）

（图3）

7.△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB =23．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．

(1) 当点B 在第一象限，纵坐标是6

时，求点B 的横坐标；

(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你 探究：

① 当5a =

，1

2

b =-，35

c =-时，A ，B 两点是否都 在这条抛物线上？并说明理由；

② 设b =-2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线

上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．

8．如图,设抛物线C 1:()512

-+=x a y , C 2:()512

+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A , B ,点A

的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是－2. （1）求a 的值及点B 的坐标；

（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,

在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的 直线为l ,且l 与x 轴交于点N .

① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为 (1, 2)，求点N 的横坐标；

② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.

O

y x C B

A

1

1 -1

-1

9．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？

10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB l ∥AC ．动点D 从点

A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥A

B 于H ，过点E 作EF 上A

C 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点

D 运动的时间为t 秒． (1)当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时D

E 的长度； (2)当△DEG 与△AC B 相似时，求t 的值；

(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′． ①当t>5

3

时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；

②当线段A ′C ′与射线BB l ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可)．

D

E

Q

P

H

11．如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分

别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积

为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示2x －1x ，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度

沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

12．如图，在菱形ABCD 中，AB=2cm ，∠BAD=60°，E 为CD 边中点，点P 从点A 开始沿AC

方向以每秒cm 的速度运动，同时，点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动，当点P 到达点C 时，P ，Q 同时停止运动，设运动的时间为x 秒 （1）当点P 在线段AO 上运动时. ①请用含x 的代数式表示OP 的长度；

②若记四边形PBEQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P ，B ，E ，Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由.

13．如图，已知△ABC ∽△111C B A ，相似比为k （1>k ），且△ABC 的三边长分别为a 、

b 、

c （c b a >>），△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c 。

⑴若1a c =，求证：kc a =；

⑵若1a c =，试给出符合条件的一对△ABC 和△111C B A ，使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 进都是正整数，并加以说明；

⑶若1a b =，1b c =，是否存在△ABC 和△111C B A 使得2=k ？请说明理由。

14．如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－

33，1）、

Q

E

O

A

C

D P

C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－43

3，0）的直

线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′． （1）求折痕所在直线EF 的解析式；

（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由． 解：

15． 问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内的一点，且AD =CD ，BD =BA 。 探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值。 请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当∠BAC =90?时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB 与AC 的数量关系为 ；

当推出∠DAC =15?时，可进一步推出∠DBC 的度数为 ； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 ；

(2) 当∠BAC ≠90?时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值 是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

16.如图所示，已知抛物线k x x y +-=

2

4

1的图象与y 轴相交于点 )1,0(B ，点(,)C m n 在该抛物线图象上，且以BC 为直径的⊙M 恰

好经过顶点A . （1）求k 的值; （2）求点C 的坐标；

（3）若点P 的纵坐标为t ，且点P 在该抛物线的对称轴l 上运动，试探 索：

①当12S S S <<时，求t 的取值范围（其中：S 为△PAB 的面积，1S 为△OAB 的面积，2S 为四边

形OACB 的面积）；

②当t 取何值时，点P 在⊙M 上.（写出t 的值即可）

17.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =1，OC =2，点D 在边OC 上且54

OD =

. （1）求直线AC 的解析式；

（2）在y 轴上是否存在点P ，直线PD 与矩形对角线AC 交于点M ，使得DMC △为等腰三角形？若存在，直接写出．．．．

所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）抛物线2

y x =-经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D 和点E （点E 在y 轴正半轴上），且ODE △沿DE 折叠后点O 落在边AB 上O ′处？

18.如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形

ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平

行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．

从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当t=2

5

时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

19．如图1

A ，OA=5。若抛物线y =

（1（2）若A 点关于直线y （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆。过原点O 作O 1的切线OP ，P 为切点（P 与点C 不重合），抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与O 1相切？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由。

20．如图，在等边ABC ?中，线段AM 为BC 边上的中线. 动点D 在直线．．AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ?，连结BE .

(1) 填空：______ACB ∠=度；

(2) 当点D 在线段．．AM 上(点D 不运动到点A )时，试求出BE

AD

的值； (3)若8=AB ，以点C 为圆心，以5为半径作⊙C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，

在点D 运动的过程中(点D 与点A 重合除外)，试求PQ 的长.

20ABC （∠A=30°）绕其直角顶点C 逆时针旋转α角（0?<''A B C ，'A C 与AB 交于点D ，过点D 作DE∥''A B 交'CB 于 点E ，连结BE.易知，在旋转过程中，△BDE 为直角三角形. 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的 （1）当30α=?时，求x 的值.

（2）求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

E M

C D A B 备用图(1) A B 备用图(2)

（3）以点E 为圆心，BE 为半径作⊙E ，当S=

1

4

ABC S ?时，判断⊙E 与'A C 的位置关 系，并求相应的tan α值.

21．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）.

⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

B E → F →

C A D

G