非正交多址技术

5G:非正交多址接入（NOMA）与串行干扰删除（SIC）

在频谱资源紧缺的今天，作为一项潜在的5G关键技术，能很好地提高频谱效率的非正交多址接入（NOMA）越来越受到人们的关注。NOMA的基本思想是在发送端采用非正交传输，主动引入干扰信息，在接收端通过串行干扰删除（SIC）实现正确解调。虽然采用SIC接收机会提高设计接收机的复杂度，但是可以很好地提高频谱效率，NOMA的本质即为通过提高接收机的复杂度来换取良好的频谱效率。

作为一项多用户检测技术，SIC早在第三代移动通信技术（CDMA）中被采用。SIC在性能上与传统检测器相比有较大提高，而且在硬件上改动不大，从而易于实现。串行干扰删除（SIC）的基本原理是逐步减去最大信号功率用户的干扰，SIC 检测器在接收信号中对多个用户逐个进行数据判决，判决出一个用户就同时减去该用户信号造成的多址干扰（MAI），按照信号功率大小的顺序来进行操作，功率较大信号先进行操作。这样一直进行循环操作，直至消除所有的多址干扰为止。

SIC 检测器的每一级只检测一个信号，因此K 个用户就需要K 级判决。各用户的操作顺序是根据其功率值排列进行的，功率越大的信号越先处理，因为最强的用户越容易捕获。每级输出的是功率最大用户的数据判决和去除该用户造成的MAI 以后的接收信号，这样可以将多址干扰降到最低，并且信号越弱获益越大，大大增加了检测的可靠性。多级结构将上一级的输出信号作为下一级的输入信号，重复“检测、估计、检测……”的循环操作，逐步消除接收信号中的多址干扰。SIC检测器的结构框图如图1所示。

图1

例如，在一个由3个用户共享的子信道上，叠加后的信号为

x=x(1)+x(2)+x(3)

其中，x(i)(i=1,2,3)分别代表3个用户信号，其中，信号功率x(1)

y(i)=h(i)x+w(i)

其中，h(i)是信道系数，w(i)是信道高斯白噪声和小区干扰。则SIC接收机解调3个用户过程如下图2所示：

图2

在第一级检测之前，先要将接收信号按照信号功率大小进行排序，这里由于x(3)信号功率最强，先要对x(3)进行判决，输出x(3)。然后恢复出对x(3)的信号估计值，从接收信号中减去x(3)的估计值，得到x(1)+x(2)，然后将h(2)(x(1)+x(2))+w(2)作为下一级输入。按照功率顺序依次执行相同的操作，最后先后输出x(2)和x(1)，完成对所有的用户信号检测。

在SIC信号检测过程中，很重要的一点是用户检测检测顺序。这里进行排序是根据用户的信号功率来进行的。在NOMA中，发送端会采用功率复用技术对不同的用户进行功率分配。通常，信道增益高的用户会少分配一些功率资源，而信道增益低的用户会多分配一些功率资源。到达接收端后，每个用户的信号功率会不一样，SIC接收机根据用户的信号功率进行排序，依次对不同的进行解调，同时达到区分用户的目的。

虽然，SIC技术有很好的信号检测性能，但要在NOMA中采用，有3个问题。首先，相对于传统的SIC接收机，NOMA中采用的SIC接收机要更复杂，要求具备更强的信号处理能力；其次，从上述过程可知，根据信号功率排的用户顺序决定了最佳的接收效果，而在实际过程中，用户的功率是不断变化的，这就要求SIC接收机不断地对用户功率进行排序；再次，从SIC结构图中可以看出，每一级处理都会产生一定的时延，在现实多级处理过程中，产生的时延很大。前一个问题的解决有赖于未来芯片处理能力的提升，而后两个问题则需要对相关的处理算法进行进一步的研究。

5G：非正交多址技术(NOMA)的性能优势

5G：非正交多址技术（NOMA）的性能优势 移动通信技术发展到今天，频谱资源也变得越来越紧张了。同时，为了满足飞速增长的移动业务需求，人们已经开始在寻找既能满足用户体验需求又能提高频谱效率的新的移动通信技术。在这种背景下，人们提出了非正交多址技术（NOMA）。 非正交多址技术（NOMA）的基本思想是在发送端采用非正交发送，主动引入干扰信息，在接收端通过串行干扰删除（SIC）接收机实现正确解调。虽然，采用SIC技术的接收机复杂度有一定的提高，但是可以很好地提高频谱效率。用提高接收机的复杂度来换取频谱效率，这就是NOMA技术的本质。 NOMA的子信道传输依然采用正交频分复用（OFDM）技术，子信道之间是正交的，互不干扰，但是一个子信道上不再只分配给一个用户，而是多个用户共享。同一子信道上不同用户之间是非正交传输，这样就会产生用户间干扰问题，这也就是在接收端要采用SIC技术进行多用户检测的目的。在发送端，对同一子信道上的不同用户采用功率复用技术进行发送，不同的用户的信号功率按照相关的算法进行分配，这样到达接收端每个用户的信号功率都不一样。SIC接收机再根据不同户用信号功率大小按照一定的顺序进行干扰消除，实现正确解调，同时也达到了区分用户的目的，如图1所示。

图1：下行链路中的NOMA技术原理 总的来说，NOMA主要有3个技术特点： 1、接收端采用串行干扰删除（SIC）技术。NOMA在接收端采用SIC技术来消除干扰，可以很好地提高接收机的性能。串行干扰消除技术的基本思想是采用逐级消除干扰策略，在接收信号中对用户逐个进行判决，进行幅度恢复后，将该用户信号产生的多址干扰从接收信号中减去，并对剩下的用户再次进行判决，如此循环操作，直至消除所有的多址干扰。与正交传输相比，采用SIC技术的NOMA的接收机比较复杂，而NOMA技术的关键就是能否设计出复杂的SIC接收机。随着未来几年芯片处理能力的提升，相信这一问题将会得到解决。 2、发送端采用功率复用技术。不同于其他的多址方案，NOMA首次采用了功率域复用技术。 功率复用技术在其他几种传统的多址方案没有被充分利用，其不同于简单的功率控制，而是由基站遵循相关的算法来进行功率分配。在发送端中，对不同的用户分配不同的发射功率，从而提高系统的吞吐率。另一方面，NOMA在功率域叠加多个用户，在接收端，SIC接收机可以根据不同的功率区分不同的用户。

DCT变换原理

数字图像的冗余包括空间冗余、结构冗余、知识冗余和视觉冗余等。空间冗余是指规则物体和规则背景的表面物理特性都具有相关性，数字化后表现为数字冗余。例如：某图片的画面中有一个规则物体,其表面颜色均匀,各部分的亮度、饱和度相近,把该图片作数字化处理,生成位图后,很大数量的相邻像素的数据是完全一样或十分接近的,完全一样的数据当然可以压缩,而十分接近的数据也可以压缩,因为恢复后人亦分辨不出它与原图有什么区别,这种压缩就是对空间冗余的压缩。再比如视觉冗余，视觉系统对于图像场的注意是非均匀和非线性的，视觉系统不是对图像的任何变化都能感知，因此对图像进行压缩后人眼也并不会非常敏锐地察觉画面内容有所删减。 所谓的图像压缩编码技术就是对要处理的图像数据按一定的规则进行变换和组合, 从而达到以尽可能少的数据流(代码)来表示尽可能多的数据信息。在众多的图像压缩编码标准中，JPEG(Joint Photographic Experts Group)格式是一种称为联合图像专家组的图像压缩格式，它适用于不同类型、不同分辨率的彩色和黑白静止图像。 而在JPEG图像压缩算法中，有一种是以离散余弦变换(DCT，Discrete Cosine Transform)为基础的有损压缩算法，是为本论文的主要研究对象。 DCT变换利用傅立叶变换的性质。采用图像边界褶翻将像变换为偶函数形式，然后对图像进行二维傅立叶变换，变换后仅包含余弦项，所以称之为离散余弦变换。 DCT编码属于正交变换编码方式，用于去除图像数据的空间冗余。变换编码就是将图像光强矩阵(时域信号)变换到系数空间(频域信号)上进行处理的方法。在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是在某些特定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目的。图像经DCT变换以后，DCT系数之间的相关性就会变小。而且大部分能量集中在少数的系数上，因此，DCT变换在图像压缩中非常有用，是有损图像压缩国际标准JPEG的核心。从原理上讲可以对整幅图像进行DCT变换，但由于图像各部位上细节的丰富程度不同，这种整体处理的方式效果不好。为此，发送者首先将输入图像分解为8*8或16*16块，然后再对每个图像块进行二维DCT变换，接着再对DCT系数进行量化、编码和传输；接收者

论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用

滨江学院 《计算机图像处理》课程设计报告 题目论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用专业12计算机科学与技术 学生姓名 学号 二Ｏ一五年六月十日

目录 1课程设计目的 (2) 2课程设计要求 (2) 3 正交变换的概述 (2) 3.1 信号的正交分解 (2) 3.2 正交变换的定义 (3) 3.3 正交变换的分类 (4) 3.4 正交变换的标准基 (4) 3.4.1 一维DFT的标准基 (4) 3.4.2 二维DFT (6) 3.4.3 正交变换的标准基图像 (7) 3.5 正交变换在图像处理中的应用 (8) 6 总结 (9) 7 参考文献 (9)

1课程设计目的 (1) 理解正交变换的基本概念及分类。 (2) 了解正交变换在图像处理中的应用 2课程设计要求 （1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。 （2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。 （3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。 （4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。 3 正交变换的概述 3.1 信号的正交分解 完备的内积空间称为希尔伯特空间。折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ?,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即 X=∑=N n n n a 1φ （式3-1） 式（3-1）中a 1 , a 2 , ?, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。假设φ1 ,φ2 , ?,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。系数a 1 , a 2 , ?, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。

非正交多址技术

5G:非正交多址接入（NOMA）与串行干扰删除（SIC） 在频谱资源紧缺的今天，作为一项潜在的5G关键技术，能很好地提高频谱效率的非正交多址接入（NOMA）越来越受到人们的关注。NOMA的基本思想是在发送端采用非正交传输，主动引入干扰信息，在接收端通过串行干扰删除（SIC）实现正确解调。虽然采用SIC接收机会提高设计接收机的复杂度，但是可以很好地提高频谱效率，NOMA的本质即为通过提高接收机的复杂度来换取良好的频谱效率。 作为一项多用户检测技术，SIC早在第三代移动通信技术（CDMA）中被采用。SIC在性能上与传统检测器相比有较大提高，而且在硬件上改动不大，从而易于实现。串行干扰删除（SIC）的基本原理是逐步减去最大信号功率用户的干扰，SIC 检测器在接收信号中对多个用户逐个进行数据判决，判决出一个用户就同时减去该用户信号造成的多址干扰（MAI），按照信号功率大小的顺序来进行操作，功率较大信号先进行操作。这样一直进行循环操作，直至消除所有的多址干扰为止。 SIC 检测器的每一级只检测一个信号，因此K 个用户就需要K 级判决。各用户的操作顺序是根据其功率值排列进行的，功率越大的信号越先处理，因为最强的用户越容易捕获。每级输出的是功率最大用户的数据判决和去除该用户造成的MAI 以后的接收信号，这样可以将多址干扰降到最低，并且信号越弱获益越大，大大增加了检测的可靠性。多级结构将上一级的输出信号作为下一级的输入信号，重复“检测、估计、检测……”的循环操作，逐步消除接收信号中的多址干扰。SIC检测器的结构框图如图1所示。 图1 例如，在一个由3个用户共享的子信道上，叠加后的信号为 x=x(1)+x(2)+x(3) 其中，x(i)(i=1,2,3)分别代表3个用户信号，其中，信号功率x(1)

用正交变换化二次型成标准形

§6用配方法化二次成标准形 用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换法,那么还有多种方法对应有多个可逆的线型变幻把二次型化成标准形.这里只介绍拉格朗日配方法.下面举例来说明这种方法 例15 化二次型 3 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 1 62252x x x x x x x x x f +++++= 成标准形,并求所用的变换矩阵 解 由于 f 中含变量 1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得 3 2 2 3 2 2 3 1 2 1 21 65222x x x x x x x x x f +++++= 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 1 6522)(x x x x x x x x x x x +++---++= 23 3 2 2 2 2 3 2 1 44)(x x x x x x x +++++= 上式右端除第一项外已不再含.1x 继续配方，可得 2 3 2 2 3 2 1 ) 2()(x x x x x f ++++= 令 ?????=+=++=,,2, 333223211x y x x y x x x y 即?????=-=+-=, , 2, 33 3223211y x y y x y y y x 就把化成标准形(规范形)22 21 y y f +=，所用变换矩阵为 ??? ? ? ?????--=10 210111 C ，). 01(≠=C 例 16 化二次型 3 2 3 1 2 1 622x x x x x x f -+=

成规范形，并求所用的变换矩阵. 解 在 f 中不含平方项。由于含有乘积项，故令 ? ?? ??=-=+=, , ,33212211y x y y x y y x 代入可得 .32312 22 18422y y y y y y f +--= 在配方，得 .6)2(2)(22 32 322 31y y y y y f +---= 令?? ? ? ???=-=-=,6),2(2),(233322311y z y y z y y z 即?? ? ? ? ???? =+=+=, 61, 6 221,61213332311z y z z y z z y 就把 f 化成规范形 , 33 22 2 1 z z z f +-= 所用变换矩阵为 ,61 0612121632121 610 6221061021100011011???? ???? ??? ??? ???--=??????? ? ? ?????? ??-=C

浅谈非正交多址技术

浅谈非正交多址技术(NOMA) 摘要：在频谱资源紧缺的今天，作为一项潜在的5G关键技术，能很好地提高频谱效率的非正交多址接入（NOMA）越来越受到人们的关注。本文将先简述非正交多址技术的技术原理与特点，与3G，4G时代的技术性能对比以及与面向5G的其他多址接入技术作对比，来分析非正交多址技术（NOMA）的性能优势。 关键字：非正交多址技术，5G。 1非正交多址技术(NOMA)的基本原理 NOMA的基本思想是在发送端采用非正交传输，主动引入干扰信息，在接收端通过串行干扰删除（SIC）实现正确解调。虽然采用SIC接收机会提高设计接收机的复杂度，但是可以很好地提高频谱效率，NOMA的本质即为通过提高接收机的复杂度来换取良好的频谱效率.下面我们做一个简单的推导来简述原理。 假设UE1位于小区中心，信道条件较好；UE2位于小区边缘，信道条件较差。我们根据UE的信道条件来给UE分配不同的功率，信道条件差的分配更多功率，即UE2分配的功率比UE1多。 发射端 假设基站发送给UE1的符号为 x1，发送给UE2的数据为 x2，功率分配因子为 a。则基站发送的信号为 s=sqrt(a) x1 + sqrt(1-a) x2 因为UE2位于小区边缘，信道条件较差，所以我们给UE2分配较多的功率，即0 < a < 0.5。 接收端 UE2收到的信号为 y2=h2 s + n2 = h2( sqrt(a) x1 + sqrt(1-a) x2 ) + n2 因为UE2的信号x2分配的功率较多，所以UE2可以直接把UE1的信号x1当作噪声，直接解调解码UE2的信号即可。 UE1收到的信号为 y1=h1 s + n1 = h1( sqrt(a) x1 + sqrt(1-a) x2 ) + n1 因为UE1的信号 x1 分配较少的功率，所以UE1不能直接调节解码UE1自己的数据。相

(完整版)NOMA技术

为了满足飞速增长的移动业务需求，人们已经开始在寻找既能满足用户体验需求又能提高频谱效率的新的移动通信技术。在这种背景下，人们提出了非正交多址技术（NOMA）。非正交多址技术（NOMA）的基本思想是在发送端采用非正交发送，主动引入干扰信息，在接收端通过串行干扰删除（SIC）接收机实现正确解调。虽然，采用SIC技术的接收机复杂度有一定的提高，但是可以很好地提高频谱效率。用提高接收机的复杂度来换取频谱效率，这就是NOMA技术的本质。NOMA的子信道传输依然采用正交频分复用（OFDM）技术，子信道之间是正交的，互不干扰，但是一个子信道上不再只分配给一个用户，而是多个用户共享。同一子信道上不同用户之间是非正交传输，这样就会产生用户间干扰问题，这也就是在接收端要采用SIC技术进行多用户检测的目的。在发送端，对同一子信道上的不同用户采用功率复用技术进行发送，不同的用户的信号功率按照相关的算法进行分配，这样到达接收端每个用户的信号功率都不一样。SIC接收机再根据不同户用信号功率大小按照一定的顺序进行干扰消除，实现正确解调，同时也达到了区分用户的目的，如图1所示。 总的来说，NOMA主要有3个技术特点：1、接收端采用串行干扰删除（SIC）技术。NOMA在接收端采用SIC技术来消除干扰，可以很好地提高接收机的性能。串行干扰消除技术的基本思想是采用逐级消除干扰策略，在接收信号中对用户逐个进行判决，进行幅度恢复后，将该用户信号产生的多址干扰从接收信号中减去，并对剩下的用户再次进行判决，如此循环操作，直至消除所有的多址干扰。与正交传输相比，采用SIC技术的NOMA的接收机比较复杂，而NOMA技术的关键就是能否设计出复杂的SIC接收机。随着未来几年芯片处理能力的提升，相信这

图像处理中正交变换方法对比

目录 1课程设计目的 (1) 2课程设计要求 (1) 3 正交变换的概述 (1) 3.1 信号的正交分解 (1) 3.2 正交变换的定义 (2) 3.3 正交变换的分类 (3) 3.4 正交变换的标准基 (3) 3.4.1 一维DFT的标准基 (3) 3.4.2 二维DFT (5) 3.4.3 正交变换的标准基图像 (6) 3.5 正交变换在图像处理中的应用 (7) 4 傅里叶变换 (8) 4.1 傅里叶变换的定义及基本概念 (9) 4.2 傅里叶变换代码 (13) 4.3 傅里叶变换与逆变换结果 (14) 5 离散余弦变换 (14) 5.1 离散余弦变换的定义 (14) 5.2 离散余弦变换代码 (17) 5.3 离散余弦变换与逆变换结果 (17) 6 小波变换 (18) 6.1概述 (18) 6.2 小波变换的基本理论 (18) 6.3 小波变换代码 (20) 6.4 小波变换结果 (21) 7 结论 (21) 8 参考文献 (22)

图像处理中正交变换方法对比 1课程设计目的 (1) 理解正交变换的基本概念及分类。 (2) 掌握傅立叶变换及逆变换的基本原理方法。 (3) 掌握离散余弦变换的基本原理方法。 (4) 掌握小波变换的基本原理及方法。 (5) 学会利用matlab 软件进行数字图像处理与分析 2课程设计要求 （1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。 （2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。 （3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。 （4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。 3 正交变换的概述 3.1 信号的正交分解 完备的内积空间称为希尔伯特空间。折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ?,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即 X=∑=N n n n a 1φ （式3-1） 式（3-1）中a 1 , a 2 , ?, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。假设φ1 ,φ2 , ?,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。系数a 1 , a 2 , ?, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。

稀疏码多址技术的码本设计

稀疏编码多址接入技术的码本设计 【摘要】稀疏码多址接入（Sparse Code Multiple Access，SCMA）是第五代移动通信技术（Fifth Generation，5G）中空中接口所使用的多址技术备选方案之一。SCMA可实现用户信号空间的非正交叠加和解码，从而增大系统可负载用户数和系统吞吐量。其中码本设计的好坏，直接决定了可获得的系统性能增益，同时也决定了接收机设计的复杂程度。本文首先简述SCMA系统模型，分析其涉及核心，着重介绍了SCMA中关键的码本设计的思想。SCMA 的码本设计主要分为映射矩阵设计、原型星座点设计、用户星座操作设计三个主要步骤。【关键词】稀疏码多址接入技术，系统模型，码本设计 1 引言 当前，全球第四代移动通信系统通信（Fourth Generation，4G）建设部署方兴未艾，5G （Fifth Generation，5G）研究开发已在全球开启大幕。欧盟宣布成立METIS，投资2700万欧元用于5G技术应用研究。METIS由29个成员组成，其中包括爱立信、华为、法国电信等主要设备商和运营商，欧洲众多的学术机构以及宝马集团。关于5G技术的研究工作早已拉开序幕，现阶段也取得了一些实质性的突破，并在发展特点和技术指标上达成一定共识，但5G的实际标准仍未确定，仍在研究之中。 由于5G无线网络的空中接口（Air Interface，AI）有海量链接、超低时延、更高频效的需求，因此空口技术的革新是至关重要的。多址接入是空中接口备选关键技术之一，它使得无线基站能够区分并同时服务多个终端用户。SCMA就是应5G需求设计产生的一种非正交多址技术。SCMA可兼容OFDMA的发送模式，算法核心（增益来源）是稀疏码码本设计（多维度QAM调制和稀疏扩频的联合优化）和低复杂度多用户检测接收机设计，突破4G现有正交设计天花板，它可以实现在同等资源数量条件下，同时服务更多用户，从而有效提升系统整体容量。由此可见，SCMA具有成为5G多址接入技术最终可行方案的潜力。 2SCMA相关概念与理论模型 SCMA实质上是多维QAM调制、非正交码域叠加和低复杂度多用户检测三个部分的结合，通过码域非正交扩展和叠加，实现同样资源数下，容纳更多业务用户，增加网络总体吞

正交变换的等价条件及其应用

目录 1引言 ................................................................................................................... １2正交变换的定义及其等价条件 ........................................................................ １ 2.1定义..................................................................................................................................１ 2.2等价条件..........................................................................................................................２3正交变换的应用................................................................................................ ４ 3.1化二次型为标准形..........................................................................................................４ 3.2解不变子空间相关问题..................................................................................................８ 3.3求解矩阵问题..................................................................................................................８ 3.4求解欧氏空间中其它相关问题......................................................................................８ 3.5在积分中的应用.......................................................................................................... １１4结束语 ............................................................................................................ １２参考文献 ........................................................................................................... １３致谢语 ............................................................................................................... １４

正交变换的应用

正交变换的应用 刘铮 摘要：正交变换对于研究数学的内部结构和实际应用都很重要，我们在学习过程中许多方面都要用到正交变换. 本文系统的论述了正交变换在重积分、第一型曲面积分、多元函数Taylor公式这三种情况中的应用. 关键词：正交变换；曲面积分；多元函数Taylor公式 近代数学及其应用对科学技术的发展有着重要的作用,它需要对一些分析问题做出数学解答,而这些问题通常只有在代数化后才能解决,因此代数方法的意义也越来越引起人们的重视.某些问题在开始应用代数方法以后,也变得明显和易于理解,问题也就迎刃而解.正交变换方法就是在近代数学及其应用方面经常用到的一种方法. 正交变换是代数学的基本内容,在欧氏空间的线性变换中,正交变换是一个很重要的线性变换.它是保持点之间的距离不变的变换.欧式空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于V ξ,,都有 ?η ∈ ()()η ()() ξ σ σ, η ξ ,=. 本文通过不断的学习思考,结合许多学者对正交变换的研究成果,对进行正交变换的各种应用进行全面的探讨,更深层的理解,较全面的总结了正交变换在数学各方面的应用. 1 正交变换的定义及性质]1[ 正交变换就是保持点之间的距离不变的变换.在一般欧式空间中,我们有：定义1欧式空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不ξ,,都有 变,即对于V ∈ ?η ()()η ()() ξ σ, σ η ξ ,=. 根据正交变换的定义,它具有如下性质:设σ是欧式空间V的一个变换,则下列条件是等价的: ①σ是V的正交变换; ②σ保持向量的内积不变; ③σ保持向量的长度和夹角不变;

图像的正交变换matlab

《数字图像处理》课程实验报告实验名1：图像的正交变换实验 院系：自动化测试与控制系 班级：1201132 姓名：李丹阳 学号：1120110113 哈尔滨工业大学 电气工程及自动化学院 光电信息工程 2015年12月13日

一、实验原理 二、实验内容 三、实验结果与分析 1、傅立叶变换 A)绘制一个二值图像矩阵,并将其傅立叶函数可视化。 （傅里叶变换A)的实验结果 B)利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。读入图像‘cameraman.tif’， 抽取其中的字母‘a’。

（傅里叶变换B ）的实验结果 离散余弦变换(DCT) 使用dct2对图像‘linyichen.jpg ’进行DCT 变换。-5 05 （离散余弦变换A ）的实验结果 将上述DCT 变换结果中绝对值小于10的系数舍弃，使用idct2重构图像并与原图像比较。 离散余弦变换

附主要程序代码： f=zeros(30,30); f(5:24,13:17)=1; imshow(f,'notruesize') F=fft2(f); F2=log(abs(F)); figure,imshow(F2,[-15],'notruesize');colormap(jet); F=fft2(f,256,256); figure,imshow(log(abs(F)),[-15],'notruesize');colormap(jet); F2=fftshift(F); figure,imshow(log(abs(F2)),[-15],'notruesize');colormap(jet); B)利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。读入图像‘cameraman.tif’， 抽取其中的字母‘a’。 bw=imread('cameraman.tif'); a=bw(59:71,81:91); imshow(bw); figure,imshow(a); C=real(ifft2(fft2(bw).*fft2(rot90(a,2),256,256)));%求相关性 figure,imshow(C,[]); thresh=max(C(:)); figure,imshow(C>thresh-10) figure,imshow(C>thresh-15) 1.离散余弦变换(DCT) A)使用dct2对图像‘linyichen.jpg’进行DCT变换。 RGB=imread('linyichen.jpg'); imshow(RGB) I=rgb2gray(RGB);%转换为灰度图像 figure,imshow(I) J=dct2(I); figure,imshow(log(abs(J)),[]),colormap(jet(64));colorbar; B)将上述DCT变换结果中绝对值小于10的系数舍弃，使用idct2重构图像并与原 图像比较。 RGB=imread('linyichen.jpg'); I=rgb2gray(RGB);%转换为灰度图像 J=dct2(I); figure,imshow(I) K=idct2(J); figure,imshow(K,[0255]) J(abs(J)<10)=0;%舍弃系数 K2=idct2(J); figure,imshow(K2,[0255])

第七章 两种正交变换---沃尔什变换和离散余弦变换_01

第七章 两种正交变换 --- 沃尔什变换与离散余弦变换 信号作为信号空间的一个向量，可以用一组正交基来表示。任何正交而完备的函数族可以用作这样 的正交基。正弦、余弦函数各自都是正交函数。但它们都是不完备的。偶对称信号可以用余弦函数族表出；而奇对称信号只包含正弦分量。一般信号可以分解为偶对称和奇对称分量。所以，必须同时用余弦、正弦函数族才能完整地表示一般信号。复指数函数族通常被用作正交基来表示、分析信号的频谱，因为复指数函数既包含余弦分量，又包含正弦分量。换句话说，复指数函数族是正交的，完备的。它所张成的空间便是我们通常所说的频域。在实践中，除了付里叶变换大家族外，还有许多完备正交函数系可以代替复指数函数族来表示信号。在这领域，人们不断地进行探索。将无限维空间的时域信号用所选定的正交基来表示，这是一种正交变换。本章介绍付里叶变换之外的两种最常见的正交变换，即沃尔什变换和离散余弦变换，说明它们的特点和快速算法。 7.1 沃尔什变换 7.1.1 概述 基于复指数函数系（正弦-余弦函数系）的付里叶变换方法是目前信号与系统分析中的主要工具，其原因之一是这类信号易于获得，易于变换，便于检测，也容易理解。在电信技术发展史上，正弦-余弦信号以及付里叶变换方法首先得到广泛应用。但非正弦信号的研究与应用也一直受到重视。 20世纪60年代末至70年代初，数字技术与计算机科学迅速发展，利用开关元件产生和处理数字信号十分简便易行。大规模集成电路的迅猛发展提供了体积小、重量轻、可靠性很高的数字硬件。在这种背景下，人们对非正弦信号的研究和应用又再度重视起来。事实上，正弦-余弦函数系仅仅是完备正交函数系的一种。它作为变换核，在付里叶变换过程中要进行复数乘法、加法运算，其量化误差是累积的。因此，寻找其它更好的完备正交函数系一直是人们的追求。在这种探索中，应该记住 ● 1910年，匈牙利数学家哈尔（A.Haar ）提出哈尔函数，这是一组完备的正交函数。 ● 1922年，德国数学家拉德马赫（H.Rademacher ）提出一种只取两个数值的正交函数，称为拉 德马赫函数。它不是完备的正交函数系，但可以用来间接地表示沃尔什函数。 ● 1923年，美国数学家沃尔什（J.L.Walsh ）提出沃尔什函数（Walsh function ），这是一种完备的 正交函数系。 以上几种非正弦的正交函数各有不同特点，相互之间有着密切的联系。其中，沃尔什函数应用较多。 这种正交函数在搁置了近半个世纪后，到了20世纪70年代才得到广泛的应用，并有进一步的发展。 类似于人们熟知的付里叶变换，作为完备的正交函数系，沃尔什级数同样可以将给定的信号分解成若干个沃尔什函数，或者用有限个沃尔什函数去逼近一个信号。这种变换有如下显著特点： ● 它有类似于FFT 的快速算法。 ● 在快速沃尔什变换中，变换核只取+1和-1这两个值，故变换过程中只需要进行实数的加、减运 算，没有乘、除运算，从而使变换速度快，精度高，并且可以使用比较简单的专用硬件。 下面将介绍沃尔什函数的定义方法，说明沃尔什矩阵和快速沃尔什变换，举出实例说明沃尔什变换的应用。 7.1.2 定义 由于历史上的原因，有几种方法可以定义沃尔什函数。这里只介绍用符号函数定义的沃尔什函数表示方法，其中的表达式如下： ∏-=<≤=1 w 1)(0 )]2,sgn[cos(),(Wal p r r t t k t k π （7.1.1）