第12章概率基础知识
§12.1随机事件及其概率
1、把“必然”、“不可能”、“随机”填在所列事件后面的括号内
(1)导体通电时发热()
(2)在标准大气压下且温度低于时,冰融化()
(3)抛一枚硬币,正面朝上()
(4)在常温下,焊锡熔化()
(5)抛一石块,下落()
(6)李强射击一次,中靶()2、试验作业:
掷一枚硬币,观察出现正面的次数
附统计表:
_________试验统计表(1)各小组掷10此的结果
§11.2复数的几何意义
一、
选择题
1、下列命题中正确的是( )
A 、复平面中y 轴上的点与纯虚数一一对应
B 、复平面中复数z 与z 对应的点关于虚轴对称
C 、复平面中x 轴上的点与纯虚数一一对应
D 、实数的共轭复数一定是实数,虚数的共轭复数一定是虚数 2、复数a bi +(,a b R ∈)对应的点在实轴上的条件是( ) A 、0a =
B 、0b ≠
C 、0b =
D 、0ab =
3、若z 为虚数,则222,||,||z z z 三者之间的关系是( ) A 、互不相等
B 、222||||z z z ≠=
C 、222||||z z z =≠
D 、222||||z z z ==
4、复数22(232)()m m m m i --+-在复平面内对应的点为A ,当点A 在第二象限时,实数m 的取值范围是( ) A 、12m <<
B 、1m <或2m >
C 、1m >
D 、2m <
二、 填空题
1、复数12,2,12i i i +-+--在复平面上表示正方形的三个顶点,则正方形的第四个顶点对应的复数是________
2、复数1的模是_______辐角是_______
3、复数
12的三角形式是______________ 4、复数5(cos
sin )33i ππ
+的代数形式是______________
三、
解答题
1、在复平面内分别作出表示下列复数的点:
4,2,,13,32,32i i i i i +--+-+
2、已知1265,34z i z i =+=+,求12||z z +12,||z z -的值
3、已知复数22(6)(2)z m m m m i =+-++-在复平面内所对应的点在直线x -2y +4=0上,求实数m 的取值
§11.3棣莫弗定理与欧拉公式
一、
选择题
1sin 20)2(cos70sin70)i i ++=( )
A 、
B 、12
C 、
D 、12i
2、复数76
i e
π
-的代数形式是( )
A 、cos 20sin 20i +
B 、240
C 、720
D 、30
3、18(cos20sin 20)i +=( ) A 、—1 B 、1
C 、i
D 、i -
4、i i e
e θ
θ-等于( )
A 、1
B 、0
C 、—1
D 、2
二、
填空题
1、
sin 70)
___________2(cos10sin10)
i i +=+
2、复数—1的指数形式是________
3、2(cos15sin15)z i =+,则4
z =___________
4、
________________22
i i i i e e e e θθθθ
--+-== 三、
解答题
1、设1233552(cos sin ),3(cos sin )2244
z i z i ππππ=+=+,求12z z ,并且用代数形式表示
2、56
i z e
π=,求12
z ,并且写成代数形式
第11章 复数 单元测试
一、
填空题:
1、23i -+的虚部是________;它的共轭复数是_____________
2、已知(2)1644(,)x i yi x y R --=+∈,______,______x y ==
3、(43)(43)______i i +÷-=
4、2013_____i =
5、1i +的模是______,它的幅角主值为______
6、5i 的三角形式是_____________
7、1____i e π+=
二、 判断题
1、2(1)i +展开化简后不是纯虚数( )
2、34i --的模是5( )
3、5i -在复平面里对应的点在第三象限( )
4、22i +的辐角是45( )
5、3i 的指数形式是3
3i
e
π( )
三、 选择题
1、给出下列8个数:,0.239,,0,2,(15
i i i i i -+,其中复数的个数与虚数的个数之差是( ) A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
2、2i 的实部、虚部及共轭复数分别是( ) A 、0,2,2i -
B 、2,0,2i
C 、2,0,2i -
D 、0,2,2i
3、设复数z a bi =+在复平面内的对应点(,)Z a b 位于上半平面(包括实轴),则,a b 满足( ) A 、0a <,b 为任何实数
B 、a 为任何实数,0b ≥
C 、0a <,0b >
D 、0a >,0b <
4、一元二次方程2
(1)0mx m x m -++=有共轭复数根的条件是( )
A 、1m >或13m <-
B 、1m ≥或13m ≤-
C 、1
13
m -<< D 、1
13
m -
<<且0m ≠ 5、复数2
()a i +的辐角的主值为32
π,则实数a 的值为( )
A 、1
B 、—1
C 、±1
D 、0
四、 解答题
1、计算:
(1)(52)(13)(4)i i i --+-
(2)
23(46)1i
i i
++--
(3)10554(cos sin )(cos sin )6644
i i ππππ++
(4)2008
1)2
i -
2、在复数范围内求实系数一元二次方程2
40x x -+=
3、已知两数之和等于4,两数之积等于29,求这两个数
4、设复数111222,z x y i z x y i =+=+,在复平面内表示这两个复数的点分别为12,Z Z ,求12||z z -及
12,Z Z 间的距离
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定: 组合数性质: .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ,, ①;②;③;④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
— 典型例题一 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有3 9A 个; 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一 个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439=+=??+A A A A 个. 典型例题二 例2 三个女生和五个男生排成一排 — (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法 (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法 (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法 (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法 解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有6 6A 种不同排法.对于其中的每一种排法, 三个女生之间又都有33A 对种不同的排法,因此共有43203366=?A A 种不同的排法. (2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有5 5A 种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位 置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法,因此共有144003655=?A A 种不同的排法. (3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有25A 种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有6 6A 种排法,所以共有 144006625=?A A 种不同的排法. (4)解法1:因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则未位就不再受 条件限制了,这样可有7715A A ?种不同的排法;如果首位排女生,有13A 种排法,这时末位就 只能排男生,有15A 种排法,首末两端任意排定一种情况后,其余6位都有6 6A 种不同的排法, 这样可有661513A A A ??种不同排法.因此共有360006615137715=??+?A A A A A 种不同的排法.
排列组合习题精选 一、纯排列与组合问题: 1. 从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法? 2. 从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法? 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动,已知共有 90种不同的方案,那么男、女同学的人数是( ) A.男同学2人,女同学6人 B. 男同学3人,女同学5人 C.男同学5人,女同学3人 D. 男同学6人,女同学2人 4. 一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1),则客运车票增加了58 种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有() A.12个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 答案:1、 2 2 72 3 、选 B. 设男生n 2 1 3 2 2 9 9 n 8 n3 。、mn m C 362、A 人,则有C C A 904 A A58 选 C. 二、相邻问题: 1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列,若A 、B 必相邻,则有多少种不同排法? 2. 有8本不同的书,其中3本不同的科技书,2本不同的文艺书,3本不同的体育书,将这 些书竖排在书架上,则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数为() A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案:1. 2 4 3 2 5 2 4 3 2 5 AA 48(2)选BAAA1440 三、不相邻问题: 1. 要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻,有多少种不同排法? 1
例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数 例2三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法 (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法 (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法 (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术
共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法. 例 5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法 例7 7名同学排队照相. (1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法 (2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必
须在后排,有多少种不同的排法 (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法 (4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法 例8计算下列各题: (1) 2 15 A ; (2) 66 A ; (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ; 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队,限定a 要排在b 的前面(a 与b 可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法. 例10 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、
排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集, 所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分 类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (43.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。 解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法; (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。 (7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8).数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数; ③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。 ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。 4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2). “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3.分组问题: 均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。 混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。 4.分配问题: 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。
排列组合典型题解“十法” 一、特殊元素(位置)——“优先法” 把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于这类问题一般采取特殊元素(位置)优先安排的方法。 例1、6人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法? 解法1:(元素分析法): 解法2:(位置分析法): 例2、用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有() A.24 B.30 C.40 D.60 例3、在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有_____个. 例4、将4名教师分派到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分派方案共有种? 练习:(1)0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数? (2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的五位奇数? (3)五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案共有种。 二、相邻问题——“捆绑法” 对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”:可先将相邻的元素“捆绑”在一起,看作一个“大”的元(组),与其它元素排列,然后再对相邻的元素(组)内部进行排列。 例5、7人站成一排照相,要求甲,乙,丙三人相邻,分别有多少种站法? 例6、5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法? 练习:求不同的排法种数: (1)6男2女排成一排,2女相邻; (2)4男4女排成一排,同性者相邻; 三、不相邻问题——“插空法” 元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例7、7人排成一排,甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法? 引申: (1)三个男生,四个女生排成一排,男生、女生各站一起,有几种不同方法? (2)三个男生,四个女生排成一排,男生之间、女生之间不相邻,有几种不同排法?
高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
排列组合典型题大全 一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看 作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住 店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数 【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法 (2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果 (3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法 【解析】:(1)43(2)34(3)34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法 【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案, 第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、38 B、83 C、38A D、38C 【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠 军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有38种 不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中,有多少种投法 2、4个人争夺3项冠军,要求冠军不能并列,每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还,问最后有多少种情况 3、4个同学参加3项不同的比赛 (1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果 (2)每项竞赛只许一名同学参加,有多少种不同的结果 4、5名学生报名参加4项比赛,每人限报1项,报名方法的种数有多少又他们争夺这4项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种 6、(全国II 文)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种(B) 20种(C) 25种 (D) 32种 7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组,每个兴趣小组只能有一个人来负责,负责人可以兼职,则不同的负责方法有多少种 8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,不同的分法有多少种 思考:4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,每班至少一个人的不同的分法有多少种 二.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,, A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有 【解析】:把,A B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,4 424 A 种
排列组合 1.(2002北京)5本不同的书全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数 为( ) (A )480 种 (B )240种 (C )120 种 (D )96种 解:首先把5本书转化成4本书,然后分给4个人.第一步:从5本书中任意取出2本 捆绑成一本书,有25C 种方法;第二步:再把4本书分给4个学生,有44A 种方法.由乘法原 理,共有?25 C 24044=A 种方法,故选B . 2.【2004福建理】某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排 到该年级 的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为( ) (A )2426C A (B ) 24262 1C A (C )2426A A (D )262A 答案:B 3.(2004桂、蒙、琼、陕、藏)将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名 教师,则不同的分配方案共有( ) A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 答案:A 4.(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)将5名实习教师分配到高一年级的3 个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 A .30种 B .90种 C .180种 D .270种 答案:B 5. (06年)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其 中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 答案:600 6.(重庆卷16)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要 在如题(16)图所示的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡,要求同 一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共 有 种(用数字作答). 答案:216
一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所 有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类, 又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。 解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法; (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。 (7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8).数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数; ③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。 ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。 4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2). “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3.分组问题: 均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。 混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。 4.分配问题: 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。 随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5.隔板法: 不可分辨的球即相同元素分组问题 例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示). 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A 22种;中间4个为不同的商业广告有A 44种,从而应当填 A 22·A 44 =48. 从而应填48.
排列组合典型题大全 一. 可重复的排列求幕法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重 复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,贝y通过 “住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确 判断哪个底数,哪个是指数 【例1】(1 )有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同 的报名方法? (2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】:(1) 34(2) 43(3) 43 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法? 【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案, 第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有76 种不同方案? 【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、83 B 、38 C 、A s' D、C83 【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有83种不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中,有多少种投法? 2、4个人争夺3项冠军,要求冠军不能并列,每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还,问最后有多少种情况? 3、4个同学参加3项不同的比赛 (1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果? (2)每项竞赛只许一名同学参加,有多少种不同的结果? 4、5名学生报名参加4项比赛,每人限报1项,报名方法的种数有多少?又他们争夺这4项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少? 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种?
排列组合典型例题大全 【例1】5男4女站成一排,分别指出满足下列条件的排法种数 (1) 甲站正中间的排法有种,甲不站在正中间的排法有种. (2) 甲、乙相邻的排法有种,甲乙丙三人在一起的排法有种. (3) 甲站在乙前的排法有种,甲站在乙前,乙站在丙前(不要求一定 相邻)的排法有种,丙在甲乙之间(不要求一定相邻)的排法有种. (4) 甲乙不站两头的排法有种,甲不站排头,乙不站排尾的排法种有种. (5) 5名男生站在一起,4名女生站在一起的排法有种. (6) 女生互不相邻的排法有种,男女相间的排法有种. (7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有种。 (8) 甲乙之间有且只有4人的排法有种. 【例2】从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛 (1)如果4人中男生和女生各选2人,有种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有种选法; (4)如果4人中必须既有男生又有女生,有种选法 【例3】男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人,从中选5人外出比赛,分别求出下列情形有多少种选派方法?(以数字作答) (1)男3名,女2名; (2)队长至少有1人参加; (3)至少1名女运动员; (4)既要有队长,又要有女运动员. 【例4】10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求各有多少种情况出现如下结果. (1)4只鞋子没有成双的; (2)4只鞋子恰成两双; (3)4只鞋子中有2只成双,另2只不成双. 【例5】某出版社的11名工人中,有5人只会排版,4人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷.现从这11人中选出4人排版、4人印刷,有几种不同的选法? 【例6】有6本不同的书. (1)分给甲、乙、丙三人,如果每人得2本有多少种方法? (2)分给甲、乙、丙三人,如果甲得1本,乙得2本,丙得3本,有多少种分法? (3)分给甲、乙、丙三人,如果1人得1本,1人得2本,一人得3本,有多少种分法? (4)分成三堆,其中一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种分法? (5)平均分成三堆,有多少种分法? (6)分成四堆,其中2堆各1本,2堆各2本,有多少种分法? (7)分给4人,其中2人各1本,2人各2本,有多少种分法? 【例7】有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒子内. (1)共有多少种放法? (2)四个盒都不空的放法有多少种?
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,则不同的排法有() A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是() A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(,A B可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有() A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是() A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有() A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? (2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为() A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 (2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种? (3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种? 10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()() n A B n A n B n A B ?=+-? 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案? 11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。 例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种? 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
排列组合 一.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 二.相离问题插空法:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 元素相同问题隔板策略 例3 某校召开学生会议,要将10个学生代表名额,分配到某年级的6个班中,若每班至少1个名额,又有多少种不同分法? 例4把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不小于其编号数,则共有 种不同的放法。 将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为11m n C --
三.特殊元素或特殊位置优限法:优先解决带限制条件的元素或位置,或说“先解决特殊元素或特殊位置” 例5.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种? 四.分组分配: 1基本的分组的问题 例4 六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每组两本. (2)一组一本,一组二本,一组三本. (3)一组四本,另外两组各一本.
2.基本的分配的问题 (1)定向分配问题 例5 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)甲两本、乙两本、丙两本. (2)甲一本、乙两本、丙三本. (3)甲四本、乙一本、丙一本. (2)不定向分配问题 例6六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每人两本. (2) 一人一本、一人两本、一人三本. (3) 一人四本、一人一本、一人一本. 例7 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法? 3.分配问题的变形问题 例8 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少种?
典型例题一 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有3 9A 个; 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一 个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439=+=??+A A A A 个. 典型例题二 例2 三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有6 6A 种不同排法.对于其中的每一种排法, 三个女生之间又都有33A 对种不同的排法,因此共有43203366=?A A 种不同的排法. (2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有5 5A 种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位 置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法,因此共有144003655=?A A 种不同的排法. (3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有25A 种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有6 6A 种排法,所以共有 144006625=?A A 种不同的排法. (4)解法1:因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则未位就不再受 条件限制了,这样可有7715A A ?种不同的排法;如果首位排女生,有13A 种排法,这时末位就 只能排男生,有15A 种排法,首末两端任意排定一种情况后,其余6位都有6 6A 种不同的排法, 这样可有661513A A A ??种不同排法.因此共有360006615137715=??+?A A A A A 种不同的排法. 解法2:3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法,从中扣去两端都是女生排法6623A A ?
排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有3 9A 个; 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一 个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439=+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有3 9A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得:)(283914A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439=+=-?+A A A A 个. 解法3:千位数上从1、3、5、7、9中任选一个,个位数上从0、2、4、6、8中任选一个,百位,十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 281515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个,个位数上从余下的四个偶数中任意选一个(包括0在内),百位,十位从余下的八个数字中任意选两个作排列,有 281414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296281414281515=??+??A A A A A A 个. 解法4:将没有重复数字的四位数字划分为两类:四位奇数和四位偶数. 没有重复数字的四位数有39410A A -个. 其中四位奇数有)(283915A A A -个