高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第2课时函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两数”改为“存在两数”.( × )
(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数.( √ ) (3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( × ) (4)函数y ＝1
x
的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )
(5)所有的单调函数都有最值.( × )
(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1) 1.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A.y ＝1 x －x B.y ＝x 2 －x C.y ＝ln x －x D.y ＝e x －x 答案 A 解析 对于A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1 x －x 在(0，＋∞)内 是减函数；B ，C ，D 选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调. 故选A. 2.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A.－2 B.2 C.－6 D.6 答案 C 解析 由图像易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a 2＝3，∴a ＝－6. 3.若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2 ＋bx 在(0，＋∞)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 答案 B 解析 由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，知a <0； 由y ＝－b x 在(0，＋∞)上是减函数，知b <0. ∴y ＝ax 2 ＋bx 的对称轴x ＝－b 2a <0， 又∵y ＝ax 2＋bx 的开口向下， ∴y ＝ax 2 ＋bx 在(0，＋∞)上是减函数.故选B. 4.(教材改编)已知函数f (x )＝2 x －1 ，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________. 答案 2 2 5 解析 可判断函数f (x )＝ 2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25 . 5.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2 －2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________. 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞) 解析 函数f (x )＝x 2 －2ax －3的图像开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示. 由图像可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞). 题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性 例1 (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝ln(x ＋2) B.y ＝－x ＋1 C.y ＝(12 )x D.y ＝x ＋1 x (2)函数f (x )＝log 12 (x 2 －4)的单调递增区间是( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(2，＋∞) D.(－∞，－2) (3)y ＝－x 2 ＋2|x |＋3的单调增区间为____________________________________. 答案 (1)A (2)D (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)因为y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， 所以在区间(0，＋∞)上为增函数. (2)因为y ＝log 12 t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2 －4的单调递减区 间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2). (3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2 ＋2x ＋3＝－(x －1)2 ＋4；当x <0时，y ＝－x 2 －2x ＋3＝－(x ＋1)2 ＋4， 二次函数的图像如图. 由图像可知，函数y ＝－x 2 ＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性 例2 试讨论函数f (x )＝ax x －1 (a ≠0)在(－1,1)上的单调性. 解 设－1 f (x )＝a ? ????x －1＋1x －1＝a ? ?? ? ?1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ? ? ??? 1＋1x 1－1－a ? ? ? ?? 1＋1x 2－1 ＝ a x 2－x 1 x 1－1 x 2－1 ， 由于－1 所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1) 综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增. 引申探究 若本题中的函数变为f (x )＝ax x 2 －1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？ 解 设－1 ax 1x 2 1－1－ax 2 x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 2 1＋ax 2 x 21－1 x 22－1 ＝a x 2－x 1 x 1x 2＋1 x 21－1 x 2 2－1 . ∵－1 ∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 2 1－1)(x 2 2－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数. 思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接. 已知a >0，函数f (x )＝x ＋a x (x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞) 上是增函数. 证明 方法一 任意取x 1>x 2>0，则 f (x 1)－f (x 2)＝? ????x 1＋a x 1－? ????x 2＋a x 2 ＝(x 1－x 2)＋? ?? ??a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1 x 1x 2 ＝(x 1－x 2)? ? ? ??1－ a x 1x 2. 当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ a x 1x 2 <0， 有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1) 此时，函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(0，a ]上为减函数； 当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ a x 1x 2 >0， 有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 此时，函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在[a ，＋∞)上为增函数； 综上可知，函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. 方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－a x 2>0， 解得x >a 或x <－a (舍).令f ′(x )<0，则1－a x 2<0，解得－a 故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. 题型二 函数的最值 例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]. (1)当a ＝1 2 时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝7 2. (2)f (x )＝x ＋a x ＋2，x ∈[1，＋∞). ①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数. 最小值为f (1)＝a ＋3. 要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－30，a >－3，所以0 综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]. 思维升华 求函数最值的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. (1)函数f (x )＝????? 1x ，x ≥1， －x 2＋2，x <1 的最大值为________. (2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在??????12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 答案 (1)2 (2)2 5 解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1 x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时， 易知函数f (x )＝－x 2 ＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2. (2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在??????12，2上单调递增， 所以????? f ? ?? ??12＝12， f 2 ＝2，即????? 1a －2＝12，1a －12＝2， 解得a ＝2 5 . 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小 例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A.f (x 1)<0，f (x 2)<0 B.f (x 1)<0，f (x 2)>0 C.f (x 1)>0，f (x 2)<0 D.f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 B 解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋ 1 1－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1) 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 命题点2 解不等式 例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ? ?? ????????1x A.(－1,1) B.(0,1) C.(－1,0)∪(0,1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C 解析 由f (x )为R 上的减函数且f ? ?? ????????1x 得????? ??????1x >1， x ≠0， 即????? |x |<1， x ≠0. ∴－1 命题点3 求参数范围 例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2 ＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.a >－1 4 B.a ≥－1 4 C.－1 4 ≤a <0 D.－1 4 ≤a ≤0 (2)已知f (x )＝???? ? 2－a x ＋1，x <1，a x ，x ≥1， 满足对任意x 1≠x 2，都有 f x 1 －f x 2 x 1－x 2 >0成立，那么a 的取值 范围是________. 答案 (1)D (2)[3 2 ，2) 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1 a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－1 4≤a <0. 综合上述得－1 4 ≤a ≤0. (2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴???? ? 2－a >0，a >1， 2－a ×1＋1≤a ， 解得3 2 ≤a <2， ∴a 的取值范围是[3 2 ，2). 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. (1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋ f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A.(8，＋∞) B.(8,9] C.[8,9] D.(0,8) (2)若f (x )＝－x 2 ＋2ax 与g (x )＝a x ＋1 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A.(－1,0)∪(0,1) B.(－1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1] 答案 (1)B (2)D 解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有???? ? x >0，x －8>0， x x －8 ≤9， 解得8 (2)由f (x )＝－x 2 ＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]?[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝ 1 x ＋1 在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝a x ＋1 在[1,2]上是减函数可得a >0， 故0 1.确定抽象函数单调性解函数不等式 典例(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2. 思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M) (1)证明设x1，x2∈R，且x1 ∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[2分] f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分] ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1) ∴f(x)在R上为增函数.[6分] (2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1， ∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，[8分] f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4， ∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分] ∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1?－3 即a∈(－3,2).[12分] 解函数不等式问题的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M) 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范. 温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M) [方法与技巧] 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利用单调函数的和差确定单调性. 3.求函数最值的常用求法：单调性法、图像法、换元法. [失误与防范] 1.分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点. 2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”. A 组 专项基础训练 (时间：35分钟) 1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A.y ＝1x B.y ＝e －x C.y ＝－x 2 ＋1 D.y ＝lg|x | 答案 C 解析 y ＝1x 是奇函数，选项A 错；y ＝e －x 是指数函数，非奇非偶，选项B 错；y ＝lg|x |是偶函数，但在(0， ＋∞)上单调递增，选项D 错；只有选项C 是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减. 2.已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1] B.[1,2] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞) 答案 C 解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1. 3.已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ? ?? ??－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c 答案 B 解析 ∵函数图像关于x ＝1对称，∴a ＝f ? ????－12＝f ? ????52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2) ??52 －2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A.－3 B.－2 C.－1 D.1 答案 B 解析 ∵f (x )＝(x －1)2 ＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f (3)＝1，即22 ＋m －1＝1，m ＝－2. 5.已知函数f (x )＝2ax 2 ＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0，34) B.(0，34] C.[0，34) D.[0，34 ] 答案 D 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数， 当a ≠0时，由? ??? ? a >0，－4 a －3 4a ≥3，得0 4 ， 综上a 的取值范围是0≤a ≤3 4 . 6.函数f (x )＝????? log 12x ，x ≥1， 2x ，x <1 的值域为________. 答案 (－∞，2) 解析 当x ≥1时，f (x )＝log 12 x 是单调递减的， 此时，函数的值域为(－∞，0]； 当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的， 此时，函数的值域为(0,2). 综上，f (x )的值域是(－∞，2). 7.已知函数f (x )＝????? x 2＋12a －2，x ≤1， a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为 ________. 答案 (1,2] 解析 由题意，得12＋12 a －2≤0，则a ≤2，又a x －a 是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1 8.函数f (x )＝? ?? ??13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________. 答案 3 解析 由于y ＝? ?? ??13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x ) 在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3. 9.已知f (x )＝ x x －a (x ≠a ). (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围. (1)证明 任设x 1 x 2＋2 ＝ 2 x 1－x 2 x 1＋2 x 2＋2 . ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1) ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增. (2)解 任设1 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2 x 2－a ＝ a x 2－x 1 x 1－a x 2－a . ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0,1]. 10.设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1. (1)求f (1)，f (1 9 )的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围. 解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0. 而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2， 且f (9)＋f ? ?? ??19＝f (1)＝0， 故f ? ?? ??19＝2. (2)设0 >1，f ? ?? ??x 2x 1<0， 由f (xy )＝f (x )＋f (y )得 f (x 2)＝f ? ????x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ? ?? ??x 2x 1 f [x (2－x )] ??19 ，其中0 ?? x 2－x >19，0 由此解得x 的取值范围是? ????1－22 3，1＋223. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟) 11.已知函数f (x )＝log a ? ????x 2 －ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1，2) C.(0,1)∪(1，2) D.(2，＋∞) 答案 B 解析 设g (x )＝x 2 －ax ＋12 ，因为g (x )的图像开口向上，有最小值.又因为f (x )在定义域内有最小值，所以 y ＝log a t 应单调递增，即a >1，且x 2－ax ＋12 >0恒成立，所以1 故选B. 12.函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1 x B.f (x )＝(x －1)2 C.f (x )＝e x D.f (x )＝ln(x ＋1) 答案 A 解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数. A 中，f (x )＝1 x 满足要求； B 中，f (x )＝(x －1)2 在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数； C 中，f (x )＝e x 是增函数； D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数. 13.已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2 －a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为______. 答案 (－3，－1)∪(3，＋∞) 解析 由已知可得???? ? a 2 －a >0，a ＋3>0， a 2－a >a ＋3， 解得－33. 所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞). 14.已知函数f (x )＝lg(x ＋a x －2)，其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域； (2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围. 解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x >0， 当a >1时，x 2 －2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}， －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数. 所以f (x )＝lg ? ?? ??x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数. 所以f (x )＝lg ? ?? ??x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立. 所以a >3x －x 2 ， 令h (x )＝3x －x 2， 而h (x )＝3x －x 2 ＝－? ????x －322＋94 在x ∈[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2. 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标： 1、知识与技能目标： 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识. 2、过程与方法目标： 习引入 则 =因为x 1x 2，， 当时； 当时 所以函数在区间上单调递减，在区 间 上单调递增 解法二：图像法 （2）“图象法” 探求新知形成概念 问题：如何确定函数f(x)=2x 3－6x 2＋7的单调区间？ 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么能否用导数来研究函数的单调性呢? 前面我们用定义和图像已经知道 二次函数的单调性及单调区间，下面我用几何画板来展示曲线上任何一点的导数的变化。切线的方程.rar 一般的，函数的单调性与其导函数的正负有如下的关系：让学生在短时间内尝试完成，结果发现用 “定义法”作差后判断正负很麻烦，而用“图象法”时，图象又很难画出. 教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验 证。由观察、猜想到归纳、总结， 课题：§1.3.1函数的单调性 教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？ ○2能否看出函数的最大、最小值？ ○3函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明． 《函数的单调性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与 高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f（x)=ax3+bx2+cｘ+d(ａ>0),则f(x)为R上增函数的充要条件是（） A.ｂ2-4aｃ>0 ?Ｂ．b>0，c＞０ C.b=0,c>0 ??D．ｂ2-３ac<０ [答案] D [解析］∵a>0，f(x）为增函数， ∴ｆ′（ｘ)＝3ax2＋2bx+c>0恒成立， ∴Δ＝(2ｂ）2－4×3a×ｃ=4b2-1２ａｃ<0,∴b2-3ａｃ＜0． 2．(20０9·广东文,8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A.（－∞,2) ?B．(0，3) Ｃ.(1,4)???Ｄ．(２，+∞) ［答案]Ｄ ［解析] 考查导数的简单应用. ｆ′(x）＝（x-３)′eｘ+（ｘ-3)(ｅx)′=(x-２)e x, 令ｆ′（x)>0,解得x＞2，故选D. 3.已知函数ｙ=f（ｘ)（x∈R）上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x 2）(ｘ0+１)2,则该函数的单调递减区间为( ) ０－ A.［－1,＋∞)???B．（-∞，2] Ｃ．(-∞,-１)和(1,2)??D.［2，+∞) [答案］ B [解析] 令k≤0得ｘ0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调 减区间为(-∞,2]. 4.已知函数ｙ=xf′(ｘ)的图象如图(１)所示(其中f′（x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(） [答案] Ｃ [解析]当０ 函数的最大（小）值教学设计 【课标解读】 1．知识目标：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．能力目标：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．培养学生自主学习的能力，以及勇于探索、严谨求学的科学态度。3．情感目标：利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性． 【教材分析】 《函数的最值》是高中数学必修一第一章第三节的内容。在此之前，学生已学习了利用定义证明函数的单调性，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是求函数值域，解决恒成立问题的基础。重点是利用函数单调性求函数最值，以及与二次函数有关的最值的求解及应用。难点是有关求最值时的分类讨论问题。 【学情分析】 在教学过程中，教师创设情景，揭示课题，质疑答辩，排难解惑，通过教师的启发点拨，学生的不断探索，逐步解决求函数的最值问题。整个教学过程使学生主动参与、积极思考、探索尝试；让学生体验到了学习数学的乐趣，培养学生自主学习的能力以及严谨的科学态度，养成勇于探索、乐于实践的学风。 【教学目标】 知识与技能： 1．通过生活中的例子帮助学生理解函数最值的定义及其几何意义。 2．学会应用函数的单调性求解函数的最值或值域。 过程与方法： 1．通过本节课的教学，渗透数形结合、分类讨论的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。 2．通过探究与活动，培养学生合作探究、自主学习的能力。 情感与态度： 1．通过本节课的教学，使学生能结合函数的单调性求函数的最值。 2．通过生活实例感受函数单调性对函数最值的影响，培养 学生的识图能力和分类讨论的能力，养成科学严谨的求学态度，使之成为一种习惯。 【教学过程】 （一）问题情境． 1.引入： 喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后 便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值。 2.课堂探究： 探究点1 函数的最大值： 观察下列两个函数图象： 思考1 高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点. 思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数 定义域内任意自变量x,f(x)与M 的大小关系如何?（学生回答） 【解答】 f(x)≤M （二）深入学习 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实 数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M; （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值 y 图2 函数的单调性教学设计 一．教学内容解析： 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性．3．教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证．二．教学目标设置 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法．2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 三．学生学情分析 1．教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．蒲城县尧山中学重点班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成． 2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结 如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: （一）知识与技能： 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义； 2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性； 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 （二）过程与方法： 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述； 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念； 3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 函数的单调性 课题2.3.1函数的单调性 授课类型新授课 课时安排1课时 教具多媒体、实物投影仪 教学目标 （1）了解单调函数、单调区间的概念；理解增函数、减函数的概念；掌握利用函数的单调性定义证明简单函数的单调性的基本方法 （2）能用自已的语言表述概念；能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；能把文字描述、图像特征、数学语言结合起来准确地表述、判断、证明函数的单调性；学 会利用函数的单调性解决诸如不等式、函数最值（值域）的问题（本节课只设置引导目标）（3）通过数形互助培养学生直观判断与严格证明相结合、形象与抽象相结合的思维习惯；渗透联系与变化的认识观 教学重点函数的单调性（增函数、减函数）的概念 教学难点对函数单调的定义中数学语言的准确理解和灵活运用 教材开发点对函数的单调性的应用引导 教材与学情 函数的单调性是函数重要性质之一，也是今后研究函数时涉及最多的性质之一，如函数值域与最值、比较大小与解不等式、函数图像等问题均与函数的单调性相关；同时函数的单调性也是高考考查的重点内容。 学生在初中学过一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数，已有一些具体函数的知识，在学生的现有认知结构中，一方面能用描点法画出简单函数的图像，另一面可以根据函数的图象观察出“图像上升（或下降）”、“随着自变量的增大函数值增大”等 变化趋势，同时在此之前，刚刚学习抽象的函数概念，所以对函数的单调性的认识首先依赖于函数图象的直观性，然后才能逐步过渡抽象的数学语言理解层面。 本节课的教学应以函数的单调性的概念为主线设计材料、设计问题、设计活动，一方面设计几个比较性、思辨性好的问题，另一面要充分利用证明函数单调性的例题加深学生对单调性概念的准确（严谨性）理解。考虑到学生将来还要学习导数的知识，函数单调性的判断会变得比较容易，因此，在教学中，应该适当减少用定义判断证明单调性的问题，注意引导学生主动地应用函数的单调性去解决问题。 教学过程 一、复习引入: 1.复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法，也学习了一次函数、二次函数和反比例函数。为了研 高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明： 1.定义法 例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。 解分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。 2.图像法 例题求y=x+3/x-1的单调区间 解函数定义域为（-，1）并（1，+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 3.性质法 性质：增+增=增减+减=减 y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性 y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性 例题求y=x^3+x的单调区间。 解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。 由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R. 4.复合法 u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。 例题求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。 解令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u 当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增 当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减 Y=根号u递增 所以原函数的单调增区间为[1,+) 减区间为（-，-1] 《函数的单调性》教学设计 张理想太和中学 教材：北师版普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图像和定义判断、证明函数单调性的方法。 2．渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。 【重点】函数单调性的概念、判断及证明。 【难点】根据定义证明函数的单调性。 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 在日常生活中，有“蒸蒸日上”、“每况愈下”、“波澜起伏”等成语，有“人多力量大”、“僧多粥少”等俗语，同学们能否在直角坐标系中用图像大致描述一下呢？ 教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，反映出这个关系，比如股票价格、水位高低、降雨量等。了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。用函数观点看，其实这些例子反 映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小（板书课题：函数的单调性）。 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣。 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性。同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。 1.借助图像，直观感知 问题1：分别作出函数y=x+1、y=x2、的图像，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律。 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。 2.归纳探索，抽象思维 问题3：你能判断函数y=x2分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。 问题4：如何从解析式的角度，用准确的符号语言来说明f(x)=x2在[0,+∞）上为增函数？ 〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成 《函数的单调性》教学设计 安徽省亳州市第一中学史嘉 一、教学内容解析 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点 函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性． 3．教学难点 函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证． 二、学生学情分析 1．教学有利因素 学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素 本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 三、课堂教学目标 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法． 2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度． 为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念． 3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越． 4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践． 五、教学过程 （一）创设情境，引入课题 实例科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请 高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案： 函数的单调性 课题：函数的单调性 课时：一课时 课型：新授课 一、教学目标 1.知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念。 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。 3.情感态度价值观： 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数 学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小。在此基础上描述y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在 （0，+∞）上y随x增大而增大。理解单调性是函数的局部性质，在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数。 设计意图：数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。 （二）初步探索，形成概念 教师活动：（以y=x2+1在（0，+∞）上单调性为例）让学生理解如何用精确的数学语言（随着、增大、任取）来描述函数的单调性，进而得到增（减）函数的定义。并进一步提出如何判断的问题。 学生活动：通过交流、提出见解，提出质疑，相互补充理解函数定义的解释，讨论表示大小关系时，理解如何取值，明白任取的意义。 设计意图：通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。 （三）概念深化，延伸扩展 教师活动：提出下面这个问题：能否说f（x）=在它的定义域上是减函数从这个例子能得到什么结论并给出例子进行说明： 进一步提问：函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数，最后再一次回归定义，强调任意性。 高中数学听课记录:函数的单调性 一、实例导入课题： 日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。（板书课题：函数的单调性） 二、推出新课： （一）、函数的单调性： 1、观察非典时期每日新增病例的变化统计图，对函数的单调性有感性的认识。 2、学生思考一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的值随x的值的变化情况。 总结该函数图像中点的坐标规律。 3、单调增（减）函数的定义： 一般地，设函数的定义域为I，区间A I，如果对于区间A内的任意两个值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。 （让学生思考交流之后，说出增、减函数定义中的关键词） （二）、单调函数、单调区间的概念：（教师板书，引导学生理解。） （三）、函数单调性的判断与证明 1、讲解例1：画出的图像，判断它的单调性，并加以证明。 分析：画出图形，让学生归纳，并利用定义证明，教师板书。 例题中的注意点：（1）、解题格式；（2）、防止循环论证；（3）、作差同“0”比较。2、师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤： （1）、取值；（2）、作差与变形；（3）、判断；（4）、结论。 3、讲解例2：求证：函数在区间上是单调增函数。 （学生小组讨论，集体思考证明过程，请完成的小组上黑板板演，其他小 组分析纠错，教师做好点拨。） 三、课堂练习：1、P39页1、2、3题。 四、课堂小结：（学生总结知识点，教师补充。） 五、布置作业：1、P39页2、4、5题。 评价与建议 1、教学环节设计合理，思路清晰。 2、对概念的讲解很细致，教学作用点找的很好。 3、讲解、合作讨论、学生板演、核心指导相结合，防止学生疲劳而影响课堂效果。 4、教学中善于表扬学生、鼓励学生。 5、教学中要更多地深入学生之中，关注学生的实际学习情况，提高课堂效率。 6、这节课的知识比较抽象，学生能搞懂基本概念的来龙去脉，但更重要的是引导学生从具体实例抽象出数学概念的过程，在运用中逐步理解概念的本质需要加强。 《函数单调性》教案 教学目标 (1)知识与技能目标： ①理解函数单调性的概念； ②能指出一些简单基本初等函数的单调区间。 (2)过程与方法： 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，理解单调性概念的形成过程，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受数形结合的思想。(3)情感态度与价值观： 通过对单调性的研究和应用培养学生对数学知识形成实事求是的科学态度和勇于探索敢于创新的钻研精神；领会局部与整体的辨证关系，崇尚数学的理性精神。 教学重点：函数单调性概念的理解及应用 教学难点：函数单调性的判定与证明 授课类型：新授课 课时安排：2课时;第一课时：单调性的概念与判定；第二课时：单调性的应用 教学方法：讨论、讲授 教学过程 一、创设情景，引入课题 1、课件演示：展示已绘制的NBA球星姚明四个赛季的得分、篮板数据表 赛季赛季 注：图象是由点构成的，连线是为了体现变化趋势。 问：你还能举出生活中有哪些利用图象进行分析的实例吗？ 2、分析一组成语： 蒸蒸日上一落千丈跌宕起伏 3、能否用图象表示以上成语？ (二)、归纳探索、形成概念问题1：画出下列函数的图象，并且观察当自变量X 变化时，函数值有什么变化规律？ (1) y=x+1 (2) y=-x+1 （1）当自变量x 增大时，因变量y 也增大，图象呈上升趋势 （2）当自变量x 增大时，因变量y 反而减小，图象呈下降趋势 问题2：下图是函数)0(2 >+=x x x y 的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
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