直线.板块四.直线中的距离问题.学生版

两点间距离公式 【例1】

求函数()f x

【例2】

求函数)y x ∈R 的值域．

【例3】 在直线:310l x y --=上求两点P 、Q ，使得P 到(4,1)A 和(0,4)B 的距离之差的

绝对值最大；Q 到(4,1)A 和(3,4)C 的距离之和最小．

【例4】 在x 轴和y 轴上各求一点，使这点到点(3,2)A -和点(5,2)B -的距离相等．

点到直线的距离公式

【例5】 点(1,2)P -到直线86150x y -+=的距离为（ ）

A ．2

B ．

12 C ．1 D ．72

【例6】 点P (2,3)-到直线:1l x =的距离为

【例7】 已知点()P a b ，

是第二象限内的点，则它到直线0x y -=的距离是（ ） A

B ．b a - C

)a b - D

)b a - 【例8】 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线:3440l x y ++=的距离d =_____；

【例9】 直线6y x =+上到(1,2)A -距离最短的点是

典例分析

板块四.直线中的距离问题

【例10】 已知直线:250l x y --=，且(,)Pa b 在直线l 上，

最小直线中的距离问题

【例11】 已知点(3,8)A -和(2,2)B ，求x 轴上与点A 、B 距离之和最短的点的坐标，以

及对应的距离和的最小值．

【例12】 直线l 过点(8,4)P ，与x 轴正半轴交于A ，与y 轴正半轴交于B ，O 为坐标原点．当OA OB +取最小值时，求直线l 的方程．

【例13】 已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最

【例14】 设不等式组1230x x y y x ??-+???

≥≥≥，所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直

【例15】 已知点()3,5A 及直线:220l x

y -+=，B 为y 轴上的动点，C 为l 上的动点，

空间点到直线的距离公式

空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页

苏教版数学高一学案必修二练习2.1.6点到直线的距离

2.1.6点到直线的距离 一、基础过关 1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为________． 2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是________． 3．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为______________． 4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则PQ的最小值为________．5．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．6．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)． (1)求BC边的高所在直线的方程； (2)求△ABC的面积S. 8．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程． 二、能力提升 9．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________． 10．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为________． 11．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15°②30°③45°④60°⑤75° 12．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程． 三、探究与拓展 13．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)．求边AB、AC所在的直线方程．

点到直线的距离公式

§7向量应用举例 7．1点到直线的距离公式 7．2向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .

最新人教版高中数学必修2第三章《点到直线的距离》预习导航

预习导航 请沿着以下脉络预习： 1．距离公式 (1)两点间距离公式：P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2| (2)点到直线的距离公式：P (x 0，y 0)，直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0，则P 到l 的距离 (3)两平行线间距离公式：l 1，l 2的方程分别为Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0，其中C 1≠C 2，则l 1与l 2之间的距离 d = 2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P (x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|； (3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |，当a ＝0时，即x 轴，d ＝|y 0|； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |，当b ＝0时，即y 轴，d ＝|x 0|. 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．12 B ．32 C ．322 D ．22 答案：C 2．直线x －y －2＝0与直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．12 B ．32 C ．22 D ．322 答案：D 3．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为坐标原点，则|OP |的最小值为( )． A ．10 B ．2 2 C ． 6 D ．2 答案：B 4．直线2x －y －1＝0与直线6x －3y ＋10＝0的距离是__________． 答案：13515

解析：两直线方程必须化为同系数后，才能利用公式． 5．与两平行直线l 1：3x －y ＋9＝0，l 2：3x －y －3＝0等距离的直线方程为__________． 答案：3x －y ＋3＝0 解析：设直线方程为3x －y ＋C ＝0. 由两平行线间距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2 ， 可得|9－C |＝|C ＋3|，解得C ＝3． ∴所求直线方程为3x －y ＋3＝0. 6．求点P (3，－2)到下列直线的距离． (1)3x －4y ＋1＝0；(2)y ＝6；(3)y 轴． 解：(1)根据点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2 ＝185. (2)因为直线y ＝6平行于x 轴，∴d ＝|6－(－2)|＝8. (3)d ＝|3|＝3．

人教版初中七年级数学下册《点到直线的距离》教案

点到直线的距离 教学目标：1、掌握点到直线的距离的有关概念。2、会作出直线外一点到一条直线的距离。3、理解垂线段最短的性质。 教学重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。 教学难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法 教学过程： 一、准备知识 1、垂直的概念 2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？ 3、如何从直线外一点作已知直线的垂线？ 二、探究新知 1、经过一点作一条已知直线的垂线。 （1）点P在直线AB上（2）点P在直线AB 外 2、讨论思考题：过一点P作已知直线的 垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？ 如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合） 3、归纳：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。 4、垂线段的概念：

如图，设PO垂直于AB于O，线段 PO叫作点P到直线AB的距垂线段。 PA、PB、PC、PD叫作斜线段。 5、垂线段PO的长度叫作点P到直 线AB的距离。 6、做一做 （1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何。 （2）按教材P73的做一做操作。 7、归纳结论：直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 8、垂线段的应用 P74的动脑筋 三、练习与小结 1、练习P74的练习题 2、课堂小结 四、布置作业 1、已知：经过直线m外一点P 。求作：PO，使PO垂直于直线m，O点是垂足。 2、画一个5厘米的正方形ABCD，在正方形内部任取一点P，作经过点作正方形各边的垂线，垂足分别M、N、R、Q，测量PM、PN、PR、PQ的长度。

小学人教四年级数学点到直线的距离教案

执教时间：年月日课题点到直线的距离执教者李子涵共 1 课时 学情分析本课是在学生学习了射线、线段和直线、垂线、平行线之后，进一步学习空间与图形知识的基础。小学四年级学生认知水平以及生活阅历相对较少，但孩子们都喜欢亲自动手试一试。所以学生的这种认知特征要善于引导，寻求科学的学习方法和适合学生年龄特点的教学方法。 教学目标1、学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。 2、认识平行线之间的距离相等。 3、在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。 4、进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。 教学重点认识点到直线的距离，认识平行线之间的距离。 教学难点能解决一些实际的问题 教学准备多媒体课件、三角尺 教学过程 一、复习引入 1、下面各组直线，哪一组互相平？哪一组互相垂直？（课件出示） （学生判断，并说明理由） 2、复习过直线外一点（点A）画已知直线的垂线的方法。 （学生口述画垂线的方法，教师补充并在黑板上作图示范） 3、谈话导入：掌握了经过直线外一点向已知直线作垂线的方法，这 节课我们在此基础上，继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的 距离（板书课题）。 【设计意图：通过复习平行与垂直的知识，直接引出课题，可以让学 生尽快进入数学知识的学习状态中，而平行与垂直、画垂线知识的复 习为今天的学习起到铺垫作用】 二、新知探究。 修改意见

（一）点到直线的距离 1、画一画 从直线外一点A到这条直线画几条不同的线段，要求有一条垂线。（以比赛的形式展开：在1分钟的时间内看谁从点A向直线画出的线段多，速度快） 2、量一量 学生动手量一量所画的线段的长度，并观察这些线段的长度，看看有什么发现，同桌互相说一说。 3、通过学生交流，引导学生总结从直线外一点到这条直线所画的垂 直线段最短。 教师小结并板书：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离 【设计意图：进行画图、测量、交流等多种活动，引导学生得出垂线 的性质，对距离的含义，让学生在交流中明确它的定义】 （二）认识平行线间垂直线段的特点 1、课件出示课本例3（2）图，直线a//b，想一想这组平行线之间可以画出多少条垂线段？ a b 引导学生：一条直线上有无数个点，因此可以画出无数条垂直线段。2、学生独立完成（在课本上画）：在直线a上任选5个点，分别向b画垂直线段。 3、小组合作测量所画垂直线段的长度，然后交流测量结果，你有什 么发现？ （生动手操作，指名汇报） 4、师根据学生汇报，总结：端点分别在两条平行线上，且与平行线 垂直的所有线段的长度都相等。 5、拓展延伸：根据平行线间的距离处处都相等的性质可以判断两条 直线是否平行。 三、巩固练习 （一）基础练习 1、填空。

点到直线的距离教学反思

点到直线的距离教学反思 本节课的教学内容是在学生认识了两条直线的垂直关系的基础上教学的。教材在例题中呈现了从一点向已知直线所画的一条垂直线段和几条不垂直的线段，让学生通过度量，发现在这几条线段中垂直的线段最短，这就是垂直线段的性质。为了让学生更能深刻地理解这个性质，我先让学生从直线外点画已知直线的垂线，然后擦去点外的线，让学生感受到这一点到垂足之间是一条垂线段。接着出示学习单，让学生自主探究： 1.测量：测量A点到已知直线各线段长度（量点与点之间的距离），比一比哪条最短。 2.先画后测：你可以仿照图中再画几条A点到已知直线的不垂直的线段，比一比，第1题的结论是否不变？ 3.思考：什么是点到直线的距离？A点到已知直线的距离是图中的哪条线段？其他线段是不是，为什么？ 学生通过亲身实践量得垂线段是最短的这个性质。 教材是这样揭示点到直线的距离的概念：从直线外一点到这条直线所画得垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。到直线的距离既是本节课的重点，也是本节课的难点。但这句话对学生来说难以理解，于是，在教学过程中，我告诉学生：距离是一个长度，是点到直线垂直线段的长度，其他不垂直的线段的长度不是它的距离。 对于练习题的安排，我先巩固学生对距离的理解，通过第1题的练习，学生明白，要求点到直线的距离，必须先画出点到直线的垂线段，再测量它的长度。第2题的练习，让学生在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，并测量出这些线段的长度，发现它们的长度相等，得出这样的结论：平行线间的垂线段都相等。接着，介绍点到直线的距离这个知识在生活中应用。我出示过马路的多条线段图，让学生找出最短的一条。学生比较轻松的解决了。初步感受到数学与生活是密切相联的。然后从生活中再找一些实例，进一步让学生体会数学在生活中的应用价值。这样可以潜移默化地引导学生用数学的眼光观察分析问题，进而解决问题。学生的能力得到提升。 但是，也有一些不足的地方： 1.学习单的内容较多，学生自主学习花费的时间较多。 2.学生对学习单的理解有误，有的没有测量线段的长度而是测量角的大小。说 明他还没有养成仔细阅读学习单要求的习惯。 3.集体交流的时候，学生的语言组织能力还有待提高，不能很好地表达所想的 内容。 在“学程导航”的路上继续前行……

新人教版四年级《点到直线的距离》教学设计

课题点到直线的距离 教学内容：人教版教材第59页例3 课程标准描述 通过观察、操作等活动，经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画线段中垂直线段最短，理解点到直线的距离。会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。 教学目标: 1、经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知 直线所画线段中垂直线段最短，理解点到直线的距离。 2、会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。 3、进一步体会数学和现实生活的联系，培养数学应用意识。 教学重点、难点： 会画已知直线的垂线，认识点到直线的距离。 评价活动方案 1、通过画一画，折一折等操作活动，认识点到直线的距离。以评价教学目标1。

2、能用直尺或三角尺测量点到直线的距离。以评价目标2。 教学准备：课件 教学过程 一、导入 1、提问：在同一个平面内两条直线的位置关系有哪几种特殊情况？特殊在哪儿？ 2、谈话：请大家在白纸上画一条直线，在较远处画一个点A，并利用工具经过A点画出已知直线的垂线。 3、学生画图，指名到黑板上板演。指出垂足。 师谈话： 今天这节课我们要继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的距离 （板书课题） 二、新授 （一）认识“点到直线的距离” 1、刚才大家过A点作直线的垂线，那么，从A点到垂足之间的这条线是线段？还是射线？还是直线？ 2、教师指出：从A点到垂足之间这条垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。

指明学生说说什么叫“点到直线的距离” （二）认识垂直线段的性质 1、谈话：刚才我们画了从A点到直线的垂直线段。 你能从A点向直线画几条不垂直的线段吗？任意画几条。 2、把这些线段的长度与刚才那条垂直线段的长度比一比，你发现了什么？ 3、把你的发现与同桌交流一下。 4、指名交流。 5、小结：正因为这条垂直的线段最段，所以“点到直线的距离”其实就是指这个点到这条直线的垂直线段的长度。 三、巩固练习：第59页上“做一做” （一）第1题： 1、出示题目， 谈话：题目要求我们量出点到直线的距离，那么什么是点到直线的距离？ 2、学生动手作图，测量。 3、汇报测量结果。 （二）第2题：

苏教版数学高一必修22.1点到直线的距离

2.1 点到直线的距离 【课前复习】 【变式1】一类函数的最值研究 求845222+++++= x x x x y 的最小值. 【变式2】光线的反射问题 已知直线02:=-+y x l ，一束光线从点)31,0(+P 以 120的倾斜角投射到直线l 上，经l 反射，求反射光线所在直线的方程. （1）平面上一点坐标),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离为__________________ （2）两条平行直线0:11=++C By Ax l ；0:22=++C By Ax l 间的距离为_____________ 注意点：利用公式求点到直线距离和两平行线间距时，一定要将直线方程化成一般式. 【例1】（1）求点)2,3(-P 到直线4 2543:+-=x y l 的距离； （2）求0546=+-y x 与x y 2 3= 之间的距离. 【例2】直线l 经过原点，且点)0,5(M 到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程. 【变式】两平行直线21,l l 分别过点)0,1(1P 和)5,0(2P （1）若21,l l 距离等于5，求两直线的方程；（2）若21,l l 距离等于d ，求d 的取值范围.

【例3】已知)0,1(),1,3(),3,1(-C B A ，则ABC ?的面积为_________________ 结论：ABC ?中， _____________________________________________________________ 【例4】用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 【专题研究】 利用点到直线的距离公式解决对称问题 （1）与两平行直线距离相等的直线 【例1】求与两条平行线0623:1=-+y x l ，0346:2=-+y x l 等距离的平行线的方程. 重要结论：与两平行直线0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 等距离的平行直线的方程为_________________________ 应用：设直线l 过点)4,2(A ，它被两平行线01=+-y x ，01=--y x 所截得的线段的中点在直线032=-+y x 上，试求直线l 的方程. （2）角平分线问题 【例2】求两直线04:1=--y x l ，02:2=-+y x l 所成的角平分线所在直线l 的方程.

最新苏教版点到直线的距离(1课时)练习2份(必修2)

2.14-2.16两条直线的距离、两点直线的距离、点到直线的 距离 (交点、距离) 一、选择题 1、直线3x-2y+m=0与直线(m 2-1)x+3y+2-3m=0的位置关系是 A 平行 B 垂直 C 相交 D 与m 的取值有关 2、已知点P(－1,0)，Q(1,0)，直线y=-2x+b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是 A [-2,2] B [-1,1] C [-21,21] D [0,2] 3、已知方程a|x|-y=0和x-y+a=0(a>0)所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围是 A a>1 B 01 C 00 4、若直线l 1经过点(3,0)，直线l 2经过点(0,4)，且l 1||l 2, 若d 表示l 1与l 2间的距离，则 A 0

A 55 2 B 55 3 C 55 4 D 5 二、填空题 1、过直线x-2y+4=0与直线2x-y-1=0的交点M，且与两点A(0,4)，B(4,0)距离相等的直线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿； 2、三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形，则m＝_____ 3、过点(1,3)且与原点距离为1的直线方程为＿＿＿＿＿； 4、垂直于直线x-3y+1=0且到原点的距离等于5的直线方程是＿＿＿＿ 三、解答题 1、直线l经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程 2、直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1:2，则直线l的方程

点到直线地距离公式

§7 向量应用举例 7．1 点到直线的距离公式 7．2 向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .

向量与点到直线的距离公式的证明

向量与点到直线的距离公式的证明 安金龙 （苏州工业园区第二高级中学,江苏 苏州 215006) 摘 要: 关键词: 点到直线距离公式是解析几何中的一个很重要的的公式，应用它可使很多求解面积问题得以简化，因此很多老师和学生更多的是重视它的应用，而对于公式本身的证明却未引起足够的重视，尽管教材中有“请研究一下如何用其他方法推导点到直线的距离公式。”提示语，但依然不能引起广大师生的足够重视，笔者以为：运用教材中知识推导课本上的基本公式，本身就是在做一道很典型的例题。因为对于一个公式的推导比运用这个公式来解决一些问题对我们的思维来讲更具有价值。 对于点到直线距离公式的推导，课本上是通过构造直角三角形利用三角形面积公式推导，这种证明方法的优点是容易想到，但在构造直角三角形需对直线的斜率进行讨论，下面笔者就把自己用平面向量知识推导点到直线距离公式的方法介绍给各位同仁，并列举几种其他的推导方法，供各位同仁参考。 求证：点00(,):0,(,0P x y l Ax By C A B ++=到直线不能同时为）的距离为 ： d = . 1 由向量方法推导点到直线的距离公式 证明：由直线l 的方程： 0,(,0Ax By C A B ++=不能同时为） ，可得直线l 的方向量为n =(A,B)，设过点00(,)P x y 作直线 l 的 垂线，垂足为 ''' (,)P x y ，则向量 'PP λ =u u u r n ，即 ''00(,)(,) x x y y A B λ--=，所 以 '0, x x A λ=+'y y B λ-= 且 'PP λ ==u u u r 又因为点' ' ' (,)P x y 在直线l 上，所以就有： ''000,)()0Ax By C A x A B y B C λλ++=++++=即（， 200()A x By C λ∴++2+B )=-(A ，又因为A,B 不同时为0， 002)x By C A λ++∴=2 -(A = +B 'PP ∴= == u u u r 即 ： 'd PP == u u u r .

人教新课标版(A)高一必修 点到直线的距离公式教案

3．3．3两条直线的位置关系 ―点到直线的距离公式 三维目标： 知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 情感和价值：1。认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法：学导式 教具：多媒体、实物投影仪王新敞 教学过程 一、情境设置，导入新课： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研

究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。 用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？ 两条直线方程如下： ?? ?=++=++0 0222111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课： 1．点到直线距离公式： 点),(0 y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为： 2 200B A C By Ax d +++= 王新敞 （1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(0 y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?

学生可自由讨论。 （2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。 方案一： 设点P到直线l的垂Array线段为PQ，垂足为Q，由 PQ⊥l可知，直线PQ的斜 率为 B（A≠0），根据点斜 A 式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d王新敞此方法虽思路自然，但运算较繁.下面 我们探讨别一种方法王新敞

人教版七年级数学下册 5.1 相交线-点到直线的距离练习

5.1 相交线-点到直线的距离 班级：__________ 姓名：__________分数：__________ 一、选择题 1. 点到直线的距离是指( ) A.从直线外一点到这条直线的垂线 B.从直线外一点到这条直线的垂线段 C.从直线外一点到这条直线的垂线的长 D.从直线外一点到这条直线的垂线段的长 2. 下列说法正确的是( ) A.若线段，则点是线段的中点 B.相等的角是对顶角 C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 3. 为直线外一点，，，为直线上三点， ，则点到直线的距离为 （） A. B. C. D.不大于 4. 如图，在三角形中，于点，则下列

说法错误的是（） A.点到直线的距离为线段的长度 B.点到直线的距离为线段的长度 C.点到直线的距离为线段的长度 D.点到直线的距离为线段的长度 5. 如图，为直线外一点，点，，在直线上，且 ，垂足为，，则下列说法中错误的是（） A.线段的长度叫点到直线的距离 B.，，三条线段中，最短

C.线段的长度叫点到直线的距离 D.线段的长度等于点到直线的距离 6. 下列说法正确的是（） A.过，两点的直线的长度是，两点之间的距离 B.线段就是，两点之间的距离 C.在连接，两点的所有线中，最短线的长度是，两点之间的距离 D.乘火车从上海到北京要走千米，这就是说上海站与北京站之间的距离是千米 7. 如图，点在直线外，在过点的四条线段中表示点到直线 距离的是线段（） A. B. C. D. 8. 如图所示，右，，，则下列说法正确个数为（）

①到的距离为； ②到的距离为； ③到的距离为； ④到的距离为． A. B. C. D. 9. 如图所示，，垂足为，连接 ，下列说法正确的是（） ①线段是，两点间的距离 ②线段的长度是，两点间的距离 ③线段是点到直线的距离 ④线段的长度是点到直线的距离． A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

高中数学2.1.6点到直线的距离教案苏教版必修2

2.1.6 点到直线的距离 教学目标： 1?理解点到直线的距离的推导方法； 2?掌握点到直线的距离公式； 3?运用点到直线的距离公式解决实际问题. 教材分析及教材内容的定位： 本节内容研究点到直线的距离公式的推导和应用，推导公式的过程渗透了化归的思想， 培养学生勇于探索，勇于创新的精神. 教学重点： 点到直线的距离公式及其应用. 教学难点： 点到直线的距离公式的推导过程. 教学方法： 探索学习法. 教学过程： 一、问题情境 前一节课我们判断了以A - 1, 3) , B(3 , - 2) , C(6 , - 1) , D(2 , 4)为顶点的四边形 ABCD^平行四边形，它的面积是多少呢？ 二、学生活动 1 ?尝试求解： 学生1 :求出边AB所在直线，并求出过点D(2 , 4)且垂直于边AB所在直线 的直线方程，联立方程组求出垂足坐标，代入两点间距离公式得到结果； 学生2:求出边AD所在直线，并求出过点B(3 , - 2)且垂直于AD边的直线方程，联立方程组求出垂足坐标，代入两点间距离公式得到结果;

2?小组交流讨论一般性的解法 (想法同以上两学生的描述)，探求求点到直线的一般解 法； 3?归纳：点P(x 0,y 0)到直线Ax By C 0的距离公式：d 三、建构数学 1点到直线的距离公式： d l AX o By o _C J A 2 B 2 证明方法：(i )定义法； (2 )面积法； (3 )其他方法，如函数法等 2?平行线之间的距离公式 四、数学运用 1. 例题. 例1求点P ( — 1, 2)到下列直线的距离： (1) 2x + y — 10= 0; (2) 3x = 2. 变式练习：若点(a , 2)到直线3x — 4y — 2 = 0的距离等于4，求a 的值. 例2 求两条平行线 x + 3y — 4= 0和2x + 6y — 9= 0的距离. 例3建立适当的坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰 上的高. 2. 练习. (1 )点A(1, 1)到直线x y 1 0的距离为 ______________ . (2) ______________________________________________________________ 3x 2y 3 0和 6x my 1 0互相平行，则它们的距离是 _____________________________________ . (3) 点P 在直线3x y 5 0上，且点P 到直线x y 1 0的距离是.2 , 则点P 的坐标是 ___________________ . (4) 直线11过点(3,0)，直线 12过点(0,4)，且两条直线平行，用 d 表示两条 Ax o By o C A 2 B 2 11 : Ax By G 0, l 2 : Ax By C 2 C 1 C 2 A 2 B 2

新人教版四年级《点到直线的距离》教学设计与反思

教学内容：第59页 教学目标 1、让学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。 2、会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。 3、让学生在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。 4、让学生进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。 教学重点、难点： 认识点到直线的距离，并能解决一些实际的问题。 教学准备：课件 教学过程设计 一、导入 1、提问：在同一个平面内两条直线的位置关系有哪几种特殊情况？特殊在哪儿？ 2、谈话：请大家在白纸上画一条直线，在较远处画一个点A，并利用工具经过A点画出已知直线的垂线。 学生画图，指名到黑板上板演。指出垂足。 3、谈话：今天这节课我们要继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的距离（板书课题） 二、新授 （一）认识“点到直线的距离” 1、刚才大家过A点作直线的垂线，那么，从A点到垂足之间的这条线是线段？还是射线？还是直线？ 2、教师指出：从A点到垂足之间这条垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。

指明学生说说什么叫“点到直线的距离” （二）认识垂直线段的性质 1、谈话：刚才我们画了从A点到直线的垂直线段。你能从A点向直线画几条不垂直的线段吗？任意画几条。 2、把这些线段的长度与刚才那条垂直线段的长度比一比，你发现了什么？ 3、把你的发现与同桌交流一下。 4、指名交流。 5、小结：正因为这条垂直的线段最段，所以“点到直线的距离”其实就是指这个点到这条直线的垂直线段的长度。 三、巩固练习：第59页上“做一做” （一）第1题： 1、出示题目，谈话：题目要求我们量出点到直线的距离，那么什么是点到直线的距离？ 2、学生动手作图，测量。 3、汇报测量结果。 （二）第2题： 1、指明说明题目要求 2、学生操作 3、交流操作结果。 4、你发现了什么？先和同桌说一说，再指名交流。 5、小结：两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些垂直线段的长度都相等。我们也可以说：平行线之间的距离处处相等。这个结论很重要，而且在生活中广泛的运用。 6、到现在为止，我们已经研究了关于图形距离的三种情况：（1）两点之间的距离 （2）点到直线的距离

高中数学苏教版必修2：课下能力提升(二十) 点到直线的距离

课下能力提升(二十) 点到直线的距离 1．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n ＝1的距离等于________． 2．直角坐标系中第一象限内的一点P (x ，y )到x 轴、y 轴及直线x ＋y －2＝0的距离都相等，则x 等于________． 3．已知点P (m ，n )在直线2x ＋y ＋1＝0上运动，则m 2＋n 2的最小值为________． 4．不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5过定点________． 5．一直线过点P (2,0)，且点Q (－2，433 )到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________． 6．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，求a ，b 的值． 7．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程． 8．直线l 过点P (1,0)，且被两条平行线l 1：3x ＋y －6＝0，l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，求l 的方程． ★★答案★★ 1．解析：先将直线方程x m ＋y n ＝1化成一般式：nx ＋my －mn ＝0，所以点P (m －n ，－m )到直线nx ＋my －mn ＝0的距离为d ＝|n (m －n )＋m (－m )－mn |m 2＋n 2＝ m 2＋n 2. ★★答案★★： m 2＋n 2 2．解析：由题意知，|x |＝|y |且 |x ＋y －2|2＝|x |. 又x ＞0，y ＞0，所以2x －2＝±2x ，x ＝2±2. ★★答案★★：2±2 3．解析：要求m 2＋n 2的最小值，只需求m 2＋n 2的最小值，即直线2x ＋y ＋1＝0上的点P (m ，n )与原点的最小值，也就是原点到直线的距离，由d ＝122＋12＝55.知m 2＋n 2的最小值为15 . ★★答案★★：15 4．解析：直线方程可化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0.由????? x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，得

高一数学教案：苏教版高一数学点到直线的距离

3. 3. 3两条直线的位置关系 —点到直线的距离公式 三维目标： 知识与技能：1.理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离 公式: 能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离- 情感和价值：1。认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题- 教学重点：点到直线的距离公式- 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法：学导式 教具：多媒体、实物投影仪- 教学过程 一、情境设置，导入新课： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐 标和直线的方程直接求点P到直线|的距离。 用POWERPOINT出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？ 两条直线方程如下： 'Ax + Ry+C! =0 Ax +B2y +C2=0 二、讲解新课： 1 ?点到直线距离公式： 上 / 、|Axo+By°+C 点P(x o，y。)到直线l : Ax +By +C =0的距离为：d =—:一- J A2 +B2 (1)提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0, y0)，直线=0或B=

到直线|的距离呢？ 学生可自由讨论。 （2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念， 即由点P 到直线I 的距离d 是点P 到直 线I 的垂线段的长? 这里体现了 “画归”思想方法，把一个新问题转化为 题， 一个自己熟悉的问题。 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。 设点P 到直线I 的垂线段为PQ 垂足为Q,由PQ B 丄I 可知，直线PQ 的斜率为三（A M 0）,根据点斜式 A 写出直线PQ 的方程，并由|与PQ 的方程求出点 Q 的 坐标；由 此根据两点距离公式求出丨 PQI ，得到点 P 到直线I 的距离为 d- 此方法虽思路自然，但运算较繁?下面我们探讨别 一种方法- 方案二：设 A M 0, B M 0,这时|与x 轴、y 轴都相交，过点 P 作x 轴的平 行线，交I 于点R （xi ，y 。）；作y 轴的平行线，交I 于点S （x 。，祠, 人& +By ° +C =0 —By 。—C —Ax 。—C 由』 得& = -------------- , y 2 = --------------- . jAx 0 + By 2 + C = 0 A B 积公式可知：d ?I R S| = I P R I ?I PS| - 一个曾今解决过的问 所以, I P R I = I x ° -X i | = Ax ° By ° C I PS I = | y °」y 2 I = Ax ° + By ° + C B I RS|= '一 PR 2 PS 2 丄A 2_B 2 |AB XI Ax ° By 0 C I 由三角形面

2021年苏教版第2章平面解析几何初步第10课时点到直线的距离1(必修2)

第10课时 点到直线的距离(１) 分层训练 １．点(0,1)到直线3460x y -+=的距离( ) ()A 25 ()B 35 ()C 9 5 ()D 2 ２．两条平行线51220x y --=， 512110x y --=之间的距离等于( ) ()A 1699 ()B 131 ()C 13 9 ()D 1 ３．若直线21y x =-与直线2y x b =+之间的 b 等于 ( ) ()A 4 ()B 5-或5 ()C 6- ()D 4或6- 4．点P(m n -,m -)到直线1=+n y m x 的距离 等于 ( ) ()A 22n m +()B 22n m - ()C 22m n - ()D 2 2n m ± 5．直线l 过点(1,2)，且两点(2,3)，(4,5)-到 l 的距离相等,则直线l 的方程为 ( ) ()A 460x y +-= ()B 460x y +-= ()C 3270x y +-=或460x y +-= ()D 2370x y +-=或460x y +-= 6．以(2,1)A ，(4,2)B ，(8,5)C 为顶点的三角形中BC 边上的高等于() ()A 25 ()B 45 ()C 6 5 ()D 2 7．过点(1,1)作直线l ,点P(4,5)到直线l 的距离的最大值等于_______． 8．点(,6)A a 到直线342x y -=的距离等于4，a =____________． 9．已知平行四边形两条对角线的交点为(1,1)，一条边所在直线的方程为3412x y -=，则这条 边的对边所在的直线方程为 【解】 １０．在第一、三象限角平分线上求一点P ，使它到直线240x y --= ，求 点P 的坐标． 【解】 拓展延伸 １１．直线l 在两坐标轴上的截距相等，且(4,3)P 到直线l 的距离为l 的方 程． 【解】

点到直线的距离公式

§ 7向量应用举例 7. 1点到直线的距离公式 7. 2向量的应用举例 ［学习目标］1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. r预习导学聾挑战自我，点.去落实 ［知识链接］ 1.向量可以解决哪些常见的几何问题? 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系. (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题. 2?用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的? 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题; ⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. ［预习导引］ 1.直线的法向量 (1)直线y= kx+ b的方向向量为(1, k)，法向量为(k,— 1), ⑵直线Ax+ By + C= 0(A2 + B2丰0)的方向向量为(B，— A)，法向量为(A, B). 2.点到直线的距离公式 设点 M(X0, y0)为平面上任一定点，则点M到直线 Ax+By+ C= 0(A2 + B2M 0)的距离d = |Ax0 + By o + C| 3.向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a// b(b工0)? a = to ? X丄y2— x g y i = 0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a, b, a丄b? a ? =0? X1X2+ y1y2= 0. ⑶求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos e=爺=寸屈」如2 . X1X2 + y1y2