2.1.2数列的性质与递推公式

§2.1.2 数列的性质和递推公式导学案

执笔：史晓杰 审核：

授课人： 授课时间：

班级： 姓名： 小组：

课题：数列的性质和递推公式导学案；课型;预习课展示课

【学习目标】1、理解数列概念，了解数列和函数之间的关系学会求数列的最大项和最小项以及周期数列的周期性

2、了解数列的递推公式，并会用递推公式写出数列的项区分递推公式和通项公式

3、初步认识和了解累乘，累加的方法求数列的递推公式

【重点难点预测】：重点:认识递推公式会用递推公式求数列中的项

难点: 利用数列的单调性来求数列最大项（或最小项）初步掌握累加和累乘求数列的通项公式

【学法指导】：学会观察不同数列的不同特点，根据特点猜想数列的通项公式并对常见特点数列的规律加以总结

【学习流程序】： 自主预习部分

1、复习回顾指出课本P28“观察”的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？思考：数列是函数吗？那么数列有周期数列吗？

2、数列有单调性质吗？用不等式怎么来表达数列的最大项和最小项呢？

看一看：数列的递推公式

如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）（2≥n ，+∈N n ）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式

3、思考数列的递推公式与通项公式有何区别呢？（可以举例说明）

4、思考对于设数列1,2,3,4..........n 的前n 项和为n s 那么=+1n s 那么1-n s = =1s 并观察=--1n n s s 由此你会发现

?????≥-===-)

2(;)

1(;111n s s n s a a n n n ※为什么这个公式要写成分段的形式而不是n n n a s s =--1呢？预习作业：①已知数列{}n a 满足1a =2，111--

=n n a a )2(≥n ，请写出这个数列的前5项 ；=2014a

②已知数列{}n a 满足11=a ，2

11=+n n a a ，数列{}n a 的单调性如何？请写出数列的前五项并猜想数列{}n a 的通项公式是多少？

④已知数列{}n a 的通项公式为)2(+=n n a n ,80和90是不是该数列的项？

⑤已知数列{}n a 的通项公式12+=

n n a n 试判断数列{}n a 的单调性

※观察下列各式11,7,4,3,155443322=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a ，则=+1010b a

课堂探究与展示

例1、若数列{}n a 满足121-=+n n a a ，且168=a ，求6a 是多少？

例2、设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且)(0)1(1221+++∈=?+-+N n a a na a n n n n n ①

求该数列的递推公式②请根据前五项观察该数列的通项公式③如果把这个数列的递推公式等式的左边和右边累乘你会发现什么？

例3、已知数列{}n a 是由正数组成的数列,11=a 且点),(1+n n a a )(+∈N n 在函数

12+=x y 的图像上，①求该数列的递推公式②请根据前五项观察该数列的通项公式③如果把这个数列的递推公式等式的左边和右边累乘你会发现什么？

思考：通过以上两个例题的展示请你总结常见的什么样特点数列{}n a 的递推公式可以用累乘或累加的方法来求其通项公式呢？那么这个规律适用所有的数列吗？

例4、已知数列{}n a 的通项公式)()11

10)(1(+∈+=N n n a n n ,该数列有没有最大项？若有请求出项数以及最大项，若没有请说明理由

例5、已知数列{}n a 的通项公式是782+-=n n a n

（1） 数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，n a 有最小值，并求最小值。（第二

问请用两种方法来做提示从函数的角度）

例6、已知数列{}n a 的前n 项和)(242+∈+-=N n n n S n

①求数列{}n a 的通项公式②当n 为何值时该数列有最大项，且最大项是多少？

思考：通过例4-例5的学习你有哪些心得与体会请总结

课后检测：1、已知数列{}122;111+==+n n n b b b b 中，；=n b

2、已知数列{}n a 的通项公式n n a n -+=

12请判断这个数列的单调性

3已知数列{}n a 的通项公式452+-=n n a n 当n 为何值时，n a 有最小值是多少？

4、已知数列{}n a 的通项公式n n n a )7

6

)(2(+=，请求出该数列的最大项

5、已知数列{}n a 的通项公式)(1R p n p n a n ∈++=

，若该数列是一个递增数列请求出p 的取值范围？

※6、已知数列{}n a 的通项公式21=a ，若21+=+n n a a )(+∈N n 求该数列的通项公式，思考当条件变成121+=+n n a a 呢你还能求出该数列的通项公式吗？

求递推数列的通项公式的十一种方法

求递推数列的通项公式的十一种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,) 1(1 1++=+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111+- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法 例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n 1 . 三、换元法 例3 已知数列{n a }，其中913,3421== a a ，且当n ≥3时，)(3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31 .故 n n n n b b )31()31(91)31(2211==?=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )3 1 (2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解 由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为 121=---n n b b ，因此}{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2 ) 1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-= -n n a n ，即)2(2 1 2+-=n n a n

数列递推公式

递推数列的通项公式 数列是高中数学的重要内容之一，是高考的重点和难点，数列中蕴含着丰富的数学思想，而递推数列的通项公式具有很强的逻辑性，考查逻辑推理和转化能力，因此成为历年高考热点。 递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键. 【课前练习】 1. 数列｛a n ｝满足a 1＝1，a n+1＝a n +2n ，求数列的通项a n =_________. 2. 数列｛a n ｝满足a 1＝1，a n+1＝1 +n n a n ，求数列｛a n ｝的通项a n = __________. 3.数列｛a n ｝满足a 1=0，1 331+-= +n n n a a a (n ∈N ＊)，则a 20=( ) A.0 B.3 C.-3 D.2 3 【典例分析】 一、型如 )(1n f a a n n +=+ 例1、 已知数列{}n a 满足2 1 1=a ，)1(11++=+n n a a n n ，求数列{} n a 的通项公式.

二、型如)(1n f a a n n ?=+ 例2、设{}n a 是首项为1的正项数列,且n n n a a a n 12 1)1(++++ 02=-n na （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式. 三、 形如q pa a n n +=+1（其中p ，q 为常数，0)1(≠-p pq ） 例3、 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式.

(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法举隅 类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。 类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。

(完整版)数列的递推公式教案

数列的递推公式教案 普兰店市第六中学陈娜 一、教学目标 1、知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。 3、情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。 二、教学重点、难点和关键点 重点：数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。 难点：数列的递推公式求通项公式。 关键：同本节难点。 三、教学方法 通过创设问题的情境，在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望；引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究；引导学生积极思考，运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题，再提出问题，解决问题……经历知识的发生和发展过程，并注意总结规律和知识的巩固与深化。 四、教学过程 环节1：新课引入 一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江以后，宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把

现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的，老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？ 通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。 环节2：引例探究 (1）1 2 4 8 16……… (2) 1 ()1cos ()1cos cos ()]1cos cos[cos ……. (3)0 1 4 7 10 13 ……. 通过设置问题的情境，让学生分析找出这些数列从第二项（或后几项）后一项与前一项的关系，从而引出数列的递推公式的定义，便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。 递推公式定义： 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意一项a n 与它的前一项a n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 环节3：应用举例及练习 例1：已知数列｛a n ｝的第1项是1，以后的各项由公式 (n ≥2)给出，写出这个给出，写出这个数列的前5项. 解：据题意可知：a 1=1, 1 11n n a a -=+2111112,1a a =+=+=3211311,22a a =+=+=4312511,33a a =+=+=5413811.55a a =+ =+=

常见递推数列通项公式的求法

数列复习课（3）———常见递推数列通项公式的求法 主备人：刘莉苹 组长：李英 时间：2013-9-16 教学目标： 1.通过求出数列前几项，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据特殊的递推公式求出数列的通项公式. 2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法，体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程. 教学重点：处理递推关系的基本方法. 教学难点：通过变形转化成等差、等比数列的有关问题. 研讨互助 问题生成 引入新课： 由递推公式求数列的通项公式的类型： （1） （2） （3） （4）()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数） （5）n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 （6）递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 即n a 与n s 的关系11(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? （7）r n n pa a =+1)0,0(>>n a p （8）) ()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ （9）周期型 思考：各类型通项公式的求法？ 合作探究 问题解决 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 1() n n a a f n +=+1() n n a a f n +=?1(0,1) n n a pa q p p +=+≠≠

变式: 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，112 n n a a +=+，求n a . 2.若数列{}n b 满足11b =，112n n n b b +??-= ???(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 3.已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 变式： 1. 已知31=a ，132n n a a += ，求n a 。 2.已知31=a ，n n a n n a 23131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

几类递推数列通项公式的常见类型及解法 递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法. 一、a a d n n +=+1型 （d 为常数） 形如)(1n f a a n n +=+的递推数列求通项公式，将此类数列变形得a a d n n +-=1，再由 等差数列的通项公式()a a n d n =+-11可求得a n . 例1 已知数列{}a n 中()a a a n N n n 1123==+∈+,，求n a 的通项公式. 解：∵a a n n +=+13 ∴a a n n +-=13 ∴ {}a n 是以a 12=为首项，3为公差的等差数列. ∴()a n n n =+-=-21331为所求的通项公式. 二、)(1n f a a n n +=+型 形如)(1n f a a n n +=+的递推数列求通项公式，可用差分法. 例2 已知数列{}a n 中满足a 1=1，n a a n n -=+1，求n a 的通项公式. 解：作差n a a n n -=-+1，则 2a -1a = -1，3a -2a = -2，4a -3a = -3，……，)1(1--=--n a a n n ， 将上面n -1个等式相加得 +-+-+-=-)3()2()1(1a a n ……+[)1(--n ] ∴ n a =2 2 2++-n n 为所求的通项公式. 三、n n a q a ?=+1型 形如n n a q a ?=+1的递推数列求通项公式，将此类数列变形得 q a a n n =+1 ，再由等比数列的通项公式11-?=n n q a a 可求得a n . 例3 已知数列{}a n 中满足a 1=1，n n a a 21=+，求n a 的通项公式. 解：∵n n a a 21=+ ∴ 21 =+n n a a

专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

专题 由递推关系求数列的通项公式 一、目标要求 通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法： 二、知识梳理 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。 三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及 等差数列和等比数列的通项公式。 例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式 评注 在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。 例2 已知数列{n a }中112a =，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积

几类常见递推数列的解题方法

叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化 ——几类常见递推数列的教学随笔 已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法． 一、叠加相消． 类型一：形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消． 例1：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ． 解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) = 2 1 [1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 练习1：⑴.已知数列｛a n ｝,a 1=1, n ∈N +，a 1+n =a n ＋3 n ， 求通项公式a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1＝3，)1(2 1 +=-+n n a a n n ，n ∈N +，求a n ． 二、叠乘相约． 类型二：形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p p c mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或 n n a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)． 例2：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ． 解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0 ∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0 ∴1 1+=+n n a a n n ∴n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n 112 12 31 2111 23 22 11 =???--?--?-=?????=----- 练习2：⑴已知数列｛a n ｝满足S n = 2 n a n ( n ∈N * ), S n 是{ a n }的前n 项和,a 2=1,求a n ．

已知数列递推公式求通项公式的几种方法

已知数列递推公式求通项公式的几种方法 Revised on November 25, 2020

求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则11 3 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为 121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+， 即得数列{}n a 的通项公式。 例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 所以3 1.n n a n =+-

数列的递推公式练习

数列的递推公式练习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

课时作业5数列的递推公式(选学) 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．在数列{a n}中，a1＝，a n＝(－1)n·2a n－1(n≥2)，则a5＝() A．－ C．－ 【答案】 B 【解析】由a n＝(－1)n·2a n－1知a2＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝－2a4＝. 2．某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N，数列的前n项之积为 n2，则这个数列的通项公式是() A．a n＝2n－1 B．a n＝n2 C．a n＝D．a n＝ 【答案】 C 【解析】∵a1·a2·a3·…·a n＝n2，a1·a2·a3·…·a n－1＝(n－1)2，∴两式相除，得a n＝. 3．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝a n，n∈N＋，则a2009＝ ________，a2014＝________. 【答案】10 【解析】考查数列的通项公式． ∵2009＝4×503－3，∴a2009＝1， ∵2014＝2×1007，∴a2014＝a1007，

又1007＝4×252－1，∴a1007＝a4×252－1＝0. 4．已知数列{a n}，a1＝0，a n＋1＝，写出数列的前4项，并归纳出该数列的通项公式． 【解析】a1＝0，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝. 直接观察可以发现，把a3＝写成a3＝， 这样可知a n＝(n≥2，n∈N＋)． 当n＝1时，＝0＝a1， 所以a n＝(n∈N＋)． 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知数列{a n}满足：a1＝－，a n＝1－(n≥2)，则a4＝() C．－ 【答案】 C 【解析】∵a1＝－，a n＝1－(n≥2)， ∴a2＝1－＝1－＝5， a3＝1－＝1－＝， a4＝1－＝1－＝1－＝－. 2．数列{a n}满足a1＝，a n＝－(n≥2，n∈N＋)，则a2013＝() B．－ C．3 D．－3 【答案】 A

数列递推公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法 例1 在数列{}中，31 =a , ) 1(11++ =+n n a a n n ，求通项公式. 解：原递推式可化为：1 111 +- + =+n n a a n n 则, 2 11112 -+=a a 3 12123-+ =a a 4 13134-+ =a a ，……，n n a a n n 1111--+ =-逐项相加得：n a a n 111- +=. 故n a n 14- =. 二、作商求和法 例 2 设数列{}是首项为1的正项数列，且 0)1(12 2 1 =+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…） ，则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： ) ]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,4 3,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11 -= - 逐项相乘得： n a a n 1 1=，即=n 1. 三、换元法 例3 已知数列{}，其中9 13,3421 == a a ，且当n ≥3时， ) (3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式（1986年高考文科第八

题改编）. 解：设1 1 ---=n n n a a b ，原递推式可化为： } {,3 1 21n n n b b b --=是一个等比数列，9 1 3491312 1 =-= -=a a b ，公比为3 1.故n n n n b b )3 1 ()31(91)31(2211 ==?=---.故n n n a a )3 1 (1=--.由逐差法可得： n n a )3 1(2123-= . 例4已知数列{}，其中2,12 1 ==a a ，且当n ≥3时，122 1 =+---n n n a a a ，求通项公式。解 由122 1 =+---n n n a a a 得：1)()(2 1 1 =------n n n n a a a a ，令1 1 ---=n n n a a b ，则上式为12 1 =---n n b b ，因此是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b ΛΛ 又2 )1(12 1 -= +++-n n b b b n Λ 所以)1(2 1 1-= -n n a n ，即)2(2 12 +-= n n a n 四、积差相消法 例5设正数列，，…，，…满足2 -n n a a 2 1---n n a a = ) 2(≥n 且11 ==a a ，求的通项公式. 解 将递推式两边同除以2 1--n n a a 整理得：122 1 1=----n n n n a a a a 设= 1 -n n a a ，则0 11 a a b = =1，1 21=--n n b b ，故有 1 212=-b b ⑴122 3 =-b b ⑵ … … … …

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝ 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝ 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n

(2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4]

数列的递推公式练习

课时作业5 数列的递推公式(选学) 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．在数列{a n }中，a 1＝1 3，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5＝( ) A ．－16 3 C ．－83 【答案】 B 【解析】 由a n ＝(－1)n ·2a n －1知a 2＝23，a 3＝－2a 2＝－4 3，a 4＝2a 3 ＝－83，a 5＝－2a 4＝163. 2．某数列第一项为1，并且对所有n ≥2，n ∈N ，数列的前n 项之积为n 2，则这个数列的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝n 2 n －12 D ．a n ＝n ＋12 n 2 【答案】 C 【解析】 ∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴两式相除，得a n ＝n 2 n －12 . 3．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N ＋，则a 2 009＝________，a 2 014＝________. 【答案】 1 0 【解析】 考查数列的通项公式．

∵2 009＝4×503－3，∴a 2 009＝1， ∵2 014＝2×1 007，∴a 2 014＝a 1 007， 又1 007＝4×252－1，∴a 1 007＝a 4×252－1＝0. 4．已知数列{a n }，a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n ，写出数列的前4项，并归 纳出该数列的通项公式． 【解析】 a 1＝0，a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋13 3－13＝1 2，a 4＝1＋a 33－a 3 ＝1＋12 3－12 ＝3 5. 直接观察可以发现，把a 3＝12写成a 3＝2 4， 这样可知a n ＝n －1 n ＋1(n ≥2，n ∈N ＋)． 当n ＝1时，1－1 1＋1＝0＝a 1， 所以a n ＝n －1 n ＋1 (n ∈N ＋)． 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1 a n －1(n ≥2)，则a 4＝( ) C ．－14 【答案】 C

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用） 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足11231 3n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333 n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故

备战2020数学高考三大类递推数列通项公式的求法

三大类递推数列通项公式的求法 湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿 一、一阶线性递推数列求通项问题 一阶线性递推数列主要有如下几种形式： 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和). 当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时， 则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０． 2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积). 当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式． 3.； 这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式 . 例１已知数列中，,求的通项公式． 解析：解法一：转化为型递推数列． ∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即． 解法二：转化为型递推数列． ∵=2x n-1+1(n≥2) ①∴=2x n+1 ② ②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x 2-x 1 =2， 公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三：用迭代法． 当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．

例２已知函数的反函数为 求数列的通项公式. 解析：由已知得，则． 令=,则.比较系数，得. 即有．∴数列｛｝是以为首项，为 公比的等比数列，∴，故． 评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之． （4） 若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之. （5）； 这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例３设数列求数列的通项公式．解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．例４设求数列的通项公式． 解析：设用代入，可解出．

数列四种递推公式解题

浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法 寿县一中数学组 邵兵荣 摘要：本文是介绍数列通项公式的求法，数列的通项公式是研究数列性质的关键，对数列的单调性，数列的最大项，最小项，数列的求和等都有重大作用，通过构造等比数列将四种数列的递推公式转化为等比数列，先有等比数列的通项公式再求所求数列的通项公式。 关键词：等比数列 递推公式 通项公式 数列的递推公式是数列的一种表示方法，它反映的是数列相邻项之间的关系式，如果要研究某个数列的性质，我们就要确定其通项公式。本文就介绍了四种根据数列的递推公式求通项公式的方法。 一、数列}{n a 中，已知q pa a a a n n +==-11,，()+∈>N n n ,1，0,1≠≠q p ，求数列}{n a 的通项公式。 解析：可以设()x a p x a n n +=+-1，化简得()x p pa a n n 11-+=- 比较系数得到(),1q x p =-即1 -=p q x ， 所以数列}{n a 满足：??? ? ??-+=-+-111p q a p p q a n n 即数列}1{-+p q a n 是以首项为1 -+p q a ，公比为p 的等比数列。 即111-??? ? ??-+=-+n n p p q a p q a 所以111--???? ? ?-+=-p q p p q a a n n ，（0,1,≠≠∈+q p N n ） 【例1】设数列}{n a 满足, 23,111+==-n n a a a ()+∈>N n n ,1，求数列}{n a 的 通项公式。 解：根据231+=-n n a a 可以得到()1311+=+-n n a a 即数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，公比为3的等比数列。 所以1321-?=+n n a 即1321-?=-n n a 二、数列}{n a 中，已知a a =1，r qn pa a n n ++=-1，()+∈>N n n ,1，R r q a p ∈≠≠≠,0,0,1 ,求数列}{n a 的通项公式。 解析：可以设()]1[1y n x a p y xn a n n +-+=++-，可以得到

(完整版)数列递推公式练习(带答案)

数列递推公式练习 1、数列 Λ,99 10,638,356,154,32中第8项是 （ ） A. 19514 B. 25516 C. 32318 D. 39920 2、已知数列{}n a 满足()n n n n a a a 111-+=--且11=a ，则=3 5a a （ ） A. 1516 B. 34 C. 158 D. 3 8 3、数列{}n a 中，已知() *1221,2,1N n a a a a a n n n ∈-===++，则=2002a （ ） A. 1 B. 1- C. 2- D. 2 4、已知() *1133,21N n a a a a n n n ∈+==+，则=n a （ ） A. 52+n B. 42+n C. 53+n D. 4 3+n 5、数列{}n a 满足341+=-n n a a 且01=a ，则此数列第5项是 （ ） A. 15 B. 255 C. 16 D. 63 6、数列{}n a 中，02,311=-=+n n a a a ，数列{}n b 的通项n b 满足关系式 ()()*1N n b a n n n ∈-=，则=n b 。 7、设数列{}n a 满足11=a ，()1111 >+ =-n a a n n ，写出这个数列的前5项。 8、设数列{}n a 满足51=a ，n n a a 31=+，写出这个数列的前5项并归纳猜想通项公式。 9、数列{}n a 中，n n n a a a a a +==+12,11，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，

写出数列的一个通项公式。 10、设数列{}n a 满足11=a ，13321++=-+n n a a n n ，写出这个数列的前5项并归纳通项 公式。 11、已知数列{}n a 满足q pa a a n n +==+11,1，且15,342==a a ，求q p ,的值。 参考答案： 1、 B 2、 B 3、 B 4、 C 5、B