武汉理工大学数值分析考试试题及答案

武汉理工大学数值分析考试试题及

答案

部门： xxx

时间： xxx

整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

1、①工程中数值方法的主要思想

答：工程总，把理论与实际情况相结合，用数值方法直接求解较少简化的模型，及忽略一些无关的因素求出近似值，又使得到的景近似解满足程变得要求 ②数值方法中误差产生的原因

答：当数值模型不能得到精确解释，通常要用数值方法求接触他的近似解，七近似解与精确解之间的误差称为截断误差。当用计算机做数值计算时，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，计算过程总中有产生误差，这种误差称为舍入误差。③数值方法应用对象

由数学模型给出的数值计算方法，以及根据计算方法编制的法程序

2、取x=1、2、2时f在x=2

1处得近似解

解：二次拉格朗日插值多项式为 L

0k k k )x (l y

l 0

1

l 1

)x x )(x x ()x x )(x x (210120----=)

32)(12()

3x )(1x (----=-

l 2

)x x )(x x ()x x )(x x (120210----=)23)(13()2x )(1x (----=2

1

则L

k k k )x (l y =l 0

=21

1

=23x 2-213

x+7

所以L<21）=23×<21）2_213×<21

）+7

=8

33

即f(x>在x=21处得景近似解为8

33

3、f

1

,f

f

∞

与2f

解f4，x ∈[]1,1-,则 f ’(x>=4

所以f

∞f =}

{

)1(f ),1(f max )x (f max

1x 1-=≤≤-

=}{160,16m ax =

?-?-=

=

1

14

b

a

dx dx )x (f 1)1x (f

=

1

1

5)5x (51

--=532

2

1

1

1x 42

d )1x (f

??

????-=?-=2

1

1

1x 8

d )1x (?

?

????-?- =2

1

119|)1x (91??

?

???--

=

3

2

16929=

4、对权函数2()1x x ρ=-，区间[1,1]-，试求首项系数为1的正交多项式(),0,1,2,3.n x n ?= 解：

若2()1x x ρ=-，则区间[1,1]-上内积为

1

1(,)()()()f g f x g x x dx ρ-=?

定义0()1x ?=，则

11()()()()n n n n n x x x x ?α?β?+-=--

其中

1101

2

11

2

11211

3211

221

11

2211

21

((),())/((),())((),())/((),())(,1)/(1,1)(1)(1)0

()(,)/(,)

(1)(1)0

(,)/(1,1)

(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x dx x dx

x x

x x x x x x dx x x dx

x x x x dx x α????β????α?αβ--------==∴=+=

+=∴==+=+==+=

+?????

2216

2

158532()5

dx

x x ?==∴=-

?

3222213221

1

2

221

22212221

1

221

32332222

(,)/(,)

5555

22()()(1)5522()()(1)55

22

(,)/(,)

5522()()(1)55(1)136

17

525167015

2179

()57014

x x x x x x x x x dx x x x dx x x x x x x x dx x x dx x x x x x x

αβ?----=------+=--+==----+=+==∴=--=-????

5、求[]()0,1x f x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式。 解：

[](),0,1(),()0x x x f x e x f x e f x e =∈'∴=''=>

2212222

0()()

1

1ln(1)()1

()()()()22

1(1)ln(1)(1)

221

ln(1)2x x f b f a a e b a

e e x e

f x e e f a f x f b f a a x a b a e e e e -=

=--=-=-==-+-+=

-

-+--=--=-

于是得()f x 的最佳一次逼近多项式为

11

()(1)[ln(1)]22

1

(1)[(1)ln(1)]

2e P x e x e e x e e e =

+---=-+---

6、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

1

2

01

2

101

(1),8;4(1)

(2),10;

(3),4;

(4),6;

x x

dx n x e dx n x

n n ?-=+-===?

??

解：

2

1(1)8,0,1,,()84x

n a b h f x x =====

+

复化梯形公式为

7

81

[()2()()]0.111402k k h

T f a f x f b ==++=∑

复化辛普森公式为

7781012

[()4()2()()]0.111576k k k k h

S f a f x f x f b +===+++=∑∑ 1

2

1(1)

(2)10,0,1,,()10x e n a b h f x x

--====

=

复化梯形公式为

9

101

[()2()()] 1.391482k k h

T f a f x f b ==++=∑

复化辛普森公式为

99101012

[()4()2()()] 1.454716k k k k h

S f a f x f x f b +===+++=∑∑

(3)4,1,9,2,()n a b h f x =====

复化梯形公式为

3

41

[()2()()]17.227742k k h

T f a f x f b ==++=∑

复化辛普森公式为

3341012

[()4()2()()]17.32222

6(4)6,0,,,()6

36

k k k k h

S f a f x f x f b n a b h f x π

π

+===+++====

=

=∑∑

复化梯形公式为

5

61

[()2()()] 1.035622k k h

T f a f x f b ==++=∑

复化辛普森公式为

5561012

[()4()2()()] 1.035776k k k k h

S f a f x f x f b +===+++=∑∑

因此0I ≈

3

0(3)I =?

因此10.2075922I ≈

7、对1(),()[,]f x g x C a b ∈，定义

(1)(,)()()(2)(,)()()()()

b

a b

a

f g f x g x dx

f g f x g x dx f a g a ''=''=+??

问它们是否构成内积。 解：

(1)令()f x C ≡

则()0f x '= 而(,)()()b

a

f f f x f x dx ''=?

这与当且仅当0f ≡时，(,)0f f =矛盾

∴不能构成1[,]C a b 上的内积。

(2)若(,)()()()()b

a

f g f x g x dx f a g a ''=+?，则

(,)()()()()(,),(,)[()]()()()

[()()()()]

(,)

b

a

b

a

b

a

g f g x f x dx g a f a f g K

f g f x g x dx af a g a f x g x dx f a g a f g ααααα''=+=?∈''=+''=+=???

1[,]h C a b ?∈,则

(,)[()()]()[()()]()

()()()()()()()()(,)(,)

b

a

b

b

a

a

f g h f x g x h x dx f a g a h a f x h x dx f a h a f x h x dx g a h a f h h g ''+=++''''=+++=+??

?

22(,)[()]()0b

a

f f f x dx f a '=+≥?

若(,)0f f =，则

2

[()]0b

a

f x dx '=?,且2

()0f

a =

()0,()0f x f a '∴≡=

()0f x ∴≡

即当且仅当0f =时，(,)0f f =.

故可以构成1[,]C a b 上的内积。

8、已知一组实验数据如表，求它的拟合曲线。

解：设拟合曲线平p

()6

w ,4

0i i 00==??∑= ；()18x w )x ()x (w ,4

i i i 40

i 10i 10==??=??∑∑==

()64w )x ()x (w ,4

i 21i 4

i 11i 11=?=??=??∑∑==

()23)x (f w f ,i 40

i i 0==?∑= ；()66)x (f x w f ,i 4

i i i 1==?∑=

由法方程1,0k ,d a ),(j n

j j j k ==??∑= 得线性方程组

???=+=+66a 64a 1823

a 18a 610

10???

???-==103a 15

71a 10 于是所求拟合曲线 P

x 10

3

1571- 9、求解1x x 2--， （1）牛顿法，<2）二分法 解：牛顿法：

设f

1x 2)x ('f ,1x ......3,2,1k ,)

x ('f )

x (f x x 0k k k 1k -=-==-

=+取

则32311)x ('f )x (f x x 0001-

=---=-=；

21133

791

32)x ('f )x (f x x 1112-=---=-= 987

610

121

264411

2113)x ('f )x (f x x 2223-

=----=-= .

.. 此方法算得的)x (f k 越来越趋近于零。 二分法：

f

②设a=-1,b=1,取[]b ,a 的中点1-0f ,0x 0==）

（而<0,)x (f ∴的实根在[]0,1-之内，则令1b b ,1a a 11==-==，③取[]11b ,a 的中点41-21-f ,21x 1=-

=）（而<0,)x (f ∴的实根在?????

?

-21,1之内,

则令2

1b b ,1a a 22-==-==，

......如此反复下去，当为预定的精度的整数，ε≥ε<-*

1k ,x x k

由此便可求得符合精度要求的解 10、写出线性方程组

⑴雅克比行列式 ⑵高斯—赛德尔迭代法解：见课本187到190

申明：

所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用

途。