历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题(解析版)

历年高考数学真题汇编

专题16 以基本不等式为背景的应用题

1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．

【答案】30

【解析】总费用为600900464()4240x x x x +?=+≥?=，当且仅当900

x x

=，即30x =时等号成立．

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.

(1) 该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；

(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？

规范解答 (1) 由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H

tan β

， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.24

1.24－1.20

＝124.

因此算出的电视塔的高度H 是124 m. (2) (1) 由题知d ＝AB ，则tan α＝H d

.

由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h

d

，所以

tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β

＝

()h h

H H d d

-+

，

当且仅当d ＝555时取等号． 又0<α－β<π

2，所以当d ＝555时，tan(α－β)的值最大．

因为0<β<α<π

2

，

所以当d ＝555时，α－β的值最大．

3、【2013年高考江苏卷】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2

(k >0)表示的曲线上，其

中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1) 求炮的最大射程；

(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力．满分14分．

规范解答 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2

＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，

故x ＝20k 1＋k 2＝

20k ＋

1k

≤20

2

＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.

(2) 因为a >0，所以炮弹可击中目标等价于存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2

成立，

即关于k 的方程a 2k 2

－20ak ＋a 2

＋64＝0有正根， 所以判别式Δ＝(－20a )2

－4a 2

(a 2

＋64)≥0， 解得a ≤6，所以0

所以当a 不超过6km 时，炮弹可击中目标．

一、解函数应用问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模

型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.

以上过程用框图表示如下：

二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义

域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.运用基本不等式解决应用题一定要注意满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。

题型一、与几何体有关的应用题

以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特色的图形，此类问题的关键是把各个线段表示出来，进二列出函数的解析式，与几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。

例1、(2016常州期末）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m

宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积

．．．为S(m2)．

(1) 求S关于x的函数关系式；

(2) 求S的最大值．

规范解答 (1) 由题设得S ＝(x －8)????900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(6分) (2) 因为8

7 200x

≥2 2x ·7 200x

＝240，(8分)

当且仅当x ＝60时等号成立．(10分) 从而S ≤676.(12分)

答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.(14分) 例2、(2017南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b .

(1) 当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；

(2) 试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

思路分析 (1) 纸盒侧面积S (x )是关于x 的函数，即求S (x )max .

(2) 先猜想并证明a ＝b 时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x 的函数的最大值．

规范解答 (1) 当a ＝90时，b ＝40，纸盒的底面矩形的长为90－2x ，宽为40－2x ，周长为260－8x . 所以纸盒的侧面积S (x )＝(260－8x )x ＝－8x 2

＋260x ，其中x ∈(0,20)，(3分)

故S (x )max ＝S ? ??

??654＝

4 2252.

答：当a ＝90时，纸盒侧面积的最大值为4 225

2

平方厘米．(6分)

(2) 纸盒的体积V ＝(a －2x )(b －2x )x ，其中x ∈? ?

?

??

0，b 2，a ≥b ＞0，且ab ＝3 600.(8分)

因为(a －2x )(b －2x )＝ab －2(a ＋b )x ＋4x 2

≤ab －4abx ＋4x 2

＝4(x 2

－60x ＋900)，当且仅当a ＝b ＝60时取等号，

所以V ≤4(x 3

－60x 2

＋900x )，x ∈(0,30)．(10分) 记f (x )＝4(x 3

－60x 2

＋900x )，x ∈(0,30)， 则f ′(x )＝12(x －10)(x －30)， 令f ′(x )＝0，得x ＝10，列表如下：

由上表可知，f (x )答：当a ＝b ＝60，且x ＝10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000 立方厘米．(14分)

例3、(2016盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F (不与正方形的顶点重合)，连结AE ，EF ，FA ，使得∠EAF ＝45°. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为2×105

元/百米2

，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105

元/百米2

，则这三个区域的总投入最少需要多少元？

规范解答 设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T .

则T ＝2×105

·S ＋105

·(1－S )＝105

·(S ＋1)，从而只要求S 的最小值即可．(2分) 设∠EAB ＝α(0°<α<45°)，在△ABE 中，因为AB ＝1，∠B ＝90°，所以BE ＝tan α， 则S △ABE ＝12AB ·BE ＝1

2

tan α，(4分)

又∠DAF ＝45°－α，同理得S △ADF ＝1

2tan(45°－α)，(6分)

所以S ＝12[tan α＋tan(45°－α)]＝12tan α＋1－tan α

1＋tan α，(8分)

令x ＝tan α∈(0,1)，

S ＝12? ??

??

x ＋

1－x 1＋x ＝12? ????x －x －1x ＋1＝12? ?

???x ＋2x ＋1－1(10分)

＝

()121221x x ??++-??+??≥1

2

(22－2)＝2－1， 当且仅当x ＋1＝

2

x ＋1

，即x ＝2－1时取等号．(12分) 从而三个区域的总投入T 的最小值约为2×105

元．(14分) 题型二、与利润等有关的应用题

与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。

例4、(2019南京学情调研）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝at

t ＋1

；

销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为9

4万元；若全部投入乙种商

品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f(x)万元．

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润总和最大，并求最大值． 规范解答 (1)由题意P ＝

at

t ＋1

，Q ＝bt ， 故当t ＝3时，P ＝3a 3＋1＝9

4，Q ＝3b ＝1. (3分)

解得a ＝3，b ＝1

3. (5分)

所以P ＝3t t ＋1，Q ＝1

3t.

从而f(x)＝

3x x ＋1

＋3－x 3，x ∈. (7分)

(2)由(1)可得f(x)＝3x

x ＋1＋3－x 3＝133－? ????3x ＋1＋x ＋13. (9分) 故

3x ＋1＋x ＋13≥2，当且仅当3x ＋1

＝x ＋13，即x ＝2时取等号．从而f(x)≤133－2＝7

3. (11分)

所以f(x)的最大值为 7

3

.

答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是7

3万元．(14分)

例5 （2017·苏锡常镇二模）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：3

41

w x =-

+，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）．

（1）求利润函数()L x 的函数关系式，并写出定义域；

（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 解析（1）348()164264311L x x x x x x ?

?=---=-- ?

++?

?（50≤

（2）法一：()4848()643673111L x x x x x ??

=--=-++ ?++??

43≤=． 当且仅当

()48

311

x x =++时，即3x =时取等号．

故()max 43L x =．

答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元． 法二：()()

2

48

31L x x '=

-+，由()0L x '=得，3x =．

故当()0,3x ∈时，()0L x '>，()L x 在()0,3上单调递增； 当()3,10x ∈时，()0L x '<，()L x 在()3,5上单调递减； 故()max 43L x =．

答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．

例6、（2016镇江期末）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．

(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？

(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x (x ≥9)元，并投入26

5(x －9)万元

作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2

(x －8)2万只，则当每只

售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．

规范解答 (1) 设每只售价为x 元，则月销售量为????5－x －8

0.5×0.2万只．

由已知得????5－x －8

0.5×0.2(x －6)≥(8－6)×5，(3分)

所以25x 2－535x ＋296

5≤0，即2x 2－53x ＋296≤0.(4分)

解得8≤x ≤37

2

.(5分)

即每只售价最多为18.5元．(6分) (2) 下月的月总利润

y ＝??????5－x －8

0.5×0.2(x －8)2·(x －6)－265(x －9)(9分) ＝2.4－0.4x x －8－15x ＋234－1505

＝－0.4(x －8)－0.8x －8－15x ＋84

5

＝－??

???

?45(x －8)＋x －85＋745

.(10分) 因为x ≥9，所以4

5(x －8)

＋x －85≥2

425＝4

5

，(12分)

当且仅当4

5(x －8)＝x －85，即x ＝10，等号成立，所以y min ＝14.(13分)

答：当x ＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．(14分)

1、.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用______年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少). 答案 10

解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元. 由已知，得y ＝10＋0.9x ＋

0.2x 2

＋0.2x

2

x

，

即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *

).

由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x

10

，即x ＝10时取等号.因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元.

2、为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG （图中阴影部分）.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy （如图所示）.景观湖的边界曲线符合函数1(0)y x x x =+>模型，园区服务中心P 在x 轴正半轴上，4

3

PO =百米.

（1）若在点O 和景观湖边界曲线上一点M 之间修建一条休闲长廊OM ，求OM 的最短长度； （2）若在线段DE 上设置一园区出口Q ，试确定Q 的位置，使通道PQ 最短.

解：（1）设直线:OM y kx =（其中k 一定存在），代入1

y x x

=+

，

得1kx x x

=+

，化简为()2

11k x -=.

设()11,M x y ，则1x =

，()1k >

所以OM ====

令1(0)t k t =->，则

221222

221k t t t k t t

+++==++≥-，

当且仅当t =

时等号成立，即1k =时成立.

综上，OM （2）当直线PQ 与边界曲线相切时，PQ 最短. 若直线PQ 斜率不存在，则直线方程为4

3

x =

，不符合题意； 若直线PQ 斜率存在，设PQ 方程为43y k x ??=- ??

?，代入1y x x

=+， 化简得24

(1)103

k x kx --

-=. 当1k =时，方程有唯一解3

4

x =-

（舍去）， 当1k ≠时，因为直线与曲线相切，所以2

44(1)03k k ??

?=-+-= ???

，

解得3k =-或3

4k =

（舍去）， 此时直线PQ 方程为34y x =-+， 令5y =，得13

x =-，即点Q 在线段DE 上且距离y 轴1

3

百米. 答：当点Q 在线段DE 上且距离y 轴

1

3

百米，通道PQ 最短. 3、(2016无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝

x ＋24

(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本6????P ＋1

P 万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为???

?4＋20

P 元/件． (1) 将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

规范解答 (1) 由题意知，

y ＝????4＋20P P －x －6???

?P ＋1

P .(3分) 将P ＝x ＋2

4

代入化简得

y ＝19－24x ＋2－3

2

x (0≤x ≤a )．(5分)

(2) y ＝22－32????16

x ＋2＋x ＋2≤22－3

16

x ＋2

×(x ＋2) ＝10，

当且仅当16

x ＋2

＝x ＋2，即x ＝2时，上式取等号．(8分)

所以当a ≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；(9分) 由y ＝19－24x ＋2－32x ，得y ′＝24(x ＋2)2－3

2， 当x <2时，y ′>0，此时函数y 在[0,2]上单调递增， 所以当a <2时，函数y 在[0，a ]上单调递增，(11分) 所以当x ＝a 时，函数有最大值．

即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．(12分)

综上，当a ≥2时，促销费用投入2万元，厂家的利润最大；当a <2时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大．(14分)

4、(2017南通一调）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C ，D 分别落在直线BC 下方点

M ，N 处，FN 交边BC 于点P )，再沿直线PE 裁剪．

(1) 当∠EFP ＝π

4

时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；

(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．

规范解答 (1) 当∠EFP ＝π

4

时，由条件得

∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ＝π

4

.

所以∠FPE ＝π

2.所以FN ⊥BC ，

四边形MNPE 为矩形．(3分)

所以四边形MNPE 的面积S ＝PN ·MN ＝2(m 2

). (5分)

(2) 解法1 设∠EFD ＝θ? ????0＜θ＜π2，由条件，知∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ＝θ. 所以PF ＝

()2sin 2πθ-＝2

sin2θ

，

NP ＝NF －PF ＝3－2

sin2θ

， ME ＝3－

2

tan θ

.(8分) 由????? 3－2sin2θ

＞0，3－

2

tan θ

＞0，0＜θ＜π2

，得?????

sin2θ＞2

3

，

tan θ＞23，

0＜θ＜π2

.(*)

所以四边形MNPE 面积为

S ＝1

2

(NP ＋ME )MN

＝12??????? ?

???3－2sin2θ＋? ????3－2tan θ×2

＝6－2tan θ－2

sin2θ

＝6－2tan θ

－

2

sin 2

θ＋cos 2

θ

2sin θcos θ

＝6－? ????tan θ＋3tan θ (12分) ≤6－2

tan θ·3tan θ

＝6－2 3.

当且仅当tan θ＝3tan θ，即tan θ＝3，θ＝π

3时取“＝”．(14分)

此时，(*)成立．

答：当∠EFD ＝π3时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为(6－23) m 2

.(16分)

5、(2016镇江期末）如图，某工业园区是半径为10km 的圆形区域，离园区中心O 点5km 处有一中转站P ，

现准备在园区内修建一条笔直公路AB 经过中转站，公路AB 把园区分成两个区域．

(1) 设中心O 对公路AB 的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；

(2) 为方便交通，准备过中转站P 在园区内再修建一条与AB 垂直的笔直公路CD ，求两条公路长度和的最小值．

规范解答 (1) 如图1，作OH ⊥AB ，设垂足为H ，记OH ＝d ，α＝2∠AOH ，因为cos ∠AOH ＝d

10，(1分)

要使α有最小值，只需要d 有最大值，结合图像可得，

d ≤OP ＝5 km ，(3分)

当且仅当AB ⊥OP 时，d max ＝5 km. 此时αmin ＝2∠AOH ＝2×π3＝2π

3

.(4分)

设AB 把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S ， 由题意得S ＝f (α)＝S 扇形－S △AOB ＝50(α－sin α)，(6分)

f ′(α)＝50(1－cos α)≥0恒成立，所以f (α)为增函数，(7分)

所以S min ＝f ?

??

??2π3＝502π3－32 km 2.(8分)

答：视角的最小值为2π3，较小区域面积的最小值是502π3－32

km 2

.(9分)

图1

(2) 如图2，过O 分别作OH ⊥AB ，OH 1⊥CD ，垂足分别是H ，H 1，记OH ＝d 1，OH 1＝d 2，由(1)可知d 1∈[0,5]， 所以d 2

1＋d 2

2＝OP 2

＝25，且d 2

2＝25－d 2

1，(10分) 因为AB ＝2100－d 2

1，CD ＝2100－d 2

2， 所以AB ＋CD ＝2(100－d 2

1＋100－d 2

2) ＝2(100－d 2

1＋75＋d 21)，(11分) 记L (d 1)＝AB ＋CD ＝2(100－d 2

1＋75＋d 2

1)，

可得L 2

(d 1)＝4[175＋，(12分)

由d 2

1∈[0,25]，可知d 2

1＝0或d 2

1＝25时，L 2

(d 1)的最小值是100(7＋43)， 从而AB ＋CD 的最小值是(20＋103) km.(13分) 答：两条公路长度和的最小值是(20＋103) km.(14分)

图2

6、(2018扬州期末）如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P ，Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ)为2π

3、半径为1千米，为

了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA ，OB 交于M ，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ ︵

相切于点S.设∠POS ＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．

(1) 试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； (2) 试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值．

规范解答 (1) 因为MN 与扇形弧PQ ︵

相切于点S ，所以OS ⊥MN.

在Rt △OSM 中，因为OS ＝1，∠MOS ＝α，所以SM ＝tan α.在Rt △OSN 中，∠NOS ＝2π

3－α，所以

SN ＝tan ??

?

?2π

3－α， 所以MN ＝tan α＋tan ????2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，(4分)

其中π6<α<π

2.(6分)

(2) 解法1(基本不等式) 因为

π

6<α<π

2

，所以3tan α－1>0.

令t ＝3tan α－1>0，则tan α＝3

3

(t ＋1)， 所以MN ＝

33????

t ＋4t

＋2.(8分)

由基本不等式得MN ≥

33·???

?2t ×4t ＋2＝23，(10分) 当且仅当t ＝4

t ，即t ＝2时取“＝”．(12分)

此时tan α＝3，由于π6<α<π2，故α＝π

3

.(13分)

解法2(三角函数) MN ＝3（tan 2α＋1）3tan α－1＝33sin αcos α－cos 2α＝3

32sin 2α－12cos 2α－1

2

＝

3

sin ?

???2α－π6－

1

2.(10分)

因为π6<α<π2，所以π6<2α－π6<5π6，故1

2

所以当sin ?

???2α－π6＝1，即α＝π3时，MN min ＝31－

12

＝2 3.(13分)

答：(1) MN ＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，其中π6<α<π

2；

(2) 当α＝π

3时，MN 的长度最小，为23千米．(14分)

(注：第(2)问中最小值对，但第(1)问定义域不对的扣2分．)

7、某市近郊有一块400 m×400 m 正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建造一个总面积为3 000 m 2的矩形场地(如图所示) ．图中，阴影部分是宽度为2 m 的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为S m 2． （1）求S 关于x 的函数关系式，并给出定义域； （2）当x 为何值时S 取得最大值，并求最大值．

解析 （1）设矩形场地的另一条边的长为y ，则xy ＝3 000即y ＝3 000x

，且7.5＜x ＜400．

S ＝(x －4)a +(x －6)a ＝(2x －10)a ．因为2a + 6＝y ，所以a ＝y 2－3＝1 500

x －3，

所以S ＝(2x －10)·

(

)15003x -＝3030－()

15000

6x x

+，其定义域是(7.5，400)．

（2）S ＝3 030－

(

)15000

6x x

+≤3 030－26x ·15 000x

＝3 030－2×300＝2 430．

当且仅当15 000

x ＝6x ，即x ＝50∈(7.5，400)时，上述不等式等号成立，

此时x ＝50，S max ＝2430(m 2)． 答：当x ＝50m 时，S 取得最大值，其最大值为2430m 2．

高中数学不等式练习题

1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为.

13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294

高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽

视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。

新课标数学历年高考试题汇总及详细答案解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷Ⅱ） 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 【答案】D 把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。所以选D. 2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 【答案】B . ,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=Θ 3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ?b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A . ,1,62-102∴,6|-|,10||2 222A b a 故选联立方程解得，==+=++==+Θ 4.钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1， ，则AC=( ) A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】B

. .5,cos 2-4 3π ∴ΔABC 4π .43π,4π∴, 22 sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。 为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======???==Θ 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】 A . ,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=?= 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13 【答案】 C ..27 10 π54π34-π54π.342π944.2342π. 546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为== ∴=?+?=∴=?=∴πΘΘ

高考数学不等式专题

基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

高中数学不等式练习题(供参考)

不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )

(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）

天津市近五年高考数学真题分类汇总

天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位，复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位，复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位，5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础 题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析：旦5^ 2 i 5 1 2i，故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位，i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位，——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答 案】 C 【分 析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1，故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧： 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i

i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷］设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的 充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案 】A 【解 析 】当x 2且y 2时， 「疋有x y 4 ；反过来当 【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。 解析：由题否定即“不存在 x 0 R ，使2x0 0”，故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4，不一定有x 2且y 2，例如x 4, y 0也可以，故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃 ， (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 ,

2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ．

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<

(完整)高中数学一元二次不等式练习题

一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1

历年全国卷高考数学真题汇编解析版定稿版

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全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ?? =+ ??? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】 D 【解析】 1:cos C y x =，22π:sin 23??=+ ??? C y x 【解析】 首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】 πππ cos cos sin 222 ???? ==+-=+ ? ?? ? ? ? y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，

【解析】 即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】 2ππsin 2sin 233? ?? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π 4+x 平移至π3 +x ， 【解析】 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上 π12，即再向左平移π12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应 用. 【解析】 （1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】 ∴21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】 ∴223sin 2 a bc A = 【解析】 ∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2 A B C A =，

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

高考数学专题练习：不等式与线性规划

高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－33。 4。 若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A 。若a ＞b ,则ac 2>bc 2 B 。若a ＜b ＜0,则a 2＞ab ＞b 2

高中数学不等式单元测试题(含有详细答案--

高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

2018年高考数学—不等式专题

不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知， 当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.

(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0， 则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( )

最新高一数学不等式练习题

高一数学不等式练习题 1、不等式1 1 2x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-?(2,)+∞ 2、不等式2 01x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-， 3、已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） （A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3} 4 ) A. D. 5、不等式203x x ->+的解集是（ ） (A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) 6、若不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．5 2- Ｄ．3- 7、设x 、y 为正数，则有(x+y)(1 x ＋4 y )的最小值为（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6 8、.若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 9、下面给出的四个点中，位于???>+-<-+01, 01y x y x 表示的平面区域内的点是（ ） （A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0) 10、已知函数()???≥ -<+-=01 1x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ） (A) {}121|-≤≤-x x (B) { }1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x