高中数学必备知识点-4
19,题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法
高考要求
不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式
重难点归纳
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一
步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法
(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法
(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等
式
(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论
x ? 典型题例示范讲解
例 1 已知 f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且 f (1)=1，若 m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0 时
f (m ) + f (n ) ＞0
m + n
(1) 用定义证明 f (x )在［－1，1］上是增函数；
(2) 解不等式 f (x + 1
2
)＜f ( 1 x -1 )；
(3)若 f (x )≤t 2
－2a t +1 对所有 x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数 t 的取值范围
命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力
知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，
是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用
错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x + 1 2 ∈［－1，1］， 1 x -1
∈［－1，1］必不
可少，这恰好是容易忽略的地方
技巧与方法 (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把 f (x )转化成“1”是点睛之笔
(1)证明 任取 x ＜x ，且 x ，x ∈［－1，1］，则 f (x )－f (x )=f (x )+f (－x )=
f ( x 1 ) + f (-x 2 )
·(x －
1
2
1
2
1
2
1
x 1 - x 2
x 2)
∵－1≤x 1＜x 2≤1，
∴x +(－x )≠0，由已知
f ( x 1 ) + f (-x 2 )
＞0，又 x －x ＜0，
1
2
- x 1 2
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即 f (x )在［－1，1］上为增函数 (2)解 ∵f (x )在［－1，1］上为增函数，
?
- 1 ≤ x + 1 ≤ 1 ?
∴ ?- 1 ≤ 2 1 ≤ 1
解得 {x |－
3 ≤x ＜－1，x ∈R }
? x - 1 2
?x + 1 < 1 ?? 2 x - 1
2
1
1 2
(3)解由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，
故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，
所以要f(x)≤t2－2a t+1 对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2a t+1≥1成立，故t2－2a t≥0，记g(a)=t2－2a t，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，
只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于 0，g(－1)≥0，g(1)≥0，
解得，t≤－2 或t=0 或t≥2
∴t的取值范围是{t|t≤－2 或t=0 或t≥2}
例 2 设不等式x2－2a x+a+2≤0的解集为M，如果M?［1，4］，求实数a的取值范围
命题意图考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系
知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分
类讨论的数学思想
错解分析M=?是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错
技巧与方法该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次
函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗
解M ?［1，4］有两种情况其一是M= ?，此时Δ＜0；其二是M≠?，此时Δ=0 或Δ＞0，
分三种情况计算a的取值范围
设f(x)=x2 －2a x+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) (1)
当Δ＜0 时，－1＜a＜2，M= ?? ［1，4］
(2)当Δ=0 时，a=－1 或 2
当a=－1 时M={－1} ?［1，4］；当a=2 时，m={2} ? ［1，4］
(3)当Δ＞0 时，a＜－1 或a＞2
即? ?
? 设方程 f (x )=0 的两根 x 1，x 2，且 x 1＜x 2，
那么 M =［x ，x ］，M ? ［1，4］ ? 1≤x ＜x ≤4 ?
? f (1) > 0,且f (4) > 0
1
?- a + 3 > 0 ?18 - 7a > 0 ?
a > 0
??a < -1或a > 2
2
1 2
，解得 2＜a ＜ 18 ， 7 ?1 ≤ a ≤ 4,且? > 0
∴M ? ［1，4］时，a 的取值范围是(－1， 18 )
7
例 3 解关于 x 的不等式
a ( x -1)
＞1(a ≠1)
x - 2
解 原不等式可化为 (a - 1)x + (2 - a ) ＞0，
x - 2 ①当 a ＞1 时，原不等式与(x － a - 2
)(x －2)＞0 同解
a -1
由于 a - 2 = 1- a -1
1 a -1 < 1 < 2
∴原不等式的解为(－∞，
a - 2 )∪(2，+∞)
a -1
②当 a ＜1 时，原不等式与(x －
a - 2 )(x －2) ＜0 同解
a -1
由于 a - 2
= 1- a -1
1 a -1 ,
若 a ＜0， a - 2 = 1- a -1
1 a -1 <
2 ,解集为( a - 2
，2)；
a -1 若 a =0 时， a - 2
= 1- a -1
1 a -1 =
2 ，解集为? ；
若 0＜a ＜1， a - 2 = 1- a -1
1 a -1 >
2 ,解集为(2， a - 2
)
a -1 综上所述 当 a ＞1 时解集为(－∞， a - 2 )∪(2，+∞)；当 0＜a ＜1 时，解集为(2， a - 2
)；当
a -1 a =0 时，解集为? ；当 a ＜0 时，解集为(
a - 2 ，2）
a -1
a -1
20,题目 高中数学复习专题讲座 不等式知识的综合应用高考要求
不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出 不等式的应用大致可分为两类 一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一
? 些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题 重难点归纳
1 应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性
2 对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题 典型题例示范讲解
例 1 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积 为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器
(如右图)设容器高为 h 米，盖子边长为 a 米，
(1) 求 a 关于 h 的解析式；
(2) 设容器的容积为 V 立方米，则当 h 为何值时，V 最大？求出 V 的最大值(求解本题时，不计容
器厚度)
命题意图 本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值
知识依托 本题求得体积 V 的关系式后，应用均值定理可求得最值
错解分析 在求得 a 的函数关系式时易漏 h ＞0
技巧与方法 本题在求最值时应用均值定理
解 ①设 h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得
?a 2
+ 4 ? 1 h 'a = 2 ? 2 消去h '.解得: a = ?1 (a > 0) ?a 2 + 1 a 2 = h 12
?? 4
②由V = 1
a 2h =
3
h
3(h 2
+ 1)
(h ＞0) h 2 + 1
h ? 1 h 得 V = 1
3(h + 1 )
h 1 而h + 1
= 2 = 2 h 1
所以 V ≤ 6
，当且仅当 h = h
即 h =1 时取等号
1 故当 h =1 米时，V 有最大值，V 的最大值为
6
立方米
例 2 已知 a ，b ，c 是实数，函数 f (x )=a x 2
+b x +c ，g (x )=a x +b ，当－1≤x ≤1 时|f (x )|≤1
(1)证明 |c |≤1；
(2)证明 当－1 ≤x ≤1 时，|g (x )|≤2；
(3) 设 a ＞0，有－1≤x ≤1 时， g (x )的最大值为 2，求 f (x )
命题意图 本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力
知识依托 二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂
错解分析 本题综合性较强，其解答的关键是对函数 f (x )的单调性的深刻理解，以及对条件“－ 1≤x ≤1 时|f (x )|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局
技巧与方法 本题(2)问有三种证法，证法一利用 g (x )的单调性；证法二利用绝对值不等式
||a |
－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |；而证法三则是整体处理 g (x )与 f (x )的关系
(1)证明 由条件当=1≤x ≤1 时，|f (x )|≤1， 取 x =0 得 |c |=|f (0)|≤1，即|c |≤1 (2)证法一 依题设|f (0)|≤1 而 f (0)=c ，
所以|c |≤1 当 a ＞0 时，g (x )=a x +b 在［－1，1］上是增函数，
于是 g (－1)≤g (x )≤g (1)，(－1≤x ≤1) ∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，|c |≤1，
∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤|f (1)|+|c |=2，
g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(|f (－2)|+|c |)≥－2，
因此得|g (x )|≤2
(－1≤x ≤1)；
当 a ＜0 时，g (x )=a x +b 在［－1，1］上是减函数， 于是 g (－1)≥g (x )≥g (1)，(－1≤x ≤1)， ∵|f (x )|≤1
(－1≤x ≤1)，|c |≤1
∴|g (x )|=|f (1)－c |≤|f (1)|+|c |≤2
综合以上结果，当－1≤x ≤1 时，都有|g (x )|≤2
证法二 ∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1)
∴|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，|f (0)|≤1，
∵f (x )=a x 2
+b x +c ，∴|a －b +c |≤1，|a +b +c |≤1，|c |≤1，
因此，根据绝对值不等式性质得 |a －b |=|(a －b +c )－c |≤|a －b +c |+|c |≤2，
|a +b |=|(a +b +c )－c |≤|a +b +c |+|c |≤2，
∵g (x )=ax +b ，∴|g (±1)|=|±a +b |=|a ±b |≤2， 函数 g (x )=a x +b 的图象是一条直线，
因此|g (x )|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点 x =－1 或 x =1 处取得，于是由|g (±1)|≤2 得|g (x )|
≤2，(－1＜x ＜1 )
( x + 1)2
- ( x - 1)2
证法三: x =
4
= ( x + 1)2 2
- ( x - 1)2
,
2 ∴ g ( x ) = ax + b = a [( x + 1)2 - ( x - 1)2 ] + b ( x + 1 - x - 1
)
2 2 2 2
= [a ( x + 1)2 + b ( x + 1) + c ] - [a ( x - 1)2 + b ( x - 1) + c ]
2 2 2 2 = f ( x + 1) - f ( x - 1)
2 2
当－1≤x ≤1 时，有 0≤
x + 1 ≤1，－1≤ x -1 ≤0，
2
2
∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，∴|f (
x + 1) |≤1，|f ( x -1
)|≤1； 2 2
因此当－1≤x≤1 时，|g(x)|≤|f ( x + 1) |+|f( x -1 )|≤2
2 2
(3)解因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1 时取得最大值 2，即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2
①
∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1
因为当－1≤x≤1 时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，
根据二次函数的性质，直线x=0 为f(x)的图象的对称轴，
由此得－b
2a
＜0 ，即b=0
由①得a=2，所以f(x)=2x2－1
例 3 设二次函数f(x)=a x2+b x+c(a＞0)，方程f(x)－x=0 的两个根x、x满足 0＜x＜x＜1
1 2 1 2 a
(1)当x∈［0，x1 )时，证明x＜f(x)＜x1；
(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x 对称，证明x＜x1
0 0 2
解(1)令F(x)=f(x)－x，因为x1，x2 是方程f(x)－x=0 的根，所以F(x)=a(x－x1)(x－x2) 当x∈(0，
x
1
)时，由于x1＜x2，得(x－x1)(x－x2)＞0，
又a＞0，得F(x)=a(x－x1)(x－x2)＞0，即x＜f(x) x1－f(x)=x1－［x+F(x)］
=x1－x+a(x1－x)(x－x2)=(x1－x)［1+a(x－x2)］
1
∵0＜x＜x＜x＜，∴x－x＞0，1+a(x－x)=1+a x－a x＞1－a x＞0
1 2 a 1 2 2 2
∴x1－f(x)＞0，由此得f(x)＜x1
(2)依题意x=－b，因为x、x是方程fx)－x=(0 的两根，即x，x是方程a x2+(b－1)x+c=0
0 2a 1 2 1 2
的根
∴x+x=－b -1
1 2 a
∴x=－b=a(x1 +x2 ) - 1 =ax1 +ax2 - 1 ，因为ax＜1，
0 2a 2a 2a 2
∴x＜ax1 =x1
0 2a 2
21,题目高中数学复习专题讲座直线方程及其应用
高考要求
直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的
重难点归纳
1对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等
2对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具3线性规划是直线方程的又一应用线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域求线性目标函数z=a x+b y的最大值或最小值时，设t=a x+b y,则此直线往右(或左) 平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解
4由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力
典型题例示范讲解
例 1 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α
＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
命题意图本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力
ab ab y
A B
α
o
C x
知识依托 三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值
错解分析 解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求 t a n AC B 的最大值 如果坐标系选择不当，或选择求 si n ACB 的最大值 都将使问题变得复杂起来
技巧与方法 欲使看画的效果最佳，应使∠
A C
B 取最大值，欲求角的最值，又
需求角的一个三角函数值
解 建立如图所示的直角坐标系，A O 为镜框边，A B 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在 x
轴的正半轴上找一点 C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值
由三角函数的定义知 A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、
(b cos α,b sin α),于是直线 A C 、B C 的斜率分别为
k A C
=tan x C A = 于是 a sin α a cos α- x , k BC
= tan xCB = b sin α .
b cos α- x
t a n A C B =
k BC - k AC = ?(a -b )? x sin α =
?(a -b )?sin α
1 + k BC ? k AC ab -(a + b )x cos α+ x
2 ab
+ x -(a + b )?cos α x
由于∠A C B 为锐角，且 x ＞0,则 t a n A C B ≤
(a - b ) ? s in α
,
当且仅当
ab =x ，即 x = x
2
时，等号成立，
- (a + b ) c os α
此时∠A C B 取最大值，对应的点为 C (
,0),
因此，学生距离镜框下缘 cm 处时，视角最大，即看画效果最佳
例 2 预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，
但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的 1 5 倍，问桌、椅各买多少才行？
命题意图 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解
知识依托 约束条件，目标函数，可行域，最优解
ab ab
?
y ≤ 1.5x ? ? ??
? 错解分析 解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设
技巧与方法 先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解
解 设桌椅分别买 x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件
?50x + 20 y ≤ 2000 ? y ≥ x
?50x + 20 y = 2000 ?x = 200
为? ? ??x ≥ 0, y ≥ 0
由?
y = x ,解得?
? y = ?
7 200
7 ∴A 点的坐标为( 200 ， 200 )
7
?50x + 20 y = 2000
7
?x = 25 由? y = 1.5x ,解得? 75 y =
? 2
∴B 点的坐标为(25，
75 )
2
所以满足约束条件的可行域是以 A ( 200 ，
200 )，B (25，
75 )，O (0，0)为顶点的三角形区域(如
7
7
2
右图)
由图形直观可知，目标函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，
75
)，但注意到 x ∈N ,y ∈N *,故
2
取 y =37
故有买桌子 25 张，椅子 37 张是最好选择
例 3 抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方
向射出，今有抛物线 y 2
=2p x (p ＞0) 一光源
在点 M (
41
,4)处，由其发出的光线沿平
4
行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点 P ，折射后又射向抛物线上的点 Q ，再
折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射 出，途中遇到直线 l 2x －4y －17=0
上的点 N ，再折射后又射回点 M (如下图所示)
(1) 设 P 、Q 两点坐标分别为(x ,y )、(x ,y )，证明
y ·y =－p 2
； 1 1
2 2
1 2
(2) 求抛物线的方程；
? (3) 试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点 M 关于P N 所在的直线对称？若存在，请求出
此点的坐标；若不存在，请说明理由
命题意图 对称问题是直线方程的又一个重要应用 本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力
知识依托 韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方
程
错解分析 在证明第(1)问题，注意讨论直线P Q 的斜率不存在时
技巧与方法 点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键
(1) 证明 由抛物线的光学性质及题意知
光线PQ 必过抛物线的焦点 F ( p
，0)，
2
设直线P Q 的方程为 y =k (x － p
) ①
2
1 p 2
2
2 p 2
由①式得 x = y +
k
2
yy =－p 2
,将其代入抛物线方程y =2px 中，整理，得 y －
k
y －p =0,由韦达定理，
1 2
当直线P Q 的斜率角为 90°时，将 x = p
代入抛物线方程，得 y =±p ,同样得到 y ·y =－p 2
2
1 2
(2) 解 因为光线 Q N 经直线 l 反射后又射向 M 点，所以直线 M N 与直线 Q N 关于直线 l 对称，
设点 M (
41
，4)关于 l 的对称点为 M ′(x ′,y ′)，则
4
? y ' - 4 ? 1 = -1
? x ' - 41 2 ? 51 ? 4 ? 41 解得?x ' = 4 ? x ' + y ' + 4 ?? y ' = -1 ?2 ? ?4 - 4 ? - 17 = 0 ?? 2 2
直线 Q N 的方程为 y =－1,Q 点的纵坐标 y 2=－1，
由题设 P 点的纵坐标 y =4，且由(1)知
y ·y =－p 2,则 4·(－1)=－p 2
, 1
1 2
得 p =2,故所求抛物线方程为 y 2=4x
(3) 解 将 y =4 代入 y 2
=4x ,得 x =4，故 P 点坐标为(4，4)
? 4 ? ? 将 y =－1 代入直线 l 的方程为 2x －4y －17=0,得 x = 13 ,
2
故 N 点坐标为(
13 ，－1)
2
由 P 、N 两点坐标得直线 P N 的方程为 2x +y －12=0, 设
M 点关于直线 N P 的对称点 M 1(x 1,y 1)
? y 1 - 4 ? (-2) = -1 ? x -
41
??1 则 1 解得?x 1 = 41 ? x 1 + y + 4 ?? y 1 = -1 ?2 ? ?4 + 1 - 12 = 0 ?? 2 2
1 2
1
又 M 1( 4
,－1)的坐标是抛物线方程y =4x 的解，故抛物线上存在一点( 4
，
－1)与点 M 关于直线 PN 对称
例 3 已知|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证
a b c +2＞a +b +c
证明 设线段的方程为 y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜a ＜1
∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0
f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0
∴线段 y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在 x 轴上方，
这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1 时，恒有 abc +2＞a +b +c
22,题目 高中数学复习专题讲座 曲线的轨迹方程的求法高考要求
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 重难点归纳
4
( x - 4)2 + y 2
求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法
(1) 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得
动点轨迹方程
(2) 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可
用定义直接探求
(3) 相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
(4) 参数法 若动点的坐标(x ,y )中的 x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参
数，建立轨迹的参数方程
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念
典型题例示范讲解
2
2
例 1 如图所示，已知 P (4，0)是圆 x +y =36
x
内的一点，A 、B 是圆上两动点，
且满足∠AP B =90°，求矩形 A P B Q 的顶点 Q 的轨
迹方程
命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程
知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段 A B 中点的轨迹方程
错解分析 欲求 Q 的轨迹方程，应先求 R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题
技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程
解 设 A B 的中点为 R ，坐标为(x ,y )，则在 R t △ABP 中，|A R |=|P R |
又因为 R 是弦 A B 的中点，依垂径定理 在 Rt △O A R 中，|A R |2=|A O |2－|O R |2=36－(x 2+y 2
)
又|A R |=|P R |=
所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即 x 2+y 2
－4x －10=0
y
B Q
R
A
o
P
( y y ) 2 因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 设 Q (x ,y )，R (x ,y )，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x =
x + 4
, y =
y + 0 ,
1 1
1
2
1 2
代入方程 x 2+y 2
－4x －10=0,得
( x + 4 )2
+ ( 2 y )2 - 4 ?
x + 4 －10=0 2 2
整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程
例 2 设点 A 和 B 为抛物线 y 2=4p x (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知 O A ⊥O B ，O M ⊥A B ， 求
点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线
命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程
知识依托 直线与抛物线的位置关系
错解分析 当设 A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论
技巧与方法 将动点的坐标 x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于 x 、y 的关系
解法一 设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M
(x ,y ) (x ≠0)
直线 AB 的方程为 x =my +a 由 O M ⊥A B ， 得 m =－ y
x
由 y 2=4p x 及 x =m y +a ，消去 x ,得 y 2－4p my －
4pa =0
2
所以 yy =－4pa , xx =
1 2 = a 1 2
1 2
(4 p )2
所以，由 O A ⊥O B ，得 x 1x 2 =－y 1y 2
所以a 2 = 4 pa ? a = 4 p
故 x =m y +4p ,用 m =－ y 代入，得 x 2+y 2－4p x =0(x ≠0)
x
故动点 M 的轨迹方程为 x 2+y 2
－4p x =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去
掉坐标原点
解法二 设 OA 的方程为 y = kx ，代入 y 2=4p x 得A ( 2 p , 2 p )
k 2 k
y
A
o
N x
M
B
y
P
A o
B
x
Q
则O B 的方程为y = - 1
x ，代入 y 2
=4p x 得B (2 pk 2 , -2 pk )
k
∴A B 的方程为y =
k
1- k 2
(x - 2 p ) ，过定点N (2 p , 0)， 由 OM ⊥AB ，得 M 在以 ON 为直径的圆上（O 点除外）
故动点 M 的轨迹方程为 x 2+y 2
－4p x =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去 掉
坐标原点
解法三 设 M (x ,y ) (x≠0)，O A 的方程为 y = kx ，
代入 y 2
=4p x 得A ( 2 p , 2 p )
k 2 k 则O B 的方程为y = - 1 x ，代入 y 2
=4p x 得B (2 pk 2 , -2 pk )
k 由 OM ⊥AB ， 得 M 既在以 OA 为直径的圆
x 2 + y 2 -
2 p x -
2 p y = 0 ……①上，
k
2
k
又在以 OB 为直径的圆 x 2 + y 2 - 2 pk 2 x + 2 pky = 0 ……②上（O 点除外），
①?k 2 +②得 x 2+y 2
－4p x =0(x ≠0)
故动点 M 的轨迹方程为 x 2+y 2－4p x =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去 掉
坐标原点
例 3 某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为 3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？
命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力
知识依托 圆锥曲线的定义，求两曲线的交点
错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键
技巧与方法 研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程
解 设直径为3,2,1 的三圆圆心分别为O 、A
B ，问题转化为求两等圆 P 、Q ,使它
们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切
建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为
r 则,
y
M(x,y)
A(-a,0)
o B(a,0) x
|PA |+|PO |=(1+r)+(1
5－r)=2 5
∴点 P 在以 A 、O 为焦点，长轴长 2
5 的椭圆上，其方程为
16( x + 1 )2 2 4 + 2 y =1
①
25 3
同理 P 也在以 O 、B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆上，其方程为
(x － 1 2 )2+ 4
y 2
=1
②
3
由①、②可解得 P ( 9 , 12
),Q ( 9 ,- 12
) ， ∴r = 3 - 2
14 14
=
3 7 1
4 14
故所求圆柱的直径为 6
cm
7
例 4 已知 A 、B 为两定点，动点M 到 A 与
到 B 的距离比为常数λ,求点 M 的轨迹
方程，并注明轨迹是什么曲线
解 建立坐标系如图所示， 设|A B |=2a ,则 A (－a ,0）,B (a ,0) 设 M (x ,y ）是轨迹上任意一点
则由题设，得 | MA | | MB |
(x + a )2 + y 2 =λ,坐标代入，得
=λ,化简得
(x - a )2
+ y 2
(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2
=0
(1) 当λ=1 时，即|M A|=|M B|时，点 M 的轨迹方程是 x =0，点 M 的轨迹是直线(y 轴)
2
2
2a (1 + λ2 ) 2
a (1 + λ2 )
(2) 当λ≠1 时，点 M 的轨迹方程是 x +y +
为圆心，
2a λ
为半径的圆
|1 - λ2 |
1 - λ2
x +a =0 点 M 的轨迹是以(－
1 - λ2
，0）
23,题目 高中数学复习专题讲座 关于求圆锥曲线方程的方法高考要求
( 9
)2 + (
12
)2 14
14
y
C'
C
A'
o
A
x
B'
B
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标
轴上时，可设方程为m x 2+n y 2
=1(m ＞0,n ＞0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小
典型题例示范讲解
例 1 某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲
线的一部分，绕其中轴(即双曲线
的虚轴)旋转所成的曲面，其中 A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′ 是下底直径的两个端点，已知 AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高 20 m 建立坐标系并写出该 双曲线方程
命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力
知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积
错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键
技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程
解 如图，建立直角坐标系x O y ,使A A ′在x 轴上
A A ′的中点为坐标原点 O ，C C ′
与 BB ′平行于 x 轴
x 2 y 2 1
设双曲线方程为 a 2 b
2 =1(a ＞0,b ＞0),则 a = 2 AA ′=7
C'
18m
C A'
20m
14m A
22m
y
1
A y= 2 x
o 1
x B
y ' ? 又设 B (11,y 1),C (9,x 2)因为点 B
、C 在双曲线上，所以有
112 7
2
y 2 92
- 1 = 1, b 2 72 y 2 - 2
= 1 b 2
由题意，知 y 2－y 1=20,由以上三式得 y 1=－12,y 2=8,b
=7 x 2
y 2
故双曲线方程为
49 - =1
98
例 2 过点(1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在
1
x 轴上且离心率为
2 的椭圆 C
2
相交于 A 、B 两点，直线 y =
x 过线段 A B 的中点， 同时椭圆 C 上存在一点与右焦
2
点关于直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程
命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强
知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题
错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是
解决好本题的关键
技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将 A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线 A B 斜率的等式
解法二，用韦达定理
c
2 a 2 - b 2
1
2
2
解法一 由 e =
= ,得
a
2
a 2
= ,从而 a =2b ,c =b
2
设椭圆方程为 x 2+2y 2=2b 2
,A (x ,y ),B (x ,y )在椭圆上
1 1
2 2
则 x 2+2y 2=2b 2,x 2+2y 2=2b 2,两式相减得，(x 2－x 2)+2(y 2－y 2)=0,
y 1 - y 2
= - x 1 + x 2 .
1
1
2
2
1
2
1
2
x 1 - x 2
2( y 1 + y 2 )
设 AB 中点为(x ,y ),则 k =－
x 0
1
1
x 0
=－1,k =－1,
0 0
A B
2 y 0 ,又(x 0,y 0)在直线 y = 2 x 上，y 0= 2 x 0,于是－ 2 y
A B
设 l 的方程为 y =－x +1
右焦点(b ,0)关于 l 的对称点设为(x ′,y ′),
? y '
= 1
? x ' - b
?
? ?= - ? 2
x ' + b + 1
2 ?x ' = 1 解得? y ' = 1 - b 2
则 ? 0
P
y
P 1
P
o
x
P 2
由点(1,1－b )在椭圆上，得 1+2(1－b )2=2b 2,b 2
= 9 , a 2 = 9
8x 2
16 2
16 8
∴所求椭圆 C 的方程为 + y 9 9
=1,l 的方程为 y =－x +1
c
2
a 2 -
b 2 1 2 2
解法二 由 e = = ,得 a 2 a 2
= ,从而 a =2b ,c =b 2 设椭圆 C 的方程为 x 2+2y 2=2b 2
,l 的方程为 y =k (x －1),
2 2 2 2 2
4k 2
将 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k )x －4kx +2k －2b =0,则 x 1+x 2= 1+ 2k 2
,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2
－1)=k (x +x )－2k =－
2k
1
2
1 + 2k 2
1
x 1 + x 2
y 1
+ y
2
- k
1
2k 2
直线 l y =
x 过 A B 的中点(
,
2
2
2
),则
1 + 2k
2 =
2 ? 1 + 2k 2
,解得 k =0，或 k =－1
若 k =0,则 l 的方程为 y =0,焦点 F (c ,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆 C 上，所
以 k =0 舍去，从而 k =－1，直线 l 的方程为 y =－(x －1),即 y =－x +1,以下同解法一
例 3 如图，已知△POP 的面积为
27
，P
P 1
为线段 PP 的一个三等分点，求以直线
1
2
4
1 2
13
o
O P 1、O P 2 为渐近线且过点P 的离心率为
2
的 P 2
双曲线方程
命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力
知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程
错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出
△POP 的面积是学生感到困难的
1
2
技巧与方法 利用点 P 在曲线上和△POP 的
面积建立关于参数 a 、b 的两个方
1
2
程，从而求出 a 、b 的值
解 以 O 为原点，∠P 1O P 2 的角平分线为
x 轴建立如图的直角坐标系
x 2 y 2
设双曲线方程为
a 2 -
b 2
=1(a ＞0,b ＞0)
2
c 2 b 2 13 2 b 3
由 e = a
2 = 1 + ( a ) = ( ) 2 ，得 =
a 2
人教版高中数学必修一知识点与重难点
人教版高中数学必修一 ————各章节知识点与重难点 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素 如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A，如果a不属于集合A 记作a?A 3、常用数集及其记法 非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法（Venn图） 1.1.2 集合间的基本关系 【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B A B B A ??? 且 3、真子集 如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)
高中数学必修4知识点总结归纳
高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
高一数学必修1知识点总结
高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
高中数学复习必背知识点
高中数学复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数：①解出)(1y f x -=②y x ,互换③写出)(1x f y -=的定义域； 2、对数：①负数和零没有对数 ②1的对数等于0：01log =a ③底的对数等于1：1log =a a ， ④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m n b a n a m log log = ， 第三章 数列 1、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系：???≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 ： ①定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数； ②通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；） ③前n 项和：2)(1n n a a n S += d n n na 2 ) 1(1-+= ④等差中项： A 是a 与b 的等差中项：2 b a A +=或b a A +=2， 三个数成等差常设：a-d ，a ，a+d 3、等比数列：
①定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，（0≠q ）。 ②通项公式：11-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ） ③前n 项和：??? ?? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n ④等比中项： G 是a 与b 的等比中项：G b a G = ，即ab G =2（或ab G ±=，等比中项有两个） 第四章 三角函数 1、弧度制：①π= 180弧度，1弧度'1857)180 ( ≈=π ； ②弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 2、三角函数定义： y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc sec cot tan cos sin 3、特殊角的三角函数值 4、同角三角函数基本关系式： 1cos sin 22=+αα α α αcos sin tan = 1cot tan =αα
高中数学必修1-5常考难点
高中数学必修1-5常考难点 必修一 第一章：集合和函数的基本概念 这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。 还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数 ——指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像 函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。 函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。 第三章：函数的应用 这一章主要考是函数与方程的结合，其实就是函数的零点，也就是函数图像与X 轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间灵活转化，以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这些难点对应的证明方法都要记住，多练习。二次函数的零点的Δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。 必修二 第一章：空间几何 三视图和直观图的绘制不算难，但是从三视图复原出实物从而计算就需要比较强的空间感，要能从三张平面图中慢慢在脑海中画出实物，这就要求学生特别是空
高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
高一数学必修一知识点整理归纳
高一数学必修一知识点整理归纳 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.wendangku.net/doc/3c1101545.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.
高中数学必修教学目标与教学重难点总结(完整版)
§1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性、互异性、无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2.过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的 含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3.情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点、难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. §1.1.2集合间的基本关系 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作 用. 2.过程与方法 让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 (1)树立数形结合的思想． (2)体会类比对发现新结论的作用. 二. 教学重点、难点 重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念. 难点：难点是属于关系与包含关系的区别． §1.1.3集合的基本运算 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并 集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. (3)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作 用. 2.过程与方法 学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算. 3.情感、态度与价值观
高中数学必修4知识总结(完整版)
高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．
高中必考数学知识点归纳整理
高中必考数学知识点归纳整理 1高中数学重难点知识点 高中数学（文）包含5本必修、2本选修，（理）包含5本必修、3本选修，每学期学习两本书。 必修一：1、集合与函数的概念（这部分知识抽象，较难理解）2、基本的初等函数（指数函数、对数函数）3、函数的性质及应用（比较抽象，较难理解） 必修二：1、立体几何（1）、证明：垂直（多考查面面垂直）、平行（2）、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程：
必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分（选择或填空）2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：（图像、性质、高中重难点，）必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分 必修五：1、解三角形：（正、余弦定理、三角恒等变换）高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：（线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分）不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 文科：选修1—1、1—2 选修1--1：重点：高考占30分 1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线： 3、导数、导数的应用（高考必考） 选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：（新课标比老课本难的多，高考必考内容）
高中数学必修1-5常考难点易错点
高中数学必修1-5常考难点易错点 数学对大多数的学生来说，无疑为一场噩梦。但这同时也意味着，只要能把数学成绩提上来，总成绩也就能从众多学生中脱颖而出。并且相对于语文英语等大科来说，数学想要提分也是最容易的，只要能多拿下一个选填题就能多拿下五分。而就经验而言，数学成绩好的学生其总成绩也一定不会差，而要想总成绩能名列前茅，数学必须要有120以上。所以对高中生来说，数学是一定要攻克下来的难关。 下面为同学们整理了数学难点以及易错点，请对照查看自己的掌握状况。 必修一 第一章：集合和函数的基本概念 这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。次
一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。 还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。假期回顾最好的方法是将这些概念，写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数 ——指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像 函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。 函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。 第三章：函数的应用
这一章主要考是函数与方程的结合，其实就是函数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间灵活转化，以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这些难点对应的证明方法都要记住，多练习。二次函数的零点的Δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。 必修二 第一章：空间几何 三视图和直观图的绘制不算难，但是从三视图复原出实物从而计算就需要比较强的空间感，要能从三张平面图中慢慢在脑海中画出实物，这就要求学生特别是空间感弱的学生多看书上的例图，把实物图和平面图结合起来看，先熟练地正推，再慢慢的逆推（建议用纸做一个立方体来找感觉）。
打印版 高中数学必修四知识点(非常详细)
高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
①角度化为弧度： 180180ππ n n n o o o = ? =，②弧度化为角度：o o 180180?? ? ??=?=παπαα （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式： ①,180 （用度表示的）π n l = ② （用弧度表示的）r l ||α=； 扇形面积：①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇（用弧度表示的） 5、三角函数: （1）定义①：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点 是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ 定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时， x y 叫做α的正切，记作tan α, 即tan α=x y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O
高一数学必修一知识点整理
高一数学必修一知识点整理 【导语】高一新生要作好充分思想准备，以自信、宽容的心态，尽快融入集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住：是你主动地适应环境，而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一数学必修一知识点整理》，希望你不负时光，努力向前，加油！【篇一】高一数学必修一知识点整理 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345} 2.集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a:A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类： 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝
高考数学必备知识点总结
高考重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
高中数学必修一教案全套
高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.
『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————
高中数学必修4知识点整理
高中数学必修4知识点自测题 一、填空题（每空1分,共100分） 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =__________，C=_________，S=_____________ 2、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是r ，则r=__________sin α=_______，cos α=________，tan α=________． 3、三角函数在各象限的符号：第一象限________为正，第二象限__________为正，第三象限___________为正，第四象限______________为正． 4、三角函数线：sin α=________，cos α=____，tan α 5、同角三角函数的基本关系：(1)___________ =1, cos 2α=__________________; sin 2α=__________________ (3)tan α=____________． 6、三角函数的诱导公式： (1)Sin(2k +πα)=___________ cos(2k +πα)=___________ tan(2k +πα)=___________ (2) Sin(π-α)=___________ cos(π-α)=___________ tan(π-α)=___________ (3) Sin(π+α)=___________ cos(π+α)=___________ tan(π+α)=___________ (4) Sin(-α)=___________ cos(-α)=___________ tan(-α)=___________ (5)sin(2π-α)=_________cos(2π -α)=_________ (6) sin(2π+α)=_________cos(2 π +α)=_________ 7、函数sin y x =的图象上所有点向_____（_____）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的_______倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；
高中数学学业水平必背公式定理知识点默写
高中数学学业水平测试必背公式定理知识点 1、空集定义：_____________________________________； 空集是任何集合的______________。 N ____________ Z __________ Q ___________ R ___________（常用集合字母表示） 2、含n 个元素的集合其子集个数为_____________________。 3、函数定义：对定义域内任意x ，都有___________y 值与之对应，称y 是x 的函数。 4、求函数定义域三种基本形式： ①分式要求：__________________； ②根式，开偶次方根，则_______________________； ③对数式则要求__________________________。 5、①指数函数定义：__________________________________________； 其定义域为_____________；值域为_________________； 当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ②对数函数定义：__________________________________。 其定义域为_____________；值域为_________________； 当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ③幂函数定义：_______________________________________。 当0>α时，图像恒过______________和_______________；在第一象限内单调_________； 当0<α时，图像恒过______________；在第一象限内单调_________； 6、如果函数是奇偶函数，其定义域一定关于_______________对称； 如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为奇函数； 如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为偶函数； 7、函数单调性定义：在区间D 内任取两个值1x 、2x ，设21x x <， 如果______________，则函数在此区间内单调递增； 如果______________，则函数在此区间内单调递减。 8、空间两直线位置关系：_____________、________________、_________________； 空间两平面位置关系：________________、______________； 空间直线与平面位置关系_____________、_____________、___________________； 9、空间两直线所成角的范围：____________________； 直线与平面所成角的范围：____________________； 两异面直线所成角的范围：_____________________； 10、线面平行判定定理：_________________________________________________________； 线面平行性质定理：_________________________________________________________； 线面垂直判定定理：_________________________________________________________； 线面垂直性质定理：_________________________________________________________； 面面平行判定定理：_________________________________________________________； 面面平行性质定理：_________________________________________________________； 面面垂直判定定理：_________________________________________________________；
高中数学必备知识点-4
19,题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一 步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等 式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论
x ? 典型题例示范讲解 例 1 已知 f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且 f (1)=1，若 m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0 时 f (m ) + f (n ) ＞0 m + n (1) 用定义证明 f (x )在［－1，1］上是增函数； (2) 解不等式 f (x + 1 2 )＜f ( 1 x -1 )； (3)若 f (x )≤t 2 －2a t +1 对所有 x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数 t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化， 是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x + 1 2 ∈［－1，1］， 1 x -1 ∈［－1，1］必不 可少，这恰好是容易忽略的地方 技巧与方法 (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把 f (x )转化成“1”是点睛之笔 (1)证明 任取 x ＜x ，且 x ，x ∈［－1，1］，则 f (x )－f (x )=f (x )+f (－x )= f ( x 1 ) + f (-x 2 ) ·(x － 1 2 1 2 1 2 1 x 1 - x 2 x 2) ∵－1≤x 1＜x 2≤1， ∴x +(－x )≠0，由已知 f ( x 1 ) + f (-x 2 ) ＞0，又 x －x ＜0， 1 2 - x 1 2 ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即 f (x )在［－1，1］上为增函数 (2)解 ∵f (x )在［－1，1］上为增函数， ? - 1 ≤ x + 1 ≤ 1 ? ∴ ?- 1 ≤ 2 1 ≤ 1 解得 {x |－ 3 ≤x ＜－1，x ∈R } ? x - 1 2 ?x + 1 < 1 ?? 2 x - 1 2 1 1 2
高一数学必修一重点难点分析
一、知识结构 本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 二、重点难点分析 这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．1．关于牵头图和引言分析 章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础． 2．关于集合的概念分析
点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念． 初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界． 3．关于自然数集的分析 教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意． 新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中．因此要注意几下几点： （1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然 数集包含0；
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