专题12 整式的加减-去括号与添括号 【专题说明】
1.掌握去括号与添括号法则,充分注意变号法则的应用;
2. 会用整式的加减运算法则,熟练进行整式的化简及求值.
【知识点总结】
一、去括号法则
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
要点诠释:
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的:当括号前为“+”号时,可以看作+1与括号内的各项相乘;当括号前为“-”号时,可以看作-1与括号内的各项相乘.
(2)去括号时,首先要弄清括号前面是“+”号,还是“-”号,然后再根据法则去掉括号及前面的符号.
(3)对于多重括号,去括号时可以先去小括号,再去中括号,也可以先去中括号.再去小括号.但是一定要注意括号前的符号.
(4)去括号只是改变式子形式,但不改变式子的值,它属于多项式的恒等变形.
二、添括号法则
添括号后,括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;
添括号后,括号前面是“-”号,括到括号里的各项都要改变符号.
要点诠释:
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号,也就是说,添括号时,括号前面的“+”号或“-”号也是新添的,不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的.
(2)去括号和添括号是两种相反的变形,因此可以相互检验正误:
如:()a b c a b c +-+-添括号
去括号, ()a b c a b c -+--添括号
去括号
三、整式的加减运算法则
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.
要点诠释:
(1)整式加减的一般步骤是:①先去括号;②再合并同类项. (2)两个整式相加减时,减数一定先要用括号括起来.
(3)整式加减的最后结果中:①不能含有同类项,即要合并到不能再合并为止;②一般按照某一字母的降幂或升幂排列;③不能出现带分数,带分数要化成假分数.
【精典例题】
一、去括号
1、去括号:(1)d -2(3a -2b +3c );(2)-(-xy -1)+(-x +y ).
【答案与解析】(1)d -2(3a -2b +3c )=d -(6a -4b +6c )=d -6a +4b -6c ;
(2)-(-xy -1)+(-x +y )=xy +1-x +y .
【总结升华】去括号时.若括号前有数字因数,应先把它与括号内各项相乘,再去括号.
2、a b c --+的相反数是( ).
A .a b c ++
B .a b c -+
C .a b c +-
D .c a b +-
【答案】C
【解析】求a b c --+的相反数实质是求()a b c ---+,去括号,得()a b c a b c ---+=+-.
【总结升华】去括号时.若括号前有数字因数,应先把它与括号内各项相乘,再去括号.
二、添括号
1、在各式的括号中填上适当的项,使等式成立.
(1). 2345(
)()x y z t +-+=-=+2()x =-23()x y =+-; (2). 23452()2()x y z t x x -+-=+=-23()45()x y z t =--=--.
【答案】(1). 2345x y z t --+-,2345x y z t +-+,345y z t -+-,45z t -.
(2). 345y z t -+-,345y z t -+,45z t -+,23x y -+.
【解析】(1)2345x y z t +-+ (2345)x y z t =---+-(2345)x y z t =++-+
2(345)x y z t =--+-23(45)x y z t =+--;
(2)2345x y z t -+-2(345)x y z t =+-+-2(345)x y z t =--+
23(45)x y z t =---+45(23)z t x y =---+.
【总结升华】在括号里填上适当的项,要特别注意括号前面的符号,考虑是否要变号.
2、按要求把多项式321a b c -+-添上括号:
(1)把含a 、b 的项放到前面带有“+”号的括号里,不含a 、b 的项放到前面带有“-”号的括号里;
(2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里,项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号里.
【答案与解析】
(1)321(32)(1)a b c a b c -+-=---+;
(2)321(3)(21)a b c a c b -+-=+-+.
【总结升华】在括号里填上适当的项,要特别注意括号前面的符号,考虑是否要变号.
三、整式的加减
1、()()2222
32,23,1.;2.23.M x xy y N x xy y M N M N =-+=+---已知求: 【答案与解析】
(1)2222
(32)(23)M N x xy y x xy y -=-+-+- 2222
22
22
3223(32)(21)(13)34x xy y x xy y x xy y x xy y =-+--+=--+++=-+ (2)2222
232(32)3(23)M N x xy y x xy y -=-+-+- 2222(642)(639)x xy y x xy y =-+-+-
2222
22
2
642639(66)(43)(29)711x xy y x xy y x xy y xy y =-+--+=--+++=-+
【总结升华】整式加减的一般步骤是:①先去括号;②再合并同类项.
2、3243245348x x x x x x -+--+-一个多项式加上得,求这个多项式. 【答案与解析】在解答此题时应先根据题意列出代数式,注意把加式,和式看作一个整体,用括号括起来,然后再进行计算,在计算过程中找同类项,可以用不同的记号标出各同类项,减少运算的错误.
43232(348)(45)x x x x x x --+---+ 432324334845
3813x x x x x x x x x =--+--+-=-+-
答:所求多项式为433813x x x -+-.
【总结升华】整式加减的一般步骤是:①先去括号;②再合并同类项.
3、化简:
(1)15+3(1-x )-(1-x +x 2)+(1-x +x 2-x 3
).
(2)3x 2y -[2x 2z -(2xyz -x 2z +4x 2y )].
(3)-3[(a 2+1)-16(2a 2+a )+13(a -5)]. (4)ab -{4a 2b -[3a 2b -(2ab -a 2b )+3ab ]}.
【答案】 (1)15+3(1-x )-(1-x +x 2)+(1-x +x 2-x 3)
=15+3(1-x )-(1-x +x 2)+(1-x +x 2)-x 3
=18-3x -x 3.. ……整体合并,巧去括号
(2)3x 2y -[2x 2z -(2xyz -x 2z +4x 2y )]
=3x 2y -2x 2z +(2xy -x 2z +4x 2y ) ……由外向里,巧去括号
=3x 2y -2x 2z +2xyz -x 2z +4x 2y
=7x 2y -3x 2z +2xyz .
(3)22113[(1)(2)(5)]63
a a a a -+-++- 2213(1)(2)(5)2
a a a a =-+++-- 2213352
a a a a =--++-+ 21222
a a =--+. (4)a
b -{4a 2b -[3a 2b -(2ab -a 2b )+3ab ]}
=ab -4a 2b +3a 2b -2ab +a 2b +3ab ……一举多得,括号全脱
=2ab .
四、化简求值
1、先化简,再求各式的值:22131222,2,;22
333x x y x y x y ????+-+--=-= ? ?????其中 【答案与解析】原式=2221312232233
x x y x y x y -+-+=-+, 当22,3x y =-=时,原式=22443(2)()66399
-?-+=+=. 【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”,此类题的书写格式一般为:当……时,原式=?
2、已知2xy =-,3x y +=,求整式(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-的值.
【答案与解析】由2xy =-,3x y +=很难求出x ,y 的值,可以先把整式化简,然后把xy ,x y +分别作为
一个整体代入求出整式的值.
原式310(5223)xy y x xy y x =++--+
3105223xy y x xy y x =++--+
5310232x x y y xy xy =++-+-
88x y xy =++
8()x y xy =++.
把2xy =-,3x y +=代入得,原式83(2)24222=?+-=-=.
【总结升华】求整式的值,一般先化简后求值,但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时,要用整体代入法,即把“整体”当成一个新的字母,求关于这个新的字母的代数式的值,这样会使运算更简便.
3、如果关于x 的多项式22(8614)(865)x ax x x ++-++的值与x 无关.你知道a 应该取什么值吗?试试
看.
【答案与解析】所谓多项式的值与字母x 无关,就是合并同类项,结果不含有“x ”的项,所以合并同类项后,
让含x 的项的系数为0即可.注意这里的a 是一个确定的数.
(8x 2+6ax +14)-(8x 2+6x +5)
=8x 2+6ax +14-8x 2-6x -5
=6ax -6x +9
=(6a -6)x +9
由于多项式(8x 2+6ax +14)-(8x 2+6x +5)的值与x 无关,可知x 的系数6a -6=0.
解得a =1.
【总结升华】本例解题的题眼是多项式的值与字母x 无关.“无关”意味着合并同类项后,其结果不含“x ”
的项.
4、先化简,再求各式的值:(){}123225,,12
x y x x y x y x y --+-++==-????其中. 【答案与解析】原式[2(3245)][2(3)]x y x x y x y x y x x y =--+--+=--+-+
(23)(43)
43444()
x y x x y x y x x y x x y x y =---+=--=-+=-=- 将1,12x y ==-代入,得:134[(1)]4622
--=?=. 【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”,此类题最后结果的书写格式一般为:当……时,原式=?
5、已知3a 2-4b 2=5,2a 2+3b 2=10.求:(1)-15a 2+3b 2的值;(2)2a 2-14b 2
的值.
【答案与解析】显然,由条件不能求出a 、b 的值.此时,应采用技巧求值,先进行拆项变形.
解:(1)-15a 2+3b 2=-3(5a 2-b 2)=-3[(3a 2+2a 2)+(-4b 2+3b 2)]
=-3[(3a 2-4b 2)+(2a 2+3b 2
)]=-3×(5+10)=-45;
(2)2a 2-14b 2=2(a 2-7b 2)=2[(3a 2-2a 2)+(-4b 2-3b 2)]
=2×[(3a 2-4b 2)-(2a 2+3b 2)]=2×(5-10)=-10.
【总结升华】求整式的值,一般先化简后求值,但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时,要用整体代入法,即把“整体”当成一个新的字母,求关于这个新的字母的代数式的值,这样会使运算更简便.
6、已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 无关,求代数式: 22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.
【答案与解析】
222(363)(1)(3)7(3)x ax y b bx x y b x a x y b +-+--+-=-++-++
由于多项式2x ax y b +-+与2
363bx x y -+-的差的值与字母x 无关,可知: 10b -=,30a +=,即有1,3b a ==-
又2222223(2)(4)74a ab b a ab b a ab b ---++=---,
将1,3b a ==-代入可得:22(3)7(3)1418---?-?-?=.
【总结升华】本例解题的题眼是多项式的值与字母x 无关.“无关”意味着合并同类项后,其结果不含“x ”的项,所以合并同类项后,让含x 的项的系数为0即可.
五、整式加减运算的应用
1、有一种石棉瓦(如图所示),每块宽60厘米,用于铺盖屋顶时,每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米,那么n (n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 ( ) .
A .60n 厘米
B .50n 厘米
C .(50n +10)厘米
D .(60n -10)厘米
【答案】C .
【解析】观察上图,可知n 块石棉瓦重叠的部分有(n -1)处,则n 块石棉瓦覆盖的宽度为:60n -10(n -1)=50n +10(厘米).
【总结升华】求解本题时一定要注意每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米这一已知条件,一不小心就可能
弄错.