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抛物线焦点弦的性质

抛物线的焦点弦有关性质探究

【教学目的】

1、知识与技能目标：

理解抛物线焦点弦与切线有关的性质，掌握其性质的推导过程． 2、过程与方法目标：

（1）通过其性质证明、体会方程的思想在解析几何问题中的应用．（2）逐步培养学生发现问题、分析问题、解决问题的良好习惯． 3、情感、态度与价值观目标：

（1）体会数学各知识点之间的相互联系，感受万物世界的相互依存．（2）培养学生善于思考，勇于探索的钻研精神．【教学重点】

焦点弦有关性质的证明【教学过程】【知识回顾】

1、过抛物线px y 22=（p ＞0）的焦点F 作弦AB ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则2

21p y y -=?，4

21p

x x =

?．

2、过抛物线上一点的切线方程

（1）点()00,y x P 是抛物线()022≠=m mx y 上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：

()x x m y y +=00

（2）点()00,y x P 是抛物线()022≠=m my x 上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：

()y y m x x +=00

【有关性质的探究】

1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之

处？

结论：交点在准线上

以px y 22=（p ＞0）为例说明

特例：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为??

??-

0,2p

在准线上．

证明:当弦AB 过焦点F ，设()11,y x A 、()22,y x B 则过A 点的切线方程是：()11x x p y y += ① 过B 点的切线方程是：()22x x p y y += ②

由①－②可得：()()2121x x p y y y -=- 即：()

y y p y y y 22

121-?

=- ∴2

1y y y +=

代入①式可得：px y y 221=?

∵弦AB 过焦点弦，由焦点弦性质可知221p y y -=， ∴2

p x -

=即交点P 坐标为??

?+-

21y y p ．结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论发散：当弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

以px y 22=（p ＞0）为例说明

特例：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．

证明:??? ??

0,2p

P ，设()11,y x A 、()22,y x B ，则切线PA 的方程为

()11x x p y y +=，切线PB 的方程为()22x x p y y +=．均过点P ，则21p x =

，

2p x =，

故弦AB 过焦点．

证明：设准线上任一点???

0,2y p

P ，切点分别为()11,y x A 、()22,y x B ，

则切线方程分别为：()11x x p y y +=，()22x x p y y += 两切线均过点P ，则满足??? ??

=1012x p

p y y ，??? ??+-=2022x p p y y ．故过两切点的弦AB 方程为：???

=20p x p y y ，则弦AB 过焦点．

结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、如图，AB 是过抛物线px y 22=（p ＞0）焦点F 的弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，

l BB ⊥1，过点A ，B 的切线相交于P 点，PQ 与抛物

线交于点M ．

（1）PA 与PB 是否有特殊的位置关系？结论：PA ⊥PB ．证明：1

y p k PA =，2

y p k PB =

，∴12

-=?=

?y y p

k k PB PA

∴PA ⊥PB ．

（2）PF 与AB 是否有特殊的位置关系？结论：PF ⊥AB ．证明：??? ??

=2,221y y p P ，???

??=0,2p F p

y y k PF 221-+=

，2

1212

12122y y p p

y y y y x x y y K AB +=

--=

1-=?∴AB PF K K ∴PF ⊥AB ．

（3）点M 与点P 、Q 的关系

结论：M 平分PQ ．

证明：??? ??+-

2,221y y p P ，??

??++2,22121y y x x Q ∴2

1y y y M +=

∴

()

()2

8228282212

212

22212

212

P M M x x p

x x p

x x p p

y y p

y x +=

-+=

∴M 平分PQ ．

（4）直线PA 与∠A 1AB ，直线PB 与∠B 1BA 的关系结论：PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．证明：??? ??

---

=2,

2121y y x p AP ，??? ??--

=0,21x p AA ，??

??---=11,2y x p AF ∴2

112?

? ??+=?x p AA AP ，2242

1212

1y y y p x AF AP +--=? 2

112

124??? ?

?+=++=p x px p

= ∴FAB AP A ∠=∠1 即PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分B 1BA ．

（5?与2

PF 的大小比较

2PF =? 证明：???

=11,2y p

x FA ，??

=22,2y p

x FB ，()??

+-=2,

21y y p PF ()

12122y y p x p x FB FA -??? ??-??? ?

--=?-=

()()2

212

21214

p p

x x p p

p p

x x p x x +-

=+-

()2

21p

x x p +

()

()212

2122

212

x x p p

y y y y

p y y p PF ++

+++

PF =? （6）PAB S ?的最值问题结论：PAB

S ?2

min

p =

证明：2

1y y PQ S PAB -?=?

∵()p p x x p x x BB AA PQ =+

?≥

222

21211

??===”时取“当221p x x

2121y y y y +=-≥p y y 22

21=? ()”

时取“当==-=p y y 21 ∴PAB

S ?2

min

=（两等号可同时取得）

课下思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，有无与上述结论类似结

果．

则①p

y y x p 221=

，2

1y y y p +=

②PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ． ③PFB PFA ∠=∠ ④点M 平分PQ

PF =? 【练习】

（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y

x 42=上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,，

（1）试证：4-=?n n s x （n ≥1）

（2）取n n x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的

交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）

（1）证明：焦点（0，1）设直线A n B n 方程为：1+=x k y n

??=+=y x x k y n 41

消去y 得 0442=--x k x n

∴4-=?n n s x （2）由x

y 21'=

则2

'n n x x y =

故y x 42

=在A n 处切线方程为()n n n x x x y y -

-2

，即4

n n x x x y -

类似

的，y x 42

=在B n 处切线方程为()n n n s x s t y -=

-2

，即4

n n s x s y

两式相减得2

n s x x +=代入可得14

-=?=

n x s y

则点??

??-+1,2

n n s x C ∴2

222

222442442???

? ??+=++=++=+???

??+=n n n n n n n n n

x x x x s x s x FC

从而

n n x x FC 22

∴()???

??+

++++++=

+++n n n x x x x x x

FC FC FC 11122

12121

21 ()1222212212

+-=-+-=??

? ??+

++++=

+-+-n n n n n n

【作业】

1、证明上述问题中的结论发散

2、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且

FB AF λ=（λ＞0）

，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，（1）证明：AB FM ?的值；（2）设ABM ?的面积为S ，写出()λf S =的

表达式，并求S 的最小值．

3、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛

物线于两点A ，B ；（1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；

（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．

抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1： p x x AB ++=21 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ 2 sin 2p AB = 证: (1)若2 π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2 π θ ≠ 时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =即2 cot p y x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得 θ θθ2 2212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+= 结论3：过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8 3 2为定值p AB S oAB =? 结论5： (1) 2 21p y y -= (2) x 1x 2=4 2 p 证44)(,2,22 2 221212 22211P P y y x x p y x p y x = =∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2 2 2 1 11AB BF AF BB AA MM = += += 故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F 同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3） BF AF F M ?=2 1 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5） 2 121214M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 Θ11FB A ?为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 ∴M 1F ⊥AB BF AF F M ?=∴2 1 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥?=∠∴Θ又B AM

抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21 p x x p x p x BF AF AB ++=+++ =+=2121)2 ()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2 sin 2p AB = 证: (1)若2 π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2 π θ≠ 时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =即2 cot p y x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= : 由弦长公式得θ θθ22212 sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+= 结论3：过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8 3 2为定值p AB S oAB =?

()8 sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 2 1 sin 21322 20P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB = ∴=???=??=+?=??+??= +=????θθθθθ?θ 结论5： (1) 2 21p y y -= (2) x 1x 2=4 2 p 证44)(,2,22 2 221212 22211P P y y x x p y x p y x = =∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切：证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2 2 2 1 11AB BF AF BB AA MM = += += 故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴= 同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ?=2 1 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 - （5）2 1212 1 4M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ?为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 1 11111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ?=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ?=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥AB BF AF F M ?=∴2 1 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥?=∠∴ 又B AM ?=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2 212 1 AB B M AM =+ ()()()2 12 12 11 2 42MM MM BB AA BF AF ==+=+= ,

抛物线的焦点弦具有以下性质

抛物线的焦点弦具有以下性质: 性质1：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2 . 4 2 21p x x = 例：设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则 OA ?OB ＝ . A 、 43 B 、-4 3 C 、3 D 、-3 解析：设弦的两个端点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），x 1 x 2=4 2 P ， 221P y y -=，∴OA ?OB ＝2121y y x x + ＝ 4 2P -2 p ＝43432-=-p ，故答案选B 。性质2：抛物线焦点弦的长度： )(21x x p AB ++== 2p sin 2θ . 证明：如图所示，分别做1AA 、1BB 垂直于准线l ，由抛物线定义有 =+=BF AF AB p x x p x p x ++=+++ 21212 2. 且有p AF AA AF +?==αcos 1,αcos 1?-==BF p BB BF , 于是可得αcos 1-= p AF , α cos 1+=p BF . ∴=+=BF AF AB αcos 1-p +αcos 1+p =α2cos 1-p =α 2 sin p .故命题成立. 例已知圆M ：x 2+y 2-4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在O(0,0),焦点是圆M 的圆心F ，过F 作倾斜角为α的直线l ,l 与抛物线及圆由上而下顺次交于A 、B 、C 、D 四点，若sin α= 5 5 ,求|AB|+|CD|. 解：如图，方程x 2+y 2 -4x=0,表示的图的圆心为(2，0)即为抛物线的焦点， ∴抛物线的方程是y 2=8x(其中p=4),|AD|=2p sin 2α=8 1 5 =40,但圆的直径 |BC|=4， ∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36. 性质3：三角形OAB 的面积公式：θ sin 22p S OAB =? 证法一：当直线倾斜角θ为直角时，公式显然成立。当直线倾斜角θ不是直角时，设焦点弦所在直线方程：)2 (p x k y - = 由?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y ? ???? -==+?221212p y y k p y y ||221||22121y p y p S OAB ?-?=?||421y y p -=212214)(4y y y y p -+=2224tan 44p p p +=θ θsin 22 p = 性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. 性质5：以抛物线y 2=2px(p ＞0),焦点弦PQ 端点向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，则FM ⊥FN.(其中F 为焦点). 性质6：设抛物线y 2=2px(p ＞0),焦点为F ，焦点弦PQ ，则1|FP|+1|FQ|=2 p (定值). 证法一：由P 、Q 向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，作QA ⊥Ox 于A ，FB ⊥PM 于B ，准线与Ox 交于E ， (如图5)由△AFQ ∽△BPF ，则|AF||QF|＝|BP||FP|,即|EF|-|NQ||QF|= |PM|-|EF| |PF| ,

抛物线焦点弦性质总结30条.doc

抛物线焦点弦性质总结 30 条基础回顾 1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切； p 2 2. x 1gx 2 ; 4 3. y 1gy 2 p 2 ; 4. AC ' B 90o ; 5. A' FB ' 90o ; 6. AB x 1 x 2 p 2( x 3 p 2 p ; ) sin 2 2 1 1 2 7. BF ; AF P 8. A 、 O 、 B ' 三点共线； 9. B 、 O 、 A ' 三点共线； 10. S V AOB P 2 ； 2sin 11. S V 2 AOB P 3 （定值）； AB ( ) 2 12. AF P ； BF P ； cos cos 1 1 13. BC ' 垂直平分 B ' F ； 14. AC ' 垂直平分 A 'F ； 15. C 'F AB ； 16. AB 2P ； 17. CC' 1 AB 1 ( AA' BB') ； 2 2 18. K AB = P ； y 3 19. tan = y 2 p ; x 2 - 2 2 20. A'B' 4 AF BF ;

21. C'F 1 A'B' . 2 切线方程 y 0 y m x 0 x 性质深究一 ) 焦点弦与切线 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论 1：交点在准线上先猜后证：当弦 AB x 轴时，则点 P 的坐标为证明: 从略结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 p ,0 在准线上． 2 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点．结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、 AB 是抛物线 y 2 2 px （p ＞ 0）焦点弦， Q 是 AB 的中点， l 是抛物线的准线， AA 1 l ， BB 1 l ，过 A ， B 的切线相交于 P ， PQ 与抛物线交于点 M ．则有结论 6PA ⊥ PB ．结论 7PF ⊥ AB ．结论 8 平分． M PQ 结论 9 PA 平分∠ 1 ，平分∠1． AAB PB B BA 结论 10 FA FB 2 PF 结论 11 S PAB min p 2 二 ) 非焦点弦与切线思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时，也有与上述结论类似结果：

高中数学抛物线的焦点弦性质教学设计

教学设计流程

教学过程一、复习抛物线定义，焦半径公式，由焦半径公式推导的焦点弦式问题：1、抛物线的定义内容是什么? 2、焦半径公式有哪些？ 3、利用焦半径公式推导的焦点弦弦长有哪些？ AB 为焦点弦.点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) y 2 = 2px （p ＞0）：|AB|＝ y 2 = -2px （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = 2py （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = -2py （p ＞0）：|AB|＝二、新课引入问题1、利用焦点弦的两端点横坐标和可以求焦点弦的弦长，那么如果知道焦点弦所在直线的倾斜角或是斜率，有没有更简便的方法去直接求出弦长呢？我们来看一道例题。例1、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 做倾斜角为的直线 ,设交抛物线于A,B 两点,求证：问题2、上面的例题的抛物线开口是向右的，那么抛物线开口向左、向上、向下的时候弦长又是多少？我们一起来探究。结论：若过抛物线焦点的直线的倾斜角为θ时,其焦点弦弦长为：当焦点在x 轴上时, 焦点在y 轴上时, 问题3、焦点弦的两个端点的横坐标、纵坐标之间是否有关系呢？如果有关系，又是什么？例2、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求证： 12 p x x ++12()p x x -+12 p y y ++12()p y y -+θ 2sin 2p AB = l θθ 2 sin 2P AB = θ 22COS P AB =22 21p y y -=

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的性质 1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。 2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到：当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2= 4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y 和04 )2(2 2222=++-p k x p p k x k 221p y y -=?和4 21x x = 结论2：p x x AB ++=21 证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++ =+=2121)2()2( 结论3：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2π θ≠时, 则?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y ?????-==+?221212p y y k p y y θsin 24422221p p k p y y =+=-?θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=? 结论4：过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =? 011sin sin 22 OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θ????=+=??+?? ()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=?+=??=???22sin p θ=238OAB S P AB ?∴= 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2221 11AB BF AF BB AA MM =+=+= 故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠ ∴∠=∠∴∠=∠∴=

抛物线经典性质总结

124=3. 212y y p =-; 4. '90AC B ∠=; 5. ''90A FB ∠=; 6. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=; 7. 112 AF BF P +=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、'A 三点共线； 10. 2 2sin AOB P S α=； 11. 23()2AOB S P AB =（定值）； 12. 1cos P AF α=-；1cos P BF α=+； 13. 'BC 垂直平分'B F ； 14. 'AC 垂直平分'A F ； 15. 'C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥； 17. 1 1 '('')22CC AB AA BB ==+；

18. AB 3 P K = y ； 19. 2 p 22y tan =x -α; 20. 2A'B'4AF BF =?; 21. 1C'F A'B'2 =. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00 性质深究一)焦点弦与切线 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为?? ? ?? -0,2p 在准线上．证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、AB 是抛物线px y 22 =（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6P A ⊥PB ．结论7PF ⊥AB ．结论8 M 平分PQ ．结论9 P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论2= 结论11PAB S ?2min p =

[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案

[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）4 2 21p x x =；（2）221p y y -= 证明：如图，（1）若AB 的斜率不存在时，依题意,221p x x ==4 221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则? ? ? =2:k y AB () 04222222 222 2=++-?=?? ? ??-p k px k x k px p x k .4221p x x =∴ 综上：.4 2 21p x x = （2）p y x p y x 2,22 22211== ，,22142221p y y p y y ±=?=∴ 但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2 :p my x AB + =与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α证明：（1）由抛物线的定义知 ,2 ,221p x BF p x AF +=+= p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x = ==则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=??? ? ? -=≠与设α联立，得

() 04222222 222 2=++-?=??? ? ?-p k px k x k px p x k (),22221k k p x x +=+∴() 2 2211 2k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ， () α αα2 22sin 2tan tan 12p p AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。证明：过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r . 2211r MN MN BB AA BF AF AB r =∴=+=+== ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则0 1190=∠FB A 。证明借助于平行线和等腰三角形容易证明知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠ 证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为11////BB KF AA B B BF A A AF FB AF K B K A 1111,===∴而 B B A A K B K A 1111=∴ B B K B A A K A 1111=∴，而01190=∠=∠K BB K AA K AA 1?∴∽K BB 1?KB B KA A 11∠=∠∴ BKF AKF ∠=∠∴

抛物线焦点弦性质

抛物线的焦点弦【教学背景】前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，如2001年的高考题就出现两个题目。【问题探究】【问题】已知抛物线2 2(0)y px p =>,过焦点F 作一直线l 交抛物线于A ),(11y x 、B ),(22y x , 【探究1】求弦长|AB|。 p x x p x p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2 ()2(。【结论1】p x x AB ++=21。【探究2】还有没有其他方法求弦长|AB|？ (1)当2π θ=时,直线L 的斜率不存在,此时AB 为抛物线的通径,2AB p ∴=∴结论得证；

(2)当2π θ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =，即：2cot p y x +?=θ，代入抛物线方程得：0cot 222=-?-p py y θ，由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=，由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+=。【结论2】若直线l 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 。【探究3】过焦点的所有弦中，何时最短？ p p 2sin 21sin 22≥∴≤θ θ ∴AB 的最小值为p 2。【结论3】过焦点的弦中通径长最小。【探究4】从刚才的解题过程中我们能否发现了A 、B 两点的坐标关系？ 221p y y -=，44)(,2,22 2221212 22211P P y y x x p y x p y x ==∴== 。【结论4】(1)2 21p y y -=；(2)x 1x 2=42 p 。【探究5】以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？设M 为AB 的中点,过A 点作准线的垂线AA 1,过B 点作准线的垂线BB 1, 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知: 2221 11AB BF AF BB AA MM =+=+=，所以二者相切。【结论5】以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。【探究6】连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F 、B 1 F 有什么关系？ FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴= ; 同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 。【结论6】A 1F ⊥B 1F 。【探究7】刚才我们证得11FB A ?为直角三角形，那么图形中还有哪些直角三角形？由“探究5”知M 1 在以AB 为直径的圆上∴AM 1⊥BM 1。由“探究6”知11FB A ?为直角三角形，M 1 是斜边A 1 B 1 的中点， 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ， ?=∠=∠+∠901111M AA M FA F AA ，?=∠+∠∴90111FM A AFA ，∴M 1F ⊥AB 。【结论7】AM 1⊥BM 1，M 1F ⊥AB 。进而可得如下结论：以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切。【探究8】点、A O 、B 1的位置关系？

抛物线焦点弦性质总结30条

基础回顾 1. 以AB 2. 2 124 p x x =3. 212y y p =-; 4. '90AC B ∠=; 5. ''90A FB ∠=; 6. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+ =; 7. 112AF BF P +=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、' A 三点共线； 10. 2 2sin AOB P S α =； 11. 23()2 AOB S P AB =（定值）； 12. 1cos P AF α= -；1cos P BF α=+； 13. 'BC 垂直平分'B F ； 14. 'AC 垂直平分'A F ； 15. 'C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥； 17. 11'('')22CC AB AA BB = =+； 18. AB 3 P K =y ； 19. 2 p 22 y tan =x -α;

20. 2A'B'4AF BF =?; 21. 1C'F A'B'2 =. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00 性质深究一)焦点弦与切线 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为?? ? ?? -0,2p 在准线上．证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6P A ⊥PB ．结论7PF ⊥AB ．结论8 M 平分PQ ．结论9 P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论2= 结论11PAB S ?2min p = 二)非焦点弦与切线思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12 ①p y y x p 221=，2 21y y y p += 结论13 P A 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ 结论16 2 PF = 相关考题

抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程

AB 1 2 1 2 3 有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线 y 2 = 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x , y ) 、B (x , y ) 两点 1 1 2 2 结论 1： AB = x 1 + x 2 + p AB = AF + BF = (x + p ) + (x + p ) = x + x + p 1 2 2 2 1 2 2 p 结论 2：若直线 L 的倾斜角为θ，则弦长 AB π = sin 2 θ 证: (1)若θ= 时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,∴ AB 2 = 2 p ∴结论得证 π (2)若θ≠ 时,设直线 L 的方程为： y = (x - 2 p ) tan θ即 x = y ? cot θ+ p 2 2 代入抛物线方程得 y 2 - 2 py ? cot θ- p 2 = 0 由韦达定理 y y = - p 2 , y + y = 2 p cot θ 由弦长公式得 AB = y 1 - y 2 = 2 p (1 + cot 2 θ) = 2 p sin 2 θ 结论 3：过焦点的弦中通径长最小 sin 2 θ≤ 1∴ 2 p sin 2 θ ≥ 2 p ∴ AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论 4： S 2 ?oAB = p (为定值) 8 1 + cot 2 θ

AF + BF 2 2 2 2 1 2 2 1 S = S + S = 1 OF ? BF ? sin θ+ 1 OF ? AF ? sin ? ?OAB ?OBF = 1 ? ( + ? 0 AF ) 2 2 θ= 1 ? ? θ= 1 ? ? 2 p ? θ= p 2 OF 2 S 2 AF = P 3 8 BF sin OF AB 2 sin 2 2 sin 2 θ sin 2 sin θ 结论 5： (1) y 1 y 2 = - p p 2 (2) x 1x 2= 4 y 2 y 2 ( y y )2 P 2 证 x = 1 , x = 2 ,∴ x x = 1 2 = 1 2 p 2 2 p 1 2 4P 2 4 结论 6：以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 AA 1，过 B 点作准线的垂线 BB 1，过 M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 MM 1 = = = 2 2 2 故结论得证结论 7：连接 A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥ B 1F AA 1 = AF ,∴∠AA 1 F = ∠AFA 1 AA 1 // OF ∴∠AA 1 F = ∠A 1 FO ∴∠A 1 FO = ∠A 1 FA 同理∠B 1 FO = ∠B 1 FB ∴∠A 1 FB 1 = 90? ∴A 1F ⊥ B 1 F 结论 8：（1）AM 1 ⊥ BM 1 （2）M 1F ⊥ AB （3） M 1 F = （4）设 AM 1 与 A 1F 相交于 H ，M 1B 与 FB 1 相交于 Q （5） AM 1 + M 1 B = 4 M 1 M AF ? BF 则 M 1，Q ，F ，H 四点共圆证：由结论（6）知 M 1 在以 AB 为直径的圆上∴ AM 1 ⊥ BM 1 ?A 1 FB 1 为直角三角形， M 1 是斜边 A 1 B 1 的中点 ∴ A 1 M 1 = M 1 F ∴∠M 1 FA 1 = ∠M 1 A 1 F ∠AA 1 F = ∠AFA 1 ∠AA 1 F + ∠FA 1 M 1 = ∠AA 1 M 1 = 90? ∴M 1F ⊥ AB ∴∠AFA 1 + ∠A 1 FM 1 = 90? ∴ M F 2 = AF ? BF AM 1 ⊥ BM 1 ∴∠AM 1 B = 90?又 A 1F ⊥ B 1F ∴∠A 1FB 1 = 90? 所以 M 1，Q ，F,H 四点共圆， AM 1 + M 1 B = AB 2 = ( A F + BF )2 = ( AA + BB 1 )2 = (2 MM )2 = 4 MM 2 结论 9：（1） A 、O 、B 1 三点共线（2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B 1，则 BB 1 平行于 X 轴（4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A 1，则 AA 1 平行于 X 轴 AA 1 + BB 1 AB 1 2 1

抛物线焦点弦性质总结30条

抛物线焦点弦性质总结30 条 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

基础回顾 1. 以AB 2. 2 124 p x x =3. 212y y p =-; 4. '90AC B ∠=; 5. ''90A FB ∠=; 6. 123222()2sin p p AB x x p x α =++=+=; 7. 112AF BF P +=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、'A 三点共线； 10.2 2sin AOB P S α =； 11.23()2 AOB S P AB =（定值）； 12.1cos P AF α= -；1cos P BF α =+； 13.'BC 垂直平分'B F ； 14.'AC 垂直平分'A F ； 15.'C F AB ⊥； 16.2AB P ≥； 17.11'('')22CC AB AA BB = =+； 18.AB 3 P K =y ；

19.2p 22y tan = x -α; 20.2A'B'4AF BF =?; 21.1C'F A'B'2 =. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00 性质深究一)焦点弦与切线 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为??? ??-0,2p 在准线上．证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点 M ．则有结论6PA ⊥PB ．结论7PF ⊥AB ．结论8 M 平分PQ ．

抛物线焦点弦性质总结

抛物线焦点弦性质总结基本性质已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论： 1、以AB 为直径的圆与准线L 相切； 2、2124p x x ?=且212y y p ?=-； 3、90AC B '∠=?，90A FB ''∠=?； 4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=； 5、112AF BF P +=； 6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线； 7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ??= ??? △(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥； 10、2AB p ≥； 11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan y x α=-； 13、24A B AF BF ''=?，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00

性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ??- ??? ．结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、P A ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ．结论8、M 平分PQ ．结论9、P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102= 结论11、PAB S ?2min p = 二、非焦点弦与切线当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、P A 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠ 结论15、点M 平分PQ 结论162PF =

抛物线经典性质总结30条

抛物线性质30条已知抛物线22(0)y px p =>，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点. AA’垂直准线于A ’， BB ’垂直准线于B ’， CC’垂直准线于C ’，CC ’交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K. 求证： 1.12||,||,22p p AF x BF x =+ =+ 2.11 ()22 CC AB AA BB '''==+； 3.以AB 为直径的圆与准线L 相切；证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线， ||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r '''=+=+== 4.90AC B '∠= ；(由1可证) 5.90A FB ''∠= ； ,, ||||,, 1, 2 AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠ 证明：同理：1,2 B FK BFK '∠=∠得证. 6.1 C F A B 2 '''=. 证明：由90A FB ''∠= 得证. 7.AC '垂直平分A F '；BC '垂直平分B F '；证明：由1 C F A B 2 '''=可知，1||||||,2C F A B C A '''''== ||||,.AF AA '=∴ 又得证同理可证另一个. 8.AC '平分A AF '∠，BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠，B ’F 平分BFK ∠. 证明：由AC '垂直平分A F '可证. 9.C F 'AB ⊥；证明：12 2121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'?=-?-- 222222 122112 21()02222y y y y y y p x x --=-+=-+= 10.1cos P AF α=-；1cos P BF α =+；证明：作AH 垂直x 轴于点H ，则||||||||||c o s ,||1c o s p A F A A K F F H p A F A F αα '==+=+∴= -. 同理可证另一个. 11. 112AF BF P +=; 证明：由1cos P AF α=-；1cos P BF α =+；得证.

梳理抛物线焦点弦的有关结论

梳理抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设 (),,11y x A ()22,y x B ，则（1）4 2 21p x x =；（2）1y 证明：如图，（1）若AB 的斜率不存在时，依题意,2 21p x x ==4221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则? ? ? =2:k y AB () 04222222 222 2=++-?=?? ? ??-p k px k x k px p x k .4221p x x =∴ 综上：.4 2 21p x x = （2）p y x p y x 2,22 22211== ，,22142 221p y y p y y ±=?=∴ 但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2 :p my x AB + =与px y 22=联立，得 22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设 (),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线则α2 sin 2p AB = 。证明：（1）由抛物线的定义知 ,2 ,221p x BF p x AF +=+= p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x = ==则α由（1）知α 2 sin 2p AB ==

若px y p x k y AB 2,2:,9020=??? ? ? -=≠与设α联立，得 () 04222222 222 2=++-?=??? ? ?-p k px k x k px p x k (),22221k k p x x +=+∴() 2 2211 2k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ， () α αα222sin 2tan tan 12p p AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。证明：过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r . 2211r MN MN BB AA BF AF AB r =∴=+=+== ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则11=∠FB A 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 与x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠ 证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为11////BB KF AA B B BF A A AF FB AF K B K A 1111,===∴ 而 B B A A K B K A 1111=∴ B B K B A A K A 1111=∴，而01190=∠=∠K BB K AA