复变函数习题答案
习题一
1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数
π/43513
;
;(2)(43);711i i e i i i i i
-++++
++. 解：
i 4
π
ππe
cos isin 442222-??????=-+-=+=- ? ? ? ???????
②解：
()()()()35i 17i 35i 1613
i 7i 11+7i 17i 2525
+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13
35=i i i 1i 222
-+-+=-+
2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )
(z a
a z a
-∈+
); 33
311;;;.22n
z i ??-+-- ????
①解： ∵设z =x +iy 则
()()()()()()()22
i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y
-++-????+--+-????===+++++++
∴()222
22
Re z a x a y z a x a y
---??= ?+??++, ()22
2Im z a xy z a x a y
-??
= ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵()()
()()()()()()3
2
3
22222222
3223i i i 2i i 22i
33i
z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+-
∴()3
3
2Re
3z x
xy =-, ()323Im 3z x y y =-．
③解：
∵
(
(
)(
){
}
3
3
232
11
131318
8
-+????==
--?-?+?-?????
???
??
()1
80i 18
=
+=
∴Re 1=??
, Im 0=??
． ④解：
∵
()
(
)((
)2
3
3
2
3
13131i 8
??--?-?+?-????=??
()1
80i 18
=
+=
∴Re 1=??
, Im 0=??
． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,
k
n
k
n k k n k ?-=?=∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()()
Re
i 1k
n =-，()Im
i 0n
=；
当21n k =+时，()Re i 0n
=，()()
Im i 1k
n
=-．
3.求下列复数的模和共轭复数
12;3;(2)(32);
.2
i
i i i +-+-++
①解：2i -+=
2i 2i -+=--
②解：33-= 33-=- ③解：
()(
)2i 32i 2i
32i ++=++
()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=-
④解：
1i 1i 222
++==()1i 11i
222i ++-??== ???
z z =时，z 才是实数．
证明：若z z =，设i z x y =+，
则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．
若z =x ，x ∈?，则z x x ==． ∴z z =． 命题成立．
5、设z ,w ∈￡，证明： z w z w ++≤
证明：∵()()()()
2
z w z w z w z w z w +=+?+=++
(
)()
2
2
2
2
2Re z z z w w z w w z zw z w w z w
z w =?+?+?+?=++?+=++?
()
22
2
2
2
22z w z w
z w z w z w ++?=++?=+≤
∴z w z w ++≤．
6、设z ,w ∈￡，证明下列不等式．
()
22
2
2Re z w z z w w +=+?+ ()
2
2
2
2Re z w z z w w -=-?+
(
)22
22
2z w z w z w
++-=+
并给出最后一个等式的几何解释．
证明：(
)
22
2
2Re z w z z w w +=+?+在上面第五题的证明已经证明了．
下面证()
22
2
2Re z w z z w w -=-?+． ∵()()()()
2
22
z w z w z w z w z w z z w w z w
-=-?-=--=-?-?+
()
2
2
2Re z z w w =-?+．从而得证．
∴(
)22
22
2z w z w z w
++-=+
几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
3
352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +?
?--+ ?+?
? ①解：
()()()()
35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-
3816i 198i e 5025i θ?--== 其中8
πarctan 19
θ=-． ②解：e i i θ
?=其中π2θ=．
π2
e i i =
③解：π
πi i
1e e -==
④解：()
28π116ππ3
θ-==-.
∴(
)
2πi 3
8π116πe
--+
=?
⑤解：3
2π2πcos isin 99?
?+ ??
? 解：∵3
2π2πcos isin 199?
?+= ??
?．
∴3
2
2π
i π.3i 932π2πcos isin 1e e 99???+=?= ???
8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；
的平方
根.
⑴i 的三次根． 解
：
()
1
3
ππ
2π2πππ22cos sin cos
isin 0,1,22233
+
+
?
?+=+= ??
?k k i k
∴
1ππ1
cos
isin i 662
=+=+z ．
25531
cos πisin πi 6622=+=-+z
39931
cos πisin πi 6622
=+=--z
⑵-1的三次根 解
：
()()
1
3
3
2π+π2ππ
1cos πisin πcos
isin 0,1,233
k k k +-=+=+=
∴1ππ13
cos
isin i 3322
=+=+z 2cos πisin π1=+=-z
35513
cos πisin πi 3322
=+=--z
⑶33i +的平方根．
解： π
i 4
2233i=6i 6e 22??+?+=? ? ???
∴
(
)
()
1π
12
i 4
4
ππ2π2π4433i 6e
6cos isin 0,122k k k ?
?++ ?+=
?=?+= ???
∴π11
i 8
4
41ππ6cos isin 6e 88?
?=?+=? ???z
911πi 8
4
4
2996cos πisin π6e
88?
?=?+=? ??
?z ．
9.设2πe
,2i
n
z n =≥. 证明：1
10n z z
-+++=L
证明：∵2πi e
n
z ?= ∴1n
z
=，即10n z -=．
∴()()1
110n z z z --+++=L
又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而2
1
1+0n z z z -+++=L
11.设Γ是圆周{:
},0,e .i z r r a c r z c α
=>=+-令
:Im 0z a L z b β?-???==?? ?????
,
其中e i b β
=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条
件.
解：如图所示．
因为L β={z : Im z a b -??
???
=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°
所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．
12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.
(1)arg π;
(2);1(3)1|2;
(4)Re Im ;(5)Im 1 2.
z z z z i z z z z ==-<+<>><且
解：
(1)、argz =π．表示负实轴．
(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =
1
2
．
(3)、1<|z+i|<2
解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
（4）、Re(z)>Im z．
解：表示直线y=x的右下半平面
5、Im z>1，且|z|<2．
解：表示圆盘内的一弓形域。
所以当y→∞时有|cos z|→∞．
习题二1. 求映射
1
w z
z
=+下圆周||2
z=的像. 解：设i,i
z x y w u v
=
+=+则
222222
1i
i i i i()
i
x y x y u v x y x y x y
x y x y x y x y
-
+=++=++=++-
++++
因为224
x y
+=,所以
53
i
44
u iv x y
+=+
所以
5
4
u x
=,
3
4
v y
=+
53
44
,
u v
x y
==
所以
()()
22
53
44
2
u v
+=即
()()
22
22
53
22
1
u v
+=，表示椭圆.
2. 在映射2
w z
=下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设e i
w?
ρ
=或i
w u v
=+.
（1）
π
02,
4
rθ
<<=；（2）
π
02,0
4
rθ
<<<<;
(3) x=a, y=b.(a, b为实数)
解：设222
i()2i
w u v x iy x y xy
=+=+=-+
所以22,2.
u x y v xy
=-=
(1) 记e i
w?
ρ
=，则
π
02,
4
rθ
<<=映射成w平面内虚轴上从O 到4i的一段，即
π
04,.
2
ρ?
<<=
(2) 记e i
w?
ρ
=，则
π
0,02
4
r
θ
<<<<映成了w平面上扇形域，即
π
04,0.
2
ρ?
<<<<
(3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22
,2.u a y v ay =-=即
2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了2
2
,2.u x b v xb =-=
即2
2
2
4()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.
3. 求下列极限. (1) 2
1
lim
1z z →∞+;
解：令1z t
=,则,0z t →∞→.
于是2
22
01lim lim 011z t t z t →∞→==++.
(2) 0Re()
lim z z z
→;
解：设z =x +y i ，则Re()i z x
z x y
=
+有 000
Re()1
lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim
(1)
z i
z i
z z →-+；
解：2
lim
(1)z i
z i
z z →-+=11lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+. （4） 21
22
lim
1
z zz z z z →+---.
解：因为
222(2)(1)2
,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+
所以21
12223
lim
lim 112
z z zz z z z z z →→+--+==-+.
4. 讨论下列函数的连续性：
(1) 22
,0,()0,0;xy
z x y f z z ?≠?+=??=?
解：因为22
(,)(0,0)lim ()lim
z x y xy
f z x y →→=
+,
若令y =kx ,则
222
(,)(0,0)lim
1x y xy k
x y k →=
++, 因为当k 取不同值时，f (z )的取值不同，所以f (z )在z =0处极限不存在.
从而f (z )在z =0处不连续，除z =0外连续.
(2) 342
,0,()0,0.
x y
z f z x y z ?≠?
=+??=?
解：因为33422022x y x x y x y x y ≤≤=+,
所以342
(,)(0,0)lim 0(0)x y x y
f x y →==+
所以f (z )在整个z 平面连续.
5. 下列函数在何处求导？并求其导数. (1) 1
()(1)
n f z z -=- (n 为正整数)；
解：因为n 为正整数，所以f (z )在整个z 平面上可导.
1()(1)n f z n z -'=-.
(2) 22
()(1)(1)
z f z z z +=
++.
解：因为f (z )为有理函数，所以f (z )在2
(1)(1)0z z ++=处不可导.
从而f (z )除1,i z z =-=±外可导.
22222
32222
(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''
+++-+++'=
++-+++=
++
(3) 38
()57
z f z z +=-.
解
：
f (z )
除
7
=5
z 外处处可导，且
22
3(57)(38)561
()(57)(57)z z f z z z --+'==-
--. (4) 2222
()i
x y x y
f z x y x y +-=+++. 解
：
因
为
2
222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i
()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z
++--+--+++=====+++.
所以f (z )除z =0外处处可导，且2
(1i)
()f z z +'=-.
6. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1) 2
2
()i f z xy x y =+;
解：2
2
(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微.
22,2,2,y
u
v
v
y xy xy x x
y x y
????====???? 所以要使得
u v x y ??=??， u v y x
??=-??, 只有当z =0时,
从而f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析. (2) 2
2
()i f z x y =+.
解：2
2
(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.
2,0,0,2u
u v v
x y x y x y
????====???? 只有当z =0时,即(0,0)处有
u v x y ??=??,u v y y ??=-??. 所以f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析. (3) 3
3
()23i f z x y =+;
解：33
(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.
226,0,9,0u
u v
v
x y x y x y
????====????
所以只有当=时，才满足C-R 方程. 从而f (z )
0±=处可导，在全平面不解析.
(4) 2
()f z z z =?. 解
：
设
i z x y
=+，则
23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-?+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+
22223,2,2,3u
u
v
v
x y xy xy y x x y
x
y
????=+===+???? 所以只有当z =0时才满足C-R 方程. 从而f (z )在z =0处可导，处处不解析.
7. 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1) ()0f z '=;
证明：因为()0f z '=，所以
0u u x y ??==??,0v v x y
??==??. 所以u ,v 为常数，于是f (z )为常数.
(2) ()f z 解析.
证明：设()i f z u v =-在D 内解析,则
()u v u v
x y x y ??-??=?=-???? ()u v v y x y ?-?-?==+??? ,u v u v
x y
y x
????=-=???? 而f (z )为解析函数，所以,u u u v x y
y x
????==-???? 所以
,,v v
v v x x y y ????=-=-????即0u u v v
x y x y
????====???? 从而v 为常数，u 为常数，即f (z )为常数.
(3) Re f (z )=常数.
证明：因为Re f (z )为常数，即u =C 1, 0u u x y
??==?? 因为f (z )解析，C-R 条件成立。故0u u x y
??==??即u =C 2 从而f (z )为常数.
(4) Im f (z )=常数.
证明：与（3）类似，由v =C 1得0v v x y
??==?? 因为f(z)解析，由C-R 方程得0u u x y
??==??,即u =C 2 所以f (z )为常数.
5. |f (z )|=常数.
证明：因为|f (z )|=C ，对C 进行讨论. 若C =0，则u =0,v =0,f (z )=0为常数.
若C ≠0，则f (z ) ≠0,但2
()()f z f z C ?=，即u 2+v 2=C 2
则两边对x ,y 分别求偏导数，有
220,220u v
u v
u v u v x x
y y
?????
+?=?
+?=???? 利用C-R 条件，由于f (z )在D 内解析，有
u v
u v
x y
y x
????==-???? 所以00u
v u v x x u v v u x x ????+?=?????????-?=????
所以0,
0u v
x x
??==?? 即u =C 1,v =C 2,于是f (z )为常数.
(6) arg f (z )=常数.
证明：arg f (z )=常数，即arctan v C u ??
=
???
, 于是
222
222222()
()(/)01(/)()()
v u v u
u u v u u v v u y y x x v u u u v u u v ????-??
-?'
????=
==+++
得00v u u v x x v u u v y y ????-?=?????????-?=????
C-R 条件→ 00
v u u v x x
v u u v x x ????-?=?????????+?=????
解得0u v u v
x x y y
????====????，即u ,v 为常数，于是f (z )为常数.
8. 设f (z )=my 3
+nx 2
y +i(x 3
+lxy 2
)在z 平面上解析，求m,n,l 的值.
解：因为f (z )解析，从而满足C-R 条件.
222,3u
u
nxy my nx x
y
??==+?? 223,2v
v
x ly lxy x
y
??=+=?? u v n l x y
??=?=?? 3,3u v
n l m y x
??=-?=-=-?? 所以3,3,1n l m =-=-=.
9. 试证下列函数在z 平面上解析，并求其导数. (1) f (z )=x 3
+3x 2
y i-3xy 2
-y 3
i
证明：u (x,y )=x 3
-3xy 2
, v (x ,y )=3x 2
y -y 3
在全平面可微,且 222233,6,6,33u
u
v
v
x y xy xy x y x
y x y
????=-=-==-???? 所以f (z )在全平面上满足C-R 方程，处处可导，处处解析.
22222()i 336i 3(2i)3u v
f z x y xy x y xy z x x
??'=
+=-+=-+=??.
(2) ()e (cos sin )ie (cos sin )x x
f z x y y y y y x y =-++. 证
明
：
(,)e (cos sin ),
(,)=e (cos sin )
x x u x y x y y y v x y y y x y =-+处处可微，且
e (cos sin )e (cos )e (cos sin cos )x x x u
x y y y y x y y y y x
?=-+=-+?
e (sin sin cos )e (sin sin cos )x x u
x y y y y x y y y y y
?=---=---? e (cos sin )e (sin )e (cos sin sin )x x x v
y y x y y y y x y y x
?=++=++? e (cos (sin )cos )e (cos sin cos )x x v
y y y x y y y y x y y
?=+-+=-+? 所以
u v x y ??=??, u v
y x
??=-?? 所以f (z )处处可导，处处解析.
()i e (cos sin cos )i(e (cos sin sin ))e cos ie sin (e cos ie sin )i (e cos ie sin )e e i e e (1)
x x x
x x x x x z z z z u v
f z x y y y y y y x y y x x y y x y y y y y x y z ??'=
+=-++++??=+++++=++=+
10. 设()()
333322
i ,0.0.0.x y x y z f z x y z ?-++≠?
=+??=?
求证：(1) f (z )在z =0处连续． (2)f (z )在z =0处满足柯西—黎曼方程． (3)f ′(0)不存在． 证明.(1)∵()()
()()0
,0,0lim ()lim ,i ,z x y f z u x y v x y →→=
+
而()()()()()33
22
,0,0,0,0lim ,lim x y x y x y u x y x y →→-=+ ∵()3322221x y xy x y x y x y -?
?=-?+ ?++??
∴3322
3
02
x y x y x y --+≤
≤
∴()()33
22,0,0lim 0x y x y x y →-=+ 同理()()33
22
,0,0lim 0x y x y x y →+=+
∴
()()
()(),0,0lim
00x y f z f →==
∴f (z )在z =0处连续．
(2)考察极限()
0()0lim z f z f z
→-
当z 沿虚轴趋向于零时，z =iy ，有
()()()3
2
00111i lim
i 0lim 1i i i y y y f y f y y y →→--??-=?=+??． 当z 沿实轴趋向于零时，z =x ，有
()()[]01
lim
01i x f x f x
→-=+ 它们分别为i ,i
u v v u
x x y y ????+?-???? ∴
,u v u v x y y x
????==-???? ∴满足C-R 条件．
(3)当z 沿y =x 趋向于零时，有
()()()()()33300i 0,01i 1i i
lim lim i 21i 1i
x y x y f x x f x x x x x =→=→+-+--==
+++ ∴0lim z f z
→??不存在．即f (z )在z =0处不可导．
11. 设区域D 位于上半平面，D 1是D 关于x 轴的对称区域，若f(z)在区域D 内解析，求证()()F z f z =
在区域D 1内解析．
证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )，因为f (z )在区域D 内解析． 所以u (x ,y ),v (x ,y )在D 内可微且满足C-R 方程，即
,u v u v
x y y x
????==-????． ()()()()(),iv ,,i ,f z u x y x y x y x y ?ψ=---=+，得 (),u x y x x ??-?=?? ()
(),,u x y u x y y y y ??-?-?==-??? (),v x y x x
ψ-?-?=
?? ()(),,v x y v x y y y y ψ?-?-?=+=??? 故
φ(x ,y ),ψ(x ,y )在D 1内可微且满足C-R 条件
,x y y x
?ψ?ψ
????==-
???? 从而()f z 在D 1内解析
13. 计算下列各值
(1) e 2+i
=e 2
?e i
=e 2
?(cos1+isin1)
(2)
22π2
2
i 3
33
3
3ππ1e
e e
e cos isin e 332i
π--????
????=?=?-+-=?- ?
? ???????
????
(3)()()
22
22
22
22
2
2
i i
22222
2Re e
Re e e
Re e cos isin e cos x y x y x y x y x y x
x y
x
x
y y y x y x y y x y -+-
++++=????????
?= ?-+-??? ? ? ?++?
??????
???=? ?
+??
(4)()
()i 2i 2i i 22i 2e
e e e e e x y x y x y x
-+-+---=?=?=
14. 设z 沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f (z )=z +e z
的极限． 解：令z =r e i θ
，
对于?θ，z →∞时，r →∞． 故()()()i i e i isi c n os lim e e
lim e e r r r r r r θ
θ
θθθ→∞
→+∞
+=+=∞．
所以()lim
z f z →∞
=∞．
15. 计算下列各值． (1)
(
)(
)3ln 23i iarg 23i i πarctan 2?
?-+-+=- ???
(2)
(
)(
)ππln 3ln iarg 3ln i ln i
66??
==-= ???
(3)ln(e i
)=ln1+iarg(e i
)=ln1+i=i (4)()()π
ln ie ln e iarg ie 1i 2
=+=+
16. 试讨论函数f (z )=|z |+ln z 的连续性与可导性．
解：显然g (z )=|z |在复平面上连续，ln z 除负实轴及原点外处处连续． 设z =x +i y
，()()()||,i ,g z z u x y v x y =+
(
)(),,0u x y v x y ==在复平面内可微．
(
)1
222
122
u u x y x x y
-??=+?==??
00v v
x y
??==?? 故g (z )=|z |在复平面上处处不可导． 从而f (x )=|z |+ln z 在复平面上处处不可导．
f (z )在复平面除原点及负实轴外处处连续．
17. 计算下列各值．
(1) ()
()
()()
(
)1i
π1i i 2πi 1i
ln 1i 1i ln 1i 4ππ
i 2π
44π
2π
4
π
2π4
1i e
e
e
ππ
e i 2π44e e
ππe
cos isin 4
4ππe
cos isin 4
4k k k k k -??-?+ ?
-+-?+??
?-+ ?++
+====+
-++=?????=?-+- ??
??????
??=?-+- ??
????
(2)(
(
)
(
)
)(
)(
)(
(
)(
)(5
ln 3ln 3i π2πi 3π23
3e cos 21isin 21cos 21πisin 21k k k k k k --+?++-=====++=?++
(3)(
)
(
)
i
i
ln1iln1i ln1i 02πi i 2πi 2π
1e
e e e e k k k ----?+?+-?=====
(
)()(
)1i
1i
ln 1i ln ππ1i ln1i 2πi 1i 2πi i 44πππ
π
i 2π2πi i 2π2π4444
π
2π4
π
2π4e e
e e
e e
e
ππe
cos isin 44()4e k k k k k k k k +++??????+?+-++- ? ?
?
??????
?
?---+
- ???
--======?????=?+- ? ?
???
??=??
?
18. 计算下列各值
(1)()()()
()i π5i i π5i i π5i π5
555555e e e e cos π5i 22
e e 1e e e e ch5
222+-+--+---+++==-+---+===-=-
(2)()()()
()()i 15i i 15i i 5i 5
555555e e e e sin 15i 2i 2i
e cos1isin1e cos1isin12i
e e e e sin1i cos1
22
---+--------==+-?-=
++=?-?
(3)()()()(
)
(
)
()()()
i 3i i 3i
i 3i i 3i 22e e sin 3i sin 6isin 2
2i tan 3i cos 3i e e 2ch 1sin 32i
----------===-+-
复变函数试题2
第一部分 选择题 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1． 复数i 25 8-2516z =的辐角为（ ） A ． arctan 2 1 B ．-arctan 2 1 C ．π-arctan 2 1 D ．π+arctan 2 1 2．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ） A ． 圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 3．复数)5 ,-isin 5-3(cos z π π=的三角表示式为（ ） A ．)54isin ,543(cos -ππ＋ B ．)54 isin ,543(cos ππ－ C ．)54isin ,543(cos ππ＋ D ．)5 4 isin ,543(cos -ππ－ 4．设z=cosi ，则（ ） A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ） A ．4π － B ． 1,0,k ,4 2k ±=ππ－ C ．4 π D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ 7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03 argz 0<< 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].；平面上的何种曲线? (1) 以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； (2) 倾角 二的直线； (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos 0 特别，取 - ，则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此， f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限，从而在原点不连续。 证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时，其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 （沿正实轴。一 H ） 当I: 「时，极限不存在。因 二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay 2010-2011 第一 复变函数与积分变换 (A) 数理学院 自动化各专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、 选择题（每小题3分，共18分） 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、－2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业: 二、 填空题（每小题3分，共21分） 1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、 计算题（每小题10分，共50分） 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内 二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z ) 2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1< 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级： 考试形式：闭卷 编号：一 命题教师： 一、 判断题（4x10=40分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( ) 4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ） 5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ） 6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 7、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=? C dz z f 。（ ） 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分） 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数∑+∞ =0n n nz 的和函数为__________。 3、设1 1 )(2+= z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞ =0 n n nz 的收敛半径为_________。 5、=)0,(Res n z z e _____________。 三、计算题（8x5=40分）： 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 第一章 复数与复变函数 一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（ ） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题： 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数.复变函数试题及答案
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