2011届高三数学一轮复习 定积分与微积分巩固与练习

巩固

2．(原创题)用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )

A ．???

a

c

f (x )d x

B ．|???

a

c

f (x )d x |

C ．???a b

f (x )d x ＋??

?b c f (x )d x D ．???b

c

f (x )d x －??

?a

b f (x )d x 解析：选D.由定积分的几何意义知选项D 正确．

3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则 ??

?1

2f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16

解析：选A.由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，所

以f (x )＝x 2

＋x ，于是???

12

f (－x )d x ＝???1

2

(x 2

－x )d x ＝

???? ????13

x 3－12x 22

1＝

5

6

. 4．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝?

??1

4

(1＋2x )d x ，则公比等于________．

解析：本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解．由已知

得a 4＝(x ＋x 2)|41

＝18，故q 3

＝1823

＝27?q ＝3. 答案：3

5.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若???

-1

1

f (x )d x ＝2f (a )成立，则a

＝________.

解析：??

?-1

1

(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )| 1-1＝4， 所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0，

解得a ＝－1或a ＝1

3.

答案：－1或1

3

6．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.

(1)求y ＝f (x )的表达式；

(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2， 所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2－2x ＋1. (2)依题意，所求面积为

S ＝?

??0

1

(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.

练习

1．已知f (x )为偶函数且???0

6

f (x )d x ＝8，则??

?-6

6f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4

C ．8

D ．16

解析：选D.原式＝???-60

f (x )d x ＋??

?0

6f (x )d x ， ∵原函数为偶函数，

∴在y 轴两侧的图象对称． ∴对应的面积相等．故选D.

2．函数y ＝??

?-x

x

(cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．以上都不正确

解析：选A.y ＝? ??

??sin t ＋t 33＋2t |x -x ＝2sin x ＋2x 3

3＋4x ，为奇函数．

3．一物体的下落速度为v (t )＝9.8t ＋6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是( )

A ．249米

B ．261.2米

C ．310.3米

D ．450米

解析：选B.所求路程为???

4

8

(9.8t ＋6.5)dt

＝(4.9t 2＋6.5t )|84

＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2(米)．

4．(2008年高考海南、宁夏卷)由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1

x

及

x 轴所围成图形的面积为( )

A.154

B.174

C.1

2

ln2 D ．

2ln2

5．若a ＝???

02

x 2d x ，b ＝???02

x 3

d x ，c ＝???0

2

sin x d x ，则a 、b 、c 的大小

关系是( )

A ．a

B ．a

C ．c

D ．c

解析：选D.a ＝???

2

x 2

d x ＝1

3x 3|2

0＝8

3， b ＝?

??

2

x 3d x ＝14x 4|2

04， c ＝??

?0

2

sin x d x ＝－cos x |20＝1－cos2， 因为1<1－cos2<2，所以c

6．函数f (x )＝?

????

x ＋1 (－1≤x <0)cos x (0≤x ≤π

2)的图象与x 轴所围成的

封闭图形的面积为( )

A.3

2

B ．1

C ．2 D.1

2

解析：选A.作出图象可知：S ＝???-1

－1(x ＋1)d x ＋????0

π

2 cos x d x ＝

7．已知a ∈[0，π

2

]，则当?a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a

＝________.

解析：??

?0

a

(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|a 0＝sin a ＋cos a －(sin0＋cos0)＝2sin(a ＋π4)－1，当a ＝π4时，?

??

a

(cos x －sin x )d x 取最大值2－1.

答案：π4

8．???

-a

a

(2x －1)d x ＝－8，则a ＝________.

解析：??

?-a

a

(2x －1)d x ＝(x 2－x )|a -a ＝a 2－a －[(－a )2－(－a )] ＝a 2－a －a 2－a ＝－2a ＝－8，

∴a ＝4. 答案：4

9．如果???0

1

f (x )d x ＝1，???0

2f (x )d x ＝－1，则??

?1

2f (x )d x ＝________. 解析：∵???02

f (x )d x ＝???01f (x )d x ＋??

?1

2f (x )d x ， ∴???12

f (x )d x ＝???02f (x )d x －??

?0

1f (x )d x ＝－1－1＝－2. 答案：－2

10.设f (x )＝?????

x －1，x ≤0，

x 2

＋6，x >0.

求???

-1

1

f (x )d x .

解：???-1

1

f (x )d x ＝???-1

0f (x )d x ＋???0

1f (x )d x ＝???-10

(x －1)d x ＋??

?0

1 (x 2＋6)d x ＝(12x 2－x )|0

-1＋(13x 3＋6x )|10 ＝－(12＋1)＋13＋6＝296

.

11．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．

解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，P 点的坐标为(x ，y )，

则???0

x

(kx －x 2)d x ＝??

?x

2(x 2－kx )d x ， 即(12kx 2－13x 3)|x 0＝(13x 3－12kx 2)|2

x ， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12

kx 2

)，

解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝4

3

x ，

所以点P 的坐标为(43，16

9

)．

12．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??

?0

1f (x )d x ＝ －2.

(1)求f (x )的解析式；

(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .

由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得???

??

a －

b ＋

c ＝2

b ＝0

，即???

??

c ＝2－a

b ＝0

.

∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．

又???0

1

f (x )d x ＝??

?0

1 [ax 2＋(2－a )]d x ＝[13ax 3＋(2－a )x ]|1

0＝2－23

a ＝－2. ∴a ＝6，∴c ＝－4.从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，

所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.

高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（三）

［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围.

选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.

解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=

2

π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =2

1

-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan

21-m ,α∈（0，2

π

）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan

21-m ，α∈(2

π

,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （

2

1

，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A 、B 、C 三点共线， ∴ｋAB ＝ｋAC ，

.22

13

2

332+-=+--m 解得m =

2

1.

说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.

［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.

选题意图：强化斜率公式.

解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.

∵tan2α=ｋAB =

.4

3

)1(3)5(2=-----

4

3tan 1tan 22

=-∴

αα 即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝3

1

或tan α＝－3. ∵tan2α＝

4

3

＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝

3

1. 因此，直线l 的斜率是

3

1 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.

命题否定的典型错误及制作

在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．

一、典型错误剖析

错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论

在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．

例1 写出下列命题的否定： ⑴ 对于任意实数x ，使x 2

＝1； ⑵ 存在一个实数x ，使x 2＝1． 错解：它们的否定分别为

⑴对于任意实数x，使x2≠1；

⑵存在一个实数x，使x2≠1．

剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x2≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x2≠1．

正解：⑴存在一个实数x，使x2≠1；

⑵对于任意实数x，使x2≠1．

错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词

在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．

例2写出下列命题的否定：

⑴线段AB与CD平行且相等；

⑵线段AB与CD平行或相等．

错解：⑴线段AB与CD不平行且不相等；

⑵线段AB与CD不平行或不相等．

剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．

正解：⑴线段AB与CD不平行或不相等；

⑵线段AB与CD不平行且不相等．

错误3——认为“都不是”是“都是”的否定

例3写出下列命题的否定：

⑴a，b都是零；

⑵高一(一)班全体同学都是共青团员．

错解：⑴a，b都不是零；

⑵高一(一)班全体同学都不是共青团员．

剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不

都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．

⑵高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．

错误4——认为“命题否定”就是“否命题”

根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．

例4写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．

错解：不满足条件C的点不都在直线F上．

剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．

正解：满足条件C的点不都在直线F上．

二、几类命题否定的制作

1．简单的简单命题

命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．

例5写出下列命题的否定：

⑴ 3＋4＞6；

⑵ 2是偶数．

解：所给命题的否定分别是：

⑴ 3＋4≤6；

⑵ 2不是偶数．

2．含有全称量词和存在量词的简单命题

全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A 是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不

是B”．

全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题．

例6写出下列命题的否定：

⑴不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实根．

⑵存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0．

⑶至少有一个整数是自然数．

⑷至多有两个质数是奇数．

解：⑴原命题相当于“对所有的实数m，x2＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实根”．

⑵原命题的否定是“对所有的实数x，x2＋x＋1＞0”．

⑶原命题的否定是“没有一个整数是自然数”．

⑷原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．

3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定

“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；

例7写出下列命题的否定：

⑴他是数学家或物理学家．⑵他是数学家又是物理学家．

⑶

21

23

x x

+-

≥0．

解：⑴原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．

⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．

⑶若认为┐p：

21

23

x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括

2

1

23

x x

+-

＜0

或

21

23

x x

+-

＝0．

或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．

定积分及其应用练习 带详细答案

定积分及其应用 题一 题面： 求由曲线2 (2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323 ． 变式训练一 题面： 函数f (x )＝???? ? x ＋2－2≤x <0， 2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) B ．2 | C ．3 D ．4 答案：D. 详解： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π 202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4. 变式训练二 题面： 由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) ￥ A ．2 3 B ．9－23 答案： 详解：

注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的 面积为??－3 1(3－x 2－2x )d x ＝? ???? 3x －13x 3－x 2??? 1 －3＝3×1－13×13－12－ ? ?? 3×－3－1 3×－3 3 ]－ －3 2 ＝32 3，选D. 题二 ^ 题面： 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )． A ．1 B ．1 C ．1 D ．17 变式训练一 题面： 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据

定积分与微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

定积分针对训练

定积分针对训练 李 2015.1.8 1．若1 2 ()2 (),f x x f x dx =+? 则1 ()f x dx =?（ ） A.1- B.13- C.1 3 D.1 2．如图，阴影区域的边界是直线0,2,0===x x y 及曲线23x y =，则这个区域的面积是 A ．4 B ．8 C ． 13 D ．1 2 3．由曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为 （A ） 112 （B ）14 （C ）13 （D ）7 12 4．由直线1 ,22 x x ==，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是（ ） A ．154 B ．174 C ．1 ln 22 D ．2ln2 5．[](] 20,1()1,22x x f x x x ∈?=?∈-?设，， 2()0 f x dx =?则( ) A ．34 B ．45 C ．5 6 D ．不存在 6．?+1 0)2(dx x e x 等于 A ．1 B ．e C ．1-e D ．e + 1 7．曲线x y sin =与x 轴在区间]2,0[π上所围成阴影部分的面积为 A ．4- B ．2- C ．2 D ．4 8． =+?- dx e x x )(cos 0 π（ ） A ．1e π -- B ．1e π -+ C ．e π -- D ．1 e ππ-- 9．直线y=4x 与曲线y=x 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）. A ．2 B ．4 C ．2 D ．4 10 ．计算 10 (1dx ? 的结果为（ ）. A ．1 B ．4π C ．14π+ D ．12 π + 11．由函数y=x 2 的图象与直线x=1、x=2和x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．3 B ． C ．2 D ． 12． ?-+22 )cos 1(π πdx x 等于（ ） A ．π B ．2 C ．π﹣2 D ．π+2 13．由直线2,,03 3 x x y π π = = =与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A.1 B. 12 14．计算定积分 2 xdx ? ＝（ ） A.2 B.1 C.4 D.－2 15． dx x ?-+22 )sin 1(π π等于（ ） A ．π B ．2 C ．2π- D ．2π+ 16．若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2 ++=x f x x f ,则=? 30 )(dx x f ( ) A ．16 B ．18- C ．24- D ．54 17．由曲线x y =与直线0,4==y x 围成的曲边梯形的面积为（ ） A 、 38 B 、316 C 、3 32 D 、16 18．若2 2 22 1231 1 11 ,,x S x dx S dx S e dx x = ==? ? ?，则123,,S S S 的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S << 19． 2 (21)x dx --? = . 20．定积分1 1 (x sin x )dx -+? =_____ 21 ． 3 1 3)___________dx =? 22．2 20 sin 2 x dx π =? ．

高等数学积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+

14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++

高中数学~定积分和微积分基本原理

高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：

规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。

微积分公式与定积分计算练习

微积分公式与定积分计算练习(附加三角函数公式) 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (１)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? (2)()() ()() n n cu x cu x =??? ? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? (4) ()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) ()() ! n n x n = (2) ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则

2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理

2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<

微积分公式大全

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++，　，　，　 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高中数学定积分训练题

定积分训练题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?101 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+10 )1( C ．dx ? 1 01 D ．dx ?1 021 3．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ．325 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ） A ．320gt B ．2 0gt C ．2 2 0gt D ．6 2 0gt 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ） A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6．dx e e x x ? -+1 )(= （ ） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ?--1 1 B ． ()[]dx x x ?-+-210 1 C ． ()[]dy y y ?--210 1 D ．()[]dx x x ? +--10 1 9．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.28 10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米， 则该正方形薄片所受液压力为 （ ） A ．? 3 2 dx x ρ B ． ()?+2 1 2dx x ρ C ．? 1 dx x ρ D ． ()?+3 2 1dx x ρ 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．将和式)21 .........2111( lim n n n n +++++∞ →表示为定积分 ． 12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解教学内容

定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a

定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定 理 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

课题：定积分与微积分定理使用时间：2011-10-11 【使用说明及学法指导】 1.先仔细阅读教材选修2-2：,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树； 2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法. 【学习目标】 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义。 2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。 3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值.？ 学习重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。 学习难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。 学习策略： ①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念。 ②求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数. ③求导运算与求原函数运算互为逆运算. 【课前预习】 一、基础知识梳理： 知识点一：定积分的概念

如果函数在区间上连续，用分点 将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点 （i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分与积分，区间 叫做，函数叫做，叫做，叫做 . 说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 知识点二：定积分的几何意义： 设函数在区间上连续. 在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的； 在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积 的；

定积分和微积分基本定理

第三节定积分和微积分基本定理 考纲解读 1?了解定积分的实际背景、基本思想及概念 ? 2?了解微积分基本定理的含义 . 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主， 其应用主要是求一个曲边梯形的面积， 题型主要为选择题和填空 题? 知识点精讲 一、基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效 f (x )在区间［a , b ］上连续.用分点a = x 0 < x 2< L < x — < x b - a < L < X n 二b 将区间［a,b ］等分成n 个小区间，每个小区间长度为 D x ( D x = )， n n 在每个小区间［X i -^X i ］上任取一点\ i =1,2J||,n ，作和式：S^v f(i)C x =： i 二 n b _a f ( i )，当D x 无限接近于0 (亦即n —； ? ?)时，上述和式S n 无限趋近于常数 S ， i i n b 那么称该常数S 为函数f (x)在区间［a,b ］上的定积分?记为： S 二 f (x)dx , f (x)为 * a 被积函数，X 为积分变量， 需要注意以下几点： ［a, b ］为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限. b (1) 定积分 f(x)dx 是一个常数，即S n 无限趋近的常数S (n 时)，称为 a b f (x)dx ，而不是 S n . a (2) 用定义求定积分的一般方法 . b n ? b -^a a f(x)dx 二［imj f i -" a - i n b t 2 b (3)曲边图形面积：S = f x dx ；变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx 2 ?定积分的几何意义 b 从几何上看，如果在区间［a ,b ］上函数f (x )连续且恒有f(x)_0，那么定积分a f x dx 表 示由直线 X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影 ①分割：n 等分区间［a ,b ］；②近似代替：取点 n b — a i ?〔x 」，X i 丨；③求和：、? 口 f(i )； ◎ n ④取极限:

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0

()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a

高考专题定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理 [知识梳理] 1．定积分的概念 2．定积分的几何意义

3．定积分的性质 4．微积分基本定理 5．定积分的应用

(1)定积分与曲边梯形面积的关系 设阴影部分的面积为S. 6．定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．

[诊断自测] 1．概念思辨 (1)在区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝??a b |f (x )|d x .( ) (2)若??a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的 图形一定在x 轴下方．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．教材衍化 答案 D

(2)(选修A2－2P 67T 7)直线y ＝3x 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为( ) A.272 B ．9 C.92 D.274 答案 C 解析 由已知，联立直线与曲线方程得到??? y ＝3x ， y ＝x 2 ， 解得?? ? x ＝0，y ＝0 或?? ? x ＝3，y ＝9， 则围成图形的面积为??0 3(3x －x 2)d x ＝? ?? ??3 2x 2－13x 3|30 ＝32×3×3－1 3×3×3×3 ＝16×3×3×3＝9 2.故选 C.

微积分公式与定积分计算练习大全

微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则

定积分的概念习题

凰课时作业 ?＞在学生用书中.此内容单独成册@ ［学业水平训练I 1. 下列函数在其定义域上不是连续函数的是（ ） A. y=x B. y=\x\ 解析：选D.由于函数y=-^J 定狡域为（一8, 0） U （0, 4-oo ）,故其图象不是连续不斯 X 的曲线. 2?在“近似代替”中.函数代力在区间［尢，“+］上的近似值（ ） $ A. 可以是左端点的函数值fM B. 可以是右端点的函数值 C. 可以是该区间内的任一函数值x/+i ］） D. 以上答案均正确 解析：选D.由于当/?很大，即△"很小时，在区间［乩，“+］上，可以认为函数f （x ） 的值变化很 小，近似地等于一个常数，所以可以是该区间内的任一函数值（含端点函数值）. 3. 直线y=2x4-1与直线x=0, x=m, y=0围成图形的面积为6,则正数/7/=（ ） A. 1 B. 2 C ? 3 D. 4 ■ 解析：选B.由题意，直线囲成梯形的面积为5=^（1+2/77+1）777=6,解得777=2,刃=一 3（舍去）. 4. 对于由直线x=1, y=0和曲线y=x 所国成的曲边三角形，把区间3等分.則曲边 三角形面积的近似值（取每个区间的左端点）是（ ） 1 1 2 2 解析：选A.将区间［0,1］三等分为0, - , - , 1 ,乞小矩形的面积和为si = 5?在求由曲线y=-与直线x=1t x=3, y=0所国成图形的面积时，若将区间门等分, X 并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第/个小曲边梯形的面积约等于（ ） 2 1 C ?n 门D ?门+2/ （ 2 「〃+2 7—1 〃+2 / 解析：选A.每个小区间长度为-，第/个小区间为 --------------------- ， ----- ,因此第/ n L n n 1 2 2 个小曲边梯形的面积△$& 丄” ?一=■?丄「? n+2/ n n+2 / n 6. ____________ 如果汽车做匀变速直线运动，在吋刻十的速度为讥十）=#+2（单位： km/h ）,則该汽 车在这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则国成该图形的直线 和 曲线分别是 ___________ ?

(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解 一、选择题 1．(2010·山东日照模考)a ＝??0 2x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 2，c ＝? ?0 2sin x d x ＝－cos x |02＝1 －cos2∈(1,2)， ∴c

定积分与导数(综合复习)

定积分与导数讲座 【基础训练】 1．在区间（a ，b ）内，0)('>x f 是)(x f 在区间（a ，b ）内单调递增的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 2．在下列区间中，函数x x x y sin cos -=是增函数的是 （ ） A ．（ 2 π，23π ） B ．（π，π2） C ．（ 23π，2 5π ） D ．（π2，π3） 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 （ ） A ．2x y -= B ．x y 2sin = C ．x xe y = D ．x x y --=3 4．函数331x x y -+=有 （ ） A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3 5．函数5224+-=x x y 的单调减区间是 （ ） A ．（－∞，－1）和（0，1） B ．（－1，1） C ．（－1，0）和（1，+ ∞） D ．（－∞，－1）和（1，+ ∞） 6．（2013江西）若2 211 S x dx = ? ，2 21 1 S dx x =? ，231x S e dx =?，则1S ，2S ，3S 的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S << 【答案】B 7．已知函数2436152 3-+-=x x ax y 在3=x 处有极值，则函数的递减区间为（ ） A ．（－∞，－1）和（5，+∞） B ．（1，5） C ．（－∞，2）和（3，+∞） D ．（2，3） 8．（2014宁夏石嘴山市一模）下列结论叙述正确的是（ ） ①直线3450x y ++=与圆2 2 (1)(2)4x y ++-=是相离关系； ②相关系数||r 越大，表示解释变量与预报变量的相关关系越强； ③对于在定义域内的可导函数()y f x =，若0'()0f x =，则0x x =是函数()y f x =在0x x =处取极值 的充要条件；④命题:p “20,10x R ax x ?∈++<”，则:p ?“2 ,10x R ax x ?∈++≥” 。 A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④ 9． 已知函数322 +--=x x y 在区间[a ，2]上的最大值为4 15 ，则a =（ ） A ．21- 或2 3 - B ．2 1 - C ． 2 1 D ．2 3- 10．已知0>a ，函数ax x x f -=3 )(在[1，+∞）上是单调函数，则a 的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【能力提高】 1．（2013年全国）若函数2 1()f x x ax x =++ 在（1 2 ，+∞）是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[－1，0] B ．[－1，+∞） C ．[0，3] D ．[3，+∞） 【答案】D