湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学试卷(理科) Word版含解析

湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高三上学期第三次月考数

学试卷（理科）

最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）

A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，

2．（5分）在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（）

A．B．C．D．±2

3．（5分）从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）

A．2097 B．2112 C．2012 D．2090

4．（5分）“2a＞2b”是“lga＞lgb”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）

A．B．C．2D．

6．（5分）如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）

A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）

7．（5分）多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长（）

A．B．C．D．

8．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③棱A1D1始终与水面EFGH平行；

④当E∈AA1时，AE+BF是定值．

其中正确说法是（）

A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④

9．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）

A．2B．4C．6D．8

10．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）

A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为．

12．（5分）将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为．

13．（5分）已知x，y满足约束条件，则x2+4y2的最小值是．

14．（5分）已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n．若S n+1=2S n+1，则a n=．

15．（5分）过x轴正半轴上一点P的直线与抛物线y2=4x交于两点A、B，O是原点，A、B 的横坐标分别为3和，则下列：

①点P是抛物线y2=4x的焦点；

②?=﹣2；

③过A、B、O三点的圆的半径为；

④若三角形OAB的面积为S，则＜S＜；

⑤若=λ，则λ=3．

在这五个中，正确的是．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若，且，求a和c的值．

17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．

18．（12分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．

（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；

（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．

19．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．

20．（13分）已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．

（Ⅰ）当直线Z酌斜率为1时，求线段AB的长；

（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21．（13分）设函数f（x）=1﹣e﹣x，函数g（x）=（其中a∈R，e是自然对数的底数）．

（1）当a=0时，求函数h（x）=f′（x）?g（x）的极值；

（2）若f（x）≤g（x）在

∴T=π，即=π，解得：ω=2．

由五点作图的第二点可知，2×+φ=，即φ=﹣，满足|φ|＜，

∴ω，φ的值分别是2，﹣．

故选：A．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解φ的值，是基础题．

2．（5分）在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（）

A．B．C．D．±2

考点：等比数列的通项公式；函数的零点．

专题：等差数列与等比数列．

分析：利用根与系数的关系可得a4a8，再利用等比数列的性质即可得出．

解答：解：∵a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，∴a4a8=2，a4+a8=3＞0．

∴a4＞0，a8＞0．

由等比数列{a n}，，∴．

由等比数列的性质可得：a4，a6，a8同号．

∴．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题．

3．（5分）从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）