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湘教版八年级下册数学全册教案

直角三角形的性质

主备人:王勇合备人:周谧洋钟猛教学时间:月日第节总第节

教学目标

知识与技能:1理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理

2 能应用直角三角形的判定与性质,解决有关问题。

过程与方法:通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程,提高分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观:感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值,主动参与

数学思维与交流活动。

教学重点:直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与应用。

教学难点:“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。

教学过程

一、教学引入

1、三角形的内角和是多少度。学生回答。

2、什么是直角三角形?日常生活中有哪些物品与直角三角形有关?请举例说明。

3、等腰三角形有哪些性质?

二、探究新知

1、探究直角三角形判定定理:

⑴观察小黑板上的三角形,从∠A+∠B的度数,能说明什么?

——两个锐角互余的三角形是直角三角形。

⑵讨论:直角三角形的性质和判定定理是什么关系?

2、探究直角三角形性质定理:

⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。

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⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边的关系。

⑶ 学生猜想:直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。 3、 共同探究:

例 已知:在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB 上的中线。 求证:CD=1

2

AB 。

[教师引导:数学方法——倒推法、辅助线]

(分析:要证CD=1

2

AB ,先证CD=AD 、CD=AD ,在同一个三角形中证

明CD=AD ,必须找∠ACD=∠A ,但是题目中没有我们要怎样做呢?作∠1=∠A 。学生注意在作辅助线时只能作一个量。因此,我们要证明∠1与AB 的交点就是中点。)

三、应用迁移 巩固提高

练习:如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,求证,这个三角形是直角三角形。已知CD 是ABC ?的AB 边上的中线,且CD=1

2AB 。求证ABC ?是

直角三角形。

提示:倒推法,要证明ABC ?是直角三角形,只有通过定义和判定定理,定义与判定定理都与角有关系。现在我们只有边的关系,我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。还要找到与90°有关的角,但是我们只知道三角形的内角和为180°。通过提示,请同学们自己写出证明过程。

四、课堂小结

1、两个锐角互余的三角形是直角三角形。

2、在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。反过来讲也正确。

五、作业布置P7练习题教学反思:

直角三角形的性质的推论

主备人:王勇合备人:周谧洋钟猛教学时间:月日第节总第节

重难点

重点:直角三角形的性质推论:

(1)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,则它所对的直角边等于斜边的一半;

(2)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为30°.

难点:

1.性质定理的证明方法.

2.性质定理及其推论在解题中的应用.

讲一讲

例1:已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D为AB中点,DE⊥AC于E,

∠A=30°,求BC,CD和DE的长

分析:由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半,BC可求,由直角三角形斜边中线的性质可求CD.

在Rt△ADE中,有∠A=30°,则DE可求.

解:在Rt△ABC中

∵∠ACB=90 ∠A=30°∴

AB BC

2

1

∵AB=8 ∴BC=4

∵D为AB中点,CD为中线

4

2

1

=

=AB CD

∵DE⊥AC,∴∠AED=90°

在Rt△ADE中,

AD

DE

2

1

=

AB

AD

2

1

=

2

4

1

=

=AB DE

例2:已知:△ABC中,AB=AC=BC (△ABC为等边三角形)D为BC边上的中点,

DE⊥AC于E.求证:

AC CE

4

1

=

.

分析:CE在Rt△DEC中,可知是CD的一半,又D为中点,故CD为BC 上的一半,因此可证.

证明:∵DE⊥AC于E,∴∠DEC=90°(垂直定义)

∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC ∠C=60°

∵在Rt△EDC中,∠C=60°,∴∠EDC=90°-60°=30°

CD EC

2

1

=

∵D为BC中点,

BC

DC

2

1

=

AC

DC

2

1

=

AC CE

4

1

=

.

例3:已知:如图AD∥BC,且BD⊥CD,BD=CD,AC=BC. 求证:AB=BO.

分析:证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA

由已知中等腰直角三角形的性质,可知

BC

DF

2

1

=

。由此,建立起AE与

AC之间的关系,故可求题目中的角度,利用角度相等得证.

证明:作DF⊥BC于F,AE⊥BC于E

∵△BDC中,∠BDC=90°,BD=CD

BC DF

2

1

=

∵BC=AC ∴

AC DF

2

1

=

∵DF=AE ∴

AC AE

2

1

=

∴∠ACB=30°

∵∠CAB=∠ABC,∴∠CAB=∠ABC=75°

∴∠OBA=30°

∴∠AOB=75°

∴∠BAO=∠BOA ∴AB=BO

练一练

1.△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,AE平分∠CAB。求证:AE=2CE。

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2.已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,CE为AB边上的中线,且∠BCD=3∠DCA。

求证:DE=DC。

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3.如图:AB=AC,AD⊥BC于D,AF=FD,AE∥BC且交BF的延长线于E,若AD=9,BC=12,求BE的长。

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4.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等。

求证:AE=DF。

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5.已知,如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD⊥BC于D,E为AC的中点,AB=6,求DE的长。

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教学反思:

直角三角形的性质的练习

主备人:王勇合备人:周谧洋钟猛教学时间:月日第节总第节

1.在直角三角形ABC中,∠ACB=90度,CD是AB边上中线,若CD=5cm,则AB=

,三角形ABC的面积=

2. 在直角三角形ABC中,∠ACB=90度,CD是AB边上中线,图中有个等腰三角形.

3.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E分别是BC、AC的中点,AB=6,求DE 的长。

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4.已知:四边形ABCD中,∠ABC= ∠ADC=90度,E、F分别是AC、BD的中点。

求证:EF⊥BD

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5.如图,在△ABC中,∠B= 2∠C,点D在BC 边上,且AD ⊥AC.求证:CD=2AB

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6.在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=10,则AB=

顶角为30度的等腰三角形,若腰长为2,则腰上的高,三角形面积是

等腰三角形顶角为120°,底边上的高为3,则腰长为

三角形ABC中,AB=AC=6,∠B=30°,则BC边上的高AD=

7.Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,AB的垂直平分线交AC于D,AB于E, 求证AD=2BC.

A

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8.已知:△ABC 中,AB=AC ,∠B=30°,AD ⊥AB , 求证:2DC=BD

9.如图,△ABC 中,∠C=90°,∠A=60 °,EF 是AB 的垂直平分线,判断CE 与BE 之间的关系

10.已知:∠ABC=∠ADC=90度,E 是AC 中点。求证:(1)ED=EB (2)图中有哪些等腰三角形?

C

B

A

D

E F

C B

A

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