函数列与函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数

§1 一致收敛性

(一) 教学目的：

掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容：

函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求：

1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致

收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议：

(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项

级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

————————————————————

一 函数列及其一致收敛性

对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。

使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。

若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值

)()(lim x f x f n n =∞

→

与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。

逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义.

例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞

→n lim

)(x f n = ∞→n lim n

x =?

?

?=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =

n

nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞

→n lim )(x f n =0.

函数列的一致收敛性：

设函数列 })({x f n 在E 上收敛于 )(x f ，若对任意的0>ε ，存在自然数

)(εN N =，当 N n >时，对E 中一切 x 都有

ε<-)()(x f x f n

则称函数列)}({x f n 在E 上一致收敛于)(x f 。

注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。 一致收敛的几何意义

对任给的ε-带 }|)(|;),({ε<-x f y y x ，总存在一个N ，N n >时，)(x f n 的图形全部落入这个ε-带内。 一致收敛情况图示

对任意0>ε，n 充分大时，)(x f n 将全部落入ε－带以内。

)}({x f n 收敛但不一致收敛的几何意义：

对任意 D x ∈， )()(lim x f x f n n =∞

→，但存在一个00>ε，对任意的N ，都可找到一

个0n ，尽管 N n >0，但 )(0

x f n 总有一部分落在0ε带以外。

例 证明函数列

证明 1显然 对任意的]1,0[∈x ， 0)(2

1

→+=nx

n

x f n

n

2）但 )(x f n 不一致收敛于0

先看一看函数列的图象（图中给出的是 n ＝8，20，50 的情况）

clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2);

plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on

plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6])

legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')

可以看出，对于 5.00<ε，无论 n 再大，)(x f n 的图象总有一部分落在0ε－带以外。

事实上存在 n

x n 10=

， 000.

21|)()(|ε>=

-x f x f n n ，

所以该函数列是不一致收敛的。

例 函数列 }{n x 在]1,0[上不一致收敛，但在 1,],0[<αα 上一致收敛。 先看看该函数列的图象

clf,x=0:1/100:1;

y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50;

plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)

对于10<ε，不管n 再大，n x 的图象总有一部分落在0ε－带以外。 事实上，我们容易看出

n e

n n

?→

-

1)

11( 充分大时，3

1)

11(>

-

n

n

所以该函数列在]1,0[上不一致收敛。

再看看该函数列在 1,],0[<αα 上的图象 clf,x=0:1/100:0.7;

y1=x.^13;y2=x.^18;y3=x.^20;

plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b','linewidth',2),hold on plot([0,0.7],[0,0],'r',[0,0],[-0.02,0.02],'r') plot([0,0.7],[0.005,0.005],'m') axis([0,0.71,-0.01,0.02])

对任意的 0>ε，总存在N, 当 n>N 时，n x 的图象将全部落入ε－带之内。事实上，

n

n x f α≤<)(0，所以，该函数列在 1,],0[<αα 上是一致收敛。

函数项级数及其一致收敛性

定理13.1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列 D x x f n ∈,)}({一致收敛的充分必要条件是：对任意 0>ε，存在某一自然数N ，当 N m n >, 时，对一切 D x ∈，都有

ε<-|)()(|x f x f m n

证 )? ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)

)? 易见逐点收敛. 设∞

→n lim )(x f n =)(x f ,……,有 2

|)()(|ε

<

-x f x f n m .

令∞→m , ? εε

<≤

-2

|)()(|x f x f n 对∈?x D 成立, 即)

(x f n ?→??→

?)(x f ,

) (∞→n ，∈x D .

定理13.2 函数列 D x x f n ∈,)}({一致收敛的充分必要条件是：

0|)()(|sup lim =-∈∞→x f x f n D

x n

推论 设在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 若存在数列}{n x ?D , 使

0 |)()(|→/-n n n x f x f , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛 .

应用此判断函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛时, 常作辅助函数

=)(x F n )(x f n ―)(x f 取在}{n x 为数集D 上的最值点.

例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列

?

?

?

?

?

?

???≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22

x n n n x n x n n n x x n x f n

证明: ∞

→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛.

证 10≤x n , 就有)(x f n =0. 因此, 在] 1 , 0 (上有

)(x f =∞

→n lim

)(x f n =0. 0)0(=n f , ? )0(f =∞

→n lim

)0(n f =0.

于是, 在] 1 , 0 [上有 )(x f =∞

→n lim )(x f n =0. 但由于

021|)()(|max ]1,0[→/=??

?

??=-∈n n f x f x f n n x , ) (∞→n , 因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛.

例 判别下面函数列在区间 ]1,0[ 上的一致收敛性 1) }1{

x

n nx ++ 2) })1({n

x nx -

解 1） x x

n 1nx

lim )(=++=∞

→n x f

n

x

n x x x x

n nx x f x f n 2|1)1(|

sup |1|

sup |)()(|sup ≤

+++=-++=-

0|)()(|sup lim =-∞

→x f x f n n

所以，函数列}1{

x

n nx ++在区间 ]1,0[ 上一致收敛。

2）???

??≠=-==-=∞

→∞→0,0)]1([lim 0,0)1(lim )(x x n x x x nx x f n n

n n

n 求极大点方法可求得

1

)

1

11(|)1(|sup |)()(|sup ++-

=-=-n n

n n x nx x f x f

01|)()(|sup lim ≠=

-∞

→e

x f x f n n

函数列 })1({n x nx - 在 ]1,0[ 上不一致收敛。

例 )(x f n 2

2

2

2x

n xe

n -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.

证 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点 n x =n

21 处取得极大值

02212

1→/=??

? ?

?

-ne

n f n ,) (∞→n . )}({x f n 不一致收敛.

例6 2

21)(x

n x

x S n +=

. 证明在) , (∞+∞-内)

(x S n ?→??→

?0, ) (∞→n .

证 易见 ∞

→n lim .0)()(==x S x S n 而

n

nx x n n x

n x x S x S n 21)

(1|

|221

1|||)()(|2

2

2

≤

+?

=

+=

- 在) , (∞+∞-内成立.

? ……

二 函数项级数及其一致收敛性

我们知道，有限个函数的和函数的性质是通过每个相加的函数的性质去认识的，有限个连续函数的和是连续的；有限个可微函数的和是可微的，且和的导数等于每个函数的导

数的和；有限个可积函数的和是可积的，且和的积分等于每个函数积分的和。现在要问：是否可以从级数每一项所具有的连续性、可微性与可积性，而得出和函数的连续性、可微性与可积性呢？一般来说，这是不行的！

例 讨论 ∑∞

=1

n n x 的收敛域

由几何级数的敛散性, 1||

=1

n n

x 收敛, 1||≥x 时 ∑∞

=1

n n

x 发散, 所以∑∞

=1

n n

x 的收敛域为 )1,1(-

例 讨论级数 ∑

∞

=1

2

sin n n n

x

收敛域

2

2

1|sin |

n

n

x

n ≤

, 所以级数 ∑

∞

=1

2

sin n n n

x

收敛域为 ),(∞+-∞

一致收敛性概念

例 函数项级数 ∑∞

=--+

2

1

)(n n n

x

x

x 每一项 在 ]1,0[ 上都是连续的， 而其部分和

为 n

n x x S =)( ，从而

??

?=<≤==∞

→.

1,

1

,10,0)(lim )(x x x S x S n n

在]1,0[上却是不连续的。 clf, x=0:1/100:1; n=2:2:8;

y1=x.^2;y2=x.^4;y3=x.^6;y4=x.^100;

plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)

那么在什么条件下，由级数每一项所具有的某种性质（如连续性、可积性、可微性），就可推出和函数也具有这种性质？这需要一个重要的概念－一致收敛性。

函数级数一致收敛判别法:

定理13.3 (柯西准则) 函数级数∑∞

=1

)

(n n x u 在I 一致收敛 ?

I x N p N n N ∈?∈?>?>?,,,,0ε 有

ε<-+|)()(|x S x S n p n 或

ε<++++|)()()(|1x u x u x u n m m

定理13.4 函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S 的充分必要条件是：

0|)()(|sup lim =-∈∞→x S x S n D

x n

例 讨论函数级数 ∑∞

=++-1

1

)1

(

n n n

n x

n

x

在

]1,1[- 上的一致收敛性

1

2|1

1

||

1

21

|||1

1

1

2

1

→+<++-

+=++-

++

++-

+=-+++++++++n p n x

n x

p n x

p

n x

n x

n x

S S p n n p n p

n n n n p n

所以, 函数级数 ∑∞

=++-

1

1

)

1

(

n n n

n x

n

x

在 ]1,1[- 上一致收敛性

一般来说, 柯西准则用起来不大方便, 下面给出一个较简便的判别方法 定理13.5 ( Weierstrass 判别法) 设级数∑)(x u n 定义在区间D 上, ∑n

M 是收敛

的正项级数.若当n 充分大时, 对∈?x D 有||)(x u n n M ≤, 则∑

在D 上一致收敛 .

证 , |)(| )( 1

1

1

1

∑∑∑∑==+=++=+=≤≤p

i p

i i

n p

i i

n i n p

i i n M

M

x u x u 然后用Cauchy 准则.

亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数∑n

M

是级数∑)(x u n 的一

个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数∑)(x u n 在区间D 上存在优级数 , 则级数

∑)(x u n

在区间D 上一致收敛 . 应用时, 常可试取|})({|sup x u M

n D

x n

∈=.但应注意, 级数

∑)(x u

n

在区间D 上不存在优级数 , ?/ 级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛.

注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.

例 证明 ∑

∞

=+1

2

4

1n x

n x 在R 上一致收敛. 因为∑

∞

==≤

+1

2

2

2

2

4

21,

21|

|2|

||1|

n n

n

x n x x

n x 收敛, 由M 判别法∑

∞

=+1

2

4

1n x

n x

在R 上一致收敛.

凡是M 判别法判别的必然是绝对收敛, 一致收敛的, 对于条件收敛级数, 不能用M 判别法判定. 下面介绍两个条件收敛, 一致收敛的判别法

定理13.6 (阿贝尔判别法) 若函数列 })({x a n 在区间I 单调一致有界, 且函数级数

∑∞

=1

)(n n

x b

在区间I 一致收敛, 则函数级数∑∞

=1

)()(n n n x b x a 在区间I 一致收敛.

注意两个定理的条件的区别.

定理13.7 (狄里克雷判别法) 若函数列 })({x a n 在区间I 单调递减一致收敛于0, 且

函数级数∑∞

=1

)(n n x b 的部分和函数列 )}({x B n 在区间I 一致有界, 则函数级数

∑∞

=1

)()(n n n

x b x a

在区间I 一致收敛.

例10 几何级数∑∞

=0

n n x 在区间] , [a a -)10(<

致收敛.

证 在区间] , [a a -上 , 有

011sup

|)()(|sup ]

,[]

,[→-=

--=---a

a

a

x

x S x S n

n

a a n a a , ) (∞→n .

? ∑一致收敛 ; 而在区间) 1 , 1(-内 , 取∈+=

1

n n x n ) 1 , 1(-, 有

∞→?

?? ??+=+-

??

? ??+≥-=----1)1,1()1,1(1111 1sup |)()(|sup n n

n

n n n n n

n n n x x x S x S , ) (∞→n . ? ∑非一致收敛.( 亦可由通项n

n x x u =)(在区间) 1 , 1(-内非一致收敛于零?

∑

非一致收敛.)

几何级数∑∞

=0

n n x 虽然在区间) 1 , 1(-内非一致收敛, 但在包含于) 1 , 1(-内的任何闭区

间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数∑∞

=0

n n x 在区

间) 1 , 1(-内闭一致收敛 .

例12 判断函数项级数 ∑

∞

=i

n n

nx 2

sin 和 ∑

∞

=i

n n

nx 2

cos 在R 内的一致收敛性 .

例13

设) , 2 , 1 ( )( =n x u n 是区间] , [b a 上的单调函数. 试证明 :

若级数 ∑)(a u n 与∑)(b u n 都绝对收敛, 则级数∑)(x u n 在区间] , [b a 上绝对并一致收敛 .

留为作业. |)(||)(| |)(|b u a u x u n n n +≤.…… 例14 判断函数项级数∑++-1

)

() 1(n n

n n

n x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性.

解 记n

n n

n n x x v n

x u ??? ?

?

+=-=

1)( , ) 1()(. 则有 1）级数∑)(x u n 收敛;

2） 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；

3）e n x x v n

n ≤?

?? ?

?

+=1|)(| 对 ?∈x ] 1 , 0 [

和n ?成立. 由Abel 判别法, ∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.

例15 设数列}{n a 单调收敛于零 . 试证明 : 级数 ∑nx a n cos 在区间

] 2 , [απα- )0(πα<<上一致收敛.

证 在] 2 , [απα-上有

2

12

sin

21

2

1|

2sin

|21

2

12

sin

2) 2

1sin(

|cos |1

+

≤+

≤-

+=∑=αx x x

n kx n

k .

可见级数∑nx cos 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界 . 取

nx x u n cos )(= , n n a x v =)( . 就有级数∑)(x u n 的部分和函数列在区间]

2 , [απα-上一致有界, 而函数列)}({x v n 对每一个∈x ] 2 , [απα-单调且一致收敛于零.由

Dirichlet 判别法,级数∑nx a n cos 在区间] 2 , [απα-上一致收敛.

其实 , 在数列}{n a 单调收敛于零的条件下, 级数 ∑nx a n cos 在不包含

) , 2 , 1 , 0 ( 2 ±±=k k π的任何区间上都一致收敛.

数学分析教案(华东师大版)第十三章函数列与函数项级数

第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 §1 一致收敛性 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 一． 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. ”定义. 逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“ 例1 对定义在 义验证其收敛域为 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .

⑴. . ⑵. . ⑶设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有 , , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 .

用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性 质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列 . , ( 介绍另一种形式.) 证( 利用式) ,……,有 易见逐点收敛. 设 , 对D成立, . 令 , ，D. 即 , ，. 推论1 在D上 D , 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 使, 则函数列 应用系2 判断函数列

复变函数项级数

§4.2 复变函数项级数 教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用 判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级 数的收敛半径；能用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑将简单函数表示为级数． 教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间 接法和 01 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： §4.2.1 复变函数项级数 设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为 1 ()n n f z ∞ =∑. 【定义】※设1 ()n n f z ∞ =∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E

的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()() n n S z S z →∞ =存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数 1 ()n n f z ∞ =∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称 1 ()n n f z ∞ =∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1 ()n n f z ∞ =∑在E 上的 和函数.记为1 ()()n n S z f z ∞ == ∑或者()lim ()n n S z S z →∞ =, {}()n S z 称为 1 ()n n f z ∞ =∑的部分和函数列. §4.2.2 幂级数 1．【幂级数的定义】通常把形如： 20 010200 () ()()n n n C z z C C z z C z z ∞ =-=+-+-∑ 0()n n C z z ++-+L L 的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数 () n n n C z z ∞ =-∑的系数与中心点. 若00z =, 则幂级数0 () n n n C z z ∞ =-∑可简化为 n n n c z ∞ =∑(标准幂级

幂级数求和函数方法概括与总结

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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

10函数项级数和幂级数 习题课

111 第十章 函数项级数习题课 一、 主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、 函数列{()}n f x 一致收敛性的判断： （1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性 （2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→ （5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。 注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。 注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义 （2）Cauchy 收敛准则 （3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理 （5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在

函数列与函数项级数

Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ） § 1 一致收敛性（ 6 时 ） 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n . ⑴ )(x f n =x x x x n n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1 21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =???≠∈=. ,,, ] 1 , 0 [ , 0, ,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. ⑷ )(x f n =2 22 2x n xe n -. )(x f n →0, R ∈x .

156 ⑸ )(x f n =?? ? ? ? ? ???≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41 11x x x x x n n n n n n n 有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意 ? ≡1 1)(dx x f n .） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 ∞ →n lim () ? ?∞ →≠1 1 0)(lim )(dx x f dx x f n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞ →n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限 函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,? N , 0?>?ε, , , N n m >?? ε<-n m f f . ( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .) 证 )? ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)

第十三章函数列和函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数 目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论． 重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法. 第一节 一致收敛性 我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一 函数列及其一致收敛性 设 ,,,,21n f f f (1) 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.也可简记为： }{n f 或 n f , ,2,1=n . 设E x ∈0,将0x 代入 ,,,,21n f f f 得到数列 ),(,),(),(00201x f x f x f n (2) 若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点0x 收敛,0x 称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点0x 发散. 若函数列}{n f 在数集E D ?上每一点都收敛,则称}{n f 在数集D 上收敛.

这时对于D x ∈?,都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了D 上的一个函数,称它为函数列}{n f 的极限函数.记作f .于是有 )()(lim x f x f n n =∞ →, D x ∈,或 )()(x f x f n →)(∞→n ,D x ∈. 函数列极限的N -ε定义是： 对每一个固定的D x ∈,对0>?ε,0>?N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关）,使得当N n >时,总有 ε<-)()(x f x f n . 使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合,称为函数列}{n f 的收敛域. 例1 设n n x x f =)(, ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列,证明它的收敛域是]1,1(-,且有极限函数 ? ??=<=1,11 ,0)(x x x f (3) 证明：因为定义域为),(∞-∞,所以根据数列收敛的定义可以将),(∞-∞分为四部分 (i) 10<ε（不妨设1<ε）,当10<时,就有ε<-)()(x f x f n . (ii)0=x 和1=x 时,则对任何正整数n ,都有 ε<=-0)0()0(f f n ,ε<=-0)1()1(f f n . (iii) 当1>x 时,则有)(∞→+∞→n x n , (iv) 当1-=x 时,对应的数列为 ,1,1,1,1--,它显然是发散的. 这就证得{}n f 在]1,1(-上收敛,且有(3)式所表示的极限函数.所以函数列{}n x 在区

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L

数学分析 数项级数

第十二章数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。 教学时数：18学时 § 1 级数的收敛性 一．概念： 1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 . 2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思 想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的 和、余和以及求和等概念 . 例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ;

时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 . ( 注意从 综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为 0开始 ). 例2讨论级数的敛散性. 解（利用拆项求和的方法） 例3讨论级数的敛散性. 解设, , = , . , . 例4 讨论级数的敛散性.

解, . 级数发散. 3.级数与数列的关系 : }, 收敛 {}收敛; 对应部分和数列{ }, 对应级数, 对该级数, 有=. 对每个数列{ }收敛级数收敛. 于是,数列{ 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中. 无穷积分可化为级数 ; 对每个级数, 定义函数 , 易见有 =.即级数可化为无穷积分. 综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{} 二. 收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则 . 和N, Th ( Cauchy准则 ) 收敛

第十二讲函数列与函数项级数

第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一、函数列 （一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈?，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞ →,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n ∈∞→→, 2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈? ，及 0>?ε，()0,>=?εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛 若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>?>?N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→?, . 4 ．非一致收敛 00>?ε，对N n N >?>?0,0，及I x ∈?0，使得 ()()0000ε≥-x f x f n 例 12 . 1 证明()n n x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛． 证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞ →∞ →n x n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞ →n n f ，即极限函数 为()[)???=∈=1 ,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取031 0>=ε。对0>?N ，取 N N n >+=10，取()1,02101 0∈? ? ? ??=n x · 此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛?对 0,0>?>?N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，

函数列与函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值

函数项级数一致收敛的判定开题报告

一、本课题研究现状及可行性分析 目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M 判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。 函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于()n u x 一致收敛性的判别法，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。 基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。

函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用

函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）

幂级数概念

§ 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ).

中科院数学分析考研

读书破万卷下笔如有神 中科院研究生院硕士研究生入学考试 《数学分析》考试大纲 本《数学分析》考试大纲适用于中国科学院研究生院数学和系统科学等学科各专业硕士研究生入学考试。数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程，由分析基础、一元微分学和积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成。要求考生能准确理解基本概念，熟练掌握各种运算和基本的计算、论证技巧，具有综合运用所学知识分析和解决问题的能力。 一、考试基本要求 要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。 二、考试方法和考试时间 数学分析考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 三、考试内容和考试要求 （一）考试内容 1. 分析基础 (1) 实数概念、确界 (2)函数概念 (3) 序列极限与函数极限 (4) 无穷大与无穷小 (5)上极限与下极限 (6) 连续概念及基本性质，一致连续性 （7）收敛原理 2. 一元微分学 (1) 导数概念及几何意义 (2) 求导公式求导法则 (3) 高阶导数 (4) 微分 (5) 微分中值定理 (6) L'Hospital法则 (7) Taylor公式 (8) 应用导数研究函数 一元积分学3. 读书破万卷下笔如有神 (1) 不定积分法与可积函数类 (2) 定积分的概念、性质与计算 (3) 定积分的应用

(4) 广义积分 4. 级数 (1) 数项级数的敛散判别与性质 (2) 函数项级数与一致收敛性 (3) 幂级数 (4) Fourier级数 5. 多元微分学 (1) 欧氏空间 (2) 多元函数的极限 (3) 多元连续函数 (4) 偏导数与微分 (5) 隐函数定理 (6) Taylor公式 (7) 多元微分学的几何应用 (8) 多元函数的极值 6. 多元积分学 (1) 重积分的概念与性质 （2）重积分的计算 （3）二重、三重广义积分 （4）含参变量的正常积分和广义积分 （5）曲线积分与Green公式 （6）曲面积分 （7）Gauss公式、Stokes公式及线积分与路径无关 （8）场论初步 （二）考试要求 1．分析基础 (1)了解实数公理，理解上确界和下确界的意义。掌握绝对值不等式及平均值不等式。 (2)熟练掌握函数概念（如定义域、值域、反函数等）。 (3)掌握序列极限的意义、性质（特别，单调序列的极限存在性定理）和运算??N方法。法则，熟练掌握求序列极限的 (4)掌握函数极限的意义、性质和运算法则（自变量趋于有限数和趋于无限两???方法，了解广义极限和单侧极限种情形），熟练掌握求函数极限的的意义。 (5)熟练掌握求序列极限和函数极限的常用方法（如初等变形、变量代换、两边夹法则等），掌握由递推公式给出的序列求极限的基本技巧，以及应用Stolz公式求序列极限的方法。 (6)理解无穷大量和无穷小量的意义，了解同阶和高（低）阶无穷大（小）量的意义。 (7)了解上极限和下极限的意义和性质。 理解函数两类间断点的熟练掌握函数在一点及在一个区间上连续的概念，(8)． 读书破万卷下笔如有神 意义，掌握初等函数的连续性，理解区间套定理和介值定理。理解一致连续和不一致连续的概念。 (9)掌握序列收敛的充分必要条件及函数极限（当自变量趋于有限数及趋于无穷两种情形）存在的充分必要条件。 2．一元微分学 (1)掌握导数的概念和几何意义，了解单侧导数的意义，解依据定义求函 数在给定点的导数。

幂级数求和函数方法概括与汇总

幂级数求和函数方法概括与汇总

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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

数学分析第十讲函数项级数资料

第十讲 函数列与函数项级数 一、知识结构 1、函数列收敛性 （1）函数列收敛的概念和定义 定义1 设 ,,,,21n f f f 是定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，记作}{n f 或n f ， ,3,2,1=n . 定义 2 设E x ∈0, 以0x 代入函数列 ,,,,21n f f f 的数列 ()()() ,,,,00201x f x f x f n . 如果数列)}({0x f n 收敛, 我们称函数列}{n f 在点0x 收敛, 点0x 为函数列}{n f 的收敛点. 如果数列)}({0x f n 发散, 称函数列}{n f 在发散, 点0x 为函数列}{n f 的发散点.如果在数集E D ?上的每一点函数列 ,,,,21n f f f 都收敛, 则我们称函数列}{n f 在D 上收敛.记作)()(lim x f x f n n =∞ →,D x ∈,)(x f 称为函数列 }{n f 在D 上极限函数, 或称为函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f . 定义3(函数列)}({x f n 在D 上收敛于) (x f N -ε的定义) 对每一个固定的D x ∈0, 对0>?ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x f x f n ,我们称函数列()}{x f n 在D 上收敛与)(x f ，记作)()(lim x f x f n n =∞ →,D x ∈或) ()(x f x f n →（∞→n ）,D x ∈. 说明 ①对每一个固定的D x ∈0，都存在一个正整数N ，由于D 中一般有无限个0x ，所以就对应于无限个正整数N ，这无限个正整数N 中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关. （2）函数列收敛的判定方法 数列)}({0x f n 收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如，函数列

函数项级数的一致收敛性精选

函数列与函数项级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ ()n f x =(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n = i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx = + (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑸ 22 33(),1n n x f x n x =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x =++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1n n n x f x x =+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞> ⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈ ⑼ 1(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈ ⑽ ()ln ,n x x f x n n = (0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞

⑿ 2 ()(),x n n f x e --= i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()]()n nf x f x n = (1,2,)n =???. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时， (),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =??? 在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10lim ()n n f x dx ->∞?可在积分号下取极 限？ 4. 证明序列2()nx n f x nxe -=(1,2,)n =???在闭区间[0,1]上收敛，但 1 1 00lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞->∞≠?? 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又 [,]n x a b ∈(1,2,)n =???，满足0lim n n x x ->∞=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞ = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0 (1), [0,1];n n x x x ∞=-∈∑ ⑵ 12 21(1), (,)(1) n n n x x x -∞=-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =???在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证： ()n f x 在[,]a b 上一致有界. 8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且 1()[()()],n f x n f x f x n =+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列

数项级数和函数项级数及其收敛性的判定

学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 学院名称：数学与信息科学学院 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 姓名： 指导教师： 2012年5月

数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。 关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法. Several series and Function of series and the judgment of their convergence Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言 在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。 1 正项级数及其收敛性 一系列无穷多个数123,,,,, n u u u u 写成和式 123n u u u u +++ + 就称为无穷级数，记为1 n n u ∞ =∑。如果()0,1,2,3, n u n ≥=，那么无穷级数1 n n u ∞ =∑,就称为正项 级数。

第十三章---函数项级数习题课

第十三章 函数项级数习题课 一 概念叙述 1．{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε??>??>?∈有ε<-)()(x f x f n ． 2．{}n f 在D 上不一致收敛于0000,,,f N n N x D ε??>??>?∈使得0 000()()n f x f x ε-≥． 3．{}n f 在数集D 上一致收敛?柯西准则 0,,,,N m n N x D ε?>??>?∈，有()()n m f x f x ε-<． ?柯西准则 0,,,,0N n N x D p ε?>??>?∈?>，有()()n p n f x f x ε+-<． 4．{}n f 在数集D 上不一致收敛?柯西准则 00000,,,,N m n N x D ε?>??>?∈使得0 000()()n m f x f x ε-≥． ?柯西准则 00000,,,,0N n N x D p ε?>??>?∈?>使得0 000()()n p n f x f x ε+-≥． 5． 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛于函数()S x ?部分和函数列{}()n S x 在数集D 上一致收敛于函 数()S x ． 二 疑难解析与注意事项 1．为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性？ 答：函数列理论中重要问题是(){} n f x 的性质（连续性，可积性，可导性）在极限过程中是否依旧保持？比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是所要讨论的一致收敛性问题．由于函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛性可以转化为相应部分和函 数列{}()n S x 的问题来讨论，因此研究函数项级数逐项求极限，逐项求导，逐项求积分时，要讨论函数项级数的一致收敛性． 2．判断函数列{}n f 在D 上一致收敛有哪些方法？ 答：1）定义：{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε??>??>?∈有ε<-)()(x f x f n ； 2）柯西准则：0,,,,N m n N x D ε?>??>?∈，有()()n m f x f x ε-<，用于抽象的函数列的一致收敛性的判断； 3）确界（最大值方法）：0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n D x n ； 4）估计方法（放大法）：|()()|0n n f x f x a -≤→；