湖南省娄底市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

湖南省娄底市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷

一、选择题（每小题4分，每小题只有一个正确选项）

1．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（）

A．2B．5C．15 D．80

2．某校高中生共有900人，其中2014-2015学年高一年级有300人，2014-2015学年高二年级有200人，2015届高三年级有400人，现采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本，则2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级抽取的人数分别为（）A．10，15，20 B．15，15，15 C．20，5，20 D．15，10，20

3．下列给出的赋值语句中正确的是（）

A．3=A B．M=﹣M C．B=A=2 D．x+y=0

4．把77化成四进制数的末位数字为（）

A．4B．3C．2D．1

5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球

B．至少有1个白球；至少有1个红球

C．恰有1个白球；恰有2个白球

D．至少有一个白球；都是红球

6．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）

A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与30

7．用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为（）A．27 B．86 C．262 D．789

8．假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：

x 1 2 4 5

y 1 1.5 5.5 8

若由资料可知y对x呈线性相关关系，则y与x的线性回归方程=bx+a必过的点是（）A．（2，2）B．（1，2）C．（3，4）D．（4，5）

9．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为21，32，75，则输出的a，b，c分别是（）

A．75，21，32 B．21，32，75 C．32，21，75 D．75，32，21

10．在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之和等于9的概率为（）

A．B．C．D．

二、填空题（每小题4分）

11．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）．

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．

12．已知{x1，x2，x3，…x n}的平均数为a，方差为b，则3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是．

13．如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为．

14．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼．

15．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=．

三、解答题

16．用辗转相除法求884与1071的最大公约数（写出过程）

17．为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：

甲27 38 30 37 35 31

乙33 29 38 34 28 36

请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由．

18．某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．

19．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点﹣8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7点﹣9点之间，求你离家前不能看到报纸（称事件A）的概率是多少？

20．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：

使用年限x 2 3 4 5 6

维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

若由资料知y对x呈线性相关关系．

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程=bx+a的回归系数a，b；

（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

21．甲盒中有一个红色球，两个白色球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2个，每次从中任意地取出1个球，用列表的方法列出所有可能结果，计算下列事件的概率．（1）取出的2个球都是白球；

（2）取出的2个球中至少有1个白球．

湖南省娄底市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷

一、选择题（每小题4分，每小题只有一个正确选项）

1．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（）

A．2B．5C．15 D．80

考点：频率分布直方图．

专题：计算题．

分析：由样本容量是20，某组的频率为0.25，由此直接计算能求出该组的频数．

解答：解：由题设知该组的频数：20×0.25=5．

故选B．

点评：本题考查频数的性质和应用，解题时要注意样本容量、频数和频率之间相互关系的灵活运用．

2．某校高中生共有900人，其中2014-2015学年高一年级有300人，2014-2015学年高二年级有200人，2015届高三年级有400人，现采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本，则2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级抽取的人数分别为（）A．10，15，20 B．15，15，15 C．20，5，20 D．15，10，20

考点：分层抽样方法．

专题：概率与统计．

分析：根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．

解答：解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，

则在2014-2015学年高一年级抽取的人数是300×=15人，

2014-2015学年高二年级抽取的人数是200×=10人，

2015届高三年级抽取的人数是400×==20人，

故选：D．

点评：本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．

3．下列给出的赋值语句中正确的是（）

A．3=A B．M=﹣M C．B=A=2 D．x+y=0

考点：赋值语句．

专题：阅读型．

分析：本题根据赋值语句的定义直接进行判断．

解答：解：根据题意，

A：左侧为数字，故不是赋值语句

B：赋值语句，把﹣M的值赋给M

C：连等，不是赋值语句

D：不是赋值语句，是等式，左侧为两个字母的和．

点评：本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义的把握直接进行判断即可．属于基础题．

4．把77化成四进制数的末位数字为（）

A．4B．3C．2D．1

考点：排序问题与算法的多样性．

专题：计算题．

分析：利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以4，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．

解答：解：∵77÷4=19 (1)

19÷4=4 (3)

4÷4=1 0

1÷4=0 (1)

故77（10）=1031（4）末位数字为1．

故选D．

点评：本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”

的方法步骤是解答本题的关键．

5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A．至少有1个白球；都是白球

B．至少有1个白球；至少有1个红球

C．恰有1个白球；恰有2个白球

D．至少有一个白球；都是红球

考点：互斥事件与对立事件．

分析：由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．

解答：解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；

B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；

C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；

D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；

故选C．

点评：本题考查了互斥事件和对立事件的定义的应用，一般的做法是找出每个时间包含的试验结果再进行判断，是基础题．

6．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）

A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与30

考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．

专题：图表型．

分析：由茎叶图写出所有的数据从小到大排起，找出出现次数最多的数即为众数；找出中间的数即为中位数．

解答：解：由茎叶图得到所有的数据从小到大排为：

12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42

∴众数和中位数分别为31，26

故选B

点评：解决茎叶图问题，关键是将图中的数列出；求数据的中位数时，中间若是两个数时，要求其平均数．

7．用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为（）A．27 B．86 C．262 D．789

考点：算法思想的历程．

专题：计算题．

分析：根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，得出结果即可

解答：解：f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x

故v3=（（7x+6）x+5）x+4

当x=3时，v3=（（7×3+6）×3+5）×3+4=262

故选C．

点评：本题考查排序问题与算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键

8．假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：

x 1 2 4 5

y 1 1.5 5.5 8

若由资料可知y对x呈线性相关关系，则y与x的线性回归方程=bx+a必过的点是（）A．（2，2）B．（1，2）C．（3，4）D．（4，5）

考点：线性回归方程．

专题：计算题．

分析：根据所给的两组数据，做出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，得到线性回归直线一定过的点的坐标．

解答：解：∵，

==4，

∴这组数据的样本中心点是（3，4）

∵线性回归方程过样本中心点，

∴线性回归方程一定过点（3，4）

故选C

点评：本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．

9．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为21，32，75，则输出的a，b，c分别是（）

A．75，21，32 B．21，32，75 C．32，21，75 D．75，32，21

考点：设计程序框图解决实际问题．

专题：操作型．

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是按顺序交换变量a，b，c的值．模拟程序的执行过程，易得答案．

解答：解：由流程图知，

a赋给x，x赋给b，所以a的值赋给b，即输出b为21，

c的值赋给a，即输出a为75．

b的值赋给a，即输出c为32．

故输出的a，b，c的值为75，21，32

故选A

点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

10．在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之和等于9的概率为（）

A．B．C．D．

考点：等可能事件的概率．

专题：计算题．

分析：首先计算从两个袋中各取一张卡片的取法数目，再列举其中和为9的情况，可得其数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

解答：解：从两个袋中各取一张卡片，每个袋中有6张卡片，即有6种取法，

则2张卡片的取法有6×6=36种，

其中和为9的情况有（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），共4种情况，

则两数之和等于9的概率为=，

故选C．

点评：本题考查等可能事件的概率的计算，解题时注意取出的卡片有顺序，即（3，6）与（6，3）是不同的取法．

二、填空题（每小题4分）

11．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号 785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．

考点：简单随机抽样．

分析：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．

解答：解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，

第二个数916它大于800要舍去，

第三个数955也要舍去，

第四个数667合题意，

这样依次读出结果．

故答案为：785、667、199、507、175

点评：抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．

12．已知{x1，x2，x3，…x n}的平均数为a，方差为b，则3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是3a+2．

考点：众数、中位数、平均数．

专题：计算题．

分析：根据所给的这组数据的平均数，写出求平均数的公式形式，把要求平均数的数据，代入求平均数的公式，根据上面写出的式子，得到结果．

解答：解：∵x1，x2，x3，…x n的平均数为a，

∴

∴==3a+2

∴3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是3a+2，

故答案为：3a+2

点评：本题考查平均数的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．

13．如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为．

考点：几何概型；扇形面积公式．

分析：先令正方形的边长为a，则S正方形=a2，则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=，

从而结合几何概型的计算公式即可求得黄豆落在阴影区域内的概率．

解答：解：令正方形的边长为a，则S正方形=a2，

则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=

则黄豆落在阴影区域外的概率P=1﹣=．

故答案为：．

点评：本小题主要考查扇形面积公式、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．关键是要求出阴影部分的面积及正方形的面积．属于基础题．

14．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内共有750条鱼．

考点：收集数据的方法．

专题：计算题．

分析：由题意可得：池塘中有标记的鱼的概率为．因为池塘内具有标记的鱼一共

有30条鱼，所有可以估计该池塘内共有750条鱼．

解答：解：由题意可得：从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条，

所有池塘中有标记的鱼的概率为：．

又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼，

所有可以估计该池塘内共有条鱼．

故答案为750．

点评：解决此类问题的关键是正确的把实际问题转化为数学问题，利用概率的知识解决问题．

15．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=96．

考点：众数、中位数、平均数．

分析：标准差是，则方差是2，根据方差和平均数，列出方程解出x、y的值．注意运算正确．

解答：解：∵标准差是，则方差是2，

平均数是10，

∴（9+10+11+x+y）÷5=10 ①

[1+0+1+（x﹣10）2+（y﹣10）2]=2 ②

由两式可得：x=8，y=12

∴xy=96，

故答案为：96．

点评：这个知识点是初中学过的，它和高中所学的有密切关系，区别随机变量的期望与相应数值的算术平均数．期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．

三、解答题

16．用辗转相除法求884与1071的最大公约数（写出过程）

考点：用辗转相除计算最大公约数．

专题：简易逻辑．

分析：用辗转相除法求884与1071的最大公约数，写出1071=884×1+187，…34=17×2，得到两个数字的最大公约数．

解答：（本题满分8分）

解：1071=884×1+187，884=187×4+136，187=136×1+51，136=51×2+34

51=34×1+17，34=17×2，

∴884与1071的最大公约数为17．

点评：本题考查辗转相除法，这是算法案例中的一种题目，本题解题的关键是解题时需要有耐心，认真计算，不要在数字运算上出错，本题是一个基础题．

17．为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：

甲27 38 30 37 35 31

乙33 29 38 34 28 36

请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由．

考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．

专题：计算题．

分析：先做出甲和乙的速度的平均数，甲和乙的速度的平均数相同，需要再比较两组数据的方差，选方差较小运动员参加比赛比较好．

解答：解：

S甲=，（4分）

S乙=

，S

＞S乙

乙参加更合适

点评：本题考查两组数据的平均数和方差，对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征．

18．某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．

考点：频率分布直方图．

专题：计算题；图表型．

分析：（1）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可；

（2）60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，从而求出抽样学生成绩的合格率，再利用组中值估算抽样学生的平均分即可．

解答：解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣

（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3

（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，

频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%

利用组中值估算抽样学生的平均分45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71

估计这次考试的平均分是71．

点评：本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．

19．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点﹣8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7点﹣9点之间，求你离家前不能看到报纸（称事件A）的概率是多少？

考点：几何概型．

分析：根据题意，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y；则（X，Y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．

解答：解：如图，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件A；

则（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}一个正方形区域，面积为SΩ=4，

事件A所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X＞Y}即图中的阴影部分，面积为S A=0.5．

这是一个几何概型，所以P（A）===0.125．

答：小王离家前不能看到报纸的概率是0.125．

点评：本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出X、Y，将（X，Y）以及事件A 在平面直角坐标系中表示出来．

20．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：

使用年限x 2 3 4 5 6

维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

若由资料知y对x呈线性相关关系．

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程=bx+a的回归系数a，b；

（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

考点：线性回归方程．

专题：数系的扩充和复数．

分析：（1）根据表格中的数据画出散点图即可；

（2）求出x与y的平均数，表示出，，求出ξ，根据=﹣ξ，计算即可

得到结果；

（3）把x=10代入（2）中结果计算即可得到结果．

解答：解：（1）做出图象，如图所示：

；

（2）由上表得：==4，==5，

=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3，

=22+32+42+52+62=90，

∴ξ===1.23，

则=﹣ξ=1.23x+0.08；

（3）由（2）得：=1.23x+0.08，

把x=10代入得：ξ=1.23×10+0.08=12.38，

则使用年限为10年时，维修费用是大概为12.38万元．

点评：此题考查了线性回归方程，弄清线性回归方程的意义是解本题的关键．

21．甲盒中有一个红色球，两个白色球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2个，每次从中任意地取出1个球，用列表的方法列出所有可能结果，计算下列事件的概率．（1）取出的2个球都是白球；

（2）取出的2个球中至少有1个白球．

考点：等可能事件的概率．

专题：计算题．

分析：用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答，比较即可．解答：解：（1）设红色球为1，两个白色球分别为2，3，

列举所有等可能的结果：（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，1），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2）共9种；

取出的2个球都是白球有：4种，

故取出的2个球都是白球的概率为；

（2）取出的2个球中至少有1个白球有：8种，

故取出的2个球中至少有1个白球的概率为：．

点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．