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初二数学截长补短法精题绝练(超实用版)

因式分解易错点新解

在分解因式时，应注意观察题目本身的特点，灵活选择恰当的方法，正确熟练地进行因式分解，采用“一提二套三查”法，即：首先看它是否有公因式，有公因式的要先提取公因式，再看这个多项式是几项式，若是二项式，就考虑能否运用平方差公式分解因式；若是三项式，就考虑能否运用完全平方公式分解因式，同时，在分解因式时，一定要分解到每一个因式都不能再分解为止。然而同学们在实际运用中总是存在一定的错误，为了更好的帮助同学们理解因式分解，我将从几个易错点入手带领大家走出误区。

易错点一：用提公因式法分解因式时易漏项

易错点导析：运用提公因式法分解因式，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后剩余的项为1，而部分初学者却让1“不翼而飞”了。例如：28422(42)a b ab a a ab b -+=-，原多项式中有三项，但提取公因式后另一个因式仅有两项了，这是错误的，正确的是：28422(421)a b ab a a ab b -+=-+，为避免这种错误，可以用整式的乘法进行检验。

【例】分解因式：2212246a b ab ab -+

错解：22122466(24)12(2)a b ab ab ab a b ab a b -+=-=-

错解分析：此题中的公因式为6ab ，提公因式后，漏掉了为1的项，注意用整式的乘法进行检验，就可避免此类错误。

正解：22122466(241)a b ab ab ab a b -+=-+

易错点2：运用完全平方公式时漏解出错

易错点导析：我们知道，完全平方公式有两个，两数和的完全平方和两数差的完全平方，二者不能互相代替，有的同学对完全平方公式的特点把握不准，因而在解答相关题目时出现漏解错误，只有正确理解完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特点，才能有效避免这类错误。【例】若

21364y ay ++是完全平方公式，求a 的值。错解：2221136()642y ay y ay ++=++，所以1262ay y =??，即12662a =??=

错误分析：本题的错误之处是漏掉了a 为负数的情况。

正解：因为

2221136()642y ay y ay ++=++，所以1262ay y =±??，即12662a =±??=±

易错点3：提公因式时易出现符号错误

易错点导析：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提取“-”号，使括号内第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号，再将多项式提公因式进行分解因式，按上述两个步骤进行，一般不会出错，但当同学们对分解因式较熟练之后会直接取负公因式，这样虽然可以使运算量减少，一步就可以达到分解因式的目的，但由于既需要考虑符号的变化，又需要考虑公因式的确定，因此很多同学往往只注重了公因式的确定而忽略了符号的变化出现错误，避免错误的方法是先提取“-”号，再确定括号内多项式的公因式。

【例】分解因式：3251015a a a -+-

错解：322510155(23)a a a a a a -+-=-+-

易错分析：本题的错误之处是提取负公因式手，括号内的多项式只有第一项变号，而其余两项没有变号，由于公因式含有“-”号，故多项式中的每一项都应改变符号。

正解：322510155(23)a a a a a a -+-=--+

易错点4：分解因式不彻底，半途而废

易错点导析：分解因式时必须进行到每一个因式都不能再分解为止，否则会“半途而废”。例如：442222()()x y x y x y -=+-，其中因式22x y -还可以继续分解，正确的应是44222222()()()()()x y x y x y x y x y x y -=+-=++-。在进行因式分解时，能分解的因式而没有进行因式分解是初学者易犯的通病，应当注意，结果要彻底是指：（1）其中一个因式能继续分解因式的，必须继续分解；（2）因式中带有中括号，必须去掉中括号，有同类项的要合并同类项，把每一个因式化为最简因式，使结果只含有小括号。

【例】分解因式：2232()2()()n m n m m n m n +++++

错解： []22322()2()()()22()n m n m m n m n m n n m m n +++++=++++

()(22)()(33)m n n m m n m n m n =++++=++错解分析：本题的错误之处是分解不彻底，其中因式33m n +还可以再分解为3()m n +

正解：[]22322()2()()()22()n m n m m n m n m n n m m n +++++=++++ 22()(22)3()()m n n m m n m n m n =++++=++

总之,因式分解的错误原因很多,要认真审题,牢记分解方法,并能灵活运用,以下口诀同学们在分解过程中不妨试一试,方能避免错误:

因式分解并不难,分解方法要记全；各项若有公因式,首先提取莫迟缓；各项若无公因式,乘法公式看一看；以上方法若不行,分组分解做试验；因式分解若不完,继续分解到完全。

初二数学试题及答案(免费)

初二数学试题（时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共14小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题4分，共56分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分． 1、下列说法中正确的是（） A. x 的次数是0 B. y 1是单项式 C. 2 1 是单项式 D. a 5 的系数是5 2、下列说法中，不正确的是（） A.单项式中的数字因数叫这个单项式的系数 B.单独一个数或字母也是单项式 C.一个单项式中，所有字母的指数的和叫这个单项式的次数 D.多项式中含字母的单项式的次数即为多项式的次数 3、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（） A ． B ． C ．

4、只含有z y x ,,的三次多项式中，不可能含有的项是（） A.32x B.xyz 5 C.37y - D.yz x 24 1 5、与方程12x x -=的解相同的方程是( ) A 、212x x -=+ B 、21x x =+ C 、21x x =- D 、1 2 x x += 6、把方程112 3 x x --=去分母后，正确的是( ) A 、32(1)1x x --= B 、32(1)6x x --= C 、3226x x --= D 、3226x x +-= 7、某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人( ) A 、赚16元 B 、赔16元 C 、不赚不赔 D 、无法确定 8、已知线段长3.现延长到点C ，使3.取线段的中点D ，线段的长为（） A 、4.5 B 、6 C 、7 D 、7.5. 9、在下列单项式中，不是同类项的是（） A ． 2 12 y 和2 B ．-3和0 C ．2和2 c D ．和-8 10、若都是4次多项式, 则多项式的次数为( ) A.一定是4 B.不超过4. C.不低于4. D.一定是8. 11、方程042=-+a x 的解是2-=x ，则a 等于（）

苏教版初二数学上册期末试卷

习初二数学一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．在101001 .0 -, 7, 4 1 , 2 π -, 0中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个 2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．B．C．D．3．下列说法正确的是 A．0的平方根是0 B．1的平方根是1 C．－1的平方根是－1 D．()21-的平方根是－1 4．有一组数据：10、20、80、40、30、90、50、40、50、40，它们的中位数是A．30 B．90 C．60 D．40 5．如果点P(m，1-2m)在第四象限，那么m的取值范围是 A． 1 2 m < 6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A．对角线互相平分B．对角线互相垂直 C．对角线相等D．对角线平分一组对角 7．已知一次函数(1)3 y m x =-+，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是A．1 m>B．1 m< C．2 m>D．2 m< 8．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF交BD于点O，若OE∶OF=1∶4，则AD∶BC等于 A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 B A A

习 9．如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD +PE +PF 等于 A B ． C ． D ．无法确定 10．如图所示，在长方形ABCD 的对称轴l 上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有 A ．1个 B ．3个 C ．5个 D ．无数多个二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．正九边形绕它的旋转中心至少旋转后才能与原图形重合. 12．直角三角形三边长分别为2，3，m ，则m ＝ . 13．－27的立方根是． 14．已知5个数据的和为485，其中一个数据为85，那么另4个数据的平均数是． 15．已知点A （a ，2a －3）在一次函数y =x +1的图象上，则a = ． 16．已知等腰三角形ABC 的周长为8cm ，AB =3cm ．若BC 是该等腰三角形的底边，则BC = cm ． 17．如图所示，点A 、B 在直线l 的同侧，AB =4cm ，点C 是点B 关于直线l 的对称点，AC 交直线l 于点D ，AC =5cm ，则△ABD 的周长为 cm ． 18．如图所示，在△ABC 中，已知AB=AC ，∠A =36°，BC =2 ，BD 是△ABC 的角平分线，则AD = ．（第17题） C B A D l （第18题） C D B A

初二下学期数学练习题--含答案及解析

初二下学期数学练习题一、选择题（每小题3分） 1．下列各数是无理数的是（） A．B．﹣C．πD．﹣ 2．下列关于四边形的说法，正确的是（） A．四个角相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．有两边相等的平行四边形是菱形D．两条对角线相等的四边形是菱形 3．使代数式有意义的x的取值范围（） A．x＞2 B．x≥2 C．x＞3 D．x≥2且x≠3 4．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，若∠A=45°， ∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（） A．55°B．75°C．95°D．110° 5．已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线y=kx+2（k＜0）上，则y1，y2大小关系是（） A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较 6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD 的面积为（） A．6 B．12 C．20 D．24 7．不等式组的解集是 x＞2，则m的取值范围是（） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 8．若+|2a﹣b+1|=0，则（b﹣a）2016的值为（） A．﹣1 B．1 C．52015D．﹣52015

9．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（） A．①B．②C．③D．④ 10．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线互相垂直的四边形． A．①③B．②③C．③④D．②④ 11．如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（） A. 2cm B. 4cm C. 6 cm D. 8cm 12．一果农贩卖的西红柿，其重量与价钱成一次函数关系．小华向果农买一竹篮的西红柿，含竹篮称得总重量为15公斤，付西红柿的钱26元，若再加买0.5公斤的西红柿，需多付1元，则空竹篮的重量为多少？（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 13．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（） A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形 14．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（） A．B．C．﹣D．﹣ 15．某商品原价500元，出售时标价为900元，要保持利润不低于26%，则至少可打（） A．六折B．七折C．八折D．九折 16．已知2+的整数部分是a，小数部分是b，则a2+b2=（） A．13﹣2B．9+2C．11+D．7+4 17．某星期天下午，小强和同学小颖相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小颖到了后两人一起乘公共汽车回学校，图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用时间x（分）之间的函数关系，下列说法中错误的是（） A B C D 第11题图 E

苏教版八年级数学期中试卷及答案

苏州市景范中学2008-2009学年第一学期初二年级数学学科期中考试试卷一．选择题：（每小题2分，共16分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列日常生活现象中，不属于平移的是（） A ．飞机在跑道上加速直线滑行 B ．大楼电梯上上下下地迎送来客 C ．时钟上的秒针在不断地转动 D ．滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上直线滑翔 2．下列图形的特征中，平行四边形不一定具有的是（） A ．邻边相等 B ．对角线互相平分 C ．中心对称图形 D ．对角相等 3．若一个正数的平方根是21a -和2a -，则a 是（） A ．3 B ．3- C ．9 D ．1 4．在 3 222,4,0.3, ,,9,0.101001000173 π ? --???中，无理数有（）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．四边形ABCD 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 的度数依次如下，下面可以判断出四边形ABCD 是平行四边形的是（） A ．80°，120°，80° B．80°，100°，80° C ．80°，100°，100° D．80°，120°，120° 6．一次魔术表演时，桌面上摆放着四张扑克牌．一位观众应邀登台将摩术师的眼睛蒙上黑布并把其中一张扑克牌旋转180后放回原处，取下黑布后，魔术师立即就指出了哪张牌被旋转过．下面给出了四组牌，假如你是魔术师，你应该选择哪一组才能达到上述效果（）考场号_____________座位号_____________班级_____________姓名_____________成绩_____________ ------------------------------------------------------------装-----------订-----------线-------------------------------------------------------------

华东师大初中八年级数学上册《反证法》教案

反证法教学目标 1.通过实例,体会反证法的含义. 2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题. 3.通过利用反证法证明命题,体会逆向思维. 4.在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想. 重点运用反证法进行推理论证. 难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”. 教学过程一、创设情景,导入新课出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题. 二、师生互动,探究新知活动1 反证法的步骤. 教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办?五戎是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确吗? 学生讨论交流,选代表发言. 如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子.

教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗? 学生活动,代表展示.若∠C是直角,则 a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的,即△ABC不是直角三角形. 教师归纳先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确. 活动2 用反证法证明. 教材P116例5. 教师活动原命题结论的反向是什么?按照假设可以得到矛盾吗? 学生活动独立完成,交流成果,发言展示. 教材P116例6. 教师活动 △ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么?按照假设可以推出矛盾吗? 【学生活动】独立完成,交流成果,发言展示. 教师活动

全等三角形截长补短拔高练习(含答案)

八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短（全等三角形）拔高练习试卷简介:本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共7个小题，每小题10分；第二题解答题，2个小题，每小题15分。学习建议:本讲内容是三角形全等的判定——辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点。希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线，进而构造出全等的三角形。一、解答题(共1道，每道20分) 1.如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？答案：解：∠1+∠2=180° 证明：过点C作CF⊥AN于点F，由于AC平分∠NAM，所以CF=CE，则在Rt△ACF和Rt△ACE 中 ∴△ACF≌△ACE（HL），∴AF=AE，由于2AE=AD+AB，所以AB-AE=AF-AD ∴DF=BE，在△CFD和△CEB中所以△CFD≌△CEB（SAS），∴∠2=∠FDC，又∠1+∠FDC=180°，∴∠1+∠2=180°。解题思路：见到角平分线就要想到作垂直，找到全等关系是解决此类问题的关键易错点：找到三角形全等的所有条件

试题难度：四颗星知识点：三角形二、证明题(共8道，每道10分) 1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE=BD. 答案：延长CE交BA的延长线于点H，由BE平分ABC，BE CE，得CE=EH=CH。又1+H=90°,，2+H=90° 1= 2 在△ACH和△ABD中 HAC=DAB=90° AC=AB 1= 2 △ACH≌△ABD（ASA） CH=BD CE=CH=BD 解题思路：根据题意，要证明CE=BD，延长CE与BA，由题意的垂直平分线可得CE的两倍长CH，只需证明CH=BD即可，很显然有全等可以证明出结论易错点：不能正确利用题中已知条件BF平分∠ABC，CE⊥BD于E，做出辅助线，进而解答。试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质 2. 如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE－BE＝DF．

初二(下册)数学最经典题

初二（下册）数学题精选分式：一：如果abc=1,求证11++a ab +11++b bc +1 1 ++c ac =1 解：二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？解：三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。解：四：联系实际编拟一道关于分式方程228 8+=x x 的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。解略五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2 22 2y x y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的形式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5：2。

解：反比例函数：一：一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）“E”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围.

二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A ，，(101)B ，是它的两个端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．三：如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1 y x 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△ OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

苏教版八年级数学上册期末测试卷

悦达中学初二数学试卷一、精心填一填，你会轻松（30分） 1.写出一个有三条对称轴的轴对称图形是____________。 2.线段垂直平分线可以看作_________________________________的集合. 3. 右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 . 4.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BD 是角平分线，点D 在AB 的垂直平分线上，若AD ＝4，则AC ＝_________。，DE ⊥AB 于E ，若DB ＝2DE ＝6cm ，则BC ＝______cm 。 6. 等腰三角形底边上的高是底边的一半，则其顶角的大小为___________． 7.如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝36°，AC 的垂直平分线MN 与AB 交于点D ，则∠BCD 的度数是____________。 °，AC 边的垂直平分线DE E ，且∠ACD ∶∠BCD ＝5∶3，则∠ACB ＝_______°. 9.小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是__________cm 10. 枪上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否平行，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AC ＝AC ，BC 边的中点D 处挂了一个重锤。小明将BC 边与木条重合，观察此时重锤是否通过A 点，那么这根木条是水平的，这是因为_____________________________________________________。 A D B C 左右左右

截长补短法例题精编版

截长补短法例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ? ? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°，即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. 分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2 ∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ，在Rt △BPE 与Rt △BPD 中， ? ? ?==BP BP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD . ∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . F E D C B A 图1-2 A B C D P 12 N 图3-1 P 12 N A B C D E 图3-2 A B C D 图1-1

初二数学下册练习题

1、△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，ED ⊥BC ，DF//AB ，求证：AD 与EF 互相垂直平分。 A B C D E F 2、我市某中学举行“中国梦?校园好声音”歌手大赛，初、高中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表；（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；（3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 3、在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 为此函数的坐标三角形．（1）求函数3 34y x =- +的坐标三角形的三条边长；（2）若函数3 4 y x b =-+（b 为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．选手编号

4、如图，已知在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G，H分别在BA和DC 的延长线上，且AG=CH，连接GE，EH，HF，FG．求证：四边形GEHF是平行四边形． F G E H C D B A 5、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线OA-AB-BC和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在图书馆查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为_________千米/分钟；（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式；（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 6、“如图1，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，（1）求证：EF⊥AE．（2）将“正方形”改为“矩形”、其他条件均不变，如图2，你认为仍然有“EF⊥AE”．若你同意，请以图2为例加以证明；若你不同意，请说明理由．

苏教版初二数学下册期末试卷

淮安市八年级学年末学业质量调研数学试卷（考试时间：120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．在每小题所给的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的,请将正确选项的序号填在题后括号内） 1．计算4的结果是（）Ａ．2 Ｂ．2±Ｃ．2-Ｄ．4． 2．若分式 1 2 x x + - 的值为0，则x的值为（）A．0B．1C．1-D．2 3．下列各图中，不是．．中心对称图形的是（） 4．不等式24 x -<的解集是（）A．2 x>-B．2 x<-C．1 2 x>-D． 1 2 x<- 5．反比例函数 6 y x =-的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限 C．第一、三象限D．第二、四象限 6．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（）A．54cm B．36 cm C．48 cm D．42 cm 7．下列说法正确的是（）A．抛一枚硬币，正面一定朝上； B．掷一颗骰子，点数一定不大于6； C．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法； D．“明天的降水概率为80%”，表示明天会有80％的地方下雨． 8．如图，△ABC中，AB＝AC＝5,BC＝6，M为BC的中点， MN⊥AC于N点，则MN＝（） A． 6 5 B． 9 5 C． 12 5 D． 16 5 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．） 9．若代数式23 x-的值是负数，则正整数x=． A B M N （第8题图）

10．若 2,3a b =则a a b =+ ． 11．如图，△ABC 中，D 、E 分别AB 、AC 上的点，要使△ADE∽△ACB ，需添加一个条件是．（只要写一个条件） 12．计算 x y x y x y -=-- ． 13．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是：． 14．如图所示的是用大小相同（黑白两种颜色）的正方形砖铺成的地板，一宝物藏在某一块正方形砖下面，宝物在白色区域的概率是． 15．如图，直线l 1//l 2，AB ⊥CD ，∠1=34°，那么∠2的度数是． 16．反比例函数2 y x = 的图象同时过A (2,)a -、B (3,)b -两点，则a 、b 的大小关系是． 17．如图，在□ABCD 中，E 为BC 中点，DE 、AC 交于F 点，则 EF DF = ． 18．如图，A 、B 分别是反比例函数106 ,y y x x = =图象上的点，过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD 于E 点，△BOE 的面积为1S ，四边形ACDE 的面积为2S ，则21S S -= ．三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 19．（本题满分8分）先化简，再求值：2239 (1)x x x x ---÷，其中2x =． E D C B A 21D C B A l 2 l 1 （第15题图）（第17题图） A B C D E F （第14题图）

冀教版八年级数学上册教案《反证法》

《反证法》反证法又称归谬法。反证的批判思想有助于学生正确的认识客观世界。中学阶段，是一个人形成价值观的重要阶段。这些信息在学生头脑中留下各种是或非的印象，如何取其精华，去其糟粕？学生可以利用反证法。我们现行的教材中，许多的内容可以说是矛盾的，学生如果能正确的分析问题，不是被动的接受书本或是教师的灌输，对其今后的学习、工作，无疑将有很大的帮助。在教学过程中，我们重视的不是学生如何解决矛盾，而是非常高兴地看到学生利用反证法对客观世界的认识提出了自己的问题，正是反证法教学所要教给学生的。这些正是学生学习数学应该学会的能力. 【知识与能力目标】通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。【过程与方法目标】了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

【情感态度价值观目标】在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。【教学重点】 1、理解反证法的概念，2 、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。【教学难点】理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。直尺、三角板、多媒体课件等。（一）情境导入师出示课件：路边苦李王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方法。人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。你能总结出以上这种证明方法的步骤吗? 假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。其思维过程的表述如下图：假设李子甜-树在道边则李子少-与与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾-假设“李子甜”不成立-所以“树在道边而多子,此必为苦李”是正确的。（二）探究新知 1.认识反证法反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时候间接证明的方法可能更方便，反证法就是一种常见的间接证明方法。在第九章中，我们已经知道”一个三角形中最多有一个直角”这个结论，我们怎样证明它呢？求证：一个三角形中最多有一个直角. 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角.

经典截长补短法巧解

截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例： H P G F B A C D E 在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证） H P G F B A C D E 方法二（好证不好想） H M P G F B A C D E 例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页） F E D C A B （1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o 。求证：EF=DE+BF （1）变形a E F D C A B 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？（1）变形b E F D C A B 正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF=45o 。请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？（1）变形c j F E A B C D 正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF=45o 。DB=DC ，∠BDC=120o 。请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？（1）变形 d F E D C A B 正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD=15o ，∠FAB=30o 。AD=3 求?AEF 的面积（1）解：（简单思路）

初二数学数学八下证明思考题

证明（一）测试题一、选择题 1、下列语言是命题的是( ) A.画两条相等的线段 B.等于同一个角的两个角相等吗？ C.延长线段AO 到C ，使OC =OA D.两直线平行，内错角相等. 2、下列命题：①一个外角小于内角的三角形是钝角三角形；②一个外角大于内角的三角形是锐角三角形；③菱形的四边都相等；④等腰三角形的底角都是锐角；⑤等腰三角形一边上的高就是这边上的中线。其真命题的个数是（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、在△ABC 中，高BD ，CE 所在直线交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且 n A =∠，则∠BOC= （） A 、 n B 、() n -180 C 、() n -90 D 、 n 或() n -180 4、如图，AB∥EF∥CD，EG∥DB，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（） A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个二、填空题 5、命题“任意两个直角都相等”的条件是________，结论是___________，它是________（真或假）命题. 6、三角形的一个外角等于和它相邻的内角的一半，则此三角形是； 7、如图，已知AB∥CD =∠=∠=∠α则， 12021001 ； 8、如图，设αα∠∠∠∠∠=∠与，，，则C B A BDC 的关系是； 9、如图，已知 ABCD 中BE 平分=∠=∠∠AEB A ABC ，则， 110 。三、解答题

10、如图，ABC ?中，DE A AC AB ，， 40=∠=是腰AB 的垂直平分线，求DBC ∠的度数。 11.举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题. 12、如图，已知∠1与∠3互为余角，∠2与∠3的余角互补， 1154=∠，CP 平分∠ACM ，求∠PCM 。 13、如图，ABC ?中，AF AB CE BC AC ，，⊥⊥平分CAB ∠，过F 作FD∥BC，交AB 于D ，求证：AC=AD 14.已知，如图，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠4= ∠C.求证：∠1=∠2 图

浙教版八年级数学下册反证法作业练习

4.6 反证法 ◆基础练习 1．“ab C．a=b D．a=b或a>b 2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（） A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交 3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等” 时，应假设___________． 4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________． 5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5． 6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________． 7．完成下列证明．如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．综上所述，假设不成立． ∴∠B一定是锐角．

8．如图，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠E=360°． 9．请举一个在日常生活中应用反证法的实际例子． ◆综合提高 10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，?应先假设这个三角形中（） A ．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 11．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应假设______________． 12．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补． 132是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成 b a 的形式，且a ，b 互质） 14、试写出下列命题的反面：（1）a 大于2 _____________;（2）a⊥b _______________. 15、用反证法证明“若22a b ≠，则a b ≠”的第一步是______________. 16、填空：在△ABC 中，若∠C 是直角，那么∠B 一定是锐角. 证明：假设结论不成立的，则∠B 是__________或_________. ①当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾； ②当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾.

二年级数学思考题100道

100道二年级数学奥数题 1.用0、1、2、3能组成多少个不同的三位数？ 2.小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？ 3.找规律填数。（1）2，3，5，8，12，( )，( ) （2）1，3，7，15，( )，63,( ) （3）1，5，2，10，3，15，4，( )，( ) (4)1，3，5，7，9，( ) (5)1，2，3，5，8，13( ) (6)1，4，9，16，( )，36 (7)10，1，8，2，6，4，4，7，2，( ) 4.○、△、☆分别代表什么数？ (1)○+○+○=18△+○=14☆+☆+☆+☆=20 ○=( ) △=( ) ☆=( ) (2)△+○=9 △+△+○+○+○=25 △=( ) ○=() 5.有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？ 6.淘气有30元钱，买书用去5元，买文具用去8元，淘气剩下的钱比原来少多少元？ 7.5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？

8.修花坛要用94块砖，第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块？ 9.食堂买来60棵白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在有多少棵？ 10.小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元？ 11.30名学生报名参加美术小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？ 12.用6根短绳连成一条长绳，一共要打( )个结。 13.篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下( )个。 14. 5个苹果排一排，每2个苹果之间有2个梨，这5个苹果之间共有几个梨？ 15.有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是( )和( ) 16.3个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下( )盘。 17.15个小朋友排成一排报数，报双数的小朋友去打乒乓，队伍里留下( )人。 18.一只梅花鹿从起点向前跳5米，再向后跳4米，又朝前跳7米，朝后跳10米；然后停下休息，你知道梅花鹿停在起点前还是起点后？与起点相距几米？ 19.哥哥给了弟弟2支铅笔后还剩5支，这时两人的铜笔一样多，弟弟原来有铅笔( )支。

苏教版初二数学期末测试卷(含答案)

八年级数学期末试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在下列调查中，适宜采用普查方式的是( ) A ．了解全国中学生的视力情况 B ．了解九(1)班学生鞋子的尺码情况 C ．监测一批电灯泡的使用寿命 D ．了解泰兴电视台《直播泰兴》栏目的收视率 2．把下列英文字母看成图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A ．U B ． C ． D ．N 3.如果把分式x2 x ＋y 中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值……………………………（） A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．无法确定 4.下列根式是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 5．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．正方形 D ．菱形 6. 已知一次函数y ＝kx+b ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数k y x = 满足（） A.当x ＞0时，y ＞0 B.y 随x 的增大而增大 C.图象分布在第一、三象限 D.图象分布在第二、四象限 7. 化简3x -结果正确的是（） A ． B ．- C ． D ．-8. 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气球体积V 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160 kPa 时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该( ) A ．不大于 3 5m 3 B ．小于 35m 3 C ．不小于53m 3 D ．小于5 3m 3

9．如图，在第一象限内，点P(2，3)，M(a ，2)是双曲线y ＝k x （k ≠0）上的两点，PA ⊥x 轴于点A ，MB ⊥x 轴于点B ，PA 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为（） A ．32 B ．43 C ．2 D ．83 10.如图，在矩形ABCD 中，AD= AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①△ABE ≌△ADH ；②HE=CE ；③H 是BF 的中点；④AB=HF ；其中正确的有（）A . 1个 B. 2个 C . 3个 D. 4个（第8题）（第10题）二、填空题（每小题2分，共18分） 11. = ________．2 236ab a b =_________． 12.如果3(0)a b a =≠，则a b a b -+的值为_______. 13.如图，点P 是反比例函数y ＝k x 的图象上一点，过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线交于点E 、F ，若四边形PEOF 的面积S ＝5，则k=________． 14. 在函数x y 3- =的图象上有三个点(－2，1y )，(－1，2y )，(21 ，3y )，则1y ，2y ，3y 的大小关系为 ____________ 15. 若 y =，则x y -=_______．（第9题）