专题二次函数与几何图形

y

A x

B O

C

D 专题：二次函数与几何图形 一、二次函数与平行四边形

1．已知抛物线c bx ax y ++=2

)0(≠a 过点A （-3，0），B （1,0），C （0,3）三点 (1)求抛物线的解析式；

(2) 若抛物线的顶点为P ，求∠PAC 正切值；

(3)若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形， 求点M 的坐标.

2．已知一次函数1y x =+的图像和二次函数2

y x bx c =++的图像

都经过A 、B 两点，且点A 在y 轴上，B 点的纵坐标为5. （1）求这个二次函数的解析式；

（2）将此二次函数图像的顶点记作点P ，求△ABP 的面积； （3）已知点C 、D 在射线AB 上，且D 点的横坐标比C 点 的横坐标大2，点E 、F 在这个二次函数图像上，且CE 、 DF 与y 轴平行，当CF ∥ED 时，求C 点坐标.

二、二次函数与相似三角形

3.如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．

（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标； （2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的

三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．【2014徐汇区】

1

2345

-1

-1-2

123456

x

y

O 图8

x

y

O

O N

C M

B

A

4.已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线

21

()2

y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。

（1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；（2015杨浦区） （2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值； （3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称

轴于点P ，使得∠DCP=∠CAD ，求点P 的坐标。

三、二次函数与特殊三角形（Rt △ 等腰△ 等腰Rt △）

5．如图，已知二次函数y=-x 2

+bx+c （c>0）的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，且OB=OC=3，顶点为M 。 （1）求二次函数的解析式。

（2）线段BM 上是否存在点N ，使得△NMC 为等腰三角形？

若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说理。

6.已知二次函数y=ax 2

+bx+c (a ≠0)的图像经过点 (1)求此函数的解析式和对称轴.

(2)试探索该抛物线在x 轴下方的对称轴上存在几个点P,

使△PAB 是直角三角形,并求出这些点的坐标.

7.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC 且点A(0,2),点C(-1,0),如图,抛物线y=ax 2

+ax-2经过点B. (1)求点B 的坐标. (2)求抛物线的解析式. (3)在抛物线上是否存在点P(点B 除外),使△ACP 仍然是

以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P

的坐标,若不存在,请说理.

四、二次函数与面积

8．如图，在直角坐标平面内，直线y=-x+5与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，二次函数

c bx x y ++=2的图象经过点A 、B ，且顶点为C ．

（1）求这个二次函数的解析式； （2）求sin ∠OCA 的值； （3）若P 是这个二次函数图象上位于x 轴下方的一点，

且?ABP 的面积为10，求点P 的坐标．

五、二次函数与梯形

9. 一次函数y=x+3的图像分别交x 轴.y 轴于A.B 两点,某二次函数的图像也经过A.B 两点,且二次项系数为1.

(1) 求此二次函数的解析式.

(2) 如果该二次函数图像与x 轴另一个交点记作C, 点D 在二次函数上,如果以A.B.C.D

四点作为顶点的四边形恰好为梯形,求满足条件的D 点坐标.

六、二次函数与特殊平行四边形（菱形等）

10.如图：在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2

+bx+c 的图像与x 原点的左侧，B 点坐标是（3,0），与y 轴交于点C （0，-3），点上一动点。

(1)求二次函数的解析式；

（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，求

出此时的P 点坐标，若不存在，请说明理由。

（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 面积最大？并求

此时P 点坐标及四边形ABPC 的最大面积。

七、二次函数与圆 11． 在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1,0），点C 的坐标为（0,4），直线CM//x 轴(如图所示)．点B 与点A 关于原点对称，直线y=x+b (b 为常数)经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． (1) 求b 的值和点D 的坐标；

(2) 设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三 角形，求点P 的坐标； (3) 在(2)的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆 O 外切，求圆O 的半径．

八、二次函数与运动

12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x 2

+2x+3与x 轴交于点A 、B （点A 在B 左侧） ，

与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E 。

（1）将抛物线向下平移，若平移后， 在四边形ABEC 中满足S ▲BCE =S ▲ABC ，求此时直线BC 的

解析式。

（2）将抛物线作适当的平移，若平移后， 在四边形ABEC 中满足S ▲BCE =2S ▲AOC ，且顶点E 恰

好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式。

二次函数与几何图形结合练习

3.2 与几何图形结合3.2.1 与等腰三角形结合1、如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交 x 轴于另 一点C （3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ; ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 2、如图，已知直线y=x 与交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数 的函数值为y 2．若y 1＞y 2，求x 的 取值范围； （3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB 构成的三角形为等腰三角形？并求出不 少于3个满足条件的点 P 的坐标． y =x 2 y =x 2

3、如图，已知二次函数的图象经过点A （3，3）、B （4，0）和原点O 。P 为二次函数图象 上的一个动点，过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 D （m ，0），并与直线OA 交于点C ． （1）求出二次函数的解析式； （2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值； （3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出 P 的坐 标；如果不存在，请说明理由． 3.2.2 与直角三角形结合1、二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点 M 在第二象限，且经 过点A(1，0)和点B(0，l)．(1)试求，所满足的关系式；(2)设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为 C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的 倍时，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说 明理由． 2 y ax bx c a b 5 4

平面图形与立体图形的认识

【几何图形】 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形分为柱体，锥体，球体 多面体：围城棱柱和棱锥的面都是平的面，像这样的立体图形叫做多面体 欧拉公式：定点数+面数-棱数=2 练习： 1．下面几何体中，不是多面体的是（） A球体 B 三棱锥 C 三棱柱D四棱柱 2．下列判断正确的是 A长方形是多面体B柱体是多面体 C圆锥是多面体D棱柱、棱锥都是多面体 3、将半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体是（） A、圆柱 B、圆锥 C、球 D、正方体 【点、线、面、体】 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 例、右侧这个几何体的名称是_______；它由_______个面组成；它有_______个顶点；经过每个顶点有_______条边。 解答：五棱柱，7，10，3 【直线】 1、概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。 2、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 3、表示：一条直线可以用一个小写字母表示；或者用两个大写字母表示 练习： 1.经过一点,有______条直线;经过两点有_____条直线,并且______条直线. 2、我们在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为__________________． 【射线】 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。

二次函数表达式、图象、性质及计算(讲义)

二次函数表达式、图象、性质 及计算（讲义） 一、知识点睛 1． 一般地，形如__________________（_______________）的 函数叫做x 的二次函数． 2． 表达式、图象及性质： ①由一般式通过______________可推导出顶点式． 顶点式：________________（其中h =______，k =_________）． ②二次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________． ③当a_______时，函数有最_____值，是____________； 当a_______时，函数有最_____值，是____________． ④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a_____时，图 象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______． ⑤a ，b ，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当_____时，开口向____． c 是抛物线与_______交点的______． b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3． 二次函数图象平移： ①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______． ②图象平移口诀：________________、________________． 平移口诀主要针对二次函数_________________． 二、精讲精练 1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号） ①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③21 32 y x =-+； ④2 22y x =+；⑤2y x =-；⑥231252 y x x =-+； ⑦215s t t =++；⑧2 20x y -+=． 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数，则a =（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式（ ） A ．2 (3)5y x =-- B ．2 (3)5y x =+- C ．2 2(3)5y x =-+ D ．2 2(3)5y x =--

2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质

2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质 考点1：二次函数的顶点、对称轴、增减性 1.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( ) A.图像与y轴的交点坐标为（0，1） B.图像的对称轴在y轴的右侧 C.当时，x<0的值随y值的增大而减小 的最小值为-3 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x-1013 y-3131 下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数y=-(x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为( )

或6 或6 或3 或6 5.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（） 或2 或2 6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3，当x=1时，y，则这条抛物线的顶点一定在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2：抛物线特征和a,b,c的关系 1.已知二次函数图形如图所示，下列结论：①abc；②；③；④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上，则有y1y 2. 其中正确的结论有( ) 个个个个 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( ) <4ac >0 b=0 b+c=0

平面图形与立体图形教案

4．1几何图形 4.1.1立体图形与平面图形 【教学目标】 1、能从实物图形中抽取出几何图形；能在生活中寻找出相应的几何图形；会认识常见的平面几何图形和立体几何图形。 2、通过实物抽取几何图形的体验，培养自己的几何图形感，能用几何图形描述生活中的物体。 3、通过对多彩多姿的图形世界体验，激发自己对几何学习的兴趣，也体会学习的快乐。 【教学重难点】 1．重点： （1）掌握立体图形与平面图形的关系，学会它们之间的相互转化；?初步建立空间观念． （2）理解几何图形是从实物图形中抽象出来的。 （3）从实际出发，用直观的形式，让学生感受图形的丰富多彩，激发学生学习的兴趣． 2．难点： （1）立体图形与平面图形之间的互相转化． （2）从现实情境中，抽象概括出几何图形 【教具准备】 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等几何体模型，墨水瓶包装盒（每个学生都准备一个），及多媒体教学设备和课本图4．1-5的教学幻灯片．

【教学过程】 一、引入新课 由多媒体展示美丽的图形世界 在同学们所观看中，有哪些是我们熟悉的几何图形？ 二、新授 1．学生在回顾刚才所看到的图片，充分发表自己的意见，?并通过小组交流，补充自己的意见，积累小组活动经验． 2．指定一名学生回答问题，并能正确说出这些几何图形的名称． 学生回答：有圆柱、长方体、正方体等等． 教师活动：纠正学生所说几何图形名称中的错误，并出示相应的几何体模型让学生观察它们的特征． 3．立体图形的概念． （1）长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形． （2）学生活动：看课本图4．1-3后学生思考：这些物体给我们什么样的立体图形的形象？（棱柱和棱锥） （3）用多媒体放映课本4．1-4的幻灯片 （4）提出问题：在这个幻灯片中，包含哪些简单的平面图形？ （5）探索解决问题的方法． ①学生进行小组交流，教师对各小组进行指导，通过交流，得出问题的答案． ②学生回答：包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和三角形等．4．平面图形的概念．

二次函数图像信息题

二次函数图表信息题 一．选择题（共18小题） 1．已知二次函数y=x 2 +bx+c 的图象过点A （1，m ），B （3，m ），若点M （﹣2，y 1），N （﹣1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=x 2 +bx+c 的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ． y 1＜y 2＜y 3 B ． y 2＜y 1＜y 3 C ． y 3＜y 1＜y 2 D ． y 1＜y 3＜y 2 2．抛物线y=x 2﹣2x+1与坐标轴交点为（ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点 C ． 无交点 D ． 三个交点 3．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．抛物线y=2x 2，y=﹣2x 2，共有的性质是（ ） A ． 开口向下 B ． 对称轴是y 轴 C ． 都有最高点 D ． y 随x 的增大而增大 5．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的一部分，对称轴是直线x=1． ①b 2＞4ac ； ②4a﹣2b+c ＜0；③不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是x≥；④若（﹣2，y 1），（5，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2．上述4个判断中，正确的是（ ） A ． ①② B ． ①④ C ． ①③④ D ． ②③④ 6．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（ ）

二次函数与几何图形结合题及答案

1.如图，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标; （2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积; （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得2 10x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =- ∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分 （2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O= 45 ∵A P ∥CB ， ∴∠P AB = 45 过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形 令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a + ∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2 11a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3……………………………………………………………………………5分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB ?O C +12AB ?P E =11 2123422 ??+??=………………………………6分 (3)． 假设存在 ∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC ∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2 在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ………8分 设M 点的横坐标为m ，则M 2 (,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有 AG PA =MG CA ∵A G=1m --，MG=2 1m -即2322 = 解得11m =-（舍去） 23m =（舍去）………9分 G M C B y P A o x

(一)二次函数图象信息题常见的四种类型

专题训练(一)二次函数图象信息题常见的四种类型?类型之一由系数的符号确定图象的位置 1．［2016·合肥45中月考］在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是() 图1－ZT－1 2．［2018·安徽省合肥168教育集团］月考已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图1－ZT－2中的() 图1－ZT－2 3．已知函数y＝ax和y＝a(x＋m)2＋n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是() 图1－ZT－3 4．已知二次函数y＝x2＋2ax＋2a2，其中a＞0，则其图象不经过第________象限． ?类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置 5．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－4所示，则y＝ax＋b的图象一定过() 图1－ZT－4 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 6．如果一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是()

图1－ZT－5 7．如图1－ZT－6，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为() 图1－ZT－6 图1－ZT－7 ?类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号 8．［2017·六盘水］已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，则() A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 图1－ZT－8 9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－9所示，对称轴为直线x＝1，则代数式：(1)abc； (2)a＋b＋c；(3)a－b＋c；(4)4a＋2b＋c中，值为正数的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 图1－ZT－9

2.4二次函数一般式的图像

二次函数c bx ax y ++=2的图像 知识点一:k h x a y +-=2)(图像性质 1.二次函数k h x a y +-=2)(的图像平移 2.二次函数k h x a y +-=2)(的图像性质 （1）当0>a 时，抛物线k h x a y +-=2 )(的开口方向向上，对称轴是直线h x =，顶点坐标是),(k h ；当h x >时，Y 随X 的增大而增大，当h x <时，Y 随X 的增大而减小，当h x =时，函数有最小值K （2）当0时，Y 随X 的增大而减小，当h x <时，Y 随X 的增大而增大，当h x =时，函数有最大值K 【例1】将抛物线2 2x y =如何平移可得到抛物线1)4(22 --=x y 3.求二次函数k h x a y +-=2)(的函数解析式或解析式中的待定系数 方法规律：（1）若点A ),(n m 在抛物线k h x a y +-=2 )(上，则点A 坐标满足 k h m a n +-=2)( (2) 求函数解析式中某个字母系数，常利用方程思想，注意解的验算。

练习： 1.把抛物线2 3x y =先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为 2.抛物线2)1(2-=x y 的对称轴为 ，顶点坐标为 ，函数最值为 当X 图像从左到右上升。 3.抛物线2 )2 1(+-=x y 可以看成是由抛物线 向 平移 个单位得到 4.2 )(h x a y -=的图像如图所示，对h a ,的符号判断正确的是 （ A 0.0>>h a B 0.0<h a D .0>=<时，分别确定自变量X 的取值范围 D C B A

二次函数与几何图形综合题(可编辑修改word版)

二次函数与几何图形综合题 类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题 1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段BC 上的一个动点，过P 作PE 垂直于x 轴与抛物线交于点E，设P 点横坐标为m，PE 长度为y，请写出y 与m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点D 使以A、B、D 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝x＋4 与坐标轴分别交于A，B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)当DE＝4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由． 3．(2015·襄阳)边长为 2 的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB 为对称轴的抛物线过C，E 两点．

(1)求抛物线的解析式； (2)点P 从点C 出发，沿射线CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点P 作PF⊥CD 于点F.当t 为何值时，以点P，F，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型 2 二次函数与平行四边形的存在性问题 1．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D

数学：二次函数的表达式、图象、性质及计算(二 人教版 九年级训练考试卷)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：二次函数的一般式通过_______可推导出顶点式 ______________________． 问题2：想一想什么特征下设二次函数解析式为顶点式，如何设？ 问题3：想一想什么特征下设二次函数解析式为交点式，如何设？ 问题4：二次函数图象平移： ①二次函数图象平移的本质是__________，关键在坐标； ②图象平移的口诀：__________，__________． 平移口诀主要针对____________． 二次函数的表达式、图象、性质及计算（二）（人 教版） 一、单选题(共12道，每道8分) 1.在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 2.抛物线如何平移可得到抛物线( ) A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位 3.要得到二次函数的图象，需将的图象( ) A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位 4.抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b，c的值分别为( )

A. B. C. D. 5.若把函数的图象记作，把函数的图象记作，则 可以由______平移得到．( ) A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位 6.如图，把抛物线沿直线向上平移个单位后，其顶点在直线上的点A 处，则平移后的抛物线解析式为( ) A. B. C. D. 7.已知抛物线C：，将抛物线C平移到．若两条抛物线C，关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是( ) A.将抛物线C向右平移个单位 B.将抛物线C向右平移3个单位 C.将抛物线C向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位 8.把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，则b的值为( )

二次函数的图像信息专练

二次函数的图像信息专练 类型一根据抛物线的特征确定a、b、c及与其有关的代数式关系 1．已知b＜0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于（） A．﹣2B．﹣1C．1D．2 2．如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，表达式中的h，k，m，n 都是常数，则下列关系不正确的是（） A．h＜0，k＞0B．m＜0，n＞0C．h＝m D．k＝n 3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2， 其中，正确的个数有（） A．1B．2C．3D．4 类型二利用二次函数的图象比较大小 4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（） A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤

类型三利用二次函数的图象求方程式或不等式的解 5．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c ＝0的正数解的范围是（） A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6 第5题图第6题图 6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是． 7．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 8．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0）使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．

二次函数一般式的图像和性质

二次函数一般式的图像和性质 一?选择题(共11小题) 1. 用配方法解一元二次方程 2x 2-4x+仁0, 变形正确的是( ) A. ( x -丄)I 。 B . (x -丄) 2 =' 2 2 2 C. ( x - 1) 2=— D. (x - 1) 2=0 2 2. 把抛物线y=x 2向上平移3个单位，再向 右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式 为( ) A. y= (x+3) 2+1 B. y= (x+3) 2 - 1 2 2 C. y= (x - 1) +3 D. y= ( x+1) +3 3. 方程x 2 - 2x=0的根是( ) A.x 1=X 2=0 B.x 1=X 2=2 C.X 1=0,x 2=2 D.X 1=0, X 2 = — 2 .. 2 4. 如图，抛物线y=ax +bx+c 的对称轴是经过 点(1,0)且平行于y 轴的直线，若点P (4, 2 . _ . y= - 2 (x - 3) +1的图象的顶 点坐标是( A. ( 3,1 ) B. (3, - 1) C. (- 3,1 ) D. (- 3, - 1) 6. —元二次方程x 2-?x+仁0的根的情况 是( ) A.无实数根B .有两个实数根 C.有两个不相等的实数根 D .无法确定 7. 抛物线y= - 3( x - 1) 2 - 2的顶点坐标为 ( ) A. (- 1, - 2) B. (1, - 2) C. (- 1,2 ) D . (1 , - 2) 8. 将抛物线y=3x 2向上平移3个单 位，再向 左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析 式为( ) 2 2 A . y=3 (x+2) +3 B . y=3 (x - 2) +3 2 2 C. y=3 (x+2) - 3 D. y=3 (x - 2) - 3 9. 二次函数y=ax +bx+c 的图象如图所示， 对称轴是直线 x= - 1,有以下结论：①abc >0;②4ac v b 2;③2a+b=0;④a - b+c >2.其 中正确的结论的个数是( ) A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 关于x 的一元二次方程kx +2x - 1=0有两 个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A.k >- 1 B.k > 1 C.k 工 0 D. k >- 1 且k 工0 11. 一元二次方程 x 2+3x+2=0的两个根为 () A.1, - 2 B. - 1 , - 2 C. - 1 , 2 D . 1 , 2 二.填空题(共 9小题) 12 .如图，有一个抛物线型拱桥，其最大高 度为 C. 2 D. 4 5.二次函数 则4a - 2b+c 的值为(

(完整版)二次函数与几何图形综合题.doc

二次函数与几何图形综合题 类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题 1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由．

3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

几何图形与平面图形

课题 4.1.1几何图形与平面图形 一、学习目标 1、通过观察生活中的大量图片或实物，经历把实物抽象成几何图形的过程； 2、能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状； 3、能识别一些简单几何体，正确区分平面图形与立体图形。 学习重点：识别简单的几何体 学习难点：从具体事物中抽象出几何图形 二、自主探究 1、几何图形 （1）仔细观察图4.1-1,让同学们感受是丰富多彩的图形世界； （2）出示一个长方体的纸盒，让同学们观察图4.1-2回答问题： 从整体上看，它的形状是 从不同侧面看，你看到的图形是 看棱得到的是 看顶点的到的是 。 我们见过的长方体、圆柱、圆锥、球、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的。我们把这些图形称为几何图形。 2、立体图形 说一说下面这些几何图形有什么共同特点？ 有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是 .(如： ） 请再举出一些立体图形的例子. 想一想 生活中还有哪些物体的形状类似于这些立体图形呢？ 3、平面图形 （1）纸盒 （1）长方体 （2）长方形 （3）正方形（4）线段 点

说一说下面这些几何图形又有什么共同特点？ 平面图形的概念 线段、角、三角形、长方形、圆等它们的各部分都在同一平面内，它们是 。 请再举出一些平面图形的例子。 思考：立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，它们的区别在哪里？它们有什么联系？ 三、课堂练习 课本119页练习 四、要点归纳 1、 2、平面图形与立体图形的关系： 立体图形的各部分不都在同一平面内，而平面图形的各部分都在同一平面内； 立体图形中某些部分是平面图形。 五、拓展训练 1.下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方体；④圆柱；⑤圆锥；⑥球. 其中属于立体图形的是（ ） A. ①②③； B. ③④⑤； C. ① ③⑤； D. ③④⑤⑥ 【总结反思】 现实物体 几何图形 平面图形 立体图形 看外形

2二次函数图象的几何变换

一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函 数2y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+- ； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 知识点拨 二次函数图象的几何变换

二次函数--图像专题及答案解析

二次函数经典题 一、选择题 61．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,则正确的结论是（ ） A ．abc>0 B ．3a +c ＜0 C ．4a+2b+c ＜0 D ．b 2 -4ac ＜0 62．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法： ①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①②④ D ．②③④ 63．如图，半圆D 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是 （ ） A ．21y x x 4 B ．2y x x C ．21y x x 4 D ．21y x x 4 64．如右图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象过A （－3，0），对称轴为直线x=－1，下列结论：①b 2>4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5am(am ＋b)(m ≠－1)其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 65．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，

x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ） A ．a ＜0 B ．a ﹣b+c ＜0 C ．2b a >1 D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 66．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴的交点在(0,2)的下方，与x 轴的交点为（x 1，0）和（2，0），且-2＜x 1＜-1，则下列结论正确的是（ ） A 、0abc > B 、0a b c -+< C 、210a b ++> D 、0a b +> 67．给出下列命题及函数y x =，2y x =和1y x =的图象 ①如果 21a a a >>，那么0a 1<<； ②如果21a a a >>，那么a 1>； ③如果21a a a >>，那么1a 0-<<； ④如果21a a a >>时，那么a 1<-. 则（ ）

二次函数与几何图形动点问题--答案

二次函数与几何图形 模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.

2、如图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．

模式2：梯形 分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线 x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

《立体图形与平面图形》练习题

4.1 多姿多彩的图形(1) 几何图形 长方形的是（）1．如图所示，水平放置的下列几何体，从正面看到的视图不是 ．． 2．下列几何体中，直棱柱的个数是（） A．5 B．4 C．3 D．2 3．直四棱柱、长方体和正方体之间的包含关系是（） A B C D 4．若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是（） A．这个棱柱有4个侧面 B．这个棱柱有5条侧棱 C．这个棱柱的底面是十边形 D．这个棱柱是一个十棱柱 5．小明用如下左图所示的胶漆滚从左到右滚涂墙壁，下列平面图形中符合胶漆滚涂出的图案是（） A B C D 6．举出两个俯视图为圆的实物例子: 、． 7．写出下列立体图形的名称（从左到右依次写出）： ． 8．如果直六棱柱的其中一条侧棱长为4cm，那么它的所有侧棱长度之和为 cm． 9．分别画出图中的物体的三个视图： 10．如图①②③④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．

（1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表： （2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系； （3）如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数． 参考答案 1．答案: B 解析：B答案中圆锥的主视图是三角形． 2．答案: C 解析：直棱柱的侧面应是矩形，符合这个条件的有第一个，第五个和第六个．故选C．

3．答案:A 解析：正方体是特殊的长方体，长方体又是特殊的直四棱柱，故选A．4．答案:B 解析：一个棱柱有10个顶点，则它是五棱柱，五棱柱有5个侧面，有5条侧棱，底面是五边形．故选B． 5．答案:A 解析：由胶漆滚得图形可得，最左边中间为一小黑正方形，胶漆滚从左到右，则最先留下印记的即为中间有一小黑正方形的图形．故选A． 6．圆柱，球，圆锥． 7．从左到右依次为：圆柱、长方体、四棱锥、圆锥． 8．直六棱柱的其中一条侧棱长为4cm，那么它的所有侧棱长度之和为6×4=24cm．故答案为24． 9．三个视图如下： 10．解：（1）结和图形我们可以得出： 图①有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域； 图②有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域； 图③有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域； 10个顶点、15条边、这些边围成6区域．

专题四_二次函数的图像与性质

专题四 二次函数的图像与性质（一） 【知识梳理】 1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______． 4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2b a - 时，y 有最小值，为_______； 若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最大值，为_______． 6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______． 7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”． 【考点例析】 考点一 二次函数的有关概念 例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D （－2，1） 考点二 抛物线的平移 例2 将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( ) A ．y ＝3(x ＋2)2＋3 B ．y ＝3(x －2)2＋3 C ．y ＝3(x ＋2)2－3 D ．y ＝3(x －2)2－3 考点三 同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题 例3 在同一坐标系中°一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是