2006-2011年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题整理
2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
一、 计算题（每小题12分，满分60分）
1、计算lim 1n x n x n e n →∞
????+-?? ???????
. 解: ??????????-??
?????
??
?? ??+=∞
→x x x n n e n x n 1lim ????
??????????????-?
?
?????
?????????? ??+=∞→11lim x x n x n e n x ne ????
??????????????-??
?????
???????-??? ??++=∞→111lim x x n x n e e n x ne x e e n x ne x n x n -??? ??+=∞→1lim n x e
n x e x x
n
n x -??
? ??+=∞→-1lim 12()t
e t e x t t x -+=→-10121lim
()1
)1ln(11lim
2
1
0120
0t t t t
t e x t t x +-+?+=→- 202)1()
1ln()1(lim t t t t t e x t x +++-=→ 2
02)1ln()1(lim
t t t t e x t x ++-=→ t
t e x t x 2)
1ln(11lim
020
+--=→ 22x e x -=。 2、求48
81(1)
x x dx x x ++-?.
解: 484824
28284
11111(1)2(1)2(1)
x x x x x x dx dx dx x x x x x x ++++++==---???
242224211114(1)4(1)
x x x x dx dx x x x x ++++==--?? 3
111122411411A B C dx dx x x x x x x ??--
???=++=++ ? ?-+-+?? ?
??
?? 131ln(1)ln ln(1)422x x x C ??
=
--+-++????
311
ln(1)ln ln(1)848
x x x C =--+-++. 3、求2
2
1
1
0x y y e dy e dx x ??-??????
??.
解: 2
2
2
2
1
1
1111000x x y y y y y e e dy e dx dy dx dy e dx x x ??-=-??????
??????
2
2
111
00
x x
y
y
e
d x d y d y
e d x x
=-???
? 2
2
2
1
11
1
(1)2
x y x e e d x y
e d y x e d x -=--==???.
4、求过(1,2,3)且与曲面3()z x y z =+-的所有切平面皆垂直的平面方程.
解:令3(,,)()F x y z x y z z =+--
则(,,)1x F x y z '=,2(,,)3()y F x y z y z '=-,2(,,)3()1z F x y z y z '=--- 令所求平面方程为: (1)(2)(3)0A x B y C z -+-+-=,
在曲面3()z x y z =+-上取一点(1,1,1),则切平面的法向量为{1,0,1}-, 则0A C -=
在曲面3()z x y z =+-上取一点(0,2,1),则切平面的法向量为{1,3,4}-, 则340A B C +-=. 解得: A B C ==
即所求平面方程为: 6x y z ++=.
二、(15分)设3
()6
x
x f x e =-,问()0f x =有几个实根?并说明理由.
解: 当0x ≤, 3
06
x
x e >≥
当0x >, 0
0e >且x
e 的增长速度要比3
6
x 来得快!所以()0f x =无实根.
三、(满分20分)求3
1n n x ∞=??
???
∑中20x 的系数.
解: 当1x <时, 333
3
1111n n x x x x x ∞=??????==? ? ? ?--????
??∑
33
01122
n n x x x x ∞=''''????=?=? ? ?-????∑ 322
(1)2n n x n n x ∞
-==-∑ 故3
1n n x ∞=??
???
∑中20x 的系数为171.
四、(20分) 计算C xyds ?,其中C 是球面2222x y z R ++=与平面0x y z ++=的交线.
解：
2222()()2()C
C
C
x y z ds x y z ds xy yz zx ds ++=+++++?
??
而2()0C x y z ds ++=?,
22223()2C
C
x y z ds R ds R π++==??,
C
C
C
xyds yzds zxds ==?
??,
故3
3
C R xyds π=-
?.
五、(20分)设12,,,n a a a 为非负实数,试证:1
sin sin n
k k a kx x =≤∑的充分必要
条件为1
1n
k k ka =≤∑.
证明：必要性
由于1sin sin n
k k a kx x =≤∑,则1
sin sin n
k
k kx x
a x x
=≤
∑, 0x ≠ 0011
sin sin lim lim 1n
n
k k x x k k kx x
a ka x x →→==?=≤=∑∑. 充分性;要证明
1
sin sin n
k
k a
kx x =≤∑,只需证明:
1
sin 1sin n
k
k a
kx
x
=≤∑,这里
sin 0x ≠,若sin 0x =,不等式显然成立;
即只需证明:
1
sin 1sin n
k
k kx
a
x
=≤∑, 而11
sin sin sin sin n
n
k k
k k kx kx a a x x ==≤∑∑,11n
k k ka =≤∑ 故只要说明:
sin sin kx
k x
≤,即sin sin kx k x ≤, 当1k =时,显然成立;
假设当k n =时,也成立,即sin sin nx n x ≤;
当1k n =+时, sin(1)sin()sin cos sin cos n x nx x nx x x nx +=+=+
sin sin (1)sin nx x n x ≤+≤+.
六、(15分)求最小的实数c ,使得满足1
0()1f x dx =?的连续函数()f x
都有
1
f dx c ≤?
.
解
:
1
111
2()2()2f dx f dx t f t dx f t dx ≤=≤=?
???,
取2y x =,显然1
0()1f x dx =?,
而1
1
0024233
f dx ==?=??, 取(1)n y n x =+,显然1
0()1f x dx =?,
而1
1
1
(1)
22,2
n
n f dx n dx n n +=+=?
→→∞+??, 故最小的实数2c =.
2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
一.计算题（每小题12分，满分60分） 1
、求9.
解
:
9
551155==
1
111555u t =+=
=- 312222
155
u u C =-+ C x x ++-+21
5235)1(5
2
)1(152。 2、求1120(1)(12)
lim sin x x
x x x x
→+-+.
解: 111
1220
0(1)(12)
(1)(12)lim
lim
sin x
x
x
x
x x x x x x x
x
→→+-++-+=
011
22201ln(1)1ln(12)lim (1)(12)(1)(21)2x x
x x x x x x x x x x x →??????++=+--+-??????++?????? 011
2220(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)(12)(1)2(21)x x
x x x x x x x x x x x x x →??????-++-++=+-+??????++?????? 1
1
22200(1)ln(1)2(21)ln(12)lim(1)lim(12)(1)2(21)x
x
x x x x x x x x x x x x x x →→????-++-++=+-+????++????
22
0(1)ln(1)2(21)ln(12)
lim
lim 2x x x x x x x x e e x x →→-++-++=- 00
00ln(1)2ln(12)
lim
lim 24x x x x e e x x
→→-+-+=- 22e e e =-+=. 3、求p 的值,使2
2007()()0b
x p a x p e dx ++=?.
解:
2
2
2007
()2007()
t x p
b
b p
x p t a
a p
x p e
dx t e dt =+++++=
?
?
被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:
a p
b p +=--,
解得: 2
a b
p +=-. 4、计算22
22
max{,}00,(0,0)a
b
b x a y dx e dy a b >>??.
解:
22
2222
22max{,}
max{,}
a
b
b x
a y
b x
a y D
dx e dy e d σ=?
???, 其中D 如右图
22
2222
221
2
max{,}
max{,}
b x
a y
b x
a y D D e d e d σσ=+????
22
22
1
2
a y
b x D D e d e d σσ=+????
22
22
a b b
y a
x a y b x b a dy e
dx dx e dy =+??
??
2222
00b a a y b x a b ye dy xe dx b a =+?? 222222220011()()22b a a y b x e d a y e d b x ab ab =+?? 221(1)a b e ab
=-. 5、计算2()S
x y dS +??,其中S 为圆柱面224,
x y +=解:
2
221
()()2S
S
S
x y dS x y dS ydS +=++?????? 1
42S
S
dS ydS =
+???? 8yz
D π=+??
8yz
D π=+??8π= 被积函数关于y 是奇函数,积分区域关于z 对称,
二、(20分)设12112112
12345632313n u n n n
=+-++-++
+--- , 111123n v n n n =
+++++ ,求: (1)1010
u v ;(2) lim n n u →∞. 解: (1)111232
313n
n k u k k k =??
=+-
?--??∑ 12112112
12345632313n n n
=+-++-+++--- ,
23111111
n
n n n k k k v n k k k
=====-+∑∑∑
11111111111
1123456323132n n n n n
????
=+++++++++++-+++ ? ?--?
??
?
31111121132313n
n n n n k k k u v k k k k k ===??-=+--- ?--??∑∑∑
11211
033n n k k k k k ==??=---= ???∑∑
1n
v
u v ?=; (2) 111lim lim lim 12
3n n n n n u v n n n →∞→∞→∞
?
?==+++
?++??
11111lim 1221111n k n n n
n n n →∞??
?=+++ ? ?++++ ?
?? (图来说明积分上下) 21
11
lim 1n n k k n n →∞==+∑ 2
01
ln 31dx x
==+?
. 三、(满分20分)有一张边长为4π的正方形纸(如图),C 、D 分别为AA '、
BB '的中点，E 为DB '的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B
与B '重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，且B 与原点O 重合，D 若
在y 轴正向上，求：
（1） 通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （2） 此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的
立体体积.
解:
CE L :
22224x y z
π
--==-- 旋转曲面上任意取一点(,,)M x y z
则000(,,)N x y z 的坐标为：0002222z x z y z z ππ-?
=+??
?
=+??
=??? ， (0,0,)Q z
MQ NQ ===
化简得：所求的旋转曲面方程为：2
2
2
282z x y π
+-=，
（2）(0,0,4)A π，故过(0,0,4)A π垂直z 轴的平面方程为：4z π=
x
令0
x=，解得在坐标面yoz上的曲线方程为：
2
2
2
8
2
z
y
π
-=，
图中所求的旋转体的体积为：
2
4
V dz
π
π
=?
2
4
2
8
2
z
dz
π
π
π
??
=+
?
??
?
2
42
32
2
z
dz
π
π
π
=+
?
22
2
32128
32
33
ππ
π
=+=.
四、(20分) 求函数2
222
(,,)
x yz
f x y z
x y z
+
=
++
,在222
{(,,)14}
D x y z x y z
=≤++≤的最大值、最小值.
解：222222
22222222
2()2()222
(,,)
()()
x
x x y z x x yz xy xz xyz
f x y z
x y z x y z
++-++-
'==
++++
22222322
22222222
()2()2
(,,)
()()
y
z x y z y x yz zx z yx y z
f x y z
x y z x y z
++-++--
'==
++++
22222322
22222222
()2()2
(,,)
()()
z
y x y z z x yz yx y zx z y
f x y z
x y z x y z
++-++--
'==
++++
由于,x y具有轮换对称性,令x y
=, 0
x=或0
y z
==
解得驻点: (0,,)
y y或(,0,0)
x
对2
222
1
(0,,)
2
x yz
f y y
x y z
+
==
++
, 2
222
(,0,0)1
x yz
f x
x y z
+
==
++
,
在圆周2221
x y z
++=上,由条件极值得:
令2222
(,,)(1)
F x y z x yz x y z
λ
=++++-
(,,)220
x
F x y z x x
λ
'=+=
8
=
(,,)20y F x y z z y λ'=+= (,,)20z F x y z y z λ'=+=
222(,,)10F x y z x y z λ'=++-=
解得: (0,
22,)22,(0,22--,(0,22-,(1,0,0),(1,0,0)-
12
f =,
1
2
f =-,
1
(0,2
f =,
1
(0,2
f =-,(1,0,0)1f =,(1,0,0)1f -=; 在圆周2224x y z ++=上,由条件极值得: 令2222(,,)(4)F x y z x yz x y z λ=++++-
(,,)220x F x y z x x λ'=+=
(,,)20y F x y z z y λ'=+= (,,)20z F x y z y z λ'=+=
222(,,)40F x y z x y z λ'=++-=
解得: ,,(0,,(0, ,(2,0,0),(2,0,0)-
1
2f =
,12f =-,1
(0,2f =, 1
(0,2f =-,(2,0,0)1f =,(2,0,0)1f -=;
22
22
(,,)x yz
f x y z x y z
+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z =≤++≤的最大值为1,最小值为1
2
-.
五、(15分)设幂级数0n n n a x ∞
=∑的系数满足02a =,11n n na a n -=+-,1,2,3,n = ,
求此幂级数的和函数.
证明：0
()n
n n S x a x ∞==∑1
1
11111()(1)n n n n n n n n S x na x
a x
n x ∞
∞
∞
----==='?==+-∑∑∑
()n
n
n n n n n a x nx S x nx ∞
∞
∞
====+=+∑∑∑
而()1
2
0011(1)n
n n
n n n n n x nx x nx
x x x x x x x ∞∞
∞
∞-====''????'===== ? ?--????
∑∑∑∑, 即: 2
()()(1)x
S x S x x '-=
- 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法, 求()()0S x S x '-=的通解: ()x S x ce =, 令()()x S x c x e =代入2
()()(1)
x
S x S x x '-=
-得: 2
()()()(1)x x x x
c x e c x e c x e x '+-=
-, 即: ()211()(1)111x x x x x xe c x dx xe dx xe dx x e x x x ---'??'==?=- ?----??
??? ()11x x x
x xe xe e dx e c x x
----=+-=++--? 故2
()()(1)x S x S x x '-=-的通解为: 1()11x x
x x xe S x e c e ce x x --??=++?=+ ?--??
, 由于(0)0S =,解得1c =-, 故0
n n n a x ∞
=∑的和函数1
()1x S x e x
=
--.
六、(15分)已知()f x 二阶可导,且()0f x >,[]2
()()()0f x f x f x '''-≥,x R ∈, (1) 证明:2121212()(),,2x x f x f x f x x R +??
≥?∈
???
. (2) 若(0)1f =,证明(0)(),f x f x e x R '≥∈. 证明: (1) 要证明2121212()(),,2x x f x f x f x x R +??
≥?∈
???
,
只需证明121
2121111
ln ()ln ()ln ,,2222
f x f x f x x x x R ??
+≥+?∈ ??
?
, 也即说明()ln ()F x f x =是凹函数,
[]()
ln ()()f x f x f x ''=, [][]2
2
()()()()ln ()0()()f x f x f x f x f x f x f x ''''-'??''==≥ ???
, 故()ln ()F x f x =是凹函数, 即证. (2) 2
()()(0)(0)2
F F x F F x x ξ'''=++
[]2
22()()()(0)
ln (0)(0)2()
x f x f x f x f f x x f f x ξ
='''-'=++
(0)f x '≥,
即: (0)(),f x f x e x R '≥∈.
2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *
一.计算题 1、求x
x
x
x
x e
e e sin 13203lim ???
?
?
?++→.
解: x
x
x
x
x x
x
x
x
x e e e e e e sin 1320sin 1320331lim 3lim ???
?
??-+++=???
?
?
?++→→ x
e e e x x
e e e e
e e x
x
x
x x x x x x x x
x x e
e
e e sin 1
30
sin 1
33
320323232lim 3lim ?++→?++?++→=???
? ?
?++=
2cos 33200
032lim e e
x
e e e x x
x x ==?
++→。
2、计算?++dx x x )
5sin()3cos(1
.
解:
??+++-+=++dx x x x x dx x x )
5sin()3cos()]
3()5cos[(2cos 1)5sin()3cos(1
?+++++++=
dx x x x x x x )
5sin()3cos()]
3sin()5sin()3cos()5cos(2cos 1 ???
???+++++++++=
??dx x x x x dx x x x x )5sin()3cos()]3sin()5sin()5sin()3cos()3cos()5cos(2cos 1 ???
???+++++=
??dx x x dx x x )3cos()3sin()5sin()5cos(2cos 1 ??
????++-++=
??dx x x d x x d )3cos()3cos()5sin()5sin(2cos 1 []C x x ++-+=
)3cos(ln )5sin(ln 2
cos 1
C x x +++=
)
3cos()5sin(ln 2cos 1。 法二：??
++=++dx x dx x x 2
sin )4(2sin 2
)5sin()3cos(1
?
++++=dx x x 2
sin )
4(tan 1)
4tan(22
2，令4arctan ),4tan(-=+=t x x t
??
?++=++=+?
++=dt t t dt t t dt t t 1
2
sin 1
2sin 22sin 22sin 2112sin 12222
2
??
?
?
??++??? ??-+=
dt t t 2sin 2cos 12sin 2cos 11
2sin 2
??
????? ?
?+-+=dt t t 2sin 12sin 12cos 1 C x x +-+
++++=2
sin 2cos 1)4tan(2sin 2
cos 1)4tan(ln
2
cos 1。 3、设x x x f arcsin )(3=，求)0()2008(f . 解: x x g arcsin )(=,则2
11)(x
x g -=
'
x t arcsin =，则3sin )(sin t t t f =
()
()
()
)
1(3
1
)
(3
0)
(3s i n s i n s i n )
(s i n -+==n n n n n n
n t C t t C t t dt
t f d
()
)
1(3
1
sin 0)(sin =-=+=t n n t n n t C dt t f d ()
)
2007(3
2008
)2008(sin 2008)(sin ===t t t
dt t f d
()
)
2006(3
2cos 320072008=??=t t t
()
)
2005(3
43sin 9cos 6200620072008=-???=t t t t t
被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:
a p
b p +=--,
解得: 2
a b
p +=-. 4、计算22
22
max{,}00,(0,0)a
b
b x a y dx e dy a b >>??.
解:
22
2222
22max{,}
max{,}
a
b
b x
a y
b x
a y D
dx e dy e d σ=?
???, 其中D 如右图
22
2222
221
2
max{,}
max{,}
b x
a y
b x
a y D D e d e d σσ=+????
22
22
1
2
a y
b x D D e d e d σσ=+????
22
22
a b b
y a
x a y b x b a dy e
dx dx e dy =+??
??
2222
00b a a y b x a b ye dy xe dx b a =+?? 2222222200
11()()22b a a y b x e d a y e d b x ab ab =+?? 221(1)a b e ab
=-. 5、计算2()S
x y dS +??,其中S 为圆柱面224,x y +=解:
222
1()()2S
S S
x y dS x y dS ydS +=++??????
1
42S S
dS ydS =
+????
8yz
D π=+??
8yz
D π=+??8π= 被积函数关于y 是奇函数,积分区域关于z 对称, 二、(20分)设1
2112112
12345632313n u n n n
=+-++-++
+--- , 111123n v n n n =
+++++ ,求: (1)1010
u v ;(2) lim n n u →∞. 解: (1)111232
313n
n k u k k k =??
=+-
?--??∑ 12112112
12345632313n n n
=+-++-+++--- ,
23111111
n
n n n k k k v n k k k
=====-+∑∑∑
11111111111
1123456323132n n n n n
????
=+++++++++++-+++ ? ?--?
??
?
31111121132313n
n n n n k k k u v k k k k k ===??-=+--- ?--??∑∑∑
11211
033n n k k k k k ==??=---= ???∑∑
1n
v
u v ?=; (2) 111lim lim lim 12
3n n n n n u v n n n →∞→∞→∞
?
?==+++
?++??
11111lim 1221111n k n n n
n n n →∞??
?=+++ ? ?++++ ?
?? (图来说明积分上下)
21
11lim 1n n k k n n →∞==+∑ 2
01
ln 31dx x
==+?
. 三、(满分20分)有一张边长为4π的正方形纸(如图),C 、D 分别为AA '、
BB '的中点，E 为DB '的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B
与B '重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，且B 与原点O 重合，D 若在y 轴正向上，求：
（3） 通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （4） 此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的
立体体积.
解:
CE L :
22224x y z
π
--==-- 旋转曲面上任意取一点(,,)M x y z
x
则000(,,)N x y z 的坐标为：0002222z x z y z z ππ-?=+??
?
=+??
=??? ， (0,0,)Q z
MQ NQ ===
化简得：所求的旋转曲面方程为：2
2
2
282z x y π
+-=，
（2）(0,0,4)A π，故过(0,0,4)A π垂直z 轴的平面方程为：4z π=
令0x =，解得在坐标面yoz 上的曲线方程为：2
2
282z y π
-=，
图中所求的旋转体的体积为：
2
40V dz π
π=?
2420
82z dz π
ππ??=+ ???
?
2
420
322z dz π
ππ
=+? 2
2
2321283233
ππ
π=
+=. 四、(20分) 求函数2222(,,)x yz
f x y z x y z
+=++,在222{(,,)14}
D x y z x y z =≤++≤的最大值、最小值.
解： 22222222222222
2()2()222(,,)()()x x x y z x x yz xy xz xyz
f x y z x y z x y z ++-++-'==++++ 2222232222222222
()2()2(,,)()()y z x y z y x yz zx z yx y z
f x y z x y z x y z ++-++--'==
++++
8
=
2222232222222222
()2()2(,,)()()z y x y z z x yz yx y zx z y
f x y z x y z x y z ++-++--'==
++++ 由于,x y 具有轮换对称性,令x y =, 0x =或0y z == 解得驻点: (0,,)y y 或(,0,0)x
对22221(0,,)2x yz f y y x y z +==++, 2222(,0,0)1x yz
f x x y z
+==++,
在圆周2221x y z ++=上,由条件极值得: 令2222(,,)(1)F x y z x yz x y z λ=++++-
(,,)220x F x y z x x λ'=+=
(,,)20y F x y z z y λ'=+= (,,)20z F x y z y z λ'=+=
222(,,)10F x y z x y z λ'=++-=
解得: ,,(0,,(0,,(1,0,0),(1,0,0)-
1(0,
222
f =,
1
(0,
222
f -=-,
1
(0,)222
f -
-=,
1
(0,222
f =-,(1,0,0)1f =,(1,0,0)1f -=; 在圆周2224x y z ++=上,由条件极值得: 令2222(,,)(4)F x y z x yz x y z λ=++++-
(,,)220x F x y z x x λ'=+=
(,,)20y F x y z z y λ'=+= (,,)20z F x y z y z λ'=+=
222(,,)40F x y z x y z λ'=++-=
解得: ,,(0,,(0, ,(2,0,0),(2,0,0)-
1
2
f=
,1
2
f=-
,1
(0,
2
f=
,
1
(0,
2
f=-,(2,0,0)1
f=,(2,0,0)1
f-=;
2
222
(,,)
x yz
f x y z
x y z
+
=
++
,在222
{(,,)14}
D x y z x y z
=≤++≤的最大值为1,
最小值为1
2
-.
五、(15分)设幂级数
n
n
n
a x
∞
=
∑的系数满足02
a=,11
n n
na a n
-
=+-,1,2,3,
n= ,求此幂级数的和函数.
证明：
()n
n
n
S x a x
∞
=
=∑111
1
111
()(1)
n n n
n n
n n n
S x na x a x n x
∞∞∞
---
-
===
'
?==+-
∑∑∑
000
()
n n n
n
n n n
a x nx S x nx
∞∞∞
===
=+=+
∑∑∑
而()
1
2
0000
1
1(1)
n n n n
n n n n
x
nx x nx x x x x x
x x
∞∞∞∞
-
====
''
????
'
=====
?
?--
??
??
∑∑∑∑,
即:
2
()()
(1)
x
S x S x
x
'-=
-
一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,
求()()0
S x S x
'-=的通解: ()x
S x ce
=,
令()()x
S x c x e
=代入
2
()()
(1)
x
S x S x
x
'-=
-
得:
2
()()()
(1)
x x x
x
c x e c x e c x e
x
'
+-=
-
,
即: ()
2
11
()
(1)111
x
x x
x
x xe
c x dx xe dx xe dx
x e x x x
-
--
'
??'
==?=-
?
----
??
???
()
11
x x
x x
xe xe
e dx e c
x x
--
--
=+-=++
--
?
故
2
()()
(1)
x
S x S x
x
'-=
-
的通解为: 1
()
11
x
x x x
xe
S x e c e ce
x x
-
-
??
=++?=+
?
--
??
,
由于(0)0S =,解得1c =-, 故0
n n n a x ∞
=∑的和函数1
()1x S x e x
=
--.
六、(15分)已知()f x 二阶可导,且()0f x >,[]2
()()()0f x f x f x '''-≥,x R ∈, (3) 证明:2121212()(),,2x x f x f x f x x R +??
≥?∈
???
. (4) 若(0)1f =,证明(0)(),f x f x e x R '≥∈. 证明: (1) 要证明2121212()(),,2x x f x f x f x x R +??
≥?∈
???
, 只需证明1212121
1
1
1
ln ()ln ()ln ,,2222
f x f x f x x x x R ??
+≥+?∈ ??
?
, 也即说明()ln ()F x f x =是凹函数,
[]()
ln ()()f x f x f x ''=, [][]2
2
()()()()ln ()0()()f x f x f x f x f x f x f x ''''-'??''==≥ ???
, 故()ln ()F x f x =是凹函数, 即证. (2) 2
()()(0)(0)2
F F x F F x x ξ'''=++
[]2
22()()()(0)
ln (0)(0)2()
x f x f x f x f f x x f f x ξ
='''-'=++
(0)f x '≥,
即: (0)(),f x f x e x R '≥∈.
2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
一、计算题（每小题12分，满分60分）
高等数学专科复习题及答案
高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--=Λ21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
微积分复习题题库超全
习题 1—2 1．确定下列函数的定义域： （1）91 2 -=x y ； （2）x y a arcsin log =； （3）x y πsin 2 = ； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？ （1）2)(,)(x x g x x f ==； （2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ； （3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？ （1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=； （3）2211x x y +-=； （4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明： （1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。 （1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==； （3）23,log 2+==x u u y a ； （4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ；
高中数学导数及微积分练习题
1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，
底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
高数微积分公式大全
微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + C a b c α β γ R
大学微积分复习题
0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++
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高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=?⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '=⑽()ln x x a a a '=⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '=⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= +⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±????（2）()() () ()n n cu x cu x =???? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n n x n =（2）()()n ax b n ax b e a e ++=?(3)()() ln n x x n a a a = (4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ?????(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? +(7)()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =?⑻()csc csc cot d x x xdx =-?
高等数学练习题库及答案
高等数学练习题库及答 案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）
A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设 满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、
高等数学微积分复习题
第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写
高等数学定积分复习题
1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。
工程力学公式微积分公式高等数学公式汇总
工程力学公式微积分公 式高等数学公式汇总 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
公式： 1、轴向拉压杆件截面正应力N F A σ=，强度校核max []σσ≤ 2、轴向拉压杆件变形Ni i i F l l EA ?=∑ 3、伸长率：1100%l l l δ-= ?断面收缩率：1 100%A A A ψ-=? 4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ= 5、扭转切应力表达式：T I ρ ρτρ= ，最大切应力：max P P T T R I W τ==， 4 4 (1)32 P d I πα= -，3 4(1)16 P d W πα= -，强度校核：max max []P T W ττ= ≤ 6、单位扭转角：P d T dx GI ?θ= =，刚度校核：max max []P T GI θθ= ≤，长度为l 的 一段轴两截面之间的相对扭转角P Tl GI ?= ，扭转外力偶的计算公式： ()(/min) 9549 KW r p Me n = 7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ = 8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式： cos 2sin 22 2 x y x y x ασσσσσατα+-= + -，sin 2cos 22 x y x ασστατα-= + 9、平面应力状态三个主应力： '2 x y σσσ+= ，''2 x y σσσ+= '''0σ= 最大切应力max ''' 2 σστ-=± =最大正应力方位 02tan 2x x y τασσ=- -
微积分B总复习题(带答案)
微积分(B)复习题 一、 基本题: （一） 微分学： 1、函数ln()arccos 2 x y z y x -=-+的定义域是 {} 20),(≤->-=y x x y y x D 且 2、 ()()(),0,0ln 1lim sin(22)cos x y x y x y xy →--=+? 21 - 3、设22(,)43f x y x xy y =-+，则h f h f h ) 2,1()2,1(lim -+→= 8 4、已知函数22(,)f xy x y x y xy +=++，则 (,)(,) f x y f x y x y ??+?? = )(3y x + 5、设 ln(2)z y x =- 则 211 x y z x y ==?=?? 2 6、(1,0,1) (),z u x y du =-=设则 dy dx - 22(,),______,______.(2,,),__________,_________,_________.xy x y z u u u f x y e x y u f x xy xyz f f f ??=-==??'''====7、若则 若则 212f ye xf xy +; 212f xe yf xy +-; 3212yzf yf f ++; 32xzf xf +; 3xyf 。 8、二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足的关系为（ B ） A ) 可微?可导?连续 B ) 可微? 可导，或可微?连续， 但可导不一定连续 C ) 可微?可导?连续 D ) 可导?连续，但可导不一定可微 （二） 积分学： 1、{ }22 (,)14,2_______.D D x y x y d σ=≤+≤=??设则 π6 2、二次积分 ()1 1 ,y e dy f x y dx ? ?交换积分次序后为? ?1 ln 1),(x e dy y x f dx 3、二次积分 ( )2 2 2 dx f x y dy +? 化为极坐标形式的二次积分为??θ π θcos 20 220)(rdr r f d （三） 级数：
高等数学复习题库和答案.
中国煤炭论坛https://www.wendangku.net/doc/3315013409.html, 网络远程教育专升本高等数学复习题库和答案 一、选择题 1. 下列函数中，表达式为基本初等函数的为（）. A: y= { 2x 2 x>0 2x+1 x≤0 B: y=2x+cosx C: y= x D: y=sin 2. 下列选项中，满足f(x)=g(x)的是( ). A: f(x)=cosx, g(x)= B: f(x)=x, g(x)= C: f(x)=x, g(x)=arcsin(sinx) D: f(x)=lnx2 , g(x)=2lnx 3. 设f(x)的定义域为[0,1]，则f(2x+1)的定义域为( ). A: ?1 ??- 2,0??-1,0???2? C: ?1? -,0?? B: ?2? D: ?4. 函数y=f(x)的定义域为[0,1]，则函数y=f(x2)的定义域为（A: [0,1]; B: (0,1); C: [-1, 1] D: 5. 设f(x)的定义域为[0,1]，则f(2x-1)的定义域为( ). A: ?1??1??1?,1 B: ?2? ? ,1?2? C: ??,1??2? D: ?6. 函数f(x)=??9-x 2x≤3?
?）. ?x2 -9 3 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ 第五章一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求 导公式和牛顿—莱布尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为 '1sin 3sin 3(3)3 x x x =，故有 '111sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 13cos33u x x C =-+ 例2：求不定积分(0)a > 华南理工大学广州学院基础部 关于10级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知 通知要点 ★考试的重点内容与要求★考试的形式与试卷结构★题型示例与答案 一、考试的重点内容与要求 考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求： 1、 定积分及其应用 理解定积分的定义（含两点补充规定：当a b =时，()0b a f x dx =?；当a b >时，()()b a a b f x dx f x dx =-??）。理解定积分的几何意义与定积分的基本性质。掌 握变上限的定积分及其导数的定理求函数的导数。掌握牛顿—莱布尼茨公式。掌握定积分的第一、二类换元法及分部积分法。会用定积分求平面图形的面积与旋转体的体积。会求无限区间上的广义积分。 2、 无穷级数 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质（含级数收敛的必要条件）。熟悉几何级数（即等比级数）0 n n aq ∞ =∑（0,a q ≠叫公比）、 调和级数11n n ∞ =∑与p -级数11 (0)p n p n ∞ =>∑的敛散性，掌握正项级数的比较判别法及 比值判别法。了解交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，以及绝对收敛与收敛的关系。 了解幂级数0n n n a x ∞ =∑及其收敛域、和函数等概念，掌握幂级数的收敛半径、 收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会 利用函数 1 1x -、x e 、ln(1)x +等的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成x 的幂级数。 注意到无穷级数的内容不易掌握，因此复习时应有多次反复。还应注意知识间的联系，例如常数项级数与幂级数之间，前者是后者的基础，后者是前者的发展，两者的一些公式与方法是相通的。 3、 多元函数微积分 （1）了解空间解析几何的一些有关知识，如空间直角坐标系、曲面方程概念，平面、球面、圆柱 面、旋转抛物面、马鞍面等的方程及其图形等。 （2）了解多元函数的概念，二元函数的定义域、几何意义及极限与连续概念。掌握二元函数的偏导数、全微分的求法，会求简单函数的二阶偏导数。会求复合函数和隐函数的一阶偏导数，如设(,)z f u v =，而(),u x y ?=， (),v x y ψ=求偏导数；设(,)z f u v =，而()u x ?=，()v x ψ=求全导数；由方程 (),0F x y =确定()y y x =，求dy dx ；由方程(),,0F x y z =确定(,)z z x y =，求,z z x y ????等等。 （3）理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。 复习这部分内容要与上学期的求导公式与求导法则联系起来，特别是复合函数的求导法则要十分熟练，经验表明，学好这部分内容“基础是一阶、矛盾是高阶、关键是动手”。 （4）二重积分 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？(完整版)高等数学公式大全
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