北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似 尖子生训练题

第四章图形的相似尖子生训练题

一．选择题

1．下列各组线段能成比例的是（）

A．0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm

B．1cm，2cm，3cm，4cm

C．4cm，6cm，8cm，3cm

D．cm，cm，cm，cm

2．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1

3．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC 等于（）

A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2

4．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（）

A．y＝12x B．C．D．

5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则的值为（）

A．B．C．D．

6．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（）

A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD 7．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE＝3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF＝6m，则AB的长为（）

A．30m B．24m C．18m D．12m

8．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长是（）

A．B．C．D．

9．如图，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列各式正确的是（）

①AD2＝BD?DC；②CD2＝CF?CA；③DE2＝AE?AB；④AE?AB＝AF?AC．

A．①②B．①③C．②④D．③④

10．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③△AEH∽△CEA；④AE?AD＝AH?AF；其中结论正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二．填空题

11．已知△ADE∽△ABC，且相似比为，若DE＝4cm，则BC的长为．

12．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于．

13．在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为．

14．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为．

15．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为8cm2、32cm2、18cm2，则△ABC的面积为cm2．

三．解答题

16．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CF∥AB，P为AD上一点，连结并延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：

（1）△ABP≌△ACP；

（2）BP2＝PE?PF．

17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．

（1）请画出△ABC向右平移3个单位长度后得到的△A

1B

1 C

1

（2）以原点O为位似中心，相似比为2：1，在第四象限内，画出△ABC放大后的△A

2B

2

C

2

．

18．小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教学楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、小颖的头部B及小亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD＝2m，小颖与教学楼之间的距离DN＝38m，（C、D、M在同一直线上），小颖的身高BD＝1.6m，小亮蹲地观测时眼睛到底面的距离AC＝1m．请你根据以上测量数据帮助他们求出教学楼的高度．

19．在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝8，AC＝6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A 为止，速度是每秒2个单位；动点E从点A出发，沿线段AC运动，每秒1个单位，两点同时出发，运动多长时间，△ADE与△ABC相似？

20．在△ADB和△AEC中，AD＝AE，∠DAE＝α，∠AEC＝∠ADB＝90°，BD＝kCE，延长ED 交BC于点F．

（1）如图1，当k＝1时，是否存在与BF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；

若不存在，说明理由．

（2）如图2，当k≠1时，猜想并证明EC，ED，EF的数量关系（用含k，α的式子表示）．

参考答案

一．选择

1．解：A、因为0.2×0.2＝0.1×0.4，所以0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm成比例，所以A 选项正确；

B、因为1×4≠2×4，所以1cm，2cm，3cm，4cm不成比例，所以B选项错误；

C、因为4×6≠8×3，所以4cm，6cm，8cm，3cm不成比例，所以C选项错误；

D、因为×≠×，所以cm，cm，cm，cm不成比例，所以D选项

错误．

故选：A．

2．解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，

∴它们的相似比为1：2，

∴它们的周长之比为1：2．

故选：A．

3．解：∵?ABCD，故AD∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴＝，

∵点E是边AD的中点，

∴AE＝DE＝AD，

∴＝．

故选：D．

4．解：矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠APB，

∵∠B＝∠AED＝90°，

∴△ABP∽△DEA，

∴＝，

∴＝，

故选：B．

5．解：∵AD＝1，DB＝2，

∴AB＝AD+BD＝1+2＝3，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝＝．

故选：B．

6．解：∵△ABC是等边三角形，＝，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠C，

设AD＝x，AC＝3x，

则BC＝3x，CD＝2x，

∵AE＝BE＝x，

∴，，

∴，

∴△AED∽△CBD；

故选：D．

7．解：∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴＝＝，

∴AB＝4EF＝24m，

故选：B．

8．解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

又∵∠APD+∠DPC＝∠B+∠BAP，且∠APD＝60°，∴∠BAP＝∠DPC，

∴△ABP∽△PCD，

∵AB＝BC＝3，BP＝1，

∴PC＝2，

∴＝，

∴CD＝．

故选：C．

9．解：∵△ADB与△CDA不能确定相似，∴不能确定＝，故①错误；

∵∠ACD＝∠DCF，∠ADC＝∠DFC＝90°，∴△ADC∽△DFC，

∴＝，

∴CD2＝CA?CF，故②正确；

∵∠BDE+∠ADE＝∠B+∠BDE＝90°，

∴∠B＝∠ADE，

∵∠BED＝∠DEA＝90°，

∴△BED∽△DEA，

∴＝，

∴DE2＝AE?BE，故③错误；

∵∠EAD＝∠DAB，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△ADE，

∴＝，

∴AD2＝AE?AB，

同理可证AD2＝AF?AC，

∴AE?AB＝AF?AC，故④正确．

故选：C．

10．解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵AB＝AC，

∴AB＝BC＝AC，

即△ABC是等边三角形，

同理：△ADC是等边三角形

∴∠B＝∠EAC＝60°，

在△ABF和△CAE中，

，

∴△ABF≌△CAE（SAS）；

故①正确；

∴∠BAF＝∠ACE，

∵∠AEH＝∠B+∠BCE，

∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°

故②正确；

∵∠BAF＝∠ACE，∠AEC＝∠AEC，

∴△AEH∽△CEA，

故③正确；

在菱形ABCD中，AD＝AB，

∵△AEH∽△CEA，∴△ABF≌△CAE，

∴△AEH∽△AFB，

∴＝，

∴＝，

∴AE?AD＝AH?AF，

故④正确，

故选：D．

二．填空题（共5小题）

11．解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为，DE＝4cm，

∴，

即．

解得，BC＝10，

故答案为：10cm．

12．解：∵DE∥BC，

∴AE：EC＝AD：DB＝3：5，

∴CE：CA＝5：8，

∵EF∥AB，

∴CF：CB＝CE：CA＝5：8．

故答案为5：8．

13．解：过点B作BE⊥OA与点E，过点B′作B′E′⊥OA于点E′，∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，

∴△OAB∽△AB′O′，

∴＝＝，

解得：B′E′＝4，

由题意可得：△OBE∽△O′B′E′，

则＝，

故＝，

解得：O′E′＝，

∴OE′＝，

∴点B′的坐标为：（，4）．

故答案为：（，4）．

14．解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD＝OA，∴AB：DE＝OA：OD＝1：2，

∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．

故答案为：1：4．

15．解：∵DE∥FG∥BC，

∴∠AED＝∠EGF＝∠GCI，

∵GI∥EF∥AB，

∴∠A＝∠FEG＝∠IGC，

∴△ADE∽△EFG∽△GIC∽△ABC，

∵△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为8cm2、32cm2、18cm2，∴AE：EG：GC＝2：4：3，

∴AE：AC＝2：9，

∴S

△ABC ＝?S

△ADE

＝×8＝162．

故答案为：162．

三．解答题（共5小题）

16．解：（1）证明：

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD是△ABC的对称轴．

∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．

在△ABP和△ACP中，，

∴△ABP和≌△ACP，

（2）∵CF∥AB，

∴∠PFC＝∠ABP（两直线平行，内错角相等），

∴∠PCE ＝∠PFC ．

又∵∠CPE ＝∠EPC ，

∴△EPC ∽△CPF ．

∴（相似三角形的对应边成比例）．

∴PC 2＝PE ?PF ．

∵PC ＝BP

∴BP 2＝PE ?PF ．

17．解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；

（2）如图，△A 2B 2C 2为所作．

18．解：过A 作CN 的平行线交BD 于E ，交MN 于F ．

由已知可得FN ＝ED ＝AC ＝1m ，AE ＝CD ＝2m ，EF ＝DN ＝38m ， ∠AEB ＝∠AFM ＝90°．

又∵∠BAE ＝∠MAF ，

∴△ABE ∽△AMF ．

∴＝，即＝，

解得MF ＝12m ．

∴MN ＝MF +FN ＝12+1＝13（m ）．

∴教学楼的高度为13m ．

19．解：∵△ADE与△ABC相似，

∴＝或＝．

设运动的时间是t秒，

则AE＝t，AD＝8﹣2t

∴＝或＝，解得t＝或．∴经过t＝12/5或32/11秒两个三角形相似．20．解：（1）结论：BF＝FC．理由如下，如图1中，作CM⊥EF于M，BN⊥EF于N．

∵AE＝AD，

∴∠AED＝∠ADE，

∵∠ADB＝∠AEC＝90°，

∴∠ADE+∠BDN＝90°，∠CEM+∠AED＝90°，∴∠CEM＝∠BDN，

∵k＝1，BD＝kEC，

∴BD＝EC，

∵BN⊥EF，CM⊥EF，

∴∠N＝∠CME＝90°，NB∥CM，

在△BDN和△CEM中，

，

∴△BDN≌△CEM，

∴BN＝CM，

在△CFM和△BFN中，

，

∴△CFM≌△BFN，

∴BF＝CF．

（2）结论：2EC?cosα+ED＝（k+1）EF．

如图2中，作AH⊥EF于H，CM⊥EF于M，BN⊥EF于N．

由（1）可知∠BDN＝∠MEC，∵∠EMC＝∠BND，

∴△BDN∽△CEM，

∴＝＝k，

∵CM∥BN，

∴＝＝k，

∴MF＝MN，

∵AE＝AD，AH⊥ED，

∴∠HAE＝∠HAD＝α，

∵∠EAH+∠AEH＝90°，∠AEH+∠CEM＝90°，

∴∠BDN＝∠CEM＝α，

∴EM＝EC?cosα，DN＝BD?cosα，

∴EN＝ED+DN＝ED+BD?cosα，

∴MN＝EN﹣EM＝ED+k?EC?cosα﹣EC?cosα，

∴FM＝?（ED+k?EC?cosα﹣EC?cosα），

∴EF＝EM+FM＝EC?cosα+（ED+k?EC?cosα﹣EC?cosα），∴EF＝?EC?cosα+?ED，

∴2kEC?cosα+ED＝（k+1）EF．

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲锐角三角函数(含答案)

第十讲锐角三角函数 趣题引路】 甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同，有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试，比赛路线如图10-1所示，陆地跑道与河岸所成的角为30°,水路泳道与岸所成的角为60°,甲赛跑、游泳 的线路是折线AA扎，乙赛跑、游泳的线路是折线BB’B：,起跑点的连线与线路垂直，终点连线也与线路垂直，开始两人并肩跑，甲先到岸边跳入水中，接着乙再到岸边，在水中两人齐头并进同时到达终点：你知道 他们在陆地上的跑步速度V,与水中游泳的速度比之比是多少吗？ 解析如图，作AiBs丄BB“ AA,垂足分别为凡、B,：因两人在陆地上赛跑的速度相同，故甲跑完AA’与乙跑完BB,所用时间相同。同样，甲游完A此所花时间与乙游完B品所花时间也相同。又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同，所以甲游完AA的时间恰好等于乙跑完Bb的时间， 设这个时间为t,贝I］：心丛=邑色..：冬=色如.……①， 岭v i 叫A A 在冲，COS60—篇……③. 知识延伸】 “锐角三角函数”中我们学列了锐角的正弦、余弦、正切，余切以及一些特殊角的三角函数值的有关讣算.在解与锐角三角函数有关的问题时，还要充分利用其余角或同角函数关系。我们知道，在RtAABC 中，sin A=cos (90° -A), cos A=sin (90° -A), tan A=cot (90° -A), cot A=tan (90： -A) ?这是互余两角的三角函数关系. 同时，同角三角函数间也存在着一些特殊的关系。如图10-2在RtAABC中, 在中cos30。=处,二B、B\

另外，锐角三角函数还有两个非常重要的性质：1?单调性?当◎为锐角时，sina 与sna 的值随a 的 增大而增大，cos a 与cot a 的值随◎增大而减小：2 ?有界性，当OW a W90 °时，OWsinaWl, OWcosa Wl ? 例 1 在 RtAABC 中，ZC=90° ,若 sinA=tanB.求 cosA 的值 解析在RtAABC 中， ?.? ZA+ZB 二90" ? /. tanB=cotA. ?/ sinA=tanB,.?? sinA=cotA ? ?/ 0 < A < 90°,.?.0 < cos A,故 cos A = 点评：本例也可以将sinA, tanB 用线段的比表示,如结合RtAABC, WsinA = - c lanB = -,再设法求纟，即得到cosA 的值 a c 例2已知关于x 的方程4x c -2 (m+1) x+m=0的两根正好是某直角三角形两个锐角的正弦，求m 的值。 解析依题意，可设方程4宀2 (m+1) x+m=0的两根为sin A 、sinB,其中ZA+ZB 二90° ,由根与系 数关系，得：sinA+sinB 二"‘一 [,sinA ? sinB= —? 2 4 由ZA+ZB 二90° ,知 sinB=sin (90° -A) =cosA. 将①.②代入③，W(—)2-2 - = 1解得："=点阻=-点 2 4 ■ v0 /. 0 0

北师大版图形的相似单元测试卷

第四章图形的相似测试卷 姓名：___________ 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（2018秋?新都区期末）已知＝，则的值为（） A．B．C．D． 2．（2018秋?怀化期末）如图，平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，连结AE交CD于F，则图中相似的三角形共有（） A．1对B．2对C．3对D．4对 3．（2018秋?增城区期末）如图，已知∠ADE＝∠C，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（） A．20B．3.2C．4D．5 4．（2018秋?南浔区期末）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝2，则BC的长是（） A．3B．4C．5D．6 5．（2018秋?海州区校级期末）已知线段a＝2cm，b＝8cm，它们的比例中项c是（）A．16cm B．4cm C．±4cm D．±16cm 6．（2018秋?永寿县期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，则下列条件中不能判断△ABC∽△ACD的是（）

A．∠ABC＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD?AB 7．（2018秋?海口期末）如图，l1∥l2∥l3，若AB＝BC，DF＝15，则DE等于（） A．5B．6C．7D．9 8．（2018秋?怀化期末）已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（） A．18平方厘米B．8平方厘米 C．27平方厘米D．平方厘米 9．（2018秋?普兰店区期末）如图，△ABC中，点D是AB边的中点，且DE∥BC，若△ADE的面积是2，则△ABC 的面积是（） A．4B．6C．8D．10 10．（2018秋?永新县期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝6，AD＝3，AC＝4，∠DAC＝∠B，则BD长为（） A．4B．6C．8D．9 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（2018秋?遂川县期末）已知（a≠0，b≠0），则＝． 12．（2018秋?宣城期末）如果若＝2，且b+d+f＝5，则a+c+e＝． 13．（2018秋?南浔区期末）b和2的比例中项是4，则b＝．

数学尖子生的培优策略

数学尖子生的培优策略 无论在任何时代都需要出类拔萃的人才，没有这样的人才就谈不到文化科学的进步。这是时代的需要，更是国家建设的需要。当前社会正是知识、经济突飞猛进的年代，各行各业都呼唤着杰出的人才的出现。富有数学天赋的优等生并不能自发地出现。不管他们有多聪明、多好学，都不可能无师自通。他们需要培养，需要接受有针对性的指导和进行严格的训练。而教师也同样不能忽视在普遍提高的基础上去发现和培养数学尖子生的任务。作为一名为国家输送优秀栋梁的人民教师，对于优秀学生的重点培养有着义不容辞的责任。 培养数学尖子生，首先要善于发现和选择好的苗子。尖子生的苗子应该具备基础扎实，思想活跃，思维敏捷，学习上优较大的潜力和较强的分析问题和解决问题的能力，并且具有浓厚的数学兴趣和勇于创新的精神。主要从以下几个方面来考察： 1、注意学生各学科学习水平的全面、均衡发展。作为尖子生的苗子，既要有扎实的数理化实力，又要有良好的文科基础，从而具备较强的理解能力、表达能力和归纳总结能力。这正是尖子生成材必不可缺的前提。 2、重视学生的智力水平。有些学生学习勤奋，善于模仿，心细有耐性。他们在常规的考试中往往成绩优秀，但仅仅局限于书本，学习上缺乏潜力，这类学生不适合作为尖子生的苗子。另一些学生具有较强的思维能力，喜欢钻研，喜欢看课外书，喜欢超前自学，喜欢别

出心裁，但比较粗心大意。其数学成绩不大稳定。这类学生学习潜力很大，只要引导得法，就是好苗子。 3、了解学生的非智力因素。数学尖子的好苗子往往都有强烈的学习欲望，有良好的自信和毅力，有独特的学习方法和科学的学习习惯。而这些非智力方面的因素恰恰能起到强化学习深度和提高学习效率的作用。 准确选拔数学尖子的苗子是很重要的，但这仅仅是第一步，更重要的还在于如何培养数学尖子生。这里必须解决好一个普及与提高的关系，解决好尖子与一般的矛盾。不解决好这些问题，就必然会顾此失彼。如何处理好这些问题，使数学尖子生得以充分发展，知识、技能水平更上一层楼呢？要结合这些尖子生的具体特点，采取有力的相应措施： 1、严格要求，打下坚实的基础。严师出高徒。培养数学尖子生，首先要严格要求，使学生打下坚实的基础。有了坚实的基础，才能深入钻研，进一步培养能力，发展智力。有些尖子生因为有了一些成绩就产生骄傲自满的情绪，在学习上好高骛远，不愿意扎扎实实打好基础，这是十分致命的弱点。对尖子生要肯定成绩，树立信心。但不能过分表扬，更要指出缺点，因势利导，稳扎稳打。学习数学必须加强练习巩固。特别是要勤动脑，多动手。 2、精选内容，注重培养思考钻研能力，提高自学能力。根据数学尖子生的学习水平，整理编选一些较有质量的学习内容，提供一些必要的课外学习资料，帮他们制定一定的学习计划。在学习方法上给

北师大版数学九年级上册图形的相似综合复习题

图形的相似综合复习题 一、选择题(每小题6分，共24分) 1．(重庆)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题： ①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( B ) A．4个B．3个C．2个D．1个 3．(宁波)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC 与△DCA的面积比为( C ) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D.2∶ 3 解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD， BC AC ＝ AC AD ＝ AB DC ，AB＝2，DC＝3，∴ BC AC ＝ AC AD ＝ AB DC ＝ 2 3 ，∴ BC AC ＝ 2 3 ，∴cos∠ACB＝ BC AC ＝ 2 3 ，cos∠DAC＝ AC DA ＝ 2 3 ，∴ BC AC · AC DA ＝ 2 3 × 2 3 ＝ 4 9 ，∴ BC DA ＝ 4 9 ，∵△ABC与△DCA的面积比＝ BC DA ，∴△ABC与△DCA的面积比＝ 4 9 ，故选：C 4．孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为 1 2 ，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是( D ) A．(－2，1) B．(－8，4) C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1) 解析：如图 二、填空题(每小题6分，共24分) 5．(邵阳)如图，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：__△ABP∽△AED(答案不唯一)__．

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲数学建模(含答案)

趣题引路】 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元。因为在生产过程中，平均每生产 一件产品有0.5m ）污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1：工厂污水先净化 处理后再排出：每处理Inf 污水所有原材料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工 厂将污水排到污水厂统一处理，每处理lnr ：污水需付14元排污费. 问题：（1）设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 元，分别求岀依方案1和方案2处理污水时y 与x 的函数关系式：（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前 提下，应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明. 解析（1）设选用方案1，每月利润为屮，元，选用方案2,每月利润为户，元，贝叽 yi=（5O-25） X -2X 0.5A -30000=24.1-30000,），2=（50~25） A -14x0.5.x-1 8A . 故 yj=24A —30000, >'2= 18x ： （2）当 *6000 时，yi=24x6000-30000= 114000 （元），力=1 8A -= 18x6000= 108000 （元） 答：我若作为厂长，应选方案1. 点评本例是生产经营决策问题，英难点在于建立相应的数学模型，构建函数关系式，然后，通过问题 中所给的条件判断，若不能判断，就要进行分类讨论. 知识延伸】 例 某工厂有14m 长的旧墙一面，现在准备利用这而旧墙，建造平面图形为矩形，而积为126m?的厂 房，工程条件为：①建lm 新墙的费用为“元：②修lm 旧墙的费用为￡元；③拆去Im 旧墙，用所得材料 4 建适lm 新墙的费用为￡元，经过讨论有两种方案：（I ）利用旧墙的一段兀m （A <14）为矩形厂房一面的边 2 长：（1【）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x （x>14）.问：如何利用旧墙，即x 为多少米时，建墙费用最省？ （I ）（II ）两种方案哪个更好？ 解析 设利用旧墙的一面矩形边长为xm,则矩形的另一边长为竺m ? x （I ）利用旧墙的一段xm （x<14）为矩形一而边长，则修旧墙费用为元.将剩余的旧墙拆得材料建新 4 墙的费用为（14小￡号元，其余建新墙的费用为（"+艺竺"4）?“元. 2 x 故总费用为 y = 巴 + —_ + （2x + 兰？ — 14 \^a = 7a\ 丄 4- —— 1）?（0

三角函数的应用-方向角问题-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.5三角函数的应用-方向角问题 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020?深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（） A．200tan70°米B．200 tan70° 米 C．200sin 70°米D．200 sin70° 米 2．（2020?济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C 在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里 3．（2019?济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历 下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈3 4，tan53°≈ 4 3）

A．225m B．275m C．300m D．315m 4．（2020?岱岳区一模）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（） A．1小时B．√3小时C．2小时D．2√3小时 5．（2020?开平区一模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（） A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10° 6．（2019?泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第八讲 二次函数综合问题(含答案)

第八讲 二次函数综合问题 趣题引路】 今有网球从斜坡O 点处抛去，网球的抛物路线方程是2 142y x x ，斜坡的方程是1 2 y x ，其中y 是垂直高度（m ），x 是与O 点的水平距离（m ），如图8-1. （1）网球落地时撞击斜坡的落点为A ，写出A 点的垂直高度，以及A 点与O 点的水平距离： （2）在图象中，求标志网球所能达到的最高点B 的坐标，并求0B 与水平线Ox 之间夹角的正切. 解析：（1）由方程组 214212 y x x y x 解得A 点坐标为（7，3.5），即可求得A 点的垂直高度为3.5m ，A 点与O 点水平距离为7m. （2）由2 211 44822 y x x x 知，最高点B 的坐标为（4，8），且8tan 24 （记 α=∠BOx ）. 点评：本题是香港考题，在日常情境中，本题运用了许多数学知识，如方程组，一元二次方程，二次函数的画图及求二次函数的极值. 知识延伸】 例1 设a 、b 、c 、d 是任意实数，且满足2 222 24a b c a b c d ，求证：不等式 d ca bc ab 3≥++. 证明：将已知不等式化简整理，得 2 22 2240c a b c a b ab d ，① 设2 22 224y f x x a b x a b ab d ，则①式表明()0≤c f ，故抛物线（开口向上） 与x 轴有交点，则 2 22 44240a b a b ab d ， 即2 22 240a b a b ab d 化简，得ab≥d ，② 由于此题关于a 、b 、c 是对称的，故用同样的方法可证得bc d ，③ d ca ≥，④ ②、③、④相加得证.

北师大版九年级数学上-图形的相似单元

图形的相似单元训练 一．选择题（共14小题） 1．（2016?兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（） A．2a=3b B．3a=2b C．D． 2．（2016?崇明县一模）已知=，那么的值为（） A．B．C．D． 3．（2016?泰州二模）已知，则的值是（） A．B．C．D． 4．（2016?临沂模拟）若=，则=（） A．1 B．C．D． 5．（2016?萧山区二模）已知2x+4y=0，且x≠0，则y与x的比是（） A．﹣ B．C．﹣2 D．2 6．（2016?兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（） A．B．C．D． 7．（2016?杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n 交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（） A．B．C．D．1 8．（2016?西山区二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（）A．8 B．10 C．11 D．12 9．（2016?潮州校级模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）

A．=B．=C．=D．= 10．（2016?罗定市一模）下列图形一定是相似图形的是（） A．两个矩形B．两个正方形 C．两个直角三角形D．两个等腰三角形 11．（2016?安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（） A．4 B．4C．6 D．4 12．（2016?承德模拟）在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（） A．15m B．m C．60 m D．24m 13．（2016?临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2 14．（2016?重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 二．填空题（共12小题） 15．（2016?邯郸校级自主招生）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是______． 16．（2016?浦东新区一模）已知，那么=______． 17．（2016?杨浦区一模）如果，那么=______． 18．若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的相似比等于______．19．（2016?丹东模拟）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， 图中与△ADC相似的三角形为___ ___（填一个即可）． 20．（2016?抚顺模拟）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=______． 21．（2016?潮州校级模拟）如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD=5m，AD=15m，ED=3m，则A、B两点间的距离为______m．

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第三讲韦达定理及其应用(含答案)

第三讲韦达定理及其应用 趣题引路】 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣：常利用业余时间钻研数学.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代生之父”历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提岀了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得岀一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）?消息传开，数学界为之震惊.同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达左理，你能利用韦达泄理解决下而的问题吗？已知：①0+2“一1=0,②夕一2沪一1=0日1 一c/HO.求（严a 的值。 解析由①知1 + 2丄一丄=0? a cr 即（丄尸+2丄一1 = 0,③a a 由②知（护）2一2沪一1=0,④ 由韦达泄理，得丄+ Z/=2丄，=一1 , a a ...严=［（* +町+ 乡「（2-1 严 62为一元二次方程2 -21-1 =0的两根。 点评本题的关键是构造一元二次方程X2-2A-1=0,利用韦达立理求解，难点是将①变形成③，易错点是忽视条件1 一ab2 #0,而把“，一夕看作方程/+加一1 =0的两根来求解. 知识延伸】 例1已知关于x的二次方程2x2+av-2z/+l= 0的两个实根的平方和为7丄，求“的值. 4 解析设方程的两实根为小，也，根据韦达泄理，有 一2“ +1 于是，Xj24-A22=（X14-X2）2-2.￥I%2

【配套K12】北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知 识点归纳 第四章图形的相似 一、成比例线段 定义： 线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、cD 的长度分别是,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：cD=:n,或者写成AB/cD=/n. 成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 定理：如果a/b=c/d==/n, 那么/=a/b 二、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。 三、相似多边形 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 四、探索三角形相似的条

两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。 概念：一般地，点c把线段AB分成两条线段Ac和Bc，如果Ac/AB=Bc/Ac，那么称线段AB被点c黄金分割，点c叫做线段AB的黄金分割点，Ac与AB的比叫做黄金比。 五、相似三角形判定定理的证明 六、利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 利用标杆 利用镜子的反射 七、相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 八、图形的位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点o，且有oP1=*oP,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点o叫做位似中心。实际上，就是这两个相似多边形的相似比。

专题2.1二次函数-2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典(原卷版)【人教版】

2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】 专题2.1二次函数人教版 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2019春?西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（） ①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1 x2 ?3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y ＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2019秋?鄂城区期中）下列函数关系中，是二次函数的是（） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 3．（2019秋?田家庵区校级月考）若y＝（m+1）x m2?m是二次函数，则m的值为（）A．2B．﹣1C．﹣1或2D．以上都不对 4．（2019秋?兴化市期末）当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠1 5．（2019秋?涟源市期末）若函数y＝（3﹣m）x m2?7?x+1是二次函数，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．9 6．（2019秋?昌平区校级期末）下列函数属于二次函数的是（） A．y＝x?1 x B．y＝（x﹣3） 2﹣x2 C．y=1 x2 ?x D．y＝2（x+1）2﹣1 7．（2019秋?香坊区校级期中）下列函数解析式中，是二次函数解析式的为（） A．y＝1﹣3x2B．y＝3x+2C．y＝2x D．y=1 x 8．（2019秋?昌平区校级期末）若y＝（m+1）x m2?6m?5是二次函数，则m＝（）

九年级数学上册 第四章 图形的相似知识点归纳 (新版)北师大版.doc

第四章 图形的相似 1 成比例线段 2 平行线分线段成比例 3 相似多边形 4 探索三角形相似的条件 *5 相似三角形判定定理的证明 6 利用相似三角形测高 7 相似三角形的性质 8 图形的位似 一. 成比例线段 ※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线 段的比AB:CD=m:n ,或写成n m B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即 d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段. ※3. 注意点: ①a:b=k,说明a 是b 的k 倍; ②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则 d c b a = ※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.02 15:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 二．平行线分线段成比例 ※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例. 如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EF BC DE AB =. 三. 相似多边形 ¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似 多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平 方. 四. 探索三角形相似的条件 _ 图1 _ B _ C _ A _ 图2 _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l _3 _ l _2 _ l _1

初三数学培优试题(含答案)

初三数学培优试题一 学校： 班级： 姓名： 分数： 一．选择题 1、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③() 1 0y x x =-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（ ） A ．（0，4） B ．（1，1） C ．（1，2） D ．（2，1） x y –1–2–3–41 2 34 1 234 567B C A A' C 'B' O 3、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656， 则满足条件的x 的不同值最多有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个

4、已知关于x 的不等式组1 2 x a x a ->-?? -或2a <- （B ）25a -≤≤ （C ）25a -<< （D ）5a ≥或 2a ≤- 5、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。 若O 的半径长为，则AP BP +的最小值为（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ） 6．（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE=．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． B A

九年级数学培优补弱工作方案

九年级数学培优补弱工作方案 一、严格要求，打下坚实的基础 1、严师出高徒，培养数学尖子生，首先要严格要求，使学生打下坚实的基础。有了坚实的基础，才能深入钻研，进一步培养能力，发展智力。 2、有些尖子生因为有了一些成绩就产生骄傲自满的情绪，在学习上好高骛远，不愿意扎扎实实打好基础，这是十分致命的弱点。对尖子生要肯定成绩，树立信心。但不能过分表扬，更要指出缺点，因势利导，稳扎稳打。 学习数学必须加强练习巩固。特别是要勤动脑，多动手。 二、精选内容，注重培养思考钻研能力，提高自学能力 1、根据数学尖子生的学习水平，整理编选一些较有质量的学习内容，提供一些必要的课外学习资料，帮他们制定一定的学习计划。 2、在学习方法上给予必要地指导，特别是引导他们在自学中学会比较、归纳、总结，做好笔记，做好知识积累与解题方法积累。 3、看题不要就题论题，要归纳综合，做到举一反三，触类旁通。 4、要逐步放手让他们摸索前进，不要包办代劳，遇到疑难，只指出关键，画龙点睛，多让学生发表己见，培养独创精神，鼓励求异思维。 三、加强数学思想方法的渗透 数学思想方法是学生获取数学知识、发展思维能力的动力工具。在培训数学尖子生解决问题的过程中，把握好渗透数学思想方法的良好契机，有意识、有目的地结合数学知识和数学问题，恰到好处地提出问题背景，提供数学思想素材，反复运用数学思想方法，溶入于思维活动中，不断在“问题解决”中得到深化，从而进一步提高数学尖子生的数学素质。 四、积极开展课外兴趣活动 1、坚持开展课外活动，把开展课外活动纳入自己的教学工作计划中来。 2、可以每天出一道难度大、综合性强的数学问题贴在墙上或抄在黑板上。 3、对学生所学知识进行加深和拓广。

2018中考复习北师大版数学——图形的相似(经典题-超全)

图形的相似 知识点1比例的性质、单选题 5 3 1.已知———,那么的值是 X2 1015 3 A . 3 B ? C ?D? 2.已知3x=4y(xy乞0则下列比例式成立的是（） A. j 4 C . = J D? y 3 ，则下列各式不成立的是（） 2 耳4 2x y 6?若=，贝U 的值为( x y 1 2 A ?B? 7.已知2x=3y （xy工），则下列各式中错误的是（） A x^-v A.卞=A M T C B .〒=三J 」广叱卩] a5 a-b 8?已知工=_n, 则的值是（） a+b ■n94 A?卞 B .巧 C ?可D?号 a3a+b? 9.若—则的值为（) b5b 3 ? 不为0的四个实数a、b , c、d 满足励■=?：＜/，改写成比例式错误的是 （ a d c b d b a c A B ? C ? D ?—-z c b a d a c b d 1■十片7X 4 ? 如果，那么的值是（)? ) 5?若 y X

10. 已知x ： y=3: 2，则下列各式中不正确的是（ ） 、解答题 11. 已知 a ： b : c=2： 3 : 4,且 2a+3b -2c=10，求 a -2b+3c 的值. 12. 已知 == ,且 x+y -z=6,求 x 、y 、z 的值. —r a b 5a-2b 的值. 13. 已知 =口 0求代数式 a 2b 已知 x 2y 14. = ,且 x -y= 2,求 y 的值. 2 a b c ,求a 、b 、c 的值 15. 已知 a+b+c= 60,且一 —— 一 3 4 5 16.已知 a 3，求下列算式的值. b 2 17.已知 — b ，求代数式 5a _ 2b 的值. 2 3 a 2b x y z 18. 已知 2 3 4 亠x 2y … （1） 求 的值； z （2） 如果 \ x 3 y z ，求x 的值. b c — —, 求a 、b 、c 的值. 4 5 专= =身，x - y+z=6,求：代数式3x - 2y+z 的值. 三、填空题 8-5 A 5 一 2 一一 1-n 士 - ￥ ■ 19.已知 a+b+c=60，且 20.已知: 35 C 3-1 D

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第八讲二次函数综合问题(含答案)

第八讲二次函数综合问丿 趣题引路】 今有网球从斜坡0点处抛去，网球的抛物路线方程是y = 4x—丄疋，斜坡的方程是〉，=丄X,英中）， 2 2 是垂直髙度（m） , x是与0点的水平距离（m）,如图8-1. （1）网球落地时撞击斜坡的落点为A,写岀A点的垂直高度，以及A点与0点的水平距离： （2）在图象中，求标志网球所能达到的最髙点B的坐标，并求0B与水平线Ox之间夹角的正切. 解析：（1）由方程组] v = -x 解得A点坐标为（7, 3.5）,即可求得A点的垂直髙度为3.5m, A点与O点水平距离为加. （2）由y = 4x--x2 =-- x-4'4-8 知，最高点B 的坐标为（4, 8）,且tan a. = - = 2 （记2 2 4 ZBOx = a）. 点评：本题是香港考题，在日常情境中，本题运用了许多数学知识，如方程组，一元二次方程，二次函数的画图及求二次函数的极值. 知识延伸】 例1 设“、b、c、d是任意实数，且满足a + b + c2>2 a2+b2+c2 +4",求证：不等式 ab+bc + ca 23d. 证明：将已知不等式化简整理，得 c2—2 a-\-b c-\- a2 -{-b2—2ab 4-4jj <0 ,① 设y = / x =X2-2d+” A-+ a2 +b2 -2db+4〃，则①式表明/（c）兰0,故抛物线（开口向上） 与x轴有交点，则 △ = 4 a + b $ — 4 / +b‘ — 2ab + 4d >0 , 即“ +>0 化简，得abed,② 由于此题关于“、b、c是对称的，故用同样的方法可证得bc>d ,③ ca,④ ②、③、④相加得证. () 点评：此题的关键和难点是利用题设中已有的不等式构造二次函数，利用二次函数的有关性质和结论证明不等式是常用的方法?例2已知抛物线y = —”+2x + 8与x轴交于B、C两点，点D平分BC ?若在兀轴上方的人点为抛物线上的动点，且^BAC为锐角，求AD的取值范用. 2

(完整版)新北师大版初三数学图形的相似题型总结,推荐文档

初三数学图形的相似题型总结 【教学目标】 比例基本性质；平行线分线段成比例；相似三角形的性质与判定；图形的位似 【回顾知识点】 1、比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质 2、黄金分割点 3、平行线分线段成比例 4、相似三角形的性质与判定 5、图形的位似 6、特殊锐角的三角函数值 7、解直角三角形 8、解直角三角形的应用 【例题讲解】 题型一：比例性质的考查 A．a=2cm，b=3cm B．a=2k，b=3k（k≠0） 2 C．3a=2b D．a=b 3 A．2B．-1C．2或-1D．不存在题型二：黄金分割的考查 例2、已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC=1cm，则线段AB的长为 _________________.

题型三：平行线分线段成比例的考查 例3、（1）如图，在△ABC 中，DE ‖BC ，，DE=4，则BC 的长是（ ）12AD DB A 、8 B 、10 C 、11 D 、12（2）如图，已知在△ABC 中，点D 、 E 、 F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点， DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ） A ．5：8 B ．3：8 C ．3：5 D ．2：5 例3（2）图 例4（1）图 例4（2）图 题型四：相似三角形性质的考查例4、（1）如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ） A 、1:3 B 、2：3 C D 23 （2）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，若△ABC 的面积为48cm 2，则△DMN 的面积为_______ cm 2. （3）如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=6cm ，DB=3cm ，BC=9.9cm ，∠A=70度，∠B=50度，1）求∠ADE 的大小；2）求∠AED 的大小；3）求DE 的长。

新北师大版图形的相似(三)

初三数学 图形的相似（三） 典例学习 例1 如图,把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置,它们重叠部分（即图中阴影部 分）的面积是△ABC 面积的一半,若BC=3,则△ABC 移动的距离是__________。 例2 某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园。小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力。他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量。方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D 点沿DM 方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG 的影长FH=2.5米，FG=1.65米。如图，已知AB ⊥BM ，ED ⊥BM ，GF ⊥BM ，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB 的长度。 例3 已知,如图所示的一张三角形纸片ABC,边AB 的长为20cm,AB 边上的高为25cm,在三角形纸片 ABC 中从下往上依次裁剪去宽为4cm 的矩形纸条,若剪得的其中一张纸条是正方形,那么这张正 方形纸条是( ) A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 例4 宽与长的比是2 15 (约0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的 美感。我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分别取AD 、BC 的中点E. F,连接EF:以点F 为圆心, 以FD 为半径画弧,交BC 的延长线于点G;作GH ⊥AD,交AD 的延长线于 点H,则图中下列矩形是黄金矩形的是( ) A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH

初三数学尖子生培优练习题—圆

尖子生培优练习题—圆 一、选择题: 1、如图，以O为圆心的圆与直线y＝－x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（） A.π B.π C. π D.π 2、如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（） A.40° B.60° C.70° D.80° 3、如图，以AB为直径的半圆绕A点，逆时针旋转60o，点B旋转到点B’的位置，已知AB=6，则图中阴影部分的面积为（） A.6 B.5 C.4 D.3 4、如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（） A.55° B.60° C.65° D.70° 5、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°.则∠ABD的度数是（） A.30° B.25° C.20° D.15° 6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点 D.则图中阴影部分的面积为（）

A.1﹣π B.﹣ C.2﹣ D.2﹣π 7、如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（） A.22 B.24 C.10 D.12 二、填空题: 8、如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC=35°，则∠D= . 9、如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是. 10、如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心作⊙O，点A、C分别是⊙O 与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，点B、D在⊙O上，那么∠ADC的度数是 . 11、如图，在正六边形ABCDEF中，连接AD，AE，则∠DAE= 度. 12、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为________. 13、在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点O为圆心，2为半径画弧交图中网格线与点A，B，则弧AB的长是________. 四、解答题： 14、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E是AD延长线上一点，且AC=BC，求证：DC平分∠BDE。