2010年高考北京理科数学预测卷 -人教新课标

2010年高考（数学理）解密预测试卷及答案7

数学（理）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合{|lg },{|lg },M x y x N y y x ====集合 则有（ ） A ．M=N B ．Φ=)(N C M R

Φ=)(M C N R D ．M N ?

2． 复数i

i z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

第三象限 D ．第四象限

3．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<（ ） A ．0．025

B ．0．050

0．950

D ．0．975

4、设函数f(x)＝x ＋ln(x ＋21x +)，则对于任意实数a 和b ，a ＋b ＜0是f(a)＋f(b)＜0的（ ）条件

A ．必要不充分

B ．充分不必要

充要

D ．既不充分也不必要

5． 已知函数sin()y A x m ω?=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2

π

，直线3

x π

=

是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）

A ． 4sin(4)6y x π

=+ B ． 2sin(2)23

y x π

=++

2sin(4)23y x π

=+

+ D ． 2sin(4)26

y x π

=++

x

1)

a

<<的图象的大致形状是( )

7.

将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个 位置（含这个位置）开始向左数，黑球的个数总是不小于白球的个数，就称这种排列

为“有效排列”。则出现“有效排列”的概率为 （ ）

A.

21 B.41 51 D.10

1

8． 椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，l 为

左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ，若四边形12PQF F 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A ．1(0,)2

B ．(0,

2 1

(,1)2

D ．(,1)2 9. 对任意的实数a 、b ，记{}()

max ,()

a a

b a b b a b ≥?=?

奇函数y =f (x )在x =l 时有极小值-2，y =g (x )是正比例函数，函数()(0)y f x x =≥与函数y=g (x)的图象如图所示．则下列关于函数()y F x =的说法中，

正确的是( )

A ．()y F x =为奇函数

B ．()y F x =有极大值F （1）且有极小值F （-1）()y F x =

的最小值为-2且最大值为2

D ．()y F x =在（-3，0）上不是单调函数10．已知函数()32f x x x =-∈R ，．规定：给定一个实数0x ，赋值10()x f x =，若1244x ≤，则继续赋值21()x f x =，…，以此类推，若1n x -≤244，则1()n n x f x -=，否则停止赋值，如果得到n x 称为赋值了n 次*()n ∈N ．已知赋值k 次后该过程停止，则0x 的取值范围是（ ）

A ．65(33]k k --，

B ．56(3131]k k --++，

65

(3131]k k --++，

D ．45(3131]k k --++，

11．在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，∠BAC ＝

2

π

，AB ＝AC ＝AA 1＝1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为（ ）

A ．[

5

1, 1) B ．[

5

1, 2) [1, 2) D ．[

5

1,2)

12、已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ∈N*)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n ―n―6|＜

125

1

的最小整数n 是（ ）

A ．5

B ．6 7 D ．8

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上） 13．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现 采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则=n ．

14．若(1)1

lim 22

n a n n →∞++=+，则2132lim

x ax x x a →-+=- . 15、在△ABC 中, AB ＝3, AC ＝5, 若O 为△ABC 的外心, 则AO ·

BC 的值为 . 16. 给出下列命题：

①．函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称.

②．在R 上连续的函数()f x 若是增函数，则对任意0x R ∈均有0)(0'

>x f 成立. ③．已知函数2sin()(0,0),2y x y ωθωθπ=+><<=为偶函数其图象与直线的交点的横坐标为1212,.||,2,x x x x πωθ-若的最小值为则的值为的值为

2

π

. ④．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

⑤．若P 为双曲线2

2

19

y x -=上一点，1F 、2F 分别为双曲线的左右焦点，且24PF =，

则12PF =或6.

其中正确的命题是 （把所有正确的命题的选项都填上）

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

17（本小题满分10分）已知锐角5

1

)sin(,53)sin(,=-=+?B A B A ABC . （1）求证：B A tan 2tan =；

（2）设3=AB ，求AB 边上的高CD 的长.

18． （本小题满分12分） 四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子中，从中任意摸出两个小球，它们的标号分别为x 、y ，记x y ξ=+.

（1）求随机变量ξ的分布列及数学期望；

（2）设“函数2

()1f x x x ξ=--在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率.

19. （本小题满分12分）正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A —DC —B ，如图（二），在图形（二）中：

（1）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）求二面角E-DF-C 的余弦值；

（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论。

20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足

.0*),,2(12,4

1111≠∈≥?-=+=

--n n n n n n a N n n a a a a a ）（ （1）求证：数列?

?????-+n n

a )1(1是等比数列，并求}{n a 的通项公式;

（2）设2

)12(sin π-?=n a b n n ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：对任意的*N n ∈ 有

3

2<

n T 成立.

21．（本小题满分12分）

如图，椭圆长轴端点为B A ,,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦

点,且1=?FB AF 1=.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于Q P ,点问：

是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ?的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由.

22．(本小题满分12分)已知函数()()()2,0,ln f x ax x a R a g x x =-∈≠=． （Ⅰ）当1a =时，判断函数()()f x g x -在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点,M N ，求a 的取值范围； （Ⅲ）设点112212(,), (,)()A x y B x y x x <是函数()y g x =图象上的两点，平行于AB 的

切线以00(,)P x y 为切点，求证：102x x x <<．

参考答案

一、选择题

BBCCD DBCDB AC 二、填空题

13．20 14．1- 15. 8 16、①③ 三、解答题：

17、解：（1）由5

1)sin(,5

3)sin(=-=+B A B A 展开可整理得：

.tan 2tan sin cos 2cos sin 51cos 5

2cos sin B A B A B A ASinB B A =∴=∴???

???

?=

= (2) 5

3

)sin(,2=+<+

6

23

tan tan 62tan 2tan )(2

61tan 261tan 0

1tan 4tan 2,tan 2tan 4

3

tan tan 1tan tan ,43)tan(22+

=∴=+=+=∴+==∴-=+=∴=--∴=-=-+-

=+CD B

CD

A CD BD AD A

B B A B B B B B A B A B A B A 舍或又即

18 【解析】（1）随即变量ξ的取值为2、3、4. ∴()126P ξ==

； ∴42(3)63P ξ===； ∴()1

46

P ξ==. ∴ξ的分布列为

ξ

2 3 4

P

61

32 6

1 ∴E ξ=2×61+3×32+4×6

1

=3

（2）∵函数2

()1f x x x ξ=--在区间（2，3）上有且只有一个零点，?

??0)3(0

)2('

' f f 即???>--<--0

1390124ξξ 得38

23 ξ，∴2ξ=.

∴()()126P A P ξ===

， 所以事件A 发生的概率为16

. 19解：（1）在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 边的中点得，EF ∥AB ， 又AB ?平面DEF ，EF ?平面DEF 。 ∴AB ∥平面DEF 。

（2）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，0，2），B （2，0，0），C （0

，0），E

（），F

（）。

平面CDF 的法向量为(0,0,2).DA =

设平面EDF 的法向量为0

(,,),0.

DF n n x y z DE n ??=?=??=??

则

即0,

0.

x z ?+=?+=

取(3,n = cos ,,||DA n DA n DA n

?<>=?

所以，二面角E-DF-C 的余弦值为21

7

（3）在平面坐标系xDy 中，直线BC

的方程为2 3.y =+

设(,0),(,2),P x AP x =-

则所以

AP ⊥4

10.33

DE AP DE x BP BC ??=?=?=

所以，在线段BC 上存在点P ，使得AP ⊥DE 。

20、（1）由1112--?-=

+n n n

n n a a a a ）（得 ),2(2)1(11*-∈≥--=N n n a a n n n ∴])1(1

[)2()1(111---+?-=-+n n n n a

a 又∵

3)1(11=-+a ∴数列])1(1

[n n

a -+是首项为3，公比为-2的等比数列， 从而

1)2(3)1(1--=-+n n n

a 即n

n n a )1()2(31

1---=- （2）∵1

)1(2)12(sin --=-n n π∴1

231)1()2(3)1(1

11+?=---?-=---n n n n n b 1

231

12311311

+?+???++?++=

-n n T 则 32)211(322

1121131)2

12121211(312312312312313132132<

-?=-

-?=+???++++=?+???+?+?+?+<

-n n n n 21． 解：（1）设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>

由题意1c = 又∵1=?FB AF 即

22()()1a c a c a c +?-==-

∴2

2a = 故椭圆方程为2

212

x y += （2）假设存在直线l 交椭圆于Q P ,两点，且F 恰为PQM ?的垂心，则 设1122(,),(,)P x y Q x y ，∵(0,1),(1,0)M F ，故 1=PQ k 于是设直线l 为

y x m =+，由22

22

y x m

x y =+??+=?得 2234220x mx m ++-= ∵12210(1)(1)MP FQ x x y y ?==-+-

又(1,2)i i y x m i =+=

得1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-= 即

212122()(1)0x x x x m m m ++-+-= 由韦达定理得

222242(1)033

m m m m m -?--+-=

解得43m

=-或1m =（舍） 经检验4

3

m =-符合条件

则直线l 的方程为:3

4

-

=x y 22解：（Ⅰ）记2()()()ln F x f x g x ax x x =-=--，则()F x 的定义域为()0,+∞． 当1a =时，因1(1)(21)()21(0)x x F x x x x x

-+'=--

=>， 所以)()()(x g x f x F -=在(0,1)上单调递减，在),1[+∞上单调递增． （Ⅱ）由()()2

2

ln ln x x

f x

g x ax x x a x

+=?-=?=

． 令()()()2

243

112ln ln 12ln 'x x x x x x x x x r x r x x x x

??+-+ ?+--??=?==． 当01x <<时，()'0r x >，则()r x 单调递增，且()1

1

2

10e r e e ----+=<；

当1x >时，()'0r x <，则()r x 单调递减，且2

ln 0x x

x

+>． 所以()r x 在1x =处取到最大值()11r =． 所以要使2

ln x x

y x +=

与y a =有两个不同的交点，只需01a <<． （III ）由已知：

12

0121y y x x x -=-，所以12012

x x x y y -=-． 12211210111221

()

x x x x x y y x x x y y y y -----=

-=--=

1

2

1

2112ln ln

x x

x x x x x --．

设21x t x =

得：101(1ln )ln x t t x x t

---= ()1t >．

构造函数1ln y t t =--，当1t ≥时，/11

10t y t t

-=-=≥， 所以函数1ln y t t =--在当1t ≥时是增函数．

于是，1t >时，1ln 0t t -->，则010x x ->，得01x x >成立． 同理，可证得20x x >成立，从而求证成立．