当前位置：文档库 › 2012微分和差分作业题

2012微分和差分作业题

微分方程和差分方程作业题

专业__________________ 姓名______________ 学号_________________ （要求：要求有必要的建模过程、结果分析以及主要程序代码。word 文件名和邮件标题命名格式：学号_姓名_专业。上传至网盘（https://www.wendangku.net/doc/3515081540.html, ）的目录（2012数模暑期培训微分和差分作业上传）下）

微分方程模型作业：

一．微分方程初值问题

?=-=1

)0(,cos 'y x e y y x （1）用四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题的数值解(步长h 取0.1)，求解范围为区间[0,3]．

（2）用 ode45 方法常微分方程初值问题的数值解(近似解)，然后利用画图来比较两者间的差异．

二．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？

三. 早期肿瘤的体积增长满足Malthus 模型（dV

V dt λ=，其中λ为常数），（1）

求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ∈(7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式

302t

D D σ=.

(3) 正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm ，重约0.001μg.，当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm 以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一。手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于105个时即可凭借体内免疫系统杀灭。

差分方程模型作业：

四．已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。

（1）假设开始时， 0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；

（2）讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？

（3）假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？

五．购房贷款问题

李四夫妇计划贷款30万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的贷款利率是0.6%／月。他们采用等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。

1. 在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计需要付多少利息？

2. 在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付10年零7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？

3. 如果在第4年初，银行的贷款利率由0.6%／月调到0.5%／月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的17年内将贷款还清，那么在第3年后，每月的还款额应是多少？

4. 又如果在第8年初，银行的贷款利率由0.5%／月调到0.8%／月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的13年内将贷款还清，那么在第7年后，每月的还款额应是多少？

5. 银行调整利率以后，在贷款10年零7个月时，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付10年零7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？

6. 李四夫妇发现银行提供了6种不同的还款方式:

①等额本息还款法:是指在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；

②等额本金递减法:是指在贷款期内每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减的还款方法；

③等额递增还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；

④等额递减还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定减少额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；

⑤等比递增还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；

⑥等比递减还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。

李四夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此，打算采用③等额递增还款法的还款方式来偿还贷款，具体的办法是：每5年为一个时间段，后一个时间段比前一个时间段每月多还400元。在此情况下，如果贷款利率还是0.6%／月，那么，第1个时间段的每月还款额是多少？以后各时间段的每月还款额又是多少？共计付了多少利息？在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付10年零7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？

7. 在6提出的等额递增还款法方式下，在第4年初，银行的贷款利率由0.6%／月调到0.5%／月，又如果在第8年初，银行的贷款利率由0.5%／月调到0.8%／月，那么以后各时间段的每月还款额分别是多少？在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付10年零7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？

8. 综合上述问题，请你们为李四夫妇（实际上是打算贷款购房的人）写一份短文，帮助他们分析各种方法的利弊

考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4

考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：3，分数：6.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00） A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3． B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3． C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3． D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√ 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)． 3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00） A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x． B.C 1 +C 2 cos2x． C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√ D.C 1 +C 2 cos 2 x．解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)．二、填空题(总题数：1，分数：2.00) 4.当y＞0时的通解是y= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得三、解答题(总题数：25，分数：50.00) 5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解．（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可

习题详解-第10章微分方程与差分方程初步

习题10-1 1. 指出下列方程的阶数： (1)4620x y y x y '''''-+=． (2)2 2 d d 0d d Q Q Q L R t c t ++=． (3)2d cos d ρ ρθθ +=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=．解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶 2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =． (2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =． (3)20y y y '''++=， x y x e -=． (4)22d 0.4d s t =-， 2120.2s t c t c =-++．解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=； (4)是，代入，2 12d d 0.4,0.4d d s s t C t t =-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程 222d 0d x k x t += 的通解. 解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足2 22 d 0d x k x t +=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解. 4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t +=的通解,求满足初始条件 x | t 2 x | t 的特解. 解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠ 习题10-2 1. 求下列微分方程的通解： (1)()2 310y y x '++=； (2) 2 +'=x y y ； (3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2 d d d d x xy y y x y y +=+； (5) 22 d d d d y y y x xy x x +=； (6) d d y x y x x y -= +； (7) 22 d d y y x xy x =+； (8) )2(tan 21 2y x y +='．解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得 () 2 31d =d y y x x +- 两端分别积分：

微积分(B)常微分方程与差分方程练习题

For personal use only in study and research; not for commercial use 2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章 For personal use only in study and research; not for commercial use 一、选择题 1. 微分方程xy y 2='的通解为（） A. C e y x +=2 ； B. 2 x Ce y =； For personal use only in study and research; not for commercial use C. 2 C x y e =； D. x Ce y =. 2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的（） A. 通解； B. 特解； C. 不是解； D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解. 3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解， 21,C C 是任意常数，则该方程的通解是（） A. 32211y y C y C ++； B. 3212211)(y C C y C y C +-+； C. 3212211)1(y C C y C y C ---+； D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x += +'是（） A. 可分离变量的微分方程； B. 齐次微分方程； C. 一阶线性齐次微分方程； D. 一阶线性非齐次微分方程. 二、填空题 1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 . 2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________.

常微分方程和差分方程解法归纳

常微分方程解法归纳 1. 一阶微分方程部分 ① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为) ()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dx dy =为可分离变量的方程。对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 dx x g y h dy )() (=的形式，再对此式两边积分得到 C dx x g y h dy +=??)()(从而解出)()(y h x g dx dy =的解，其中C 为任意常数。具体例子可参考书本P10—P11的例题。 ②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为 y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dx dy =+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程 0)(=+y x P dx dy ，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到?=-dx x P Ce y )(，其中C 为任意常数。这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如?=-dx x P e x C y )()(的解。将其代入)()(x Q y x P dx dy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---这其实也就是 ? ='dx x P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dx x P +? =? )()()(，于是将其回代入 ? =-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+的通解? ? ? ??+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。具体例子可参照书本P16—P17的例题。

第10章微分方程与差分方程

第十章微分方程与差分方程 A 级自测题一、选择题（每小题5分，共20分） 1．下列方程中为可分离变量方程的是（）． A ．xy y e '=． B ．x xy y e '+=． C ．22()()0x xy dx y x y dy +++=． D ．0yy y x '+-=． 2．下列方程中为可降阶的方程是（）． A ．1y xy y '''++=． B ．2()5yy y '''+=． C ．x y xe y ''=+． D ．2(1)(1)x y x y ''-=+． 3．若连续函数()f x 满足关系式30()()ln 33 x t f x f dt =+?，则()f x 等于（）． A ．ln 3x e ． B ．3ln 3x e ． C ．ln 3x e +． D ．3ln 3x e +． 4．函数28x x y A =?+是差分方程（）的通解． A ．21320x x x y y y ++-+=． B ．12320x x x y y y ---+=． C ．128x x y y +-=-． D ．128x x y y +-=．二、填空题（每小题5分，共20分） 1．微分方程2sin d d ρρθθ +=的阶数为． 2．一阶线性微分方程()()y g x y f x '+=的通解为_________． 3．微分方程0y y e '+=满足初始条件(1)0y =的特解为_________． 4．差分方程12x x y y +-=的通解为．三、求下列微分方程的通解（每小题5分，共40分） 1．240ydx x dy dy +-=； 2．()220x y dx xydy +-=；

微分方程与差分方程详细讲解与例题

第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。

微分方程与差分方程详解与例题

第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。

常微分方程与差分方程知识点

常微分方程与差分方程知识点考试纲要常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程微分方程的简单应用差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程考试要求 1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法 3、会解二阶常系数齐次线性微分方程 4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 7、会用微分方程求解简单的经济应用问题重要知识点 1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同 2、变量可分离微分方程解法 g(y)dy f (x)dxg(y)dy f(x)dx G(y) F(x) C 3、齐次微分方程解法 dy(y)T殳u y- dU dx T再用y代替u dx x x (u) u x x 附：可化为齐次的方程 c C| 0,可化为齐次微分方程 a b . . a1 bi dy ax by c dx ax by c c或c o a b a b x X h 0,设h,带入原方程解出h,k,可化为齐次微分方程y Y k 设印b,dy ax by c ,令ax a b dx (ax by) c 则可化为史的变量可分离微分方程 dx by v, 0,

7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法齐次方程y t 1 ay t 0的通解为y t C a ，其中C 是一个任意常数。若给定初始条件y 0 C o ，则y 0 C 0 a t 即为满足该初始条件的特解。对于非齐次方程 y t 1 ay t f (t)，其通解也是非齐次方程的一个特解 y t*与对应齐次方程通解之和。即: ? t y t y t C a 。

第九章偏微分方程差分方法

170 第9章偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2）第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3）第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4）这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设G ={0

常微分方程的差分方法

第五章常微分方程的差分方法一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的数值解法。二、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分方程的数值解法。具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。三、教学重点难点 1．教学重点：改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性。 2. 教学难点：收敛性与稳定性。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。五、正文基于数值积分的求解公式：欧拉公式、改进的欧拉公式引言 1．主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解: 00()(,)()y x f x y y x y '=??=? 微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2. 例如微分方程: xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。于是可得一阶常微分方程的初始问题 24(1)3y y x y ?'=+???=-?。显然函数y(x)=x 2-4x 满足以上条件,因而是该初始问题的微分方程的解。

3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4．微分方程的数值解：设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x 0=a ，将[a,b]进行划分得一系列节点x 0 , x 1 ,...,x n ，其中a= x 0< x 1<…< x n =b 。y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点x k 的近似值y(x k )，即 y≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。如果计算y n 时，只利用y n-1，称这种方法为单步法；如果在计算y n 时不仅利用y n-1，而且还要利用y n-2, y n-3,…, y n-r ,则称这种方法为r 步方法，也称多步法。 §5.1 欧拉方法 §5.1.1 欧拉格式方程()(,)n n n y x f x y '=中，1()()()n n n y x y x y x h +-'≈ 1()()(,())n n n n y x y x hf x y x +≈+?1(,)n n n n y y hf x y +=+ 称为解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式，也称显示欧拉公式。欧拉公式的几何意义非常明显，因为微分方程的解在xoy 平面上表示一族积分曲线。用欧拉公式求数值解的几何意义如图：容易验证，该折线各个顶点的纵坐标(1,2...)n y n =就是欧拉公式算得的近似值解，所以，欧拉方法又称为折线法。算例：P98

考研数学三-无穷级数、常微分方程与差分方程(二).doc

考研数学三-无穷级数、常微分方程与差分方程(二) (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、Section Ⅰ Use of Eng(总题数：1，分数：10.00) What's your earliest childhood memory? Can you remember learning to walk? Or talk? The first time you heard thunder or watched a television program? Adults seldom (1) events much earlier than the year or so before entering school, (2) children younger than three or four (3) retain any specific, personal experiences. A variety of explanations have been (4) by psychologists for this "childhood amnesia". One argues that the hippo-campus; the region of the brain which is (5) for forming memories, does not mature until about the age of two. But the most popular theory (6) that, since adults don't think like children, they cannot (7) childhood memories. Adults think in words, and their life memories are like stories or (8) one event follows (9) as in a novel or film. But when they search through their mental (10) for early childhood memories to add to this verbal life story, they don't find any that fit the (11) . It's like trying to find a Chinese word in an English dictionary. Now psychologist Annette Simms of the New York State University offers a new (12) for childhood amnesia. She argues that there simply aren't any early childhood memories to (13) . According to Dr. Simms, children need to learn to use someone else's spoken description of their personal (14) in order to turn their own short-term, quickly forgotten (15) of them into long-term memories. In other (16) , children have to talk about their experiences and hear others talk about (17) --Mother talking about the afternoon (18) looking for seashells at the beach or Dad asking them about their day at Ocean Park. Without this (19) reinforcement, says Dr. Simms, children cannot form (20) memories of their personal experiences. Notes: childhood amnesia 儿童失忆症。（分数：10.00） (1).[A] figure [B] interpret [C] recall [D] affirm（分数：0.50） A. B. C. D. (2).[A] now that [B] even if [C] as though [D] just as（分数：0.50） A. B. C. D. (3).[A] largely [B] rarely [C] merely [D] really（分数：0.50） A. B. C. D. (4).[A] refuted [B] defied [C] proposed [D] witnessed（分数：0.50） A. B. C. D. (5).[A] responsible [B] suitable [C] favorable [D] available（分数：0.50）

第九章-偏微分方程差分方法汇总

第9章偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2）第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3）第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4）这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设G ={0

[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷12.doc

[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷12 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 方程y'sinx=ylny满足定解条件=e的特解是 2 若C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）y=C1x2+C2x+C3．（B）x2+y2=C．（C）yIn(C1x)+ln(C1sinx)．（D）y=C1sin2x+C2cos2x． 3 设C1和C2是两个任意常数，则函数y=e x(C1cos2x+C2sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解．（A）y''-2y'+5y=4cosx-2sinx （B）y''-2y'+5y=4sinx-2cosx （C）y''-5y'+2y=4cosx-2sinx （D）y''-5y'+2y=4sinx-2cosx 二、填空题 4 当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量 △y=，且y(0)=π，则y(1)=_______．

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 5 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)．若求f(x)． 6 已知xy'+p(x)y=x有解y=e x，求方程满足y｜x=ln2=0的解． 7 已知方程，求满足条件的φ(x)． 8 设f(x)在[0，+∞)上连续，且满足方程求f(t)． 9 设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y'+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数． 10 求下列一阶常系数线性差分方程的通解：(Ⅰ)4y t+1+16y t=20； (Ⅱ)2y t+1+10y t- 5t=0；(Ⅲ)y t+1-2y t=2t； (Ⅳ)y t+1-y t= 11 求下列方程满足给定条件的特解：(Ⅰ)y t+1-y t=2t，y0=3； (Ⅱ)y t+1+4y t=y0=1． 12 已知方程y''+p(x)y'+g(x)y=0，求证： (I)若p(x)+xq(x)≡0，则y=x是方程的一个特解； (Ⅱ)若m2+mp(x)+1(x)≡0，则y=e mx是方程的一个特解． 13 求下列微分方程的通解：(Ⅰ)(x-2)dy=[y+2(x-2)3]dx； (Ⅱ)(1+y2)dx=(arctany-x)dy；(Ⅲ)y'+2y=sinx； (Ⅳ)e y y'-=x2(Ⅴ)(Ⅵ)(x2-3y2)x+(3x2-y2)=0；

微分方程习题

微分方程和差分方程作业题专业：土规1101班姓名：刘迈克学号：2011306200521 微分方程模型作业： 1．用matlab 求解微分方程组 00dx x y dt dy x y dt ?++=????+-=?? （1）求在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数()y f x =的图形．（2）分别用 ode23、ode45 求此微分方程组初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈．利用画图来比较两种求解器之间的差异．解：程序： [x,y]=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0', ... 'x(0)=1', 'y(0)=0', 't') ezplot(x,y,[0,5]); （1） =x t t t t e e e e 22224242212 1+-+ 4242 22t t e e y -= （2）先编写函数文件 verderpol.m function xprime=verderpol(t,x)

xprime=[-x(1)-x(2); -x(1)+x(2)]; 再编写脚本文件 vdpl.m，在命令窗口直接运行该文件 clear; y0=[1;0]; [t,x]=ode45（23）('verderpol',[1,40],y0); plot(t,x(:,1),'or-'); ode45求解器微分方程组初值问题的数值解(近似解) Ode23求解器微分方程组初值问题的数值解(近似解) 两种求解器之间的差异：由图像可知，Ode45求解器的图像中点数比较多，更加精确。 2．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升

常微分方程与差分方程解法归纳

然后再相应求解。事实上，如果我们令x t 1=于是)(),1(),(x y x y f y x f ?==。于是一阶齐次型微分方程 ),(y x f dx dy =可表示为 )(x y dx dy ?=然后令x y u =将其化为一阶可分离变量微分方程。具体过程如下：令dx du x u dx dy xu y x y u +===,，则，代入方程)(x y dx dy ?=可得)(u dx du x u ?=+也就是x u u dx du -= )(?，它的通解是易求得的，求出它的通解之后将x y u =回代就可得到一阶齐次型微分方程),(y x f dx dy =的通解。当然，有时候我们令y t 1=于是)()1,(),(x y x y f y x f ψ==。于是一阶齐次型微分方程 ),(y x f dx dy =可表示为 )(y x dx dy ψ=也就是）y x dy dx (1 ψ=此时令dy dv y v dy dx y x v +==，则，代入方程）y x dy dx (1 ψ=可得) (1v dy dv y v ψ=+然后再依次求解。有时候后者的代换方法会更简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运

用。具体例子可参看书本P20—P22的例题。 ④伯努利方程（变量代换）如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数) ,(y x f 满足等式) 1,0(,)()(),(≠-=n y x P y x Q y x f n ，我们就称由此形成的微分方程)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dx dy n 为伯努利方程。对于此类方程的求解，我们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解。我们可以在方程)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dx dy n 两边同除以n y ，可以将方程变形为)()(1x Q y x P dx dy y n n =+--即 ) ()() (1111x Q y x P dx y d n n n =+---。我们令n y z -=1，于是方程即)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+利用一阶线性微分方程 )()(x Q y x P dx dy =+的通解 ? ? ? ??+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(可得)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+的通解，再将 n y z -=1回代就得到了伯努利方程)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dx dy n 的通解。具体例子可参照书本P22—P23的例题。 ⑤变量代换方法的应用----其他类型的齐次微分方程形如??? ? ? ?++=y b x a by ax f dx dy 1 1 的方程也是齐次方程。对于这

2012微分和差分作业题

考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4

最新微分方程与差分方程

习题详解-第10章微分方程与差分方程初步

微积分(B)常微分方程与差分方程练习题

常微分方程和差分方程解法归纳

第10章微分方程与差分方程

微分方程与差分方程详细讲解与例题

微分方程与差分方程详解与例题

常微分方程与差分方程知识点

最新常微分方程和差分方程

第九章偏微分方程差分方法

常微分方程的差分方法

考研数学三-无穷级数、常微分方程与差分方程(二).doc

第九章-偏微分方程差分方法汇总

[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷12.doc

微分方程习题

常微分方程与差分方程解法归纳

2012微分和差分作业题

考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4

最新微分方程与差分方程

习题详解-第10章微分方程与差分方程初步

微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题

常微分方程和差分方程解法归纳

第10章 微分方程与差分方程

微分方程与差分方程详细讲解与例题

微分方程与差分方程 详解与例题

常微分方程与差分方程知识点

最新常微分方程和差分方程

第九章 偏微分方程差分方法

常微分方程的差分方法

考研数学三-无穷级数、常微分方程与差分方程(二).doc

第九章-偏微分方程差分方法汇总

[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷12.doc

微分方程习题

常微分方程与差分方程解法归纳

微积分(B)常微分方程与差分方程练习题

第10章微分方程与差分方程

微分方程与差分方程详解与例题

第九章偏微分方程差分方法