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陕西省西安市第七十中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题理

西安市第七十中学大学区2015—2016学年度第一学期期末考试

高二年级数学（理）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直” 的（）条件

A ．充要

B ．充分非必要

C ．必要非充分

D ．既非充分又非必要 2．顶点在原点，且过点()1,1- 的抛物线的标准方程是（） A ．x y -=2 B ．y x =2

C ．x y -=2或y x =2

D ．x y =2或y x -=2 3．以下四组向量中，互相平行的有（）组.

(1) (1,2,1)a = ,(1,2,3)b =- ； (2) (8,4,6)a =-

,(4,2,3)b =- ； (3)(0,1,1)a =- ,(0,3,3)b =- ； (4)(3,2,0)a =-

,(4,3,3)b =-

A. 一组

B. 二组

C. 三组

D. 四组

4．若平面α的法向量为1(3,2,1)n = ，平面β的法向量为2(2,0,1)n =-

，则平面α与β夹角的余弦是

D. 5．已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( )

A ．

221916x y -= B ．221169x y -= C ．2212536x y -= D ．22

12536

y x -= 6．命题“若a b <，则a c b c +<+”的逆否命题是（）

A ．若a c b c +<+，则a b >

B ．若a c b c +>+，则a b >

C ．若a c b c +≥+，则a b ≥

D ．若a c b c +<+，则a b ≥

7．已知椭圆

1102

x y m m +=--，若其长轴在y 轴上且焦距为4，则m 等于（）

A ．4

B ．5

C ．7

D ．8

8. 已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =

，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是（）

A. (1,－4,2)

B.1

1(,1,)42- C. 11(,1,)42

-- D. (0,－1,1) 9．以下有四种说法，其中正确说法的个数为( ) （1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；

(3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件；

（4）“A B B = ”是“A φ=”的必要不充分条件.

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为

A B ．10 C D ．5

11.双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线

交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为

D 12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，

且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（）

A ．直线

B ．圆

C ．椭圆

D ．双曲线

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．抛物线的方程为22x y =，则抛物线的焦点坐标为____________

14．若命题:P “02,2<--∈?ax ax R x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 15．已知A 、B 、C 三点不共线，若点M 与A 、B 、C 四点共面, 对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：y x OM 3

+= 其中x ，y 是实数，则=+y x ___ 16．以下三个关于圆锥曲线的命题中：

①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若PA PB K -=，则动点P 的轨迹是双曲线；

②方程2

2-520x x +=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

③双曲线

2522=-y x 与椭圆13522

=+y x 有相同的焦点； ④已知抛物线22y px =，以过焦点的一条弦AB 为直径作圆，则此圆与准线相切。其中真命题为（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(本题10分) 写出命题“若12,0)1(22

-===++-y x y x 且则”的逆命题、否命题、逆否

命题，并判断它们的真假.

18．(本题10分) 有一智能机器人在平面上行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的

距离相等，若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，

求k 的取值范围．

19、(本题12分)在三棱锥P －ABC 中，222

PB PC BC =+，

PA⊥平面ABC 。（1）求证：AC⊥BC；

（2）如果AB=4，AC=3，当PA 取何值时，使得异面直线

PB 与AC 所成的角为600

。

20.(本题13分) 已知点(1,2)是函数f (x )＝a x

(a ＞0，且a ≠1)的图像上一点，数列{a n }的前n 项和

S n ＝f (n )－1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列{a n }前2016项中的第3项，第6项，…，第3k 项删去，求数列{a n }前2016项中剩余项的和．

21． (本题13分) 在边长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，F 是DD 1的中点，（1）求点A 到平面A 1DE 的距离；（2）求证：CF∥平面A 1DE , （3）求二面角E －A 1D －A 的平面

角大小的余弦值。

(

21图）

22． (本题13分) 如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x E 经过点(0,1)A -，且离心率为22

．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：

直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．

(22图）

西安市庆安高级中学大学区2015—2016学年度第一学期期末考试高二年级数学参考答案(理)

一、选择题：

二、填空题：

13．（

8，0） 14. (－8,0] 15．3

16． ②③④

三、解答题：共6小题，共70分 17. (本题10分)

解：逆命题：若真命题则且;0)1(2,122=++--==y x y x ………3分否命题：若；真命题或则12,0)1(22-≠≠≠++-y x y x …………6分逆否命题：若真命题则或;0)1(2,122≠++--≠≠y x y x ……………10分 18．(本题10分)

解：由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y 2

＝4x ，过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，……………4分

由题意知直线与抛物线无交点，即当直线位于图中阴影部分时，机器人是接触不到的；联立消去y ，得k 2x 2

＋(2k 2

－4)x ＋k 2

＝0，则Δ＝(2k 2

－4)2

－4k 4<0，……………8分所以k 2

>1，得k >1或k <－1.……………10分

19．(本题12分)

（1）证明： ∵222PB PC BC =+∴PC⊥BC, 因为PA⊥平面ABC ，所以PA⊥BC，

()000,AC BC AP PC BC AP BC PC BC ?=+?=?+?=+=

所以，AC⊥BC；…………6分

（2）解：因为PA⊥平面ABC ，所以PA⊥AC，0PA AC ?=

设PA ＝x ，又异面直线PB 与AC 所成的角为600

，则

cos 3

PB AC PB AC π

?=? 。而()PB AC PA AB AC PA AC AB AC AB AC ?=+?=?+?=?

所以AB AC ?= cos 3PB AC π? ，AB AC ?= 3

4394

??=。

有93cos 3

π=

，x =

当PA

＝PB 与AC 所成的角为600

。…………12分

解法二

由（1）可知： AC ⊥BC ，如图建立空间直角坐标系，则BC=7，设AP =a,A(0,-3,0 ),B=(-

7,0,0),P(0,-3,a ), =(-7,3,-a), =(0,3,0)

cos 3

PB AC PB AC π

?=? .∴9=297a ++?3?21,得a=52

∴当PA

＝PB 与AC 所成的角为600

。

（注：本题也可以用其它解法）

20．(本题12分)

解: (1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x

，得a ＝2. ∴S n ＝f (n )－1＝2n

－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝21

－1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n

－1)－(2n －1

－1)＝2

n －1

，

经验证可知n ＝1时，也适合上式， ∴a n ＝2

n －1

. …………6分

(2)由(1)知数列{a n }为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2 016项也为等比数列，首项a 3＝2

3－1

＝4，公比23＝8，a 2 016＝2

2015

＝4×8

672－1

为其第672项，

∴此数列的和为

)

12(481)81(42016672-=--

又数列{a n }的前2 016项和为122

21(1201620162016

-=--?=S

∴所求剩余项的和为(22016

－1)－7)12(42016-＝7

)

12(32016-.…………12分

21．(本题13分)

解:（1）分别以DA,DC,DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A （2,0,0）, A 1（2,0,2）,E(1,2,0),D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), 则

()()12,0,2,1,2,0,DA DE ==

设平面A 1DE 的法向量是(),,,n a b c =

则1220

n DA a c n DE a b ??=+=???=+=??

，取()2,1,2,n =- 点A 到平面A 1DE 的距离是49DA n d n

?==

……5分（2）()0,2,1CF =-

,220,CF n CF n ?=-+=∴⊥ ,所以，CF∥平面A 1DE 。……9分

（3）()0,2,0DC = 是面AA 1D 的法向量，1

cos 3

DC n DC n θ?==

…………13分

22．(本题13分)

解:

（Ⅰ）由题意知1c b a ==，又222a b c =+，

解得a =

，所以，椭圆的方程为2

212

x y += ………… 4分

（Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y

k x k

=-+≠，代入2

212

x y +=，

得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-= …………7分由已知0?>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠

则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++， …………9分

从而直线AP 与AQ 的斜率之和

212112(2)2(2)x x k k k k x x x x ??+=+-+=+- ???

得证…………13分

高二数学上学期期末考试试题理(A卷)

延安市实验中学大学区校际联盟2016—2017学年度第一学期期末考试试题高二数学（理）（A ）说明：卷面考查分（3分）由教学处单独组织考评，计入总分。考试时间：100分钟满分：100分第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y B ．y 2＝92x 或x 2＝43 y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43 y 3．设命题p ：?x ∈R ，x 2＋1>0，则﹁p 为( ) A ．?x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．?x 0∈R ，x 2 0＋1≤0 C ．?x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．?x ∈R ，x 2＋1≤0 4．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5．不等式x 2－x －6x －1 >0的解集为( ) A.{}x |x <－2或x >3 B.{}x |x <－2或13 D.{}x |－2

高二数学第一次月考试卷(文科)

高二数学第一次月考试卷（文科）（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分） 12道小题，每题5分，共60分）、已知函数f(x)=a x 2＋c,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D. 0 、 0'() f x =0是可导函数y=f(x)在点x=0x 处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件、函数 3 y x x =+的递增区间是（） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),1(+∞ D ),(+∞-∞ 、．函数3 13y x x =+- 有（） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( ) A.y ∧ =1.23x ＋4 B. y ∧=1.23x+5 C. y ∧=1.23x+0.08 D. y ∧ =0.08x+1.23 6、.设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x =L '1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x =（） A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ( ) A ．62n - B ．62n + C ．82n - D ．82n +\ 、若a b c ，，是不全相等的实数，求证：222 a b c ab bc ca ++>++． a b c ∈R ，，∵，2 2 2a b ab +∴≥，2 2 2b c bc +≥，2 2 2c a ac +≥， a b c ，，∵不全相等，∴以上三式至少有一个“=”不成立， ∴将以上三式相加得2222()2()a b c ab b c ac ++>+++，222 a b c ab bc ca ++>++∴．此证法是（）Ａ．分析法Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法并用Ｄ．反证法 9、．从推理形式上看，由特殊到特殊的推理，由部分到整体、个别到一般的推理，由一般到特殊的推理依次是（） A ．归纳推理、演绎推理、类比推理 B ．归纳推理、类比推理、演绎推理 C ．类比推理、归纳推理、演绎推理 D ．演绎推理、归纳推理、类比推理 10、计算1i 1i -+的结果是( ) A ．i - B ．i C ．2 D ．2- 11、复数z=-1+2i ，则 z 的虚部为( ) A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 12、若复数 1 2z i = +，则z 在复平面内对应的点位于( ) 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（4道小题，每题5分，共20分） 13、与直线 2 240x y y x --==平行且与曲线相切的直线方程为_____________ 14、有下列关系：（1）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；（2）苹果的产量与气候之间的关系；（3）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；（4）学生与他（她）的学号之间的关系，其中有相关关系的是_________ 15 . 16、实数x 、y 满足（1–i ）x+(1+i)y=2,则xy 的值是_________ … ① ② ③

高二数学期末试卷(理科)

高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1|